PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA TẤM MINDLIN TRÊN NỀN PASTERNAK CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG_Cao Tấn Ngọc Thân, Lương Văn Hải, Nguyễn Trọng Phước

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA TẤM MINDLIN TRÊN NỀN PASTERNAK CHỊU
TẢI TRỌNG DI ĐỘNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG
DYNAMIC RESPONSES OF MINDLIN PLATES RESTING ON THE PASTERNAK FOUNDATION
SUBJECTED TO MOVING LOAD USING MOVING ELEMENT METHOD

TÓM TẮT

Cao Tấn Ngọc Thân, Lương Văn Hải, Nguyễn Trọng Phước
1. Giới thiệu

Trong bài báo này, một phương pháp mới được phát
triển gần đây đó là phương pháp phần tử chuyển động dùng để
phân tích ứng xử động của tấm dày Mindlin trên nền Pasternak
chịu tải trọng di động. Theo phương pháp này, tấm sẽ được
chia nhỏ thành những “phần tử chuyển động”. Những phần tử
này không phải chuyển động thật so với tấm đứng yên mà là
chuyển động giả tưởng cùng với lực di chuyển trên kết cấu
tấm. Do đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật
véctơ tải trọng tương ứng với mô hình tấm. Tất cả các phương
trình chuyển động cũng như các ma trận kết cấu của phần tử
tấm được xây dựng trên một hệ trục tọa độ chuyển động với
vận tốc không đổi. Để đảm bảo được sự liên tục và chính xác
của lời giải, mô hình nền Pasternak được sử dụng trong nghiên
cứu. Các ví dụ số liên quan đến ứng xử động lực học của tấm
được triển khai nhằm phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến
chuyển vị lớn nhất và hình dáng biến dạng của tấm như vận tốc
lực di chuyển, độ cứng của nền và chiều dày tấm.

Với sự phát triển của khoa học và công nghệ, kết cấu tấm
được sử dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực như hàng không,
giao thông, dân dụng... Trong các lĩnh vực này, kết cấu tấm

thường được mô phỏng tựa trên nền đàn hồi chịu tải trọng
động. Kim và Rosset (1988) [1] đã phân tích ứng xử của một
tấm vô hạn trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động điều
hòa không đổi sử dụng phương pháp Fourier transform. Kim
(2004) [2] đã thực hiện phân tích ứng xử động của tấm trên nền
đàn nhớt Winkler chịu tải trọng động sử dụng phương pháp
Fourier transform. Fryba (1999) [3] nghiên cứu dao động riêng
của tấm vô hạn và hữu hạn cho các điều kiện biên khác nhau.
Huang và Thambiratnam (2001) [4] đã trình bày phương pháp
dải hữu hạn để xử lý ứng xử của kết cấu tấm cố định trên nền
đàn hồi chịu tải trọng động với vận tốc biến đổi. Javad
(2013)[5] sử dụng phương pháp Eigenfunction Expansion
Method (EEM) để nghiên cứu sự ổn định và ứng xử động lực
học của tấm Mindlin chịu của tải trọng di động.

Từ khóa:Phương pháp phần tử chuyển động, tấm Mindlin, nền
Pasternak, tải trọng di chuyển.

Trong thực tế, phương pháp phần tử hữu hạn (FEM – Finite
Element Method) đã được sử dụng rộng rãi để giải quyết nhiều
bài toán phức tạp. Wu và cộng sự (1987) [6] đã nghiên cứu
phản ứng động của kết cấu tấm với các yếu tố ảnh hưởng như
chiều dài tấm, vận tốc, và gia tốc ban đầu của tải trọng di
chuyển. Taheri và Ting (1990) [7] đã phân tích ứng xử của tấm
trên nền đàn hồi chịu tải trọng đi động bằng phương pháp
FEM. Trong phương pháp phần tử hữu hạn, tất cả các ma trận
kết cấu sẽ được thực hiện trên một hệ trục tọa độ cố định. Khi
tải trọng di chuyển từ phần tử này sang phần tử khác thì véctơ
tải trọng phải được cập nhật sau mỗi bước thời gian. Đồng thời,
tải trọng có thể tiến tới biên và vượt ra khỏi biên bài toán. Tất

cả các nhược điểm trên của FEM được minh họa ở Hình 1.

ABSTRACT
In this paper, a recent method, namely the moving element
method (MEM) is employed to analyze the dynamic response
of the Mindlin plates resting on the Pasternak foundation under
a moving load. By using this method, the plate is discretized
into “moving element”. These moving elements are not
physical elements fixed to the plate but are conceptual elements
that “flow” with the moving load through the plate. Thus, the
proposed method eliminates the need of keeping track the
location of moving load with respect to the plate. The
governing equations of motion as well as structural matrices of
moving elements are formulated in a relative coordinate system
travelling at a constant speed. Considering the continuity of
foundation, Pasternak foundation model is employed in this
study. Numerical examples are conducted to investigate the
effects of various parameters on deflected shapes, maximum
displacement of the plates such as the speed of moving load,
the stiffness of foundation and the thickness of plates.
Keywords: Moving element method, Mindlin plate, Pasternak
foundation, moving load.
ThS. Cao Tấn Ngọc Thân
Nghiên cứu sinh, Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học
Bách khoa – Đại học Quốc gia Tp.HCM
PGS.TS. Lương Văn Hải, TS. Nguyễn Trọng Phước
Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Bách khoa – Đại
học Quốc gia Tp.HCM
Email:
Điện thoại: 0944282090

Để khắc phục những nhược điểm của phương pháp phần tử
hữu hạn, Koh và cộng sự (2003) [8] đã đề xuất sử dụng phương
pháp phần tử chuyển động (MEM – Moving Element Method)
trong việc khảo sát ứng xử động của hệ thống tàu–ray. Phương
pháp này đã giải quyết được những khó khăn của phương pháp
FEM. Koh và cộng sự (2007) [9] đã khảo sát dao động của nền
bán không gian đàn hồi bằng phương pháp MEM. Xu và cộng
sự (2009) [10] đã áp dụng phương pháp này trong việc phân
tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin
chịu tải trọng di động sử dụng phần tử tứ giác. Tran và cộng sự
(2013) [11] đã áp dụng MEM để khảo sát đến ứng xử động của
tàu cao tốc-ray khi tàu tăng tốc hoặc giảm tốc. Nhi và cộng sự
(2014) [12] đã phân tích ứng xử động của tấm Mindlin trên nền
đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử
chuyển động. Phương trình chuyển động của kết cấu tấm đã
được thiết lập trên một hệ trục tọa độ tương đối chuyển động
cùng vận tốc với lực di chuyển. Ưu điểm của phương pháp
MEM được minh họa ở Hình 2.

Trang 1


Hình 1. Mô hình phương pháp FEM truyền thống

Hình 3. Mô hình tấm Mindlin trên nền Pasternak

Hình 4. Quy ước chiều dương của chuyển vị w và 2 chuyển vị
Hình 2. Mô hình phương pháp MEM
Trong mô hình nền Winkler, do sự hoạt động độc lập của

các lò xo nên ứng xử của nền không liên tục và đã bỏ qua biến
dạng cắt. Để khắc phục những hạn chế của nền Winkler,
Vlasov and Leont’ev (1966) [13] đã phân tích ứng xử của dầm
và tấm trên nền hai thông số Pasternak. Yang (1972) [14] đã
phân tích ứng xử của tấm trên nền Pasternak sử dụng kết hợp
phương pháp phần tử hữu hạn và sai phân hữu hạn.
Trong bài báo này, phương pháp MEM được sử dụng để
phân tích động lực học của tấm Mindlin tựa trên nền Pasternak
chịu tải trọng động. Các phương trình chuyển động của tấm,
các ma trận kết cấu cũng được thiết lập trong hệ tọa độ tương
đối chuyển động cùng vận tốc của lực. Đồng thời, các thông số
như vận tốc của lực di chuyển, chiều dày tấm, hệ số đàn hồi, hệ
số cắt của nền ảnh hưởng đến chuyển vị của tấm cũng được
phân tích. Các kết quả thu được sẽ là tài liệu hữu ích cho việc
nghiên cứu và thiết kế các kết cấu tấm chịu tải trọng động trong
thực tiễn.
2. Cở sở lý thuyết
Xét tấm Mindlin đặt trên nền Pasternak với chiều dài L ,
chiều rộng B có các đặc trưng vật liệu như module đàn hồi E ,
trọng lượng riêng ρ , hệ số Poision ν . Nền Pasternak được mô

xoay của tấm Reissner-Mindlin
Rời rạc hóa miền bài toán Ω thành N e phần tử tứ giác
chín nút Q9 sao cho Ω=

Ne

 Ωe với
e =1

Ω i ∩ Ω j = ∅, i ≠ j . Tất

cả các phần tử đều được gắn vào hệ trục cố định ( x, y ) và
được đánh số từ 1-9 như trên Hình 5.

Hình 5. Phần tử Q9 trong tọa độ tổng thể
Từ hệ trục tổng thể ( x, y ) , tất cả các phần tử Q9 được quy
về hệ tọa độ tự nhiên như Hình 6. Các hàm dạng nội suy của
phần tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên được cho bởi:

hình bởi các lò xo với các thông số: hệ số module đàn hồi k w
và hệ số module cắt k g được minh họa ở Hình 3. Với giả
thuyết tấm Mindlin chịu biến dạng uốn bởi các lực vuông góc
với mặt phẳng tấm, hệ trục toạ độ Oxyz được chọn sao cho
mặt phẳng Oxy trùng với mặt trung bình Ω ⊂ R và trục z
vuông góc với mặt phẳng tấm. Tấm dựa trên các giả thuyết
Mindlin, với w là độ võng của tấm, β x , β y lần lượt là các
2

góc xoay của pháp tuyến của mặt trung hòa quanh trục Oy và
Ox của hệ tọa độ địa phương với các quy ước chiều dương cho
ở Hình 4, Ω là mặt trung hòa của tấm và h là độ dày của tấm.
Các thành phần u , v và w tương ứng là chuyển vị theo

Hình 6. Phần tử Q9 trong tọa độ tự nhiên

phương x , phương y , phương z ; wo là chuyển vị tại mặt
trung hòa (giả thuyết biến dạng màng: u=
v=
0 ).

o
o

Trang 2


N1 =

1

N3 =

1

4
4

(ξ − 1)(η − 1) ξη ,
(ξ + 1)(η + 1) ξη ,

N2 =

1

N4 =

1

4
4

) (η − 1)η ,

1
2
N6 = 1 − η
2

(

) (η + 1)η ,

1
2
N8 = 1 − η
2

1
2
N7 = 1 − ξ
2

(

N9 =
1−ξ

2

)(1 − η 2 )

(

) (ξ + 1) ξ

(

) (ξ − 1) ξ

(1)

σ = σ b + σ s = Dzκ b + Gk

1− v

2

N
0

0

N 

1
 0

0

1



γ

(6)

5


h 0

3
h
m = ρ 0
 12

0 0


∫ κ b Db κ b d Ω + ∫ γ
T

T

D s γd Ω

(7)

Thay (6) vào (7), phương trình được viết lại:


Ω




Ω

(8)

trong đó Db là ma trận vật liệu ứng với biến dạng uốn, và
được cho bởi:




1 ν
0 
3
Eh


ν 1
Db =
0 
2 
12 (1 − ν )

1 −ν 
0 0



2 

0

1 

(12)

β y ] sẽ được nội suy từ hàm dạng

[

T

và chuyển vị của các nút:
(13)
u = Nd
trong đó N là ma trận các hàm dạng chuyển vị và được xác
định bởi

 N1
N=0

 0

0

0

N2

0

0

...

N9

0

N1

0

0

N2

0

...

0

N9

0

N1

0

0

N2

...

0

0

[

β x1

d = w1

β y1

β x2

w2

β y2

...

w9

β x9



0 (14)

N9 

0

và d là véctơ chuyển vị nút:
β y9

]

T

(9)

trong đó N w là ma trận chứa các hàm dạng:

(17)

Giả sử tải trọng di động theo phương x với vận tốc không
đổi V . Bằng cách sử dụng phương pháp MEM, một hệ tọa độ
( r , s ) gắn liền với tải trọng di động được thiết lập. Mối quan
hệ giữa hai trục tọa độ được xác định như sau :

(18)
r= x − Vt
(19)
y=s
trong đó ( x, y ) lần lượt là hệ tọa độ cố định, ( r , s ) lần lượt
là hệ tọa độ chuyển động; V và t lần lượt là vận tốc và thời
gian di chuyển của tải trọng.
Khi đó trường chuyển vị và các đạo hàm riêng trong hệ tọa
độ chuyển động được biểu diễn như sau:

∂u ( x , t )
∂u ( r , t ) ∂u ( r , t )
u ==
−V
+
∂t
∂r
∂t

(20)

∂ u ( x, t )
∂ u ( r, t ) ∂ u ( r, t )
2 ∂ u ( r, t )
 = 2
u
=
V
− 2V
+

2
2
∂t
∂t
∂r ∂t
∂t
2

2

2

∂w ( x , t )
∂w ( r , t ) ∂w ( r , t )
−V
+
w ==
∂t
∂r
∂t

(10)

(15)

Chuyển vị đứng w được nội suy từ chuyển vị nút phần tử:
(16)
w = N wd

2

Ma trận D s là ma trận vật liệu ứng với biến dạng cắt, và
được xác định bởi:
Ehk 1
Ds =
2 (1 + ν )  0


0

3 
h 
12 

N w = [ N1 0 0 N 2 0 0 ... N 9 0 0 ]

Ω

{δ d}T  ∫ BTb Db Bb d Ω + ∫ BTs D s B s d Ω  {d}



0

điểm bất kì u = w β x

là hệ số hiệu chỉnh cắt.

6

Nguyên lý công ảo được áp dụng để thiết lập phương trình
chuyển động của bài toán tấm trên nền Pasternak. Công nội ảo
được tính toán theo công thức sau:

WI

T

Bằng cách sử dụng các hàm dạng, véctơ chuyển vị tại một
(4)

(5)


0 

0

1 −ν 

2 

module đàn hồi trượt và k =

Ω

0 ] là tải trọng phân bố trên tấm,

k w , k g lần lượt là module đàn hồi và module cắt của nền, m là

trong đó E là module đàn hồi, ν là hệ số poison, G là

WI
=

(11)

∫ ( δ w )k g ∇ wd Ω

ma trận khối lượng và được xác định bởi:

0 N, x 0 
 N,x
=

0 0
N, y ,
Bs 


 N, y
 0 N , y N , x 

E

Ω

2

trong đó b = [ p ( x, y ) 0

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng theo định luật Hooke
như sau:

D=

Ω

Ω

và


1 ν

ν 1

 0 0

Ω

+

Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt.
Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau:
(2)
ε =ε s +ε b =zκ b +γ
trong đó:
(3)
κ b = B b u, γ = B s u

Bb

∫ bδ ud Ω − ∫ ( δ u )mudΩ − ∫ ( δ w )k w wd Ω

=
WE

(ξ − 1)(η + 1) ξη

(

1
2
N5 = 1 − ξ
2

Công ngoại ảo được tính như sau:

(ξ + 1)(η − 1) ξη

(22)

∂ w ( x, t )
∂ w ( r, t )
∂ w ( r, t ) ∂ w ( r, t )
2
w = 2
=
V

− 2V
+
2
2
∂t
∂r
∂r ∂t
∂t
2

2

∂ w(r,s)
2

∇
=
w
2

∂r

2

2

(21)

2

∂ w(r,s)

(23)

2

+

∂s

(24)

2

Trang 3



trong đó u =  w

β x

T

 =  w

β y  , u

βy 

βx

T

Thay (20) và (21) vào (11), phương trình được viết lại:


∫ bδ ud Ω − ∫ ( δ u ) m  u − 2V

Ω
Ω

WE
=

∂u
∂r

∂ u
2

+V

2

∂r

2

 dΩ



(25)

∂ w ∂ w
− ∫ ( δ w ) k w wd Ω + ∫ ( δ w ) k g  2 + 2  d Ω
∂s 
 ∂r
Ω
Ω
2

2

Bằng cách sử dụng phương pháp Galerkin, các ma trận khối
lượng và độ cứng của phần tử tấm lần lượt cho bởi:
Fe =

∫ p Ν dr ds

Ω

Me =

∫Ν

T

(26)

mNdrds

Ω

∫ Bb DbBbdrds + ∫ B s Ds B s drds
T

Ke

(

T

Ω

Ω

T

)

( ),rr

là đạo

+ ∫ mV N N ,rr + k w N w N w − k g N w N w,rr − k g N w N w, ss drds
2

T

Ω

trong đó

T

( ),r

T

là đạo hàm bậc nhất theo r ,

hàm bậc hai theo r ,

( ),ss

giữa phương pháp MEM và phương pháp FEM là rất nhỏ và
kết quả của phương pháp MEM là đáng tin cậy.
3.2. Khảo sát ứng xử của tấm trên nền Pasternak khi
thay đổi vận tốc của lực di chuyển V
Trong bài toán này, thông số kích thước tấm vẫn được
sử dụng như trong bài toán 3.1 với vận tốc ban đầu của lực di
chuyển V = 55.56m / s . Ảnh hưởng của vận tốc lực di
chuyển đến ứng xử động học của kết cấu tấm được xem xét
trong bốn trường hợp V1 = V , V2 = 2V , V3 = 4V và

V4 = 8V . Độ võng của tấm dọc theo trục của lực di chuyển
được thể hiện trên Hình 8, tương ứng với trọng tâm xe tại
giữa tấm (x=15m) và các vận tốc lực di chuyển tăng từ 1 đến
8 lần.

Hình 8 cho thấy khi vận tốc của lực di chuyển tăng dần
thì chuyển vị của tấm cũng tăng dần. Cụ thể khi vận tốc của
lực di chuyển tăng 8 lần thì chuyển vị của tấm tăng 1.42 lần
(tương đương với 42%).

là đạo hàm bậc hai theo s .

Sau khi tổng hợp các ma trận kết cấu và véc tơ tải trọng cho
toàn bộ tấm, phương trình động lực học của hệ trên có dạng:
 + Ku =
(27)
Mu
F
trong đó M và K lần lượt là các ma trận khối lượng và
độ cứng tổng thể của hệ, F là véctơ tải trọng tổng thể của hệ.
3. Các ví dụ số
Để chứng minh sự tin cậy của phương pháp được đề xuất
cũng như các yếu tố ảnh hưởng đến ứng xử của tấm, các ví
dụ số về phân tích tĩnh và ứng xử động của tấm sẽ được thực
hiện và so sánh với các kết quả của phương pháp FEM.
3.1 Kiểm chứng phương pháp
Trong bài toán này, mô hình tấm chữ nhật Mindlin tựa
trên nền Pasternak với điều kiện biên là ngàm 4 cạnh (C-CC-C) được khảo sát. Tấm có kích thước: dài L = 30 m , rộng
B = 10 m và dày h = 0.5m . Các thông số vật liệu của tấm
10

2

lượt

k w = 9.5 × 10 (N/m ) ,

Hình 8. Chuyển vị của tấm ứng với vận tốc của lực di chuyển
V thay đổi

được cho bởi E = 1.51×10 N / m và hệ số Poison
ν =0.35 . Tấm đặt trên nền Pasternak với các hệ số đàn hồi
và

hệ

số

cắt

lần

7

3

k g = 2.375 × 10 (N/m ) . Tải trọng tập trung P = 2000N
7

2

tác dụng tại giữa tấm.
Hình 9. Chuyển vị của tấm theo thời gian ứng với vận tốc
của lực di chuyển V thay đổi
Hình 9 thể hiện giá trị của chuyển vị theo thời gian tại vị

trí của điểm đặt lực. Kết quả phân tích cho thấy ứng với giá
trị vận tốc V tăng dần thì biên độ chuyển vị của tấm cũng
tăng dần, đồng thời chu kì chuyển vị của tấm giảm tương
ứng xấp xỉ số lần tăng của vận tốc V . Điều này lý giải rằng
khi lực di chuyển với vận tốc càng lớn thì tấm sẽ dao động
càng nhanh, tương đương với chu kì dao động của tấm giảm.
Hình 7. Chuyển vị của tấm theo phương x
Hình 7 thể hiện kết quả chuyển vị của tấm từ phương
pháp MEM và phương pháp FEM. Biểu đồ cho thấy sai số

3.3. Khảo sát chuyển vị của tấm trên nền Pasternak so
với chuyển vị của tấm trên nền đàn nhớt Winkler
Trong bài toán này, sự ảnh hưởng của nền Pasternak được
phân tích thông qua việc so sánh chuyển vị của tấm chịu tải
trọng chuyển động được đặt trên nền Pasternak và nền đàn
Trang 4


nhớt truyền thống. Các thông số kích thước và vật liệu của
tấm vẫn được sử dụng giống như bài toán 3.1. Tấm chịu tải
trọng tập trung P = 2000N di chuyển dọc theo phương x với
vận tốc V = 27.78m / s . Tấm đặt trên nền Pasternak với các
hệ số đàn hồi và hệ số cắt lần lượt k w = 9.5 × 10 (N/m ) ,
7

3

k g = 2.375 × 10 (N/m ) và nền đàn nhớt Winkler với các hệ
7

2

số nền k w = 9.5 × 10 (N/m ) , cw = 1 × 10 (N.s/m ) .
Hình 10 thể hiện sự so sánh chuyển vị của tấm dọc theo
trục của lực di chuyển trong trường hợp tấm trên nền đàn
nhớt và tấm trên nền Pasternak. Từ kết quả cho thấy chuyển
vị của tấm trên nền Pasternak nhỏ hơn chuyển vị của tấm
trên nền đàn nhớt (chuyển vị giảm 1.28 lần, từ 2.303x10-6m
xuống còn 1.79x10-6m). Chuyển vị của tấm trên nền
Pasternak giảm so với nền đàn nhớt là do sự làm việc đồng
thời của các lò xo trong nền (tương tác về lực cắt giữa các lò
xo trong hệ thống).
7

3

6

3

Hình 11. Chuyển vị của tấm khi thay đổi tỉ số hệ số nền

k g / kw
3.5. Khảo sát ứng xử của tấm trên nền Pasternak khi
thay đổi chiều dày tấm
Trong bài toán này, thông số tấm vẫn được sử dụng như
trong bài toán 3.1 với chiều dày ban đầu h = 0.5m . Ảnh hưởng
của chiều dày tấm đến ứng xử động lực học của tấm được xem
xét trong bốn trường hợp h1 = h , h2 = 1.2h , h3 = 1.6h ,

h4 = 2h . Độ võng của tấm dọc theo trục của lực di chuyển
được thể hiện trên Hình 12 tương ứng trọng tâm xe đặt tại giữa
tấm (x=15m).

Hình 10. So sánh chuyển vị của tấm chịu tải trọng di động
trên nền Pasternak và nền đàn nhớt Winkler
3.4. Khảo sát ứng xử của tấm trên nền Pasternak khi
thay đổi hệ số nền k w , k g
Trong bài toán này, các thông số tấm và tải trọng tác dụng
lên tấm được sử dụng giống như bài toán 3.1. Để khảo sát
ảnh hưởng của các thông số như hệ số đàn hồi k w và hệ số
cắt k g của nền Pasternak, chuyển vị của tấm Mindlin trên
nền được khảo sát với các trường hợp hệ số đàn hồi k w thay

Hình 12. Chuyển vị dọc theo trục của lực di chuyển khi

đổi lần lượt k w1 = 0.5k w , k w2 = k w , k w3 = 2 k w , đồng thời

chiều dày tấm h thay đổi

thay đổi hệ số cắt nền lần lượt từ k g = 0 (nền Winkler) đến

Hình 12 thể hiện khi chiều dày tấm tăng dần thì chuyển vị
của tấm giảm dần. Cụ thể khi chiều dày của tấm tăng từ 0.5m
đến 1m thì chuyển vị của tấm giảm 2.59 lần (giảm từ

k g = 6 k w . Hình 11 thể hiện biểu đồ quan hệ giữa chuyển vị
của tấm Mindlin tương ứng với tỉ số k g / k w thay đổi. Từ kết
quả trên Hình 11 cho thấy khi tăng hệ số cắt k g thì chuyển vị
của tấm cũng giảm. Khi hệ số đàn hồi k w nhỏ thì ảnh hưởng

của hệ số cắt k g là khá lớn, nhưng khi hệ số đàn hồi k w lớn
thì ảnh hưởng của hệ số k g giảm dần. Điều này thể hiện khi
hệ số đàn hồi của nền lớn thì nền có khuynh hướng chỉ làm
việc đàn hồi nên hệ số cắt không còn đóng góp tích cực nữa.

−6

−7

2.22 × 10 m xuống 8.6 × 10 m ). Kết quả này hoàn toàn phù
hợp với tính chất vật lý của kết cấu khi chiều dày tấm tăng thì
độ cứng tấm tăng, do đó chuyển vị của tấm sẽ giảm đáng kể.
Giá trị chuyển vị lớn nhất của tấm tương ứng với chiều dày
tấm thay đổi được thể hiện trên Hình 13. Từ kết quả trên cho
thấy, khi chiều dày tấm còn bé thì chiều dày tấm ảnh hưởng
đáng kể đến chuyển vị (khi chiều dày tấm tăng từ 0.5m đến 1m
thì chuyển vị của tấm giảm 2.59 lần). Nhưng khi chiều dày của
tấm là lớn (2m trở lên) thì chiều dày không còn ảnh hưởng
đáng kể đến chuyển vị (chiều dày tăng từ 2m đến 8m nhưng
−7

−8

chuyển vị chỉ giảm từ 2.69 × 10 m đến 4.5 × 10 m ). Điều
này được giải thích rằng khi chiều dày tấm lớn thì độ cứng tấm
rất lớn nên ứng với tác động nhỏ của lực thì chuyển vị của tấm
giảm không đáng kể. Vì thế cần phải tối ưu hóa chiều dày tấm
Trang 5

trong thiết kế kết cấu vì khi đã vượt qua chiều dày tối ưu và có
tăng chiều dày thì cũng không có tác dụng đáng kể mà gây lãng
phí vật liệu.

5

6

7

8

9
Hình 13. Chuyển vị lớn nhất của tấm khi chiều dày tấm thay
đổi
4. Kết luận
Trong bài báo này việc phân tích ứng xử động của tấm
Mindlin trên nền Pasternak chịu tải trọng di động sử dụng
phương pháp MEM được thực hiện. Thông qua các kết quả
nghiên cứu, một số kết luận quan trọng có thể rút ra như sau:
-Phương pháp MEM tỏ ra hiệu quả hơn trong việc phân tích
ứng xử động của kết cấu tấm vì khắc phục được các nhược
điểm mà phương pháp FEM gặp phải.
-Ảnh hưởng của nền Pasternak đến chuyển vị của tấm so
với nền đàn nhớt được phân tích. Chuyển vị của tấm trên nền
Pasternak giảm hơn nhiều so với tấm trên nền đàn nhớt. Điều
này do ảnh hưởng của sự làm việc đồng thời của các lò xo
trong nền Pasternak.
-Trong nền Pasternak, khi hệ số đàn hồi nhỏ thì ảnh hưởng
của hệ số cắt là khá lớn, nhưng khi hệ số đàn hồi lớn thì ảnh

hưởng của hệ số cắt giảm dần. Điều này thể hiện khi hệ số đàn
hồi của các lò xo lớn thì nền có khuynh hướng chỉ làm việc đàn
hồi nên ảnh hưởng của hệ số cắt không còn đóng góp tích cực.
- Khi vận tốc của lực di chuyển tăng thì chuyển vị của tấm
cũng tăng nhưng chu kì dao động giảm tương ứng số lần tăng
của vận tốc. Chuyển vị của tấm giảm khi chiều dày của tấm
tăng nhưng khi chiều dày của tấm vượt qua chiều dày tối ưu thì
chuyển vị của tấm giảm không đáng kể.

10

11

12

13

14

A. V. Javad, N. Ali, D. R. Mohammad and H. E. Mohsen
(2013). Vibration Analysis of Mindlin elastic plate under
moving mass excitation by eigenfunction expansion
method, Thin-Walled Structures; 62:53–64.
J. S. Wu, M. L. Lee and T. S. Lai (1987) The dynamic
analysis of a flat plate under a moving load by finite
element method, International Journal for Numerical
Methods in Engineering, 124(9): 1010-1017.
M. R. Taheri and E. C. Ting (1989) Dynamic response of
plates to moving loads: structural impedance method,
Computers and Structures, 33(6):1379-1393.

C. G. Koh, J. S. Y. Ong, D. K. H. Chua and J. Feng (2003)
Moving element method for train-track dynamics,
International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 56:1549–1567.
C. G. Koh, G. H. Chiew and C. C. Lim (2007) A numerical
method for moving load on continuum, Journal of Sound
and Vibration, 300:126–138.
W. T. Xu, J. H. Lin, Y. H. Zhang, D. Kennedy and F. W.
Williams (2009) 2D moving element method for random
vibration analysis of vehicles on Kirchhoff plate with
Kelvin foundation, Latin American Journal of Solids and
Structures, 6:169-183.
K. K. Ang, M. T. Tran, and V. H. Luong (2013) Track
vibrations during acceleration and deceleration phases of
high-speed rails, The Thirteenth East Asia-Pacific
Conference on Structural Engineering and Construction
EASEC-13, Sapporo , Japan.
Võ Hoàng Nhi, Lương Văn Hải, Trần Minh Thi (2014)
Phân tích ứng xử của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu
tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển
động, Người Xây Dựng, 11&12:91-97.
V. Z. VLASOV and N. N. LEONT’EV (1996) Beams,
Plates, Shells on Elastic Foundations (translated from
Russian), Israel Program for Scientific Translations,
Available from the Clearinghouse of U.S. Dept. of
Commerce.
T.Y.Yang (1972) A finite element analysis of plate on a
two parameter foundation model, Computers and
structures, Vol.2, pp.593-614.

Lời cảm ơn
Nghiên cứu được tài trợ bởi Đại học Quốc gia Thành phố Hồ
Chí Minh (ĐHQG-HCM) trong khuôn khổ Đề tài mã số
C2015-20-17: “Phân tích động lực học tấm trên nền đàn nhớt
chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động ”.
Tài liệu tham khảo
1

2

3
4

S. M. Kim and J. M. Roesset (1998) Moving loads on a
plate on elastic foundation, Journal of Engineering
Mechanics, 124(9):1010–1017.
S. M. Kim (2004) Buckling and vibration of plate on
elastic foundation subject to in-plane compression and
moving loads, International Journal of Solids and
Structures, 41(20):5647-5664.
L. Fryba (1999) Vibration of solid and structures under
moving loads, Thomas Telford, London.
M. H. Huang and D. P. Thambiratnam (2001), Deflection
response of plate on winkler foundation to moving
accelerated loads, Engineering Structures; 23(9):11341141.
Trang 6