TÍNH TOÁN DỰ BÁO NHIỆT ĐỘ MẶT ĐƯỜNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ ỨNG DỤNG_TS. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài, Ks. Trần Thiện Nhân

TÍNH TOÁN DỰ BÁO NHIỆT ĐỘ MẶT ĐƯỜNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ ỨNG DỤNG
PREDICTION OF PAVEMENT TEMPERATURE
USING NUMERICAL METHOD AND APPLICATION
TS. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài, Ks. Trần Thiện Nhân
TÓM TẮT
Bài báo này trình bày một phương pháp tính toán nhiệt độ
mặt đường theo thời gian bằng phương pháp số. Trường nhiệt
độ bên trong mặt đường được mô hình hóa bằng phương trình
truyền nhiệt. Phương pháp phần tử hữu hạn được dùng để rời
rạc hóa bài toán theo không gian và phương pháp θ được dùng
để xấp xỉ các giá trị đạo hàm theo thời gian. Phương pháp trình
bày được minh họa thông qua một ví dụ tính toán cụ thể. Sự
ảnh hưởng của các tham số đến nhiệt độ mặt đường được phân
tích nhằm đề xuất một số giải pháp giảm nhiệt cho mặt đường.
ABSTRACT
This work deals with the prediction of pavement
temperature profile varied in time using numerical method.
Temperature field inside the pavement is modeled by heat
transfer equation. Finite element method is used for space
discretisation and θ-method is used for time integration. The
method presented is illustated via a specific example. Factors
influencing pavement temperature are analysed and some
solutions for pavement cooling are proposed.
TS. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài
Giảng viên, Khoa Xây Dựng, Trường Đ ại Học Thủ Dầu Một,
Bình Dương
Nghiên cứu viên, Công ty CP Đầu tư – Xây dựng BMT
Email: ,
Ks. Trần Thiện Nhân
Nghiên cứu viên, Công ty CP Đầu tư – Xây dựng BMT

Email:
1. Giới thiệu
Bê tông nhựa và bê tông xi măng là hai loại vật liệu được
dùng làm lớp mặt đường phổ biến nhất hiện nay. So với mặt
đường bê tông xi măng, mặt đường bê tông nhựa có nhiều ưu
điểm như dễ thi công, dễ sửa chữa và tạo được sự êm thuận cho
phương tiện lưu thông. Trong những năm gần đây, hằn lún vệt
bánh xe trở thành một dạng hư hỏng phổ biến của mặt đường
bê tông nhựa gây mất an toàn cho việc lưu thông của các
phương tiện. Dạng hư hỏng này xuất hiện rất phổ biến trên các
tuyến đường có mật độ xe tải lưu thông nhiều và tại các khu
vực có tốc độ giao thông chậm. Nguyên nhân của hằn lún vệt
bánh xe cũng đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước chỉ ra
đó là do tải trọng nặng, lưu lượng giao thông lớn và do nhiệt
độ.
Bê tông nhựa là một loại vật liệu composite gồm có cốt liệu
và chất kết dính hữu cơ do đó nó vừa có tính đàn hồi và vừa có
tính nhớt. Ứng xử cơ học của vật liệu bê tông nhựa phụ thuộc
rất nhiều vào nhiệt độ cũng như tần số tác dụng của tải trọng.
Khi nhiệt độ tăng lên hoặc tần số giảm xuống thì tính đàn hồi
giảm, tính nhớt tăng và biến dạng không hồi phục tích lũy cũng
tăng. Để hạn chế hiện tượng hằn lún cần thiết phải dự tính
được nhiệt độ cao nhất mà mặt đường có thể đạt được kết hợp
với việc dự tính chiều sâu vệt lún để từ đó người thiết kế có cơ
sở để lựa chọn loại vật liệu thích hợp.
Nhiệt độ của mặt đường có thể được dự báo bằng mô hình
hồi qui như trong phương pháp Superpave [1-3]. Theo phương

pháp này, chúng ta cần phải thu thập rất nhiều số liệu để xây
dựng cơ sở dữ liệu và thiết lập các phương trình hồi qui sao

cho phù hợp với điều kiện khí hậu ở Việt Nam. Trong một số
nghiên cứu khác, các tác giả mô hình hóa sự thay đổi của nhiệt
độ mặt đường bằng bài toán truyền nhiệt không ổn định
(transient heat transfer). Việc giải phương trình vi phân của bài
toán truyền nhiệt nhiều lớp có thể được giải giải tích như trong
[4] hoặc bằng phương pháp số như phương pháp sai phân hữu
hạn [5-6], phương pháp phần tử hữu hạn [7-9] và phương pháp
thể tích hữu hạn [10]. Trong bài báo này, tác giả sử dụng
phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán truyền nhiệt
không ổn định và phương pháp θ được sử dụng để rời rạc hóa
bài toán theo thời gian. Mục tiêu cụ thể của nghiên cứu này
như sau:
- Phát biểu bài toán truyền nhiệt của một vật thể khi trao đổi
nhiệt năng với môi trường bên ngoài
- Rời rạc hóa bài toán tuyền nhiệt của mặt đường bằng phần
tử hữu hạn 1 chiều và phương pháp θ
- Áp dụng tính toán cho một trường hợp cụ thể với những
dữ liệu giả lập để kiểm tra đáp ứng của phương pháp tính toán
trình bày
- Phân tích sự ảnh hưởng của các tham số đến nhiệt độ của
mặt đường nhằm đề xuất một số giải pháp giảm nhiệt cho mặt
đường
2. Cơ sở lý thuyết
2.1 Phương trình vi phân của bài toán truyền nhiệt
Gọi T(X,t) là nhiệt độ tại một điểm X bên trong một
vật thể Ω bất kỳ vào thời điểm t. Phương trình Fourier liên hệ
giữa tốc độ của dòng nhiệt năng và gradient nhiệt bên trong vật
thể được viết như sau
∂T
(1)

q = −k
∂X
trong đó q là dòng nhiệt năng, k là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu,
X là vec-tơ tọa độ của điểm đang xét. Sự thay đổi của nhiệt độ
theo không gian và thời gian tuân theo phương trình truyền
nhiệt bên trong vật liệu
∂T
∂T ∂T
.
0
ρc
−k
=
(2)
∂t
∂X ∂X
trong đó ρ , c lần lượt là khối lượng riêng và nhiệt dung riêng
của vật liệu. Độc giả quan tâm có thể tham khảo thêm chi tiết
về vấn đề truyền nhiệt trong các tài liệu [11-12]. Nghiệm của
phương trình (2) phải thỏa mãn các điều kiện biên và điều kiện
ban đầu như sau:
- Trên biên Dirichlet T ( X, t ) = T( X, t ) , trong đó

T( X, t ) là nhiệt độ đã biết trước.
- Trên biên Neumann q( X, t ) = q( X, t ) , trong đó

q( X, t ) là dòng nhiệt đã biết. Trên biên này, giữa vật thể
nghiên cứu và môi trường bên ngoài có sự trao đổi nhiệt với
nhau. Dòng nhiệt áp đặt vào vật thể nghiên cứu gồm có 3 thành
phần chính là dòng nhiệt do bức xạ mặt trời q solar , dòng nhiệt

do bức xạ sóng dài từ các đám mây, không khí q radiation và
dòng nhiệt do đối lưu q convection
Trang 1


q=
q solar + q radiation − q convection

(3)

Dòng nhiệt do bức xạ mặt trời được xác định thông
qua phương trình sau [7,10]
(4)
q solar= (1 − α )Qsolar
trong đó Qsolar là bức xạ tới của mặt trời, phụ thuộc vào vĩ độ
 là hệ
và góc tới giữa tia sáng mặt trời với bề mặt đường và α
số albedo được định nghĩa là tỷ số của bức xạ phản chiếu và
bức xạ tới.
Dòng nhiệt do bức xạ sóng dài từ môi trường bên
ngoài được xác định theo phương trình sau [7,10]

q radiation
= ε aσ T∞4 − εσ Ts4

(5)

trong đó: ε a , ε lần lượt là hệ số phát xạ của môi trường và của
vật thể nghiên cứu, =
σ 5.67 × 10−8 là hằng số StenfanBolzman, T∞4 và Ts4 lần lượt là nhiệt độ tuyệt đối của không

khí và nhiệt độ của bề mặt đường.
Dòng nhiệt do đối lưu được xác định theo phương
trình sau

(

q convection
= hc Ts − T∞

)

(6)

trong đó hc là hệ số đối lưu nhiệt phụ thuộc vào vận tốc gió.
Theo [13], hệ số đối lưu nhiệt có thể được xác định

=
hc 0.8598 ( 6 + 3.7Vwind )

(7)

trong đó Vwind là vận tốc gió lưu thông ở bề mặt đường.
- Điều kiện ban đầu: vào thời điểm t=0, trường nhiệt
độ trong vật thể phải xác định
T ( X,0) = T0 ( X )
2.2 Giải phương trình truyền nhiệt bằng phương pháp số
Rời rạc hóa theo không gian
Theo phương pháp Galerkin, phương trình vi phân (2)
tương đương với phương trình sau



∂T

∂T ∂T 

∫  ρ c ∂t − k ∂X . ∂X  T d Ω=
*

0, ∀T *

(8)

Ω

trong đó T * là một trường nhiệt độ bất kỳ. Phương trình (8)
được gọi là dạng yếu của bài toán. Áp dụng nguyên lý tích
phân từng phần cho phương trính (8) và ứng dụng định lý
Gauss-Oxtrogradsky ta thu được

∫

Ω

ρ .c

∂T *
∂T ∂T *
T dΩ + k
dΩ −

∂t
∂X ∂X

∫

Ω

∫

qT *dS = 0, ∀T *

(9)

Sq

Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để xấp xỉ trường nhiệt
độ bên trong vật thể

T = N {Te } ; T * = N {Te*}

(10)

trong đó: N là vector hàng của các hàm nội suy và {Te } là
vector cột của các giá trị nhiệt độ tại nút. Thay phương trình
(10) vào phương trình (9) và sắp xếp lại các số hạng, ta được
(11)
0
[C ]{T} + [ K ]{T } − {F } =
trong đó [C ] , [ K ] là các ma trận đặc trưng và {F } là vector
nhiệt năng nút. [C ] , [ K ] và {F } được “lắp ghép” từ các ma

trận và vector phần tử, trong đó:

=
[Ce ]

∫ {N } N

d Ωe

(12)

Ωe

=
[ Ke ]

∫ {N } N
,x

,x

dΩ

(13)

Ωe

{Fe } = ∫ {N } qdS

(14)

Se

Rời rạc hóa theo thời gian
Khoảng thời gian tính toán [0,T] được chia thành nhiều

khoảng nhỏ sao cho [0, T ] =

 [t

n −1 , tn

] với

bước thời gian

n

∆t = tn − tn −1 , trong đó t n là thời gian ứng với bước tính toán
hiện tại còn t n-1 là thời gian ứng với bước tính toán trước. Để
đơn giản cho việc trình bày các giá trị ở thời điểm t n được thêm
vào chỉ số dưới n và chữ cái in đậm được dùng để biểu diễn
một ma trận hay một vector thay cho các dấu ngoặc “[]” và
 là giá trị đạo hàm theo thời gian của vector
“{}” (ví dụ: T
n
nhiệt độ nút vào thời điểm t n ). Các giá trị đạo hàm theo thời
gian được xấp xỉ bằng phương pháp θ , cụ thể như sau
 + (1 − θ )T
 =

(15)
=
T T + ∆t (θ T
) 0
n

n −1

n

n −1

Từ phương trình (15) ta rút ra
= 1 ( T − T ) − (1 − θ ) T

(16)
T
n
n −1
n −1
θ .∆t n
θ
Thay phương trình (16) vào phương trình (11), ta được

1
(1 − θ ) 
 1

0
Cn + K n  Tn −

Cn Tn −1 −
Cn Tn −1 − Fn =

θ .∆t
θ
 θ .∆t

(17)

Lưu ý: Trong phương (17), các giá trị Tn −1 ,T
n −1 đã biết
ở bước tính toán trước; Fn phụ thuộc vào nhiệt độ bề mặt tại
bước tính toán hiện tại. Do đó phương trình (17) là phi tuyến
và có thể được giải bằng phương pháp Newton-Raphson. Khi
∂Fn
1
đó ma trận độ cứng tiếp tuyến =
Sn
Cn + K n − =
0.
∂Tn
θ .∆t
Nếu bước thời gian tính toán đủ nhỏ, Fn có thể được tính toán
với các giá trị nhiệt độ bề mặt ở bước tính toán trước t n-1 . Khi
đó phương trình (17) là tuyến tính ■
2.3 Bài toán dự báo nhiệt độ mặt đường
Mặt đường thường được cấu tạo gồm nhiều lớp vật liệu,
trong đó trên cùng là lớp mặt có thể là bê tông nhựa hoặc bê
tông xi măng, kế đến là lớp móng đường bằng vật liệu cấp phối
đá dăm và dưới cùng là lớp nền đường (hình 1). Theo các số

liệu đo đạc thực tế, nhiệt độ tại các điểm trong mặt phẳng song
song với bề mặt đường gần như bằng nhau và có thể xem là
hằng số. Bài toán truyền nhiệt của mặt đường có thể được đưa
về bài toán một chiều. Phương trình vi phân truyền nhiệt bên
trong mặt đường (2) được viết lại

∂T ( z , t )
∂ 2T ( z , t )
(18)
−k
=
0
∂t
∂z 2
trong đó z là chiều sâu. Phương trình rời rác hóa có dạng
(19)
ρ c [C ]. T +k [K ].{T }- {F } = 0

ρc

{ }

trong đó, các ma trận [C], [K] được lắp ghép từ các ma trận
phần tử [Ce], [Ke]. Nếu sử dụng phần tử tuyến tính 2 nút như

Trang 2


hình 2, hàm nội suy có dạng N1 , N 2 =

1−ξ 1+ξ
;
2
2

khi đó

các ma trận phần tử có dạng

1

C e  = ρ cL  3
 
1
 6

1
6   e  k  1 −1
; K =
1    L  −1 1 
3 

(20)

liệu được lấy tương tự như trong [7] và được tóm tắt trong
bảng 1. Các hằng số đặc trưng cho quá trình trao đổi nhiệt ở bề
mặt với môi trường như sau: α = 0.2 , ε = 0.9 , ε a = 0.9 , vận
tốc gió trung bình 3m/s. Bài toán được rời rạc hóa thành 32 nút
với 31 phần tử 1 chiều như được trình bày trên hình 3. Điều
kiện biên như sau. Biên bên trên trao đổi nhiệt với môi trường,

biên dưới cách nhiệt.
Kết quả phân tích nhiệt độ mặt đường như sau. Nhiệt độ ở
bề mặt đường lớn nhất là 71.05°C vào thời điểm 13h ngày thứ
14 tháng 4, và nhỏ nhất là 21.71°C vào thời điểm 0h ngày thứ
22 của tháng 1 (hình 6). Nhiệt độ tại vị trí cách bề mặt 2cm lớn
nhất là 67.40°C vào thời điểm 13h ngày thứ 14 của tháng 4 và
thấp nhất là 23.08°C vào thời điểm 1h ngày thứ 22 của tháng 1
(hình 7). Trong năm, từ ngày thứ 12 của tháng 3 đến ngày thứ
26 của tháng 8, nhiệt độ cao nhất của mặt đường luôn đạt giá
trị cao (cao hơn 65oC) và thời điểm từ 10h đến 16h là lúc lớp
bê tông nhựa tích lũy nhiệt độ cao nhất (hình 8). Đây là những
thời điểm bất lợi nhất của mặt đường bê tông nhựa đối với hư
hỏng do hằn lún vệt bánh xe.

Hình 1. Mô tả bài toán nhiệt của mặt đường

Hình 2. Phần tử tuyến tính 2 nút và phần tử tham chiếu

Hình 3. Rời rạc hóa bài toán bằng phần tử hữu hạn 1 chiều

{ }
trong đó {F } = {0} nếu nút i không thuộc biên và {F } = q

Vector {F} được lắp ghép từ các vector phần tử F e ,
e

e

i

i

nếu nút i thuộc biên trao đổi nhiệt.
3. Áp dụng tính toán
Phần này trình bày một ví dụ tính toán với các số liệu giả
lặp chỉ nhằm mục đích minh họa cho phương pháp đề xuất ở
phần 3 đồng thời phân tích sự ảnh hưởng của vận tốc gió và hệ
số phản xạ albedo đối với nhiệt độ của mặt đường. Các dữ liệu
về cường độ bức xạ mặt trời và nhiệt độ không khí theo giờ
được lấy từ các trạm quan trắc thời tiết, khí tượng thủy văn
Hilo 1, quần đảo Hawaii, Mỹ và trạm Bangkok 2, Thái Lan. Lí
do nhóm nghiên cứu lựa chọn các trạm này là vì các trạm này
có điều kiện khí hậu gần giống với khí hậu của Việt Nam và
các số liệu được chia sẽ miễn phí. Các số liệu này được biểu thị
ở hình 4 và 5.

Hình 4. Cường độ bức xạ mặt trời trong năm

Hình 5. Nhiệt độ không khí trong năm

Bảng 1. Các hằng số đặc trưng nhiệt của các lớp vật liệu
Vật liệu

k (W/°C/m)
Bê tông nhựa
1.5
Cấp phối đá dăm
1.5
Nền đường
1.79

Đặc trưng
c
850
850
1100

ρ (kg/m3)
2400
2200
2000

Một mặt đường được cấu tạo gồm có 2 lớp bê tông nhựa
nóng có tổng chiều dày 20 cm, lớp cấp phối đá dăm dày 40 cm
và lớp nền đường. Các hằng số đặc trưng nhiệt của các loại vật

Hình 6. Nhiệt độ dự tính bề mặt đường

Số liệu được lấy từ Trung Tâm nghiên cứu quốc gia về năng lượng
tái tạo (NREL)
2
Số liệu được lấy từ Trung tâm thông tin môi trường quốc gia
(NOAA)
1

Trang 3


Hình 7. Nhiệt độ dự tính tại điểm cách bề mặt đường 2 cm
Sự phân bố nhiệt độ mặt đường theo chiều sâu vào các thời

điểm t=10h, 12h, 14h, 16h và 18h được trình bày trên hình 9.
Nhìn chung nhiệt độ giảm rất nhanh theo chiều sâu. Trong một
đoạn có chiều dày 50cm ngay bên dưới mặt đường, sự thay đổi
của nhiệt độ rất phức tạp, cụ thể nhiệt độ giảm theo chiều sâu
khi mặt đường nhận nhiệt năng từ môi trường ngoài và tăng
theo chiều sâu khi mặt đường thoát nhiệt ra môi trường bên
ngoài do đó nhiệt độ tại vị trí -2cm thường được sử dụng phổ
biến trong các tính toán kết cấu áo đường chứ không phải nhiệt
độ ngay tại bề mặt.

Hình 10. Ảnh hưởng của vận tốc gió đến nhiệt độ lớn nhất và
nhỏ nhất tại bề mặt và tại vị trí cách bề mặt 2cm
Trong hai tham số trên thì hệ số phản xạ albedo của bề mặt
đường có thể được cải thiện nhằm mục đích giảm nhiệt cho
mặt đường. Một số giải pháp có thể xem xét nghiên cứu như sử
dụng bê tông nhựa màu, sử dụng cốt liệu có hệ số phản xạ cao
hoặc sử dụng biện pháp sơn phủ bề mặt đường với gam màu
sáng được nghiên cứu khá chi tiết trong [9]. Giảm nhiệt cho
mặt đường cũng là một giải pháp chống hằn lún vệt bánh xe
hữu hiệu cần được mở rộng nghiên cứu bên cạnh các nghiên
cứu về cải tiến vật liệu bê tông nhựa.

Hình 8. Nhiệt độ dự tính bề mặt đường theo giờ từ ngày thứ
108 đến ngày 115 trong năm

Hình 11. Ảnh hưởng của hệ số albedo đến nhiệt độ lớn nhất và
nhỏ nhất tại bề mặt và tại vị trí cách bề mặt 2cm
4. Kết luận

Hình 9. Sự phân bố nhiệt độ mặt đường theo chiều sâu vào các

thời điểm 10h, 12h, 14h, 16h, 18h
Phân tích tham số
Sự ảnh hưởng của vận tốc gió và cường độ bức xạ mặt trời
đối với nhiệt độ mặt đường lớn nhất và nhỏ nhất tại bề mặt và
tại vị trí cách bề mặt 2cm được được thể hiện trên các hình 10
và 11. Khi vận tốc gió tăng, đối lưu tăng làm tăng quá trình giải
nhiệt cho mặt đường. Kết quả là nhiệt độ mặt đường giảm.
Nhiệt độ cao nhất của mặt đường giảm trung bình 5oC khi vận
tốc gió tăng thêm 1.5m/s trong khi nhiệt độ thấp nhất gần như
không bị ảnh hưởng. Khi hệ số albedo tăng, nhiệt năng mặt
đường nhận được giảm và kết quả là nhiệt độ mặt đường cũng
giảm. Nhiệt độ cao nhất của mặt đường giảm trung bình 4.7oC
khi hệ số albedo tăng thêm 0.1 trong khi nhiệt độ thấp nhất gần
như không thay đổi. Như vậy chỉ cần hệ số albedo tăng từ 0.2
lên 0.5 (giá trị tương đương mặt đường bê tông xi măng) thì
nhiệt độ cao nhất của mặt đường giảm 16oC từ 71oC chỉ còn
55oC.

Sự thay đổi của nhiệt độ mặt đường theo không gian và thời
gian có thể được mô phỏng bằng bài toán truyền nhiệt. Nội
dung bài báo đã xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc tính toán dự
báo nhiệt độ mặt đường bằng phương pháp số. Kết quả của
nghiên cứu này phục vụ cho việc tính toán dự báo chiều sâu vệt
hằn lún theo thời gian. Các kết quả tính toán với các số liệu giả
lập cho thấy thời điểm bất lợi nhất vào khoảng từ 10h đến 16h
của các ngày từ 12 tháng 3 đến 26 tháng 8 khi nhiệt độ mặt
đường luôn đạt trên 65oC
Theo quan trắc, nhiệt độ mặt đường ở một số khu vực của
nước ta có thể trên 70oC vào mùa nắng nóng làm cho quá trình
hằn lún diễn ra rất nhanh. Kết quả phân tích tham số mô hình

cho thấy việc gia tăng hệ số albedo của bề mặt đường có tác
dụng giảm nhiệt rất hiệu quả. Do đó, để tăng hiệu quả chống
hằn lún, các giải pháp giảm nhiệt cho mặt đường cần được mở
rộng nghiên cứu bên cạnh các nghiên cứu về cải tiến vật liệu bê
tông nhựa.
Tài liệu tham khảo
1.

2.

Kennedy, T. W. et al (1994), Superior Performing Asphalt
Pavements (Superpave): The product of the SHRP Asphalt
Research Program, National Academy of Sciences.
Everitt, P. R. (2001), Prediction of Asphalt Pavement
Temperature in South Africa, 20th Annual South African
Transport Conference-Meeting the Transport Challenges
in South Africa.
Trang 4


3.

4.

5.

6.

7.

8.

Matic, B et al (2013), A Model for the Pavement
Temperature Prediction at Specified Depth, Metalugija
(52), pp. 505-508.
Dong Wang et al. (2009), Analytical Approach to
Predicting Temperature Fields in Multi-Layered
Pavement, Journal of Engineering Mechanics (135), pp.
334-344.
Yavuzturk, C. et al. (2002), Project report: “Assessment of
Temperature Fluctuations in Asphalt Pavements due to
Thermal Environmental Conditions Using A TwoDimensional, Transient Finite Difference Approach”,
University of Wyoming.
Herb, W. et al. (2006), Project report: “Simulation and
Characterization of Asphalt Pavement Temperatures”,
Minnesota Department of Transportation (MNDOT).
Minhoto, M. J. C. et al. (2005), Predicting Asphalt
Pavement Temperature with a Three- Dimensional Finite
Element Method, Transportation Research Record:
Journal of the Transportation Research Board (1919), pp.
96–110.
Shibib, K.S. et al. (2012), Temperature Distribution
through Asphalt Pavement in Tropical Zone, Anbar
Journal for Engineering Sciences (5), pp. 188-197.

9.
10.

11.
12.

13.

14.

Vandermeulen J. (2014), Master Thesis: Light Coloured
Cool Asphalt Pavement, McMaster University.
Alavi, M. et al. (2014), Prediction of Asphalt Pavement
Temperature Profile Using the Finite Control Volume
Method, TRB 2014 Annual Meeting.
Kutz, M. (2005), Heat Transfer Calculation, McGrawHill, Newyork.
Holman J.P (2010), Heat Transfer - tenth edition,
McGraw-Hill, Newyork.
Mrawira, D. M. and Luca J. (2002), Thermal Properties
and Transient Temperature Response of Full-Depth
Asphalt Pavements, Transportation Research Record:
Journal of the Transportation Research Record, pp 160169.
Branco, F.A. et al. (1992), Heat of Hydration Effects in
Concrete Structures, ACI Materials Journal, (89), pp.139145

Trang 5