biểu diễn trực quan hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng

1
Chương 1 : MỞ ĐẦU

1. Lời giới thiệu
Nhiệm vụ của người GV là mở rộng trí tuệ của HS chứ không phải làm đầy trí
tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có. Khi GV dạy một kiến
thức mới muốn HS khắc sâu kiến thức vừa học đòi hỏi GV phải có nhiều cách
khác nhau thể hiện kiến thức đó một cách khách quan và dễ hiểu nhất. Bởi vì,
các tri thức được mô tả bằng mô hình, sơ đồ, hình ảnh trực quan…gắn liền với
thực tế, thao tác được thì các kết quả thường dễ được chấp nhận hơn so với
các kiến thức đòi hỏi tư duy trừu tượng.
Chính vì vậy, GV có thể nghĩ đến việc tiếp cận một khái niệm, một tính chất,
một kết quả toán học bằng cách sử dụng CNTT mà cụ thể là biểu diễn trực
quan động có nghĩa là một hình vẽ trên màn hình có thể được thay đổi bằng
cách kích chuột và kéo rê các đối tượng hình học trong khi các tính chất hình
học đó của hình vẽ và mối quan hệ giữa các đối tượng được bảo toàn. Khi đó,
những biểu diễn trực quan động không những là phương tiện để minh họa cho
quá trình dạy của GV mà còn là công cụ hỗ trợ đắc lực cho quá trình tư duy
của HS. GV đang tìm kiếm những biểu diễn toán trực quan, đặc biệt là biểu
diễn trực quan động làm cầu nối cho các biểu diễn toán thực tế mà HS quen
thuộc với các biểu diễn ký hiệu trừu tượng giúp HS tự kiến tạo tri thức toán
cho mình một cách tích cực.
CNTT trong dạy và học toán có thể được xem như là một công cụ hỗ trợ cho
sự tương tác của HS và GV bởi các đồ dùng dạy học thích hợp. Những
phương tiện dạy học thông tin nhằm kích thích và tạo thích thú lôi cuốn HS
vào việc học toán và hiểu toán.
1.1. Nhu cầu nghiên cứu
Trong thực tế giảng dạy, khi đi đến các nội dung hình học, để chỉ cho HS thấy
mối quan hệ của các đối tượng hình học là khó. Trong bài toán quỹ tích, các
yếu tố biến thiên và bất biến được trình bày bằng phương pháp truyền thống
2

sẽ khá vất vả và khó hiểu. Do đó hiệu quả giáo dục chưa cao. Việc ứng dụng
CNTT vào giảng dạy sẽ giúp cho GV thiết kế bài giảng có hiệu quả cao hơn,
HS tiếp thu kiến thức trực quan sinh động, từ đó các em tự giác tích cực trong
học tập, ngoài ra các vấn đề như quỹ tích, bài toán thực tế, phép biến
hình…nếu được minh họa sinh động của mô hình hoặc hình vẽ thì HS có thể
hiểu nhanh hơn, nhớ lâu kết hợp lập luận suy diễn và minh họa, kiểm nghiệm
bằng máy giúp hình thành kiến thức rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy
của HS.
Sử dụng các minh họa thao tác được có thể sẽ giúp HS hiểu về bản chất của
một số kiến thức như quỹ tích, các tính chất trong vectơ…Đồng thời, còn giúp
HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng, kiểm chứng các phỏng đoán
và tính toán một số phép tính rườm rà...
Chính vì vậy, việc nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động hỗ trợ HS
khám phá các kiến thức hình học phẳng là đáng quan tâm.
1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu
Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ HS khám
phá một số kiến thức hình học phẳng được các nhà giáo dục đặc biệt quan
tâm. Trong môi trường máy tính với phần mềm toán học có nhiều tác nhân
giúp kích thích HS hoạt động tìm tòi khám phá, HS hình thành kiến thức mới
bằng chính hoạt động thực hành của mình, HS kiểm nghiệm với số lượng đủ
lớn các trường hợp theo ý tưởng toán đã nêu ra, nhờ đó cảm nhận được sự
thuyết phục của sự kiện biến đổi biểu thức, hợp lý của hình vẽ, tính đúng đắn
của lời giải, định lý, tính chất đưa ra. Do vậy, chúng tôi chọn “biểu diễn trực
quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng” làm đề
tài nghiên cứu cho khóa luận này.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của nghiên cứu này gồm:
(1) Nghiên cứu một số tính năng của phần mềm GSP để xây dựng một số
biểu diễn trực quan động nhằm hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức
hình học phẳng.

3
(2) Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong hỗ trợ HS khám
phá một số kiến thức hình học phẳng.
(3) Phát hiện con đường khám phá kiến thức hình học phẳng của HS khi
có sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động.
3. Câu hỏi nghiên cứu
Mục đích của nghiên cứu là đánh giá khả năng tư duy phê phán của HS khi sử
dụng các biểu diễn động hỗ trợ việc khám phá một số kiến thức hình học
phẳng và nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong hỗ trợ HS
khám phá kiến thức hình học phẳng. Do đó việc nghiên cứu sẽ nhằm trả lời
các câu hỏi sau:
Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những biểu diễn trực quan động
trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được
những hiệu quả trong giảng dạy và học tập?
Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Các biểu diễn trực quan động có tác động tích
cực trong việc hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng ra sao?
Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Con đường khám phá các kiến thức hình học
phẳng của HS với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào?
4. Định nghĩa các thành phần
Mục này sẽ dành cho việc định nghĩa các thành phần, thuật ngữ dùng trong
khóa luận như: biểu diễn, biểu diễn bội, trực quan, biểu diễn trực quan, biểu
diễn trực quan động, tương tác, vấn đề, suy luận, tư duy, tư duy logic, tư duy
sáng tạo, tư duy phê phán…
 Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục
toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu
diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của
các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn
ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có
được trong trí óc họ.
4

 Biểu diễn bội: Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý
tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở
những dạng khác nhau.
 Trực quan: Là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải
thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ đồ,
biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học
công nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển
các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu toán (Arcavi (2003).
 Biểu diễn trực quan: Là biểu diễn dựa trên hình ảnh thực tế, sơ
đồ…để có thể hình dung được các đối tượng trừu tượng.
 Biểu diễn trực quan động: Biểu diễn trực quan động trên máy tính là
biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên
các đối tượng trong biểu diễn (Minh Phúc, 2010).
 Tương tác: những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa
các chủ thể và khách thể. Tương tác trong giáo dục được hiểu là sự trao
đổi thông tin, kiến thức, là sự giúp đỡ, hỗ trợ lẫn nhau giữa GV- HS,
HS - HS.
 Vấn đề: là tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc nhóm để giải quyết mà
khi đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương pháp
hoặc con đường để thu được lời giải. (Trần Vui, 2006).
 Suy luận: chỉ quá trình một cá nhân có thể sử dụng các quy tắc, các bằng
chứng và những kiến thức đã có để suy ra các kết luận mới, xây dựng các
giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác. (English, L.D, 2004).
 Tư duy: Là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề. Tư duy là quá
trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh, nhận thức được các sự vật
hiện tượng, các mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản
của chúng.
 Tư duy logic: Là tư duy theo các quy tắc của logic học, là cách tư duy
nhằm khám phá bản chất, tính tất yếu, tính quy luật của sự vật trong
quá trình phát triển.

5
 Tư duy sáng tạo: là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan
hệ, suy nghĩ về cách giải quyết có ý nghĩa, có giá trị.
 Tư duy phê phán: Là khả năng xem xét các mối liên hệ, đánh giá mọi
khía cạnh của bài toán hay tình huống. Tư duy phê phán thể hiện qua
việc HS có khả năng nhận ra giả thuyết và các yêu cầu của bài toán,
tính đầy đủ của lời giải…Tư duy phê phán bao gồm các kỹ năng như
tập trung vào những yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn, thu
thập và sắp xếp thông tin trong bài toán, nhớ và kết hợp với thông tin
đã học.
5. Ý nghĩa của việc nghiên cứu
 Nghiên cứu này sẽ cung cấp cho người dạy những mô hình động phục
vụ trong việc khám phá kiến thức hình học phẳng của HS.
 Nghiên cứu này giúp HS khám phá các kiến thức hình học phẳng một
cách hiệu quả hơn thông qua các biểu diễn trực quan động.
 Đồng thời, kết quả nghiên cứu sẽ giúp GV thấy được con đường khám
phá, phát hiện các kiến thức hình học phẳng của HS. Từ đó, GV có
những phương pháp giúp HS thấy được con đường để đi đến giải
quyết các đề toán học. Bên cạnh đó, GV cũng có thể đưa ra các tác
động trong quá trình đi tìm lời giải cho các vấn đề toán học của HS.
Nếu các em đi chệch hướng, thì các tác động trên có vai trò dẫn dắt.
Nếu các em đi đúng con đường nhưng gặp khó khăn thì các tác động
của GV đóng vai trò hỗ trợ.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụ
lục, khóa luận được trình bày trong năm chương.
 Chương 1: Mở đầu
Chương này, đưa ra nhu cầu nghiên cứu, vấn đề nghiên cứu, mục đích
nghiên cứu, đưa ra các câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa các thành phần
và ý nghĩa của việc nghiên cứu này.

6
 Chương 2: Những kết quả nghiên cứu liên quan
Chương trình bày nền tảng lịch sử, nền tảng lý thuyết, gồm lý thuyết
kiến tạo, lý thuyết biểu diễn bội và lý thuyết về trực quan động. Bên
cạnh đó, tôi cũng giới thiệu chương trình đánh giá học sinh quốc tế
(PISA). Cuối cùng là những kết quả nghiên cứu liên quan.
 Chương 3: Phương pháp và quy trình nghiên cứu
Chương này, đưa ra phương pháp nghiên cứu, thiết kế quá trình
nghiên cứu, nêu ra đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy
trình thu thập tài liệu, quy trình phân tích dữ liệu và các hạn chế.
 Chương 4: Kết quả nghiên cứu
Chương này, nêu lên những kết quả nghiên cứu nhằm trả lời cho các
câu hỏi nghiên cứu đã nêu ra ở chương 1.
 Chương 5: Kết luận, lý giải và ứng dụng
Chương này, nêu lên kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu. Từ đó, lý
giải cho ba câu hỏi nghiên cứu, cuối cùng là những ứng dụng của
nghiên cứu.
7. Tóm tắt
Trong chương 1, tôi trình bày mục đích và ý nghĩa của đề tài "Biểu diễn trực
quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng",
đồng thời tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa một số
thuật ngữ cho khóa luận. Tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ sở và định
hướng cho nghiên cứu này ở chương 2.
7
Chương 2: NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN

1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
1.1. Khái niệm hình học động
Khái niệm động (dynamic) trong toán học bao gồm chuyển động và biến
đổi. Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới liên quan đến

các phần mềm như Sketchpad và Cabri. Các phần mềm này thực thi với công
cụ cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử.
Các bản vẽ trên Sketchpad khác với cái mà chúng ta tạo ra trên giấy với các
công cụ phổ thông không chỉ bởi sự chính xác của cấu trúc. Sketchpad nhớ
các mối liên hệ giữa các đối tượng khác nhau trong cấu trúc đó khi rê các đối
tượng tự do. Chẳng hạn, nó nhớ điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, nhớ
đường tròn (C) có tâm O và đi qua điểm P…
Môi trường hình học động đang trở nên phổ biến ở trường học. Có nhiều tranh
luận khác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán
học của học sinh. Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ sự hữu
ích trong việc phát triển suy luận của các em. Việc phổ biến các phần mềm tới
tận các giáo viên giảng dạy môn toán đã và đang được triển khai một cách sâu
rộng và bài bản, hơn nữa, đã có nhiều tài liệu được xuất bản nhằm giúp cho
giáo viên và học sinh có thể sử dụng phần mềm động hoặc các mô hình thiết
kế sẵn trong dạy và học Toán.
1.2. Xu hướng kết nối toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo dục
toán bằng phần mềm hình học động
Mối quan hệ giữa toán học và cuộc sống thực được thảo luận trong một thời
gian dài. Một số nhà tâm lý học và nhà toán học đã tranh luận rằng việc nhấn
mạnh đến mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có thể làm học sinh xa rời
khỏi những ý tưởng toán học. Một số khác khẳng định những lợi ích quan
trọng và có ý nghĩa từ việc trình bày các vấn đề toán học trong bối cảnh thực,
8
bao gồm việc giúp học sinh có được những kết nối tốt hơn giữa toán học, cuộc
sống và cả việc gây hứng thú học tập cho học sinh.
PISA là chương trình đánh giá học sinh với quy mô quốc tế đầu tiên tập trung
vào đánh giá hiểu biết toán mà học sinh sử dụng khi đối mặt với các vấn đề
trong cuộc sống thực. PISA chọn một cách tiếp cận rộng cho việc “đánh giá
kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương
trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dụng kiến thức

trong nhiệm vụ và thách thức thường ngày” (OECD, 2003, [27, tr. 11]). PISA
cũng nhấn mạnh đến quá trình toán học hoá theo một nghĩa rộng đặc trưng
cho việc con người sử dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp
chính hiện nay, và những công dân có hiểu biết và biết phản ánh nội dung
toán để tham gia một cách trọn vẹn vào thế giới thực.
2. Nền tảng lý thuyết
2.1. Lý thuyết kiến tạo
Lý thuyết kiến tạo về cơ bản là một lý thuyết dựa trên quan sát và nghiên cứu
khoa học nhằm trả lời cho câu hỏi: CON NGƯỜI HỌC NHƯ THẾ NÀO? Lý
thuyết này nói rằng con người kiến tạo những sự hiểu biết và tri thức về thế
giới thông qua trải nghiệm và phản ánh. Khi chúng ta đối mặt với một điều gì
mới mẻ, chúng ta phải điều ứng nó với những ý tưởng và kinh nghiệm có từ
trước. Cũng có thể nó sẽ thay đổi điều mà ta đã tin tưởng hoặc loại bỏ chúng
vì không thích đáng. Trong bất cứ trường hợp nào, chúng ta thật sự là những
nhà kiến tạo cho tri thức cho chính bản thân. Để làm điều này, chúng ta phải
đưa ra những nghi vấn, khám phá và đánh giá cái mà chúng ta biết.
Trong lớp học, quan điểm kiến tạo của việc học có thể đi đến một số lượng
những thực nghiệm dạy học khác nhau. Trong hầu hết các trường hợp, nó
thường có nghĩa là khuyến khích người học sử dụng những kỹ năng hoạt động
(thực nghiệm, giải quyết vấn đề thực tế) để tạo nhiều thông tin và rồi phản
ánh, nói về những cái mà chúng đang làm và sự hiểu biết của chúng đang thay
đổi như thế nào.
9
Trong quá trình dạy học người GV không những quan tâm đến phương pháp
giảng dạy của mình mà còn phải chú ý đến HS học như thế nào. Bởi vì việc học
của HS không chỉ đơn giản là phản chiếu lại những gì đã được dạy mà HS phải
tích cực kiến tạo tri thức cho riêng mình. Về cơ bản lý thuyết kiến tạo cho là
việc học gắn liền với sự tương tác của hai yếu tố là đồng hóa và điều ứng.
 Đồng hóa: Nếu gặp một tri thức mới nhưng tương tự với cái đã biết thì
tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào trong một sơ đồ nhận

thức đang tồn tại mà nó rất giống với tri thức mới;
 Điều ứng: đôi khi một tri thức mới có thể hoàn toàn trái ngược với
những sơ đồ nhận thức đang có (cũ). Những sơ đồ hiện có được thay
đổi để tương hợp với thông tin trái ngược đó (kiến thức đã có không
bao giờ bị xóa đi).
Lý thuyết kiến tạo được trình bày theo hai nguyên tắc sau :
 Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ
không phải được tiếp thu một cách thụ động từ môi trường bên ngoài;
 Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của chính
mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập
đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể.
Lý thuyết kiến tạo thể hiện niềm tin rằng tất cả các tri thức đều là sản phẩm
của hoạt động nhận thức của chúng ta. Bằng cách xây dựng trên những kiến
thức đã được kiến tạo, HS có thể nắm tốt hơn các khái niệm và có thể đi từ
nhận biết sự vật sang hiểu nó. Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tư duy
phê phán, nó cho phép HS tích hợp các khái niệm theo nhiều cách khác nhau.
Khi đó HS có thể trình bày khái niệm, kiểm chứng, bảo vệ và phê phán về
khái niệm được xây dựng. GV đóng vai trò quan trọng trong việc giúp đỡ HS
xây dựng kiến thức chính xác. Đôi khi HS kiến tạo tri thức cho mình nhưng
chỉ đúng trong trường hợp cụ thể. Khi đó GV cần phải đưa ra thêm những tình
huống cho phép HS thử nghiệm kiến thức của mình. Một HS nhận ra rằng tri
thức được sáng tạo không đúng với tình huống các em có thể điều chỉnh và
kiểm tra tính đúng đắn cho phù hợp.
10
HS tự kiến tạo tri thức mới cho riêng mình vì thế vai trò của người thầy
không phải là đọc giảng mà tạo ra những tình huống cho HS. HS sẽ học toán
tốt nhất khi các em được đặt trong môi trường xã hội tích cực mà ở đó các em
có khả năng kiến tạo các hiểu biết toán học cho riêng mình. Theo quan điểm
này có nhiều cách tiếp cận để cải thiện việc dạy học toán trong nhà trường như
tìm nhiều cách khác nhau để thu hút từng HS tham gia, phát triển môi trường

giàu thông tin để khảo sát toán học, chuẩn bị nhiều bài toán hoặc vấn đề liên
quan để HS đối chứng thực nghiệm.
Như vậy, lý thuyết kiến tạo đề cao tính tích cực chủ động và sáng tạo của HS
trong quá trình nhận thức. Một môi trường học tích cực gắn liền với sự hứng
thú và sự tự giác trong nhận thức của HS. Niềm hứng thú thực sự biểu hiện ở
sự bền bỉ, kiên trì và sáng tạo trong việc giải quyết các vấn đề. Tính tích cực
học tập liên quan mật thiết với động cơ học tập của HS. Động cơ đúng tạo ra
hứng thú. Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực. Phong
cách học tập tích cực, độc lập và sáng tạo sẽ phát triển tính tự giác, hứng thú
và bồi dưỡng động cơ học tập.
2.2. Biểu diễn bội
2.2.1 Vai trò của biểu diễn trong dạy học toán
Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các
nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong
đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như
biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô
hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ. Biểu diễn bội là những
biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp
cùng một thông tin ở những dạng khác nhau.
Ozgun Koca (2003) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn trong dạy học toán
như sau:
 Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;
 Các biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó;
 Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề;
11
 Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn.
Biểu diễn như là một công cụ của tư duy. Chúng ta biểu diễn một vấn đề hoặc
khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy. Hơn nữa biểu diễn còn được xem
như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông tin. Chẳng hạn,
chúng ta dùng đồ thị để đưa đến khái niệm tiếp tuyến của đường cong tại một

điểm như là giới hạn của các cát tuyến đi qua điểm đó. Đồ thị sẽ giúp ta đưa
đến biểu thức lấy giới hạn và từ đó đưa ra định nghĩa khái niệm tiếp tuyến.
Bruner (trong Tadao Nakahara, 2007) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành 3
phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là: Biểu diễn thực tế 
Biểu diễn biểu tượng  Biểu diễn ký hiệu. Phân loại, mô tả của các biểu diễn
được trình bày ở bảng sau, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên
theo thứ tự từ cụ thể đến trừu tượng hơn:

Giai đoạn phát
triển
Phân loại Mô tả
Biểu diễn ký hiệu
Sử dụng số, chữ cái và các ký hiệu
toán. Biểu diễn
ký hiệu
Biểu diễn ngôn
ngữ
Sử dụng ngôn ngữ nói và viết hằng
ngày như tiếng Việt, tiếng Anh.
Biểu diễn
biểu tượng
Biểu diễn minh
họa/ trực quan
Sử dụng các minh họa như hình vẽ,
sơ đồ, đồ thị trên mặt phẳng hai
chiều hoặc giả lập ba chiều trên máy
tính.
Biểu diễn thực
thao tác được
Thực hiện các thao tác lên các mô

hình ba chiều thực hoặc mô hình cho
phép thao tác. Biểu diễn thực tế
Biểu diễn thực
Dựa trên các trạng thái thực của đối
tượng.

12
2.2.2. Những tiếp cận dạy học hình học phẳng theo biểu diễn bội
Lý thuyết kiến tạo đề xuất rằng HS phải kiến tạo tri thức cho bản thân bởi
chính sự chủ động của các em. Von Glasersfeld (1996) nhận thấy các kiến
thức có được nhờ vào thế giới thực nghiệm được xây dựng bởi chính bản thân
người học và không có kiến thức nào mang tính đơn trị. Từ đó, chúng ta
không nên cho rằng mọi người sẽ lĩnh hội cùng một kiến thức toán từ chỉ một
biểu diễn như nhau.
Dienes (1960) (trong Ozgun Koca, 1998) đề xuất rằng những khái niệm toán
học nên được giới thiệu trong nhiều dạng khác nhau để HS nắm bắt được bản
chất toán học của nó. Dienes cũng nhấn mạnh việc học khái niệm toán học sẽ
tốt hơn khi các em được thấy khái niệm đó thông qua nhiều bối cảnh hoặc
biểu hiện khác nhau.
Theo Piez và Voxman (1997) (trong Ozgun Koca, 1998), bởi vì mỗi biểu diễn
nhấn mạnh và lưu giữ những khía cạnh khác nhau của một khái niệm.
2.3. Biểu diễn trực quan - Biểu diễn trực quan động
2.3.1. BDTQĐ trên máy tính
Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho
phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự
hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được
các biểu diễn loại này để hỗ trợ HS kiến tạo tri thức toán. Thao tác động theo
William Finzer (1998) có các đặc điểm sau đây:
 Thao tác trực tiếp. Chẳng hạn như bài toán thực tế đánh golf. Dựng
một điểm M trên biên của bức tường. Sau đó, kéo rê M đến các vị

trí khác nhau để thấy được đường đi của trái banh. Bạn sẽ nói “Tôi
kéo rê điểm M” chứ không nói “Tôi kéo rê chấm tròn nhỏ này và nó
sẽ làm thay đổi vị trí của điểm M”.
 Chuyển động cập nhật liên tục. Các thay đổi được cập nhật liên tục
trong suốt quá trình kéo rê. Các đối tượng toán học có trên màn hình
vẫn liên kết trong một tổng thể tại mọi thời điểm. Chẳng hạn, tỉ số
13
, ,
sin sin sin
a b c
A B C
thay đổi như thế nào khi kéo rê các đỉnh , ,A B C
của tam giác
ABC
quanh đường tròn ngoại tiếp tam giác đó và thay
đổi bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
. Lúc đó, số
liệu của các tỉ số trên sẽ tự cập nhật.
 Môi trường tối ưu cho các thao tác. Thực nghiệm của bạn chỉ liên
quan đến những đối tượng mà bạn thao tác. Bạn khám phá chúng,
làm việc với chúng. Giao diện của chương trình hầu như không gây
ra tác động nào và bạn có thể tập trung làm thế nào để đạt được
những mục đích toán học chứ không phải làm thế nào để điều khiển
công nghệ.
Dựa trên ba đặc điểm này, việc sử dụng các biểu diễn trực quan động cần tạo
cho HS có sự chủ động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động trên
biểu diễn. Hơn nữa, trong những điều kiện cho phép, GV có thể cho HS tự
thiết kế biểu diễn trực quan và dùng nó để tìm hiểu, khám phá kiến thức cũng
như giải quyết vấn đề.

2.3.2. BDTQĐ – Chiếc cầu nối giữa dạy và học
Mối quan hệ giữa CNTT với dạy - học toán đã đang được nhiều nhà giáo dục
toán quan tâm nghiên cứu. Ngay cả với những GV có kinh nghiệm dạy học
nhất, họ cũng phải cảnh giác rằng phải mất nhiều hơn một lần giải thích một
cách rõ ràng để HS nắm bắt và hiểu được khái niệm toán nào đó. Để cho HS
nắm bắt và đưa ra được mối quan hệ giữa các khái niệm, không chỉ đơn giản
là bằng cách GV nói cho các em biết các quan hệ đó. Con đường hình thành
khái niệm của một HS ở giai đoạn đầu thường khác với con đường mà thầy
giáo dự định, hoặc không theo một thứ tự được biết của toán học. Giải quyết
vấn đề, những công việc thực tế phù hợp, thảo luận, khảo sát là những khía
cạnh cần thiết của môi trường học toán ở mọi cấp học.
CNTT trong dạy và học toán có thể được xem như là sự hỗ trợ một đặc tính
tương tác của HS và GV bởi các đồ dụng dạy học phù hợp. Những phương
14
tiện dạy học thông tin điện tử đem lại những khả năng có tính động cơ, kích
thích sự thích thú để lôi cuốn HS vào việc học và hiểu toán.
Nếu việc dạy toán được xem như là một quá trình truyền thụ, thì công nghệ
thông tin được sử dụng để trình bày, giải thích và làm sáng tỏ các ý tưởng
toán học, GV tìm kiếm cách để thuyết phục HS.
Còn nếu việc dạy toán được xem như là quá trình kiến tạo, thì CNTT được sử
dụng gắn liền với người học, nó khuyến khích tính độc lập suy nghĩ và tinh
thần dám đặt câu hỏi và phản ánh của HS. Như vậy, những điều đó đang thay
đổi môi trường sư phạm, nó cho phép GV sử dụng CNTT một cách phù hợp
và có ý thức trong dạy học toán nhằm giúp các em tự kiến tạo tri thức.
2.3.3. BDTQĐ - Công cụ của tư duy
Kết hợp lí luận về biểu diễn bội và môi trường thao tác động, biểu diễn trực
quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các
thao tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính
cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này
để hỗ trợ HS kiến tạo tri thức toán.

Biểu diễn trực quan bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình hình học được thiết
kế bằng những phương tiện công nghệ như máy tính điện tử, là công cụ thiết
yếu để dạy, học và làm toán. Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết
kế bằng phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh động, trực
quan về các ý tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích các dữ liệu;
đồng thời, thiết lập các phép tính một cách có hiệu quả và chính xác. Chúng
có thể hỗ trợ HS khảo sát toán trong mọi lĩnh vực toán học bao gồm: hình học,
đại số, giải tích, thống kê, đo đạc và số. Với những công cụ và công nghệ phù
hợp, HS có thể tập trung vào việc đưa ra các quyết định, phản ánh, suy luận và
giải quyết các vấn đề toán học.
Các phần mềm xây dựng các mô hình động như GSP hay Cabri cung cấp cho
HS một công cụ trực quan động hiệu quả để thu thập dữ liệu hình học nhằm lý
giải một cách quy nạp và hình thành những giải quyết, giống với quá trình mà
nhà toán học đã sử dụng trong những nghiên cứu toán học của họ.
15
Có thể nói rằng, việc sử dụng biểu diễn trực quan hình học động sẽ tạo ra một
môi trường tích cực cho HS tự thao tác trên các mô hình biểu diễn, tự khảo sát
toán, tự kiểm chứng các kết quả từ đó phát hiện ra các mối quan hệ giữa các
đối tượng, tìm cách chứng minh các mối quan hệ đó bằng toán học, điều này
giúp phát huy khả năng tư duy của HS.
2.4. Giải quyết vấn đề
Phương pháp giải quyết vấn đề đã phải trải qua nhiều thử thách, thực nghiệm
trong gần suốt một thế kỷ 20 để đến gần đây mới được sử dụng thực sự ở
nhiều trường học ở Hoa Kỳ và trở thành một yếu tố chủ đạo trong cải cách
giáo dục ở một số nước khác. Đó là một phương pháp dạy và học mới phù hợp
với triết lý về khoa học và giáo dục hiện đại, đáp ứng tốt những yêu cầu về
giáo dục trong thế kỷ 21.
Có nhiều phương pháp cụ thể để giải quyết vấn đề. Trong phần này tôi liệt kê
các phương pháp thường được sử dụng cho hình học phẳng và cuộc sống.
 Phát biểu quy luật.

 Giải theo một cách nhìn khác.
 Giải một bài toán đơn giản hơn.
 Xét các trường hợp đặc biệt.
 Vẽ hình.
 Đoán và thử.
 Tính toán cho mọi khả năng (liệt kê trường hợp)
GV cần phải giúp HS phát triển những phương pháp cụ thể để giải quyết vấn
đề. Những vấn đề tốt tạo cho HS cơ hội để củng cố và mở rộng tri thức của
mình và kích thích tìm kiếm tri thức mới. Hầu hết các khái niệm toán học đều
có thể được giới thiệu thông qua những vấn đề dựa trên những kinh nghiệm
quen thuộc từ cuộc sống của các em hoặc từ những tình huống toán học. Để
phát triển tư duy toán học cho HS, GV cần chọn các vấn đề toán học có một
trong những đặc điểm:
 Hấp dẫn và thách thức HS;
 Tạo cơ hội cho các em thảo luận và tương tác;
16
 Đòi hỏi kỹ năng phân tích, phê phán và quan sát;
 Gắn liền với việc hiểu một khái niệm toán học hoặc áp dụng một kỹ
năng toán;
 Có nhiều hướng tiếp cận khác nhau;
 Có thể đưa đến một quy tắc hay một sự tổng quát.
3. Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA)
3.1. Giới thiệu về PISA
Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA là một nổ lực hợp tác của các quốc
gia thành viên của tổ chức OECD để đánh giá học sinh tuổi 15 được chuẩn bị
tốt như thế nào để đáp ứng các thử thách của các xã hội ngày nay. Đánh giá
PISA chọn một tiếp cận rộng cho việc đánh giá kiến thức và các kỹ năng phản
ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, di chuyển xa hơn tiếp cận
dựa vào nhà trường về phía sử dựng kiến thức trong các nhiệm vụ và thách
thức thường ngày. Các kỹ năng này phản ánh khả năng của HS tiếp cận việc

học trong suốt cuộc đời của mình bằng cách áp dụng những gì các em học
được ở nhà trường và các môi trường ngoài nhà trường, bằng cách đánh giá
các lựa chọn và quyết định của mình. Đánh giá này được chung sức định
hướng bởi các nước tham gia, đưa những quan tâm chiến lược của các quốc
gia gần lại với nhau với tinh hoa khoa học ở mức độ quốc gia và quốc tế.
3.2. Cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá của PISA
Định nghĩa về hiểu biết toán của PISA là nhất quán với lý thuyết của tính tích
hợp và mở rộng về cấu trúc và sử dụng ngôn ngữ như đã được phản ánh trong
những nghiên cứu về hiểu biết văn hóa xã hội gần đây. Trong cuốn Mở đầu
cho một Chương trình Hiểu biết (1998) của James Gee, thuật ngữ " hiểu biết"
chỉ việc sử dụng ngôn ngữ của loài người. Khả năng để đọc, viết, nghe và nói
một ngôn ngữ là công cụ quan trọng nhất mà thông qua nó hoạt động xã hội
của loài người được dàn xếp.
Thực ra, mỗi ngôn ngữ của nhân loại và việc sử dụng ngôn ngữ có một thiết
kế rắc rối gắn chặt với cách phức tạp theo nhiều chức năng. Để một người là
17
hiểu biết trong một ngôn ngữ suy ra rằng người đó biết nhiều nguồn thiết kế
của ngôn ngữ và có thể sử dụng các nguồn đó cho nhiều chức năng xã hội
khác nhau. Một cách tương tự, việc xem toán học như là một ngôn ngữ kéo
theo HS phải học và thiết kế những khía cạnh liên quan đến bài toán và các
em cũng phải học để sử dụng các ý tưởng như vậy để giải quyết các vấn đề
không quen thuộc trong nhiều tình huống được xác định theo các chức năng
xã hội.
3.3. Toán học hoá
OECD/PISA kiểm tra các năng lực của HS để phân tích, suy luận và giao tiếp
các ý tưởng toán học một cách hiệu quả khi các em đặt, thiết lập, giải và lý
giải các vấn đề toán trong nhiều bối cảnh. Giải quyết vấn đề như vậy đòi hỏi
HS sử dụng các kỹ năng và năng lực các em đã đạt được qua các kinh nghiệm
học đường và cuộc sống. Trong OECD/PISA, một quá trình cơ bản mà các HS
dùng để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập là “toán học hóa”.

Newton có thể đã trình bày toán học hóa trong công trình chính của mình,
“các Nguyên tắc Toán học của Triết học Tự nhiên” khi ông viết: “Những mục
đích của chúng ta chỉ là phát hiện đại lượng và các tính chất của lực này từ
hiện tượng đó và để áp dụng những gì chúng ta khám phá trong một số trường
hợp đơn giản như các nguyên tắc, mà với chúng, chúng ta có thể ước lượng
các tác động trong những trường hợp liên quan nhiều hơn” (Newton, 1678).
Thảo luận trước đây về cơ sở lý thuyết của khuôn khổ toán học OECD/PISA
được thể hiện bằng sự mô tả 5 bước của toán học hóa. Những bước này được
chỉ ra ở Hình 1.
18

Hình 1. Quy trình toán học hóa
(1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;
(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định toán học phù hợp;
(3) Không ngừng cắt tỉa thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thuyết,
tổng quát và hình thức hóa, chúng khuyến khích những khía cạnh toán
học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán mà đại
diện trung thực cho bối cảnh thực tế;
(4) Giải quyết bài toán;
(5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao
gồm việc xác định những hạn chế của lời giải.
Như sơ đồ ở Hình 1 đề xuất, 5 khía cạnh sẽ được thảo luận theo 3 giai đoạn.
Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ thực tế sang
toán học. Quá trình này bao gồm các hoạt động như:
 Xác định toán học phù hợp tương với một vấn đề được đặt ra trong
thực tế;
 Biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo
các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;
 Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề và ngôn ngữ ký
hiệu và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;

19
 Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;
 Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;
 Chuyển thể vấn đề thành toán học chẳng hạn như thành một mô
hình toán, (de Lange, trong PISA).
Một khi HS đã chuyển thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình
có thể tiếp tục trong toán học. HS sẽ đặt những câu hỏi như: “Liệu có…
không?”, “Nếu như vậy thì có bao nhiêu?”, “Làm thế nào tôi có thể tìm…?”,
bằng cách dùng các kỹ năng và khái niệm toán học đã biết. Các em sẽ nổ lực
làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh nó, để thiết
lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nên một lập luận toán
học đúng đắn. Phần này của quá trình toán học hóa được gọi chung là phần
suy diễn của quy trình mô hình hóa (Blum, 1996; Schupp, 1988). Tuy nhiên,
những quá trình khác với suy diễn có thể tham gia vào giai đoạn này. Phần
này của quá trình toán học hóa bao gồm:
 Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;
 Dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;
 Hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán;
 Kết hợp và tích hợp các mô hình;
 Lập luận;
 Tổng quát hóa.
Bước (hay những bước) cuối cùng trong việc giải quyết một vấn đề liên quan
đến việc phản ánh về toàn bộ quá trình toán học hóa và các kết quả. Ở đây, HS
phải giải thích các kết quả với một thái độ nghiêm túc và công nhận toàn bộ
quá trình, phản ánh như vậy xảy ra ở tất cả các giai đoạn của quá trình, nhưng
nó đặc biệt quan trọng ở giai đoạn kết luận. Những khía cạnh của quá trình
phản ánh và công nhận này là:
 Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;
 Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;
 Giao tiếp quá trình đó và lời giải;

20
 Phê phán mô hình và các hạn chế của nó.
Giai đoạn này được chỉ ra ở hai chỗ trong Hình 1 bằng số (5), ở đó quá trình
toán học hóa chuyển từ lời giải toán học thành lời giải thực tế, và ở đó lời giải
được liên hệ ngược trở lại với vấn đề thực tế gốc
4. Các kết quả nghiên cứu liên quan
Có rất nhiều nghiên cứu phân tích những lợi ích của việc sử dụng các biểu
diễn trực quan động góp phần đổi mới phương pháp dạy học.
Như trong bài báo với tiêu đề “Tích hợp công nghệ thông tin với nghiên cứu
bài học để giúp GV toán tự nâng cao năng lực và hoàn thiện nghiệp vụ sự
phạm” của Trần Vui (2006), đã nói lên việc sử dụng công nghệ thông tin kết
hợp với nghiên cứu bài học như là một công cụ để phát triển tay nghề dạy học
của GV.
Trong bài báo với tiêu đề " Những đóng góp đáng quan tâm của các biểu diễn
trực quan trong việc dạy toán" của Trần Vui, Trường ĐHSP Huế đã các định
vai trò của biểu diễn trực quan trong hệ thống biểu diễn toán. Những kết quả
nghiên cứu cho thấy biểu diễn trực quan có thể hỗ trợ và minh họa các lời giải
toán học thuần túy kí hiệu, chúng thực sự hữu ích trong giáo dục toán.
Nhóm tác giả Trần Vui, Lê Quang Hùng, Nguyễn Đăng Minh Phúc (2007) đã
nghiên cứu và xuất bản một số sách hỗ trợ HS khám phá các chủ đề trong nội
dung toán ở THPT thông qua tương tác với các mô hình động, thiết kế bằng
phần mềm GSP. Các sách chủ yếu bám sát nội dung sách giáo khoa. Kèm theo
mỗi cuốn sách là một đĩa CD các mô hình thao tác được sắp xếp trình tự theo
các nội dung kiến thức của sách giáo khoa. Những đầu sách này là tài liệu bổ
ích cho GV và HS trong dạy và học toán.
Bên cạnh đó, đề tài nghiên cứu “Thiết kế mô hình toán phục vụ dạy học giải
quyết vấn đề trong hình học 10 nâng cao” của tác giả Trương Thị Hồng Thủy
(khóa luận tốt nghiệp, 2007). Trong đề tài, tác giả đã đùng phần mềm GSP
thiết kế các mô hình động để dẫn tới một số định nghĩa và hướng giải quyết
các bài toán trong chương trình hình học 10 nâng cao.

21
Chương 3: PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU

1. Giới thiệu
Với mục đích của nghiên cứu là đánh giá khả năng tư duy phê phán của HS
khi sử dụng các biểu diễn trực quan động thông qua việc khám phá kiến thức
hình học phẳng, đồng thời nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động
trong việc hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng. Chương này nhằm
giới thiệu phương pháp và quy trình nghiên cứu của khóa luận. Chương bao
gồm: Thiết kế quá trình nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên
cứu, quy trình thu thập và phân tích dữ liệu.
2. Phương pháp nghiên cứu
 Khảo cứu: Khảo sát các tài liệu đã có, các nghiên cứu về biểu diễn trực
quan động như bài báo, khóa luận, luận văn, sách...để biết được họ làm
gì, thiếu gì.
 Định tính: Phân tích các quá trình khám phá dựa trên các biểu diễn trực
quan động. Từ đó, đưa ra kết luận. Đồng thời, phần nào giải thích được
tại sao HS có được kết quả nào đó.
 Định lượng: Thống kê các kết quả khám phá khi tiến hành thực nghiệm
sư phạm.
3. Thiết kế quá trình nghiên cứu
 Nghiên cứu phần mềm The Geometer’s Sketchpad để xây dựng các mô
hình động nhằm hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng.
 Nghiên cứu các tác động của phần mềm động trong hỗ trợ HS khám phá
kiến thức hình học phẳng.
 Tiến hành thực nghiệm dựa trên các phiếu hỏi, phiếu thăm dò ý kiến
HS và GV để từ đó thấy được tác động tích cực và con đường khám
phá kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của các biểu diễn
trực quan động.
22

4. Đối tượng nghiên cứu
Các đối tượng trong nghiên cứu này bao gồm: HS lớp 10, lớp 11. HS sẽ được
nghiên cứu trong một lớp học của trường trung học phổ thông Hai Bà Trưng ở
thành phố Huế.
5. Công cụ nghiên cứu
 Kế hoạch bài dạy: Chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trong 1 tiết, đưa
ra ba mô hình có trong khóa luận. Đó là, mô hình phát hiện định lý sin
trong tam giác, hai mô hình của bài toán 1 và bài toán 2 trong nội dung
các bài toán quỹ tích.
 Các mô hình động: Chúng tôi sẽ thiết kế một số mô hình động như: Mô
hình phát hiện định lý cosin, định lý sin, một số mô hình của bài toán
quỹ tích, mô hình khám phá kiến thức phép biến hình và mô hình bài
toán thực tế.
 Phiếu trắc nghiệm, phiếu học tập: Chúng tôi sẽ thiết kế phiếu trắc
nghiệm bằng những câu hỏi thăm dò ý kiến HS và GV, thiết kế phiếu học
tập theo các mục đích nghiên cứu đã đề ra.
6. Quy trình thu thập dữ liệu
 Khảo cứu để có những nền tảng lý thuyết cần thiết cho khóa luận.
 Chuẩn bị các mô hình động về hình học phẳng trong sách giáo khoa hình
học và một số bài tập liên quan đến kiến thức lớp 10, lớp 11, phiếu học
tập. Người nghiên cứu sẽ tiến hành giới thiệu các biểu diễn trực quan
động của một số định nghĩa hay bài toán trong tiết dạy. HS sẽ quan sát,
sau đó, GV đưa ra các câu hỏi vấn đáp để HS khám phá kiến thức. Nhà
nghiên cứu thu thập dữ liệu thông qua quan sát, vấn đáp và các phiếu trắc
nghiệm, phiếu học tập.
 Thông qua các hoạt động dạy - học của GV và HS chúng tôi nghiên cứu
và trả lời cho câu hỏi: Xây dựng những biểu diễn trực quan động trong
hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được
hiệu quả trong giảng dạy và học tập, các biểu diễn trực quan động có tác
dụng tích cực trong việc hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học ra sao,

con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ
của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào.
23
7. Quy trình phân tích dữ liệu
 Với dữ liệu từ các câu hỏi vấn đáp, các phiếu học tập, phiếu trắc nghiệm,
các bảng hỏi đối với học sinh được nghiên cứu, chúng tôi tiến hành phân
tích quá trình khám phá kiến thức hình học phẳng góp phần trả lời cho
câu hỏi nghiên cứu thứ nhất và thứ ba.
 Với dữ liệu thu được từ học sinh, chúng tôi thấy được các tác động của
phần mềm động trong việc học toán của học sinh, thấy được các điểm
mạnh, các hạn chế của phần mềm như thế nào, góp phần trả lời câu hỏi
nghiên cứu thứ nhất.
 Với dữ liệu thu được từ việc tìm hiểu phần mềm GSP, chúng tôi nghiên
cứu cách sử dụng hiệu quả các tính năng trong phần mềm, từ đó xây
dựng các biểu diễn trực quan động như thế nào để hỗ trợ học sinh khám
phá kiến thức hình học phẳng, đồng thời giáo viên sử dụng như thế nào
để dạy hiệu quả hơn, góp phần trả lời cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai.
8. Các hạn chế
Việc tiến hành dạy thực nghiệm có thể gặp nhiều khó khăn. Các câu hỏi đưa
ra nhằm hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức có thể chưa phù hợp với học sinh
của lớp đang nghiên cứu. Nội dung trong phiếu hỏi, phiếu trắc nghiệm có thể
quá khó hoặc quá dễ đối với học sinh. Do đó, thu thập dữ liệu không theo
chứng kiến của mình. Kết quả của các phiếu trắc nghiệm, phiếu trắc nghiệm
có thể có độ chính xác không cao. Kết quả nghiên cứu lấy từ lớp chúng tôi
nghiên cứu có thể không phù hợp với các đối tượng khác.
9. Tóm tắt
Trong chương 3, chúng tôi đã thiết kế quá trình nghiên cứu, xác định đối
tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình
phân tích dữ liệu và dự đoán những khó khăn có thể mắc phải. Từ đó, đưa ra
kết quả nghiên cứu trong chương 4 một cách có hệ thống và khoa học.

24
Chương 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1. Giới thiệu
Chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu theo đúng thiết kế được trình bày ở chương 3.
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả thu được, để lần lượt trả lời
các câu hỏi nghiên cứu đã được đề ra ở chương 1.
2. Các kết quả nghiên cứu
2.1 Kết quả cho hỏi nghiên cứu thứ nhất:
Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những biểu diễn trực quan động
trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt
được những hiệu quả trong giảng dạy và học tập?
Chúng tôi chọn nội dung 1 và nội dung 2 để đưa vào nghiên cứu bởi vì, chúng
tôi thấy rằng, định lý cosin và định lý sin trong tam giác là hai kiến thức khá
quan trọng trong hệ thống kiến thức lớp 10. Đồng thời, quá trình khám phá hai
định lý này sẽ giúp HS bước đầu có những tư duy logic, tư duy sáng tạo và tư
suy phê phán.
Nội dung 1: Định lý cosin trong tam giác

Trong tam giác ABC có
, ,BC a CA b AB c   . Khi đó, ta có
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b a c ac B
c a b ab C

  
  
  


c
a
b
A
B
C

Hình 2


25
Mở file kl | 1.gsp.
c
b
a
A'
B'
B
A
C

Hình 3. Mô hình phát hiện định lý cosin
1. Giới thiệu cách dựng mô hình:
 Dựng tam giác ABC có các cạnh tương ứng , ,a b c.
 Trên mỗi cạnh dựng các hình vuông và hình bình hành như hình 2.

2. Khảo sát mô hình:
 Di chuyển C tới các vị trí: C nằm trong, C nằm trên và C nằm ngoài
nửa đường tròn để HS quan sát tất cả các trường hợp.
H: Tính diện tích các hình vuông màu đậm, màu nhạt và diện tích hình
vuông
' 'ABA B
theo , ,a b c?
H: Dự đoán về sự bằng nhau của hai hình bình hành?
H: Sau đó, GV áp dụng Measure | Area để HS quan sát và đưa ra nhận xét
đúng đắn về diện tích hai hình bình hành?
H: Tính diện tích hai hình bình hành theo
·
, ,a b ACB ?