Luận án sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán

i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƢƠNG THỊ KHÁNH PHƢƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƢỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


ii

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƢƠNG THỊ KHÁNH PHƢƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƢỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN

Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học môn Toán
Mã số: 62.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU
2. PGS. TS. TRẦN VUI

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


iii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Trƣơng Thị Khánh Phƣơng


iv

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng cảm ơn:
 Phó giáo sƣ Tiến sĩ Lê Thị Hoài Châu, ngƣời đã luôn động viên nhắc nhở,
hƣớng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi về mọi mặt để tôi hoàn thành

luận án này;
 Phó giáo sƣ Tiến sĩ Trần Vui, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn tôi về mặt nghiên
cứu khoa học, luôn động viên khích lệ để tôi có đủ niềm tin và nghị lực trong
suốt quá trình thực hiện luận án này;
 Các Thầy, Cô trong tổ Toán-Tin trƣờng ĐH Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh đã
nhiệt tình giảng dạy và chia sẻ những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi trong
suốt thời gian theo học Nghiên cứu sinh.
Tôi xin chân thành cám ơn:
 Ban giám hiệu trƣờng ĐH Y Dƣợc Huế, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ
bản và các đồng nghiệp trong bộ môn Toán-Tin trƣờng ĐH Y Dƣợc Huế,
Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học
trƣờng ĐH Sƣ phạm Tp Hồ Chí Minh đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi
cho tôi trong suốt quá trình theo học Nghiên cứu sinh và bảo vệ luận án;
 Các giáo viên Toán và học sinh ở các trƣờng THPT Phong Điền, THPT
Quốc Học, THPT Nguyễn Huệ, THPT Cao Thắng, THPT Nguyễn Trƣờng
Tộ, THPT Hai Bà Trƣng (Huế) và THPT Lê Lợi (Quảng Trị), THPT Lê Lợi
(Gia Lai) đã giúp đỡ, hỗ trợ tôi trong quá trình tiến hành thực nghiệm cho
nghiên cứu này.
Cuối cùng, xin tỏ lòng biết ơn đến những ngƣời thân trong gia đình và những ngƣời
bạn đã luôn quan tâm, nâng đỡ và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt thời gian
qua.


v

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2015
Trƣơng Thị Khánh Phƣơng
MỤC LỤC
MỤC LỤC........................................................................................................................ 5
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................................. 4

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH............................................................ 5
DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH..................................................................................... 6
DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU .................................................................................. 9
Chƣơng 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................... 10
1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu ............................................................................. 10
1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu ......................................... 12
1.3. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................ 14
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 16
1.5. Câu hỏi nghiên cứu ............................................................................................. 16
1.6. Các thuật ngữ ...................................................................................................... 17
1.7. Cấu trúc luận án .................................................................................................. 20
Chƣơng 2. CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ......................................................... 24
2.1. Toán học và những suy luận có lí ....................................................................... 24
2.1.1. Suy luận quy nạp ......................................................................................... 25
2.1.1.1. Định nghĩa ........................................................................................... 25
2.1.1.2. Mô hình suy luận quy nạp ................................................................... 26
2.1.2. Suy luận ngoại suy ...................................................................................... 28
2.1.2.1. Ngoại suy theo quan điểm logic học và triết học của Peirce............... 28
2.1.2.2. Ngoại suy theo quan điểm của J. Josephson và S. Josephson ............. 32
2.1.2.3. Ngoại suy theo quan điểm giải quyết vấn đề của Cifarelli .................. 33
2.1.2.4. Các cách phân loại ngoại suy .............................................................. 35
2.1.2.5. Mô hình suy luận ngoại suy ................................................................ 37
2.1.3. Phân biệt suy luận diễn dịch, quy nạp và ngoại suy trong toán học ........... 39
2.1.3.1. Xét về điều kiện để xảy ra và kết quả của ba loại suy luận ................. 39
2.1.3.2. Xét về mục đích tiến hành mỗi loại suy luận ...................................... 42
2.1.3.3. Xét về khía cạnh khám phá toán và tính chắc chắn của kết quả ......... 43


2

2.2. Biểu diễn toán ..................................................................................................... 43
2.2.1. Phân loại biểu diễn toán .............................................................................. 44
2.2.2. Biểu diễn trực quan ..................................................................................... 44
2.2.2.1. Trực quan hóa ...................................................................................... 44
2.2.2.2. Biểu diễn trực quan mô tả quy luật dãy số .......................................... 46
2.2.2.3. Biểu diễn trực quan động .................................................................... 49
2.3. Khám phá quy luật dãy số .................................................................................. 50
2.3.1. Nhiệm vụ khám phá quy luật dãy số ........................................................... 50
2.3.2. Các mức độ nhận thức trong khám phá quy luật dãy số ............................. 53
2.3.3. Các phƣơng án khám phá quy luật dãy số .................................................. 55
2.3.4. Suy luận trong khám phá quy luật dãy số ................................................... 58
2.3.5. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 1 ............................................................. 62
2.4. Khám phá bài toán hình học kết thúc mở ........................................................... 64
2.4.1. Bài toán kết thúc mở ................................................................................... 64
2.4.2. Bài toán hình học kết thúc mở .................................................................... 65
2.4.3. Khám phá toán theo tiếp cận “toán học thực nghiệm” ............................... 66
2.4.4. Các phƣơng thức kéo rê trong môi trƣờng hình học động .......................... 67
2.5. Các nghiên cứu trong nƣớc liên quan đến đề tài ................................................ 70
2.6. Tiểu kết chƣơng 2 ............................................................................................... 71
Chƣơng 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ...................................................................... 72
3.1. Thiết kế nghiên cứu ............................................................................................ 73
3.2. Đối tƣợng nghiên cứu ......................................................................................... 74
3.3. Công cụ nghiên cứu ............................................................................................ 76
3.4. Thu thập dữ liệu .................................................................................................. 88
3.5. Phân tích dữ liệu ................................................................................................. 89
3.6. Hạn chế ............................................................................................................... 93
3.7. Tiểu kết chƣơng 3 ............................................................................................... 94
Chƣơng 4. BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ
NGOẠI SUY ................................................................................................................. 95
4.1. Ảnh hƣởng của biểu diễn trực quan đến quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy

trong khám phá các quy luật dãy số .......................................................................... 95


3

4.1.1. Các phƣơng án ngoại suy để khám phá quy luật dãy số ............................. 95
4.1.2. Đánh giá các mức độ ngoại suy-quy nạp trong khám phá quy luật dãy số111
4.1.3. Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 1.............................................. 118
4.2. Biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy trong khám phá
các bài toán hình học kết thúc mở ........................................................................... 122
4.2.1. Suy luận quy nạp và ngoại suy trong môi trƣờng hình học động ............. 122
4.2.1.1. Những hỗ trợ của biểu diễn trực quan động đến suy luận quy nạp và
ngoại suy trong môi trƣờng hình học động .................................................... 122
4.2.1.2. Phản ánh của quy nạp và ngoại suy qua các phƣơng thức kéo rê ..... 126
4.2.2. Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 2.............................................. 134
4.3. Tiểu kết chƣơng 4 ............................................................................................. 136
4.3.1. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 2 ........................................................... 136
4.3.2. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 3 ........................................................... 138
Chƣơng 5. PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG KHÁM PHÁ QUY LUẬT TOÁN CHO
HỌC SINH BẰNG SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY .............................. 140
5.1. Suy luận ngoại suy và quy nạp trong các hoạt động toán học nhà trƣờng ....... 140
5.2. Nhiệm vụ toán giúp phát triển suy luận ngoại suy và quy nạp ........................ 145
5.3. Xây dựng bài toán KTM hỗ trợ HS phát triển khả năng khám phá toán bằng suy
luận ngoại suy và quy nạp ....................................................................................... 150
5.3.1. Đặt vấn đề ................................................................................................. 151
5.3.2. Khảo sát vấn đề ......................................................................................... 153
5.3.3. Các bài toán dẫn đến sự hình thành các khái niệm, quy tắc mới .............. 155
5.3.4. Dự đoán một định lý hay tính chất toán học từ hình vẽ ............................ 156
5.3.5. Các bài toán chứa đựng hoạt động tìm kiếm quy luật .............................. 158
5.3.6. Thay đổi các yêu cầu quen thuộc trong SGK ........................................... 159

5.3.7. Các vấn đề thực tế ..................................................................................... 162
5.4. Tiểu kết chƣơng 5 ............................................................................................. 164
KẾT LUẬN CỦA LUẬN ÁN ..................................................................................... 164
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ................................................... 169
TÀI LIỆU TRÍCH DẪN VÀ THAM KHẢO .............................................................. 170
PHỤ LỤC 1A. TẬP CÂU HỎI SỐ 1 .......................................................................... 180
PHỤ LỤC 1B. TẬP CÂU HỎI SỐ 2 ........................................................................... 183


4

PHỤ LỤC 2A. THỰC NGHIỆM BÀI TOÁN HÌNH HỌC KTM SỐ 1 ..................... 187
PHỤ LỤC 2B. THỰC NGHIỆM BÀI TOÁN HÌNH HỌC KTM SỐ 2 ..................... 191

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

BDTQ

biểu diễn trực quan

GV

giáo viên

HS

học sinh

KTM

kết thúc mở

nnk

những ngƣời khác

SGK

sách giáo khoa

THPT

trung học phổ thông

tr.

trang


5

DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH
Glossary in English

Nghĩa tiếng Việt

Abductive reasoning

Suy luận ngoại suy

Inductive reasoning

Suy luận quy nạp

Deductive reasoning

Suy luận diễn dịch

Selective abduction

Ngoại suy chọn lựa

Creative abduction

Ngoại suy sáng tạo

Visual abduction

Ngoại suy trực quan

Manipulative abduction

Ngoại suy thao tác

Visual representation

Biểu diễn trực quan

Dynamic visual representation

Biểu diễn trực quan động

Visualization

Trực quan hóa

Mathematical pattern

Dạng mẫu toán

Open ended problem

Bài toán kết thúc mở

Dragging scheme

Phƣơng thức kéo rê

National Council of Teachers of

Hội đồng giáo viên toán quốc gia

Mathematics (NCTM)
Programme for International Student

Chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế

Assessment (PISA)
Organization for Economic Cooperation and Development (OECD)

Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế


6

DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH
Hình 2.1. Mô hình suy luận ngoại suy của Meyer ......................................................... 38
Hình 2.2. Minh họa suy luận của HS ............................................................................. 42
Hình 2.3. Các giai đoạn phát triển có tính trình tự của biểu diễn .................................. 44
Hình 2.4. BDTQ tổng vô hạn ......................................................................................... 45
Hình 2.5. Quy tắc n  c ................................................................................................. 46
Hình 2.6. Quy tắc an ..................................................................................................... 47
Hình 2.7. Quy tắc an  c ............................................................................................... 47
Hình 2.8. Quy tắc

nn  c

........................................................................................... 47

Hình 2.9. Quy tắc an2  bn  c ..................................................................................... 48
Hình 2.10. Biểu diễn trực quan của dãy tam giác, dãy tứ giác, dãy ngũ giác ................ 49
Hình 2.11. Minh họa bài toán chia mặt phẳng bởi n đƣờng thẳng ................................ 58
Hình 2.12. Quá trình ngoại suy-quy nạp trong khám phá dãy số theo quy luật hàm số
bậc nhất .......................................................................................................................... 61
Hình 2.13. Quy trình khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy-quy nạp ...... 63
Hình 3.1. Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu a)............................ 85
Hình 3.2. Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu b) ........................... 86

Hình 4.1. Ngoại suy theo hƣớng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ Z ............... 96
Hình 4.2. Ngoại suy theo hƣớng Đưa ra quy tắc đệ quy ............................................... 96
cho bài Hình Tháp (trái) và Hình chữ S (phải) .............................................................. 96
Hình 4.3. Ngoại suy theo hƣớng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ S................ 98
Hình 4.4. Phƣơng án Cộng dồn cho bài Hình chữ Z ...................................................... 99
Hình 4.5. Phƣơng án Cộng dồn cho bài Hình chữ S ...................................................... 99
Hình 4.6. Phƣơng án Giải phương trình cho bài Hình chữ Z ...................................... 100
Hình 4.7. Phƣơng án Đoán và Thử cho bài Hình chữ S............................................... 100
Hình 4.8. Phƣơng án Đoán và Thử cho bài Ghế công viên ......................................... 101
Hình 4.9. Phƣơng án Đơn vị và Tổng thể cho bài Hình Tháp ...................................... 101
Hình 4.10. Phƣơng án Ghép hình rời cho bài Hình Tháp ............................................ 102


7

Hình 4.11. Phƣơng án Sắp xếp hình cho bài Mũ Halloween ....................................... 102
Hình 4.12. Phƣơng án Ghép hình rời- Sắp xếp hình cho bài Hình chữ S .................... 103
Hình 4.13. Sai lầm của HS trong bài Hình chữ Z ........................................................ 105
Hình 4.14. Sai lầm của HS trong bài Ghế công viên ................................................... 105
Hình 4.15. Sai lầm của HS trong bài Hình Tháp ......................................................... 106
Hình 4.16. Phƣơng án Làm tròn hình cho bài Xếp bàn tiệc ......................................... 111
Hình 4.17. Ngoại suy-quy nạp mức độ 1 cho bài Hình Tháp ...................................... 112
Hình 4.18. Ngoại suy-quy nạp mức độ 2 cho bài Hình chữ Z ..................................... 113
Hình 4.19. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Ghế công viên ................................ 114
Hình 4.20. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Ghế công viên ................................ 115
Hình 4.21. Ngoại suy-quy nạp mức độ 3 cho bài Xếp bàn tiệc ................................... 115
Hình 4.22. Ngoại suy-quy nạp mức độ 4 cho bài Hình chữ S ..................................... 116
Hình 4.23. Ngoại suy-quy nạp mức độ 5 cho bài Ghế công viên. ............................... 117
Hình 4.24. Chia đƣờng tròn bởi các dây cung ............................................................. 120
Hình 4.25. Mô tả số hạng tổng quát của bài Hình chữ Z ............................................. 122

Hình 4.26. Sơ đồ chôn kho báu .................................................................................... 125
Hình 4.27. Vị trí chôn kho báu G ................................................................................. 125
Hình 4.28a. C trùng A .................................................................................................. 126
Hình 4.28b. C trùng H .................................................................................................. 126
Hình 4.29. Minh họa Bài toán 1 ................................................................................... 127
Hình 4.30. Minh họa Bài toán 2 ................................................................................... 127
Hình 4.31. Kéo rê về các trƣờng hợp đặc biệt đối với tứ giác ABCD.......................... 128
Hình 4.32. Giả thuyết: A, I, C thẳng hàng.................................................................... 129
Hình 4.33. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhóm 2) .................... 133
Hình 4.34. Kéo rê duy trì điểm M để ABCD là hình chữ nhật (Nhóm 1) .................... 134
Hình 5.1a: A, B, T thẳng hàng ...................................................................................... 143
Hình 5.1b: A, B, T không thẳng hàng ........................................................................... 143
Hình 5.1c. BDTQ minh họa suy luận ngoại suy .......................................................... 143
Hình 5.2. Cặp góc đối đỉnh tạo bởi các đƣờng thẳng đồng quy................................... 144
Hình 5.3. Minh họa Ví dụ 5.7 ...................................................................................... 149
Hình 5.4. Đồ thị khoảng cách-thời gian ....................................................................... 152


8

Hình 5.5. BDTQ minh họa Ví dụ 5.8 ........................................................................... 153
Hình 5.6a. Tam giác ABC đều...................................................................................... 155
Hình 5.6b. Tam giác ABC vuông ................................................................................. 155
Hình 5.6c. ABI  BFJ ........................................................................................... 155
Hình 5.7a. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân .......... 156
Hình 5.7b. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa .... 157
Hình 5.8. Viết phƣơng trình g  x  .............................................................................. 160
Hình 5.9. Điểm đơn vị trên hai trục tọa độ .................................................................. 162
Hình 5.10. Đo chiều cao kim tự tháp ........................................................................... 164

9

DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Mô tả diễn dịch, quy nạp, ngoại suy theo các tam đoạn luận của Peirce ...... 29
Bảng 2.2. Mô hình so sánh ba loại suy luận .................................................................. 42
Bảng 3.1. Phân bố Tập câu hỏi ở các lớp thực nghiệm.................................................. 75
Bảng 3.2. Tổng quan về các nhiệm vụ trong mỗi Tập câu hỏi ...................................... 78
Bảng 3.3. Tổ chức dữ liệu theo phƣơng án Đệ quy ....................................................... 79
Bảng 3.4. Tổ chức dữ liệu theo phƣơng án Đoán và Thử .............................................. 79
Bảng 3.5. Tổ chức dữ liệu theo phƣơng án Cộng dồn ................................................... 80
Bảng 3.6. Tổ chức dữ liệu theo phƣơng án Giải phương trình ...................................... 80
Bảng 3.7. Bảng mã các phƣơng án ngoại suy ................................................................ 91
Bảng 4.1. Bảng phân bố các phƣơng án ngoại suy theo hƣớng đƣa ra Quy tắc đệ quy và
Quy tắc hàm số ............................................................................................................... 97
Bảng 4.2. Phân bố các phƣơng án ngoại suy theo hƣớng Đưa ra quy tắc hàm số ...... 103
Bảng 4.3. Phân bố các phƣơng án ngoại suy trong phạm trù Số học và Hình học ...... 106
Bảng 4.4a. Các quy tắc hàm số tƣơng đƣơng cho bài Hình chữ Z và Xếp bàn tiệc ..... 109
Bảng 4.4b. Các quy tắc hàm số tƣơng đƣơng cho bài Hình chữ S và Hình tháp......... 109
Bảng 4.4c. Các quy tắc hàm số tƣơng đƣơng cho bài Ghế công viên và Mũ Halloween . 110
Bảng 4.5. Bảng phân bố các câu trả lời ở năm mức độ ngoại suy ............................... 117


10

Chƣơng 1
MỞ ĐẦU
1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu
Trong vòng 20 năm trở lại đây hoặc lâu hơn nữa, một mô tả chung nhất và đặc
trƣng nhất về toán đƣợc hầu hết các nhà toán học chấp nhận, đó là: Toán học là

khoa học của các dạng mẫu (Devlin, 1994, [30]; Resnik, 1999, [74]).
Báo cáo “Mọi ngƣời đếm” – một báo cáo về tƣơng lai của giáo dục toán cho các
quốc gia (1989, [55]) chỉ rõ: “Toán học là một khoa học nhằm thấu hiểu các dạng
mẫu phát sinh từ thế giới xung quanh ta và cả bên trong quá trình làm việc trí óc của
con ngƣời. HS cần học các quy tắc toán, nhƣng quan trọng hơn là làm thế nào để có
thể mô tả các sự vật hiện tƣợng theo ngôn ngữ của toán học”. Một trong những cách
để mô tả các dạng mẫu là chỉ ra quy luật của nó thông qua các mối quan hệ và hàm
số. Việc khám phá quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là một kĩ năng cần thiết
với HS trong xu hƣớng dạy học toán gắn liền với thực tiễn, bởi các nhiệm vụ toán
không còn bó hẹp trong các bài toán chứng minh mà trở nên đa dạng hơn với các
mẫu dữ liệu của các kết quả đo đạc và quan sát, các mô hình toán của các hiện
tƣợng tự nhiên, của hành vi con ngƣời và của hệ thống xã hội. Bodner (1986, [21])
khẳng định “... ngƣời học kiến tạo sự hiểu biết. Họ không chỉ đơn giản phản chiếu
lại những gì đƣợc dạy và những gì họ đọc đƣợc. Ngƣời học tìm kiếm ý nghĩa và cố
gắng để tìm ra quy luật và trật tự của các dạng mẫu trong thế giới khách quan cho
dù thiếu những thông tin đầy đủ...”.
Có thể thấy hoạt động tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu là một khía cạnh
quan trọng của việc học. Chẳng hạn, lúc học phép cộng các số nguyên, một HS lớp
6 chú ý đến dạng mẫu: 3  (4)  (4)  3, 5  8  8  5, (6)  (9)  (9)  (6) và
nhận thấy rằng trật tự của hai số hạng trong phép cộng là không quan trọng. Từ đó,
HS đề xuất giả thuyết a  b  b  a, a, b   . Nhƣ vậy là HS đã tổng quát hóa quy
luật toán mà các em phát hiện từ các dạng mẫu quan sát đƣợc. Không chỉ có số


11

học, tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là hoạt động thƣờng xuyên
diễn ra trong các lĩnh vực khác nhƣ đại số, hình học mà kết quả của nó là công thức,
các định lý (Mason, 1996, [50]).
Đặc biệt, quá trình tìm kiếm quy luật toán liên quan đến sự vận hành của hai loại

suy luận có lí là suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp. Hội đồng giáo viên toán
quốc gia của Mỹ NCTM (2000, [57]) xác định: suy luận - chứng minh là một trong
số mƣời tiêu chuẩn cho toán học nhà trƣờng. NCTM cho rằng khả năng suy luận là
bản chất của việc hiểu toán và đó nên là mục tiêu đầu tiên của giáo dục toán: “Bằng
việc phát triển các ý tƣởng, khám phá các hiện tƣợng, xác minh các kết quả và sử
dụng suy luận toán học trong tất cả các lĩnh vực, ở tất cả các lớp học, HS có thể
nhìn thấy và tin tƣởng rằng toán học là có ý nghĩa…”. NCTM (2000, [57]) cũng
khẳng định: “Khả năng suy luận phát triển khi HS đƣợc cổ vũ để đƣa ra các dự
đoán, đƣợc cho thời gian tìm kiếm các bằng chứng nhằm ủng hộ hay bác bỏ chúng,
đƣợc mong chờ việc giải thích các ý tƣởng… Nếu khả năng suy luận không đƣợc
phát triển cho HS thì toán học chỉ là một tập hợp các công thức, thuật toán, quy tắc
và các ví dụ mang tính biểu diễn mà không hiểu tại sao chúng có ý nghĩa”.
Bên cạnh đó, suy luận và biểu diễn cũng là hai trong số tám năng lực đƣợc chọn để
đánh giá trong Chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, một chƣơng trình do
Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD khởi xƣớng và chỉ đạo, nhằm tìm kiếm
các chỉ số đánh giá tính hiệu quả, chất lƣợng của hệ thống giáo dục của mỗi nƣớc
tham gia, qua đó rút ra các bài học về chính sách đối với giáo dục phổ thông. Biểu
diễn trực quan (BDTQ), một dạng của biểu diễn toán, không chỉ đóng vai trò minh
họa cho các kết quả bằng biểu diễn kí hiệu mà còn đƣợc thừa nhận là công cụ hiệu
quả cho việc học toán (Arcavi, 2003, [13]).
Trong bối cảnh chung đó, chúng tôi mong muốn đƣợc thực hiện một đề tài nghiên
cứu nhằm phát triển khả năng suy luận quy nạp và ngoại suy để tìm kiếm các quy
luật toán của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan.


12

1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu
Toán học đƣợc coi nhƣ là môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó mới chỉ là một
khía cạnh của nó. Bạn cần dự đoán một định lý toán học trƣớc khi chứng minh nó.

Bạn phải phỏng đoán về ý tƣởng của chứng minh trƣớc khi tiến hành chứng minh
chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát đƣợc và suy ra những điều tƣơng
tự. Kết quả công việc sáng tạo của nhà toán học là suy luận diễn dịch, nhƣng ngƣời
ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán (Polya, 1954, [66]). Do
đó, nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học nhƣ thế
nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lí. Suy
luận quy nạp và suy luận ngoại suy, với những ý nghĩa của nó trong việc giúp HS
khám phá tri thức toán thông qua việc phát hiện ra quy luật trong các dạng mẫu là
một nội dung cần đƣợc quan tâm phát triển nhiều hơn trong giáo dục toán.
Mặt khác, bƣớc sang những năm đầu của thế kỷ 21, xu hƣớng thực hành áp dụng
toán học vào hầu hết các vấn đề mà HS gặp phải trong cuộc sống đời thƣờng đƣợc
nhiều nhà giáo dục quan tâm nghiên cứu một cách toàn cầu hóa. Ngƣời ta nhận thấy
rằng, trong những tình huống thông thƣờng, con ngƣời vận dụng toán học theo hai
cách khác nhau: sử dụng các công thức hay quy trình đã biết để giải các bài toán
mẫu mực, hay đối mặt với các vấn đề không quen thuộc và phức tạp hơn thông qua
các phƣơng án toán học tiêu biểu nhƣ đƣa ra giả thuyết mới bằng phép ngoại suy;
tổng quát hóa quy luật bằng phép quy nạp; suy luận bằng tƣơng tự hóa; đặc biệt
hóa... Rất hiếm khi con ngƣời sử dụng suy luận diễn dịch bởi những tiêu chuẩn chặt
chẽ nghiêm ngặt mà nó đòi hỏi. Một lần nữa, suy luận ngoại suy và suy nạp trở
thành một công cụ hiệu quả để HS sử dụng khi đối mặt với các vấn đề thực tế.
Đối với giáo dục toán ở nƣớc ta, đối tƣợng mà chúng tôi quan tâm trong nghiên cứu
này là những HS mƣời lăm tuổi, lứa tuổi vừa hoàn thành chƣơng trình phổ cập giáo
dục chính thức và có quyền lựa chọn giữa việc tiếp tục theo đuổi chƣơng trình trung
học phổ thông (THPT) hay trở thành một công dân độc lập với một nghề nghiệp cho
tƣơng lai ngay từ lúc này. Chúng tôi cho rằng đây là giai đoạn chuyển tiếp có ý


13

nghĩa quan trọng khi mà những năng lực toán học đã đƣợc HS tích lũy sẽ có ảnh

hƣởng lớn đến thành công của các em trong những năm học tiếp theo và cuộc sống
nghề nghiệp sau này. Nếu tiếp tục chƣơng trình THPT, tính chất và mức độ học tập
đƣợc yêu cầu đối với HS ở giai đoạn này sẽ phức tạp và cao hơn hẳn so với tuổi
thiếu niên, đòi hỏi HS phải biết cách vận dụng tri thức một cách sáng tạo. Nhà
trƣờng lúc này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng vì nội dung học tập không chỉ nhằm
trang bị và hoàn chỉnh tri thức mà còn có tác dụng hình thành thế giới quan và nhân
sinh quan cho các em. Hoạt động tƣ duy của HS lứa tuổi mƣời lăm cũng phát triển
mạnh. Năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa phát triển cao giúp cho
các em có thể lĩnh hội mọi khái niệm phức tạp và trừu tƣợng trong toán học. HS
thích tìm hiểu những quy luật và nguyên tắc chung của các hiện tƣợng hàng ngày và
của những tri thức phải tiếp thu... Một số câu hỏi mà chúng tôi đặt ra dành cho đối
tƣợng HS này là: “Làm thế nào để các em tiếp cận đƣợc với một tri thức toán mới
có tính quy luật?”; “Khi bắt gặp một vấn đề toán học có liên quan đến mối quan hệ
giữa các đối tƣợng thì quá trình thu thập thông tin và suy luận để phát hiện ra các
quy luật toán diễn ra trong đầu các em nhƣ thế nào?”; “Liệu các em có mang trong
mình tƣ tƣởng khám phá quy luật toán trong các dạng mẫu quan sát đƣợc để hỗ trợ
giải quyết các vấn đề thực tế?”
Mặt khác, HS mƣời lăm tuổi cũng là đối tƣợng của chƣơng trình đánh giá HS quốc
tế PISA, một chƣơng trình đánh giá giáo dục đƣợc tổ chức định kì 3 năm một lần
với quy mô gần 70 quốc gia trên thế giới tham dự, trong đó có Việt Nam. Một trong
bốn lĩnh vực đƣợc PISA chọn để đánh giá là hiểu biết toán, liên quan đến ba khía
cạnh: Nội dung toán học, quá trình toán học và bối cảnh trong đó toán học đƣợc sử
dụng. Trong đó, nội dung toán học đƣợc xác định chủ yếu theo bốn “ý tƣởng bao
quát”: đại lƣợng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ, tính không chắc
chắn. Chƣơng trình đánh giá HS quốc tế PISA nhận thấy rằng: các quy luật về đại
lượng, các quy luật về không gian và hình, các quy luật về những thay đổi và các
mối quan hệ tạo nên các khái niệm trung tâm cho các mô tả về toán học và tạo nên


14

“trái tim” của bất kỳ một chƣơng trình toán nào ở trung học, cao đẳng hay đại học.
PISA còn cho thấy các quy luật toán có thể đƣợc sử dụng để giải quyết rất nhiều
vấn đề thực tế: “Các cấu trúc sống đang thay đổi khi chúng phát triển, chu trình các
mùa, thủy triều lên và xuống, các chu trình thất nghiệp, thay đổi thời tiết và các chỉ
số chứng khoán, một trong số các quá trình thay đổi này có thể đƣợc mô tả hay
đƣợc mô hình hóa bởi những hàm số bậc nhất, hàm số mũ hay hàm số tuần hoàn, có
thể là rời rạc hay liên tục” (OECD, 2003, [60, tr. 37]). Với ý thức về tầm quan trọng
của quy luật toán đối với HS ở lứa tuổi mƣời lăm này, PISA kiểm tra các em về khả
năng mô tả những thay đổi trong thế giới dƣới dạng có thể nhận thức đƣợc để nhận
ra sự xuất hiện của các quy luật, đồng thời biết vận dụng các kiến thức và kĩ thuật
sẵn có nhằm đem lại lợi ích lớn nhất cho cuộc sống (OECD, 2003, [60]).
Có thể thấy, năng lực phát hiện, mô tả và sử dụng các quy luật toán để giải quyết
vấn đề trong toán học và thực tế cũng là một trong những nội dung đƣợc PISA quan
tâm đối với HS mƣời lăm tuổi. Trong xu hƣớng đó, với mong muốn thu hút sự quan
tâm của giáo dục toán Việt Nam vào những đóng góp tích cực của suy luận ngoại
suy và quy nạp trong việc giúp HS mƣời lăm tuổi phát triển khả năng tìm kiếm các
quy luật toán, chúng tôi chọn: “Sử dụng biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp
và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán”
làm đề tài nghiên cứu của luận án.
1.3. Phạm vi nghiên cứu
Luận án quan tâm đến việc sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy của HS mƣời
lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm các quy luật toán với sự hỗ trợ của các biểu diễn
trực quan. HS mƣời lăm tuổi theo quy định của PISA là các HS trong độ tuổi từ
mƣời lăm năm ba tháng đến mƣời sáu năm hai tháng. Trong luận án này, để thuận
lợi cho việc thiết kế và phân tích các kết quả thực nghiệm, đối tƣợng HS mƣời lăm
tuổi sẽ mang ý nghĩa tƣơng đƣơng với các HS đang bắt đầu theo học chƣơng trình
lớp 10 ở Việt Nam. Với đặc thù của chƣơng trình toán ở nƣớc ta hiện nay, chúng tôi
chọn sử dụng một số nội dung toán thuộc hai lĩnh vực Đại số và Hình học mà HS đã

15

đƣợc học ở cấp trung học cơ sở cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khai thác. Cụ thể,
các quy luật toán mà chúng tôi muốn tập trung phân tích trong lĩnh vực Đại số là
các quy luật có liên quan đến khái niệm “dãy số”. Hƣớng dẫn thực hiện chuẩn kiến
thức kĩ năng môn toán THPT của Bộ giáo dục và đào tạo (2006, [6]) cho thấy: chủ
đề Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân đã xuất hiện ngầm ẩn trong chƣơng trình toán
ở các lớp từ lớp 2 đến lớp 8, cuối cùng chính thức xuất hiện trong chƣơng trình Đại
số và Giải tích 11. Cho đến thời điểm HS đƣợc mƣời lăm tuổi, các em đã đƣợc học
về các khái niệm: “biểu thức đại số”, “hàm số bậc nhất”, “hàm số bậc hai”, tức là
các em có đủ các tri thức cần thiết để khám phá các dãy số tuân theo quy luật hàm
số bậc nhất và hàm số bậc hai. Việc HS chƣa chính thức học các khái niệm về cấp
số cộng, cấp số nhân sẽ là một yếu tố thuận lợi giúp chúng tôi đánh giá khách quan
hơn những ảnh hƣởng của BDTQ đến quá trình suy luận để khám phá quy luật dãy
số của các em. Hơn thế, đây là một trong những nội dung khá thú vị khi phân tích
sự xuất hiện đồng thời của cả hai loại suy luận ngoại suy và quy nạp trong quá trình
khám phá và tổng quát hóa quy luật của HS.
Bên cạnh đó, chúng tôi cũng quan tâm đến năng lực khám phá các quy luật toán của
HS trong lĩnh vực Hình học. Với đối tƣợng HS mƣời lăm tuổi, chúng tôi chọn các
kiến thức hình học phẳng liên quan đến các chủ đề quan hệ song song, quan hệ
vuông góc, đa giác và đƣờng tròn mà HS đã đƣợc học trong chƣơng trình Hình học
ở các lớp 8, 9 cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khảo sát. Mặt khác, chúng tôi cũng
muốn xem xét các dạng BDTQ đƣợc tạo ra trong môi trƣờng học tập có sử dụng
máy tính và các phần mềm hình học động. Các BDTQ động này khác với BDTQ
trong môi trƣờng giấy bút ở khả năng chuyển động và biến đổi. Liệu sự khác biệt đó
có đem lại điều gì thú vị trong cách suy luận của HS để khám phá các quy luật toán?
Để tạo cơ hội cho HS khám phá các quy luật toán trong lĩnh vực Hình học với sự hỗ
trợ của các BDTQ động, chúng tôi chọn các bài toán hình học kết thúc mở làm đối
tƣợng để khai thác và phân tích trong thực nghiệm của luận án này.

16

1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu lý thuyết về suy luận ngoại suy và quy nạp, vai trò và vị trí của hai
loại suy luận này trong quá trình khám phá các quy luật toán.
 Xây dựng quy trình lý thuyết để khám phá quy luật dãy số bằng suy luận
ngoại suy và quy nạp.
 Khảo sát các phƣơng án ngoại suy mà HS sử dụng để khám phá quy luật dãy
số. Xây dựng thang mức đánh giá các mức độ ngoại suy mà HS thể hiện.
 Phân tích những ảnh hƣởng của các BDTQ đến quá trình suy luận của HS
trong khám phá quy luật dãy số.
 Phân tích những thể hiện của suy luận ngoại suy và quy nạp qua quá trình
HS tiến hành các thao tác lên BDTQ động để khám phá các bài toán hình học
kết thúc mở.
 Đề xuất một số cách thiết kế các bài toán kết thúc mở nhằm thúc đẩy việc
phát triển năng lực suy luận ngoại suy và quy nạp cho HS ở trƣờng phổ
thông.
1.5. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã đƣợc đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với bốn câu
hỏi nghiên cứu sau:
 Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận nào đƣợc sử dụng trong quá trình
khám phá quy luật dãy số và chúng có mối quan hệ với nhau nhƣ thế nào?
 Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mô tả dãy số có ảnh hƣởng
nhƣ thế nào đến quá trình suy luận của HS để đƣa ra một quy tắc tổng quát?
 Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động nhƣ thế nào để hỗ
trợ quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khi khám phá quy luật trong các
bài toán hình học kết thúc mở?

17

 Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm thế nào để phát triển khả năng khám phá quy luật
toán của HS thông qua suy luận quy nạp và ngoại suy?
1.6. Các thuật ngữ
 Suy luận: Sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để
suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận
khác (English, L. D., 2004, [33]).
 Suy luận diễn dịch: Suy luận dựa trên các quy tắc logic toán nhằm đƣa ra một
kết luận (chắc chắn đúng) từ một tập hợp các tiên đề đúng cho trƣớc.
 Suy luận quy nạp: Suy luận nhằm đƣa ra một giả thuyết mang tính tổng quát
(không chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho
một số trƣờng hợp cụ thể.
 Suy luận ngoại suy: Suy luận nhằm đƣa ra một giả thuyết có lí (nhƣng không
chắc chắn đúng) để giải thích cho một kết quả ngạc nhiên quan sát đƣợc.
 Biểu diễn toán: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn toán. Nhìn chung
các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài,
trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tƣởng hoặc khái niệm
nhƣ biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ, ký hiệu… và biểu diễn trong
là các mô hình nhận thức mà một ngƣời có đƣợc trong trí óc họ.
 Trực quan hóa: Quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và
phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng…) ở
trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ. Trực
quan hóa nhằm mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tƣ duy và phát triển các
ý tƣởng chƣa biết để đi đến việc hiểu toán (Arcavi, 2003, [13]).
 Biểu diễn trực quan: Công cụ để trực quan hoá nhằm hiểu đƣợc các đối tƣợng
toán học trừu tƣợng. Các biểu diễn trực quan thƣờng đƣợc sử dụng là các hình
vẽ, hình ảnh, sơ đồ, đồ thị, biểu bảng...

18

 Biểu diễn trực quan động: Các biểu diễn trực quan đƣợc xây dựng trên màn
hình máy tính với sự hỗ trợ của các phần mềm toán học động, cho phép HS
thực hiện các thao tác (kéo rê, ẩn/hiện, tạo vết, tịnh tiến, quay, đo đạc, tính
toán, sắp xếp dữ liệu, thay đổi giá trị các tham số…) lên các đối tƣợng đƣợc
biểu diễn.
 Dạng mẫu toán: Mô hình hình học hoặc dãy (số hay đại số) mà ta có thể dự
đoán đƣợc quy luật do một vài tính chất của nó đƣợc lặp lại.
-

Ví dụ cho dạng mẫu về các con số: Dãy các số lẻ: 1, 3, 5, 7...

-

Ví dụ cho dạng mẫu về các hình hình học:
Tổng các góc trong của một tam giác bất kì:

600  600  600
-

450  900  450

300  700  800

1200  350  250

Ví dụ cho dạng mẫu về các kí hiệu toán học: Phép nhân của lũy thừa cơ
số 2: 23.25  28 ;22.29  211;25.

1
 23 .
2
2

 Quy luật toán học: Mối quan hệ toán học giữa các đối tƣợng toán học (các số,
các hình, các kí hiệu toán học, các phép biến hình, các hàm, các tập hợp...) có
thể đƣợc phát hiện trong các dạng mẫu toán. Các mối quan hệ này có thể đƣợc
mô tả thông qua các quy tắc, các công thức, các tính chất, các định lý...
(Dörfler, 2008, [30]).
Trở lại với ví dụ về dạng mẫu toán ở trên: một quy luật toán đƣợc phát hiện
trong dạng mẫu về dãy các số lẻ là: số hạng ở vị trí thứ n trong dãy số trên sẽ


19

có giá trị bằng 2n  1 ; một quy luật toán đƣợc phát hiện trong dạng mẫu về
tổng các góc trong của tam giác là: tổng các góc trong của một tam giác luôn
bằng 180 độ; một quy luật toán đƣợc phát hiện trong dạng mẫu về phép nhân
lũy thừa cơ số 2 là: 2a.2b  2a b a, b   .
 Quy luật dãy số: Quy luật toán học cho trƣờng hợp cụ thể là dãy số, chỉ mối
quan hệ giữa các số hạng với nhau và với vị trí của nó trong một dãy số. Mối
quan hệ này có thể đƣợc mô tả bằng biểu thức đại số giúp xác định giá trị một
số hạng bất kì khi biết vị trí của nó trong dãy số. Trong luận án này, chúng tôi
tập trung vào các dãy số tuân theo quy luật hàm số bậc nhất (có quy tắc tổng
quát là an  b , n là vị trí của số hạng trong dãy số) và dãy số tuân theo quy
luật hàm số bậc hai (có quy tắc tổng quát là an2  bn  c , n là vị trí của số
hạng trong dãy số).
 Tìm kiếm quy luật dãy số: Theo Stacey (1989, [80]), có hai loại nhiệm vụ liên

quan đến tìm kiếm quy luật dãy số:
- Tổng quát hóa gần: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng không hẳn phải
liền kề ngay sau các số hạng đã cho nhƣng vị trí của nó trong dãy số đủ
gần để HS có thể thực hiện việc tìm kiếm từng bƣớc tuần tự và có đƣợc
câu trả lời.
- Tổng quát hóa xa: yêu cầu HS tìm kiếm một số hạng ở vị trí xa hơn
nhiều so với các số hạng đã đƣợc cho sẵn khiến cho việc tìm kiếm từng
bƣớc tuần tự trở nên không còn khả thi.
 Phương án ngoại suy trong khám phá quy luật dãy số: Cách suy luận ngoại
suy nhằm đƣa ra giả thuyết để giải thích việc các số hạng cho sẵn của dãy số
xuất hiện theo một quy luật xác định.
 Bài toán kết thúc mở: Bài toán có nhiều câu trả lời đúng và nhiều phƣơng án
giải khác nhau để đi đến các câu trả lời này (Becker & Shimada, 1997, [16]).


20

 Bài toán hình học kết thúc mở: Là bài toán kết thúc mở trong hình học, có thể
đƣợc nhận ra bởi một vài đặc điểm sau (Mogetta và nnk., 1999, tr. 91-92,
[52]):
- Phát biểu bài toán thƣờng chỉ là những mô tả rất ngắn gọn về các bƣớc
dựng hình theo trình tự và không đề nghị bất cứ một phƣơng pháp giải
cụ thể nào.
- Khác với dạng câu hỏi đóng truyền thống nhƣ “Chứng minh rằng…”,
các bài toán hình học kết thúc mở thƣờng yêu cầu HS tự đề xuất giả
thuyết. Các câu hỏi của bài toán thƣờng đƣợc diễn đạt dƣới dạng: “Em
tìm thấy mối quan hệ nào giữa…”, “Trong điều kiện nào thì…?”, “Hình
… có thể trở thành những hình dạng nào…?”
 Quy luật hình học: Quy luật toán học cho các đối tƣợng hình học, chỉ mối
quan hệ toán học không đổi giữa các đối tƣợng hình học nhƣ điểm, đƣờng

thẳng, đƣờng tròn... Các quy luật này thƣờng đƣợc mô tả qua các tính chất, các
định lý, các công thức... trong hình học.
Ví dụ: Sau đây là một số quy luật hình học (liên quan đến độ dài các cạnh a, b,
c và số đo các góc Aˆ , Bˆ , Cˆ ) trong một tam giác ABC bất kì:
1)

Aˆ
Bˆ
Cˆ
.


sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ

2) a 2  b 2  c 2  2bc cos A; b 2  a 2  c 2  2ac cos B; c 2  a 2  b 2  2ab cos C .
3) b  c  a  b  c ; a  c  b  a  c ; a  b  c  a  b

.

4) Tổng các góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng 1800.
5) Trong hai cạnh của một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn có độ dài
lớn hơn, góc đối diện với cạnh lớn hơn có số đo lớn hơn.
1.7. Cấu trúc luận án


21

Ngoài phần Mục lục, Danh mục các chữ viết tắt, Danh mục các thuật ngữ tiếng
Anh, Danh sách các hình ảnh, Danh sách các bảng biểu, Tài liệu tham khảo và Phụ
lục, nội dung chính của luận án đƣợc trình bày trong năm chƣơng:

Chƣơng 1. Mở đầu.
Chƣơng 2. Các kết quả nghiên cứu liên quan.
Chƣơng 3. Thiết kế nghiên cứu.
Chƣơng 4. Biểu diễn trực quan hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy.
Chƣơng 5. Phát triển khả năng khám phá quy luật toán của học sinh bằng suy luận
quy nạp và ngoại suy.
Chƣơng 1 mở đầu bằng việc giới thiệu tổng quan xu hƣớng phát triển chung của
giáo dục toán gắn liền với các khía cạnh mà chúng tôi quan tâm nhƣ quy luật toán,
khám phá quy luật toán, suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp, biểu diễn toán,
đồng thời cho thấy đề tài nghiên cứu liên quan đến các khía cạnh này là một chủ đề
hấp dẫn để khai thác và có ý nghĩa thực tiễn trong bối cảnh giáo dục toán ở Việt
Nam hiện nay. Tuy nhiên, để triển khai luận án trƣớc hết cần có một cái nhìn tổng
quan về các kết quả đã có từ các nghiên cứu liên quan. Cụ thể, trong Chƣơng 2,
chúng tôi tiến hành khảo cứu tài liệu để xây dựng khung lý thuyết chính dành riêng
cho nghiên cứu này: lý thuyết về suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy, các quan
điểm về biểu diễn toán, biểu diễn trực quan và biểu diễn trực quan động. Chúng tôi
cũng tìm hiểu các nghiên cứu trong và ngoài nƣớc liên quan đến chủ đề khám phá
quy luật toán trong phạm vi quan tâm của luận án: khám phá quy luật dãy số và
khám phá quy luật trong các bài toán hình học kết thúc mở. Sau khi tổng hợp, phân
tích các kết quả có đƣợc của các nghiên cứu này, chúng tôi chỉ ra những “khe hở”
về mặt lý thuyết chƣa đƣợc làm rõ, đồng thời đề xuất các vấn đề liên quan đến
phạm vi nghiên cứu của luận án có thể đƣợc kế thừa và phát triển từ các nghiên cứu
đã có theo những khía cạnh sâu rộng hơn. Từ đó, chúng tôi quay trở lại Chƣơng 1
để xác định mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, xây dựng các câu hỏi nghiên cứu.