Công thức hình học giải nhanh trắc nghiệm

TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC

CHUYÊN ĐỀ 3: HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
Nội dung 1: LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
1. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TỌA ĐỘ VEC - TƠ
Cho v = ( x; y; z ) , v ' = ( x '; y '; z ')
(1). Hai vec tơ cùng phương: v cùng phương với v ' ⇔

x
y z
= =
(trong đó v ' ≠ 0 )
x' y' z'

x = x '

(2). Hai vec-tơ bằng nhau: v = v ' ⇔  y = y '
z = z '


(Hai vec-tơ bằng nhau là 2 vec-tơ có cùng phương, cùng chiều và cùng độ dài)
(3). Tổng 2 vec-tơ: v ± v ' = ( x ± x '; y ± y '; z ± z ')
(4). Nhân vec-tơ với một số: k.v = ( kx; ky; kz )
(5). Độ dài vec-tơ: v = x 2 + y 2 + z 2
(6). Nhân 2 vec-tơ: v.v ' = xx '+ yy '+ zz '
(7). Hai vec-tơ vuông góc: v ⊥ v ' ⇔ v.v ' = 0

(

)

(8). Góc giữa 2 vec-tơ: cos v; v ' =

v.v '
v . v'

(9). Tích có hướng của 2 vec-tơ:
 y z z x x y 
 v; v ' = 
;
;
 = ( yz '− zy '; zx '− xz '; xy '− yx ' )


y
'
z
'
z
'
x
'
x
'
y
'



* Chú ý:

[ v ; v' ]

(+)  v; v ' ⊥ v;  v; v ' ⊥ v '
(+)  v; v ' = v . v ' .sin v; v '

(

)

v

(+) v cùng phương với v ' ⇔  v; v ' = 0
(+) 3 vec tơ a; b;c đồng phẳng ⇔ tích hỗn tạp a; b  .c = 0

v'

2. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM
Cho A ( x A ; y A ; z A ) ; B ( x B ; y B ; z B ) ;C ( x C ; yC ; z C ) ; D ( x D ; y D ; x D )
(1). AB = ( x B − x A ; y B − y A ; z B − z A )
(2). AB =

2

2

( x B − x A ) + ( yB − yA ) + ( zB − zA )

2

= AB

 x A + x B yA + yB z A + zB 
;
;

2
2
2 

(4). Ba điểm A, B, C thẳng hàng ⇔  AB; AC  = 0
(5). Ba điểm A, B, C không thẳng hàng ⇔  AB; AC  ≠ 0

(3). I là trung điểm AB ⇒ I 

Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - />
1


TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC

(6). S∆ABC =

A

1
 AB; AC 

2

(

)

(7). cos A = cos AB; AC =

AB.AC

B
C

AB . AC

* Chú ý: Nếu A nhọn ⇔ cosA < 0 ; nếu A vuông ⇔ cosA = 0 ; nếu A tù ⇔ cosA > 0
 x A + x B + x C y A + y B + yC z A + z B + zC 
;
;

3
3
3


* Chú ý: Với điểm M tùy ý trong không gian ta luôn có MA + MB + MC = 3.MG
(9). Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ⇔  AB; AC  .AD = 0

(8). G là trọng tâm ∆ABC ⇒ G 

B
A

C

D

(10). Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ⇔  AB; AC  .AD ≠ 0
1

(11). Thể tích tứ diện ABCD VABCD = .  AB; AC  .AD
6
D

C
A
B

(12). Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD
 x + x B + x C + x D y A + y B + yC + y D z A + z B + zC + z D 
⇒ G A
;
;

4
4
4



* Chú ý:
- Với điểm M tùy ý trong không gian ta luôn có MA + MB + MC + MD = 4.MG
- Thể tích của lăng trụ VABCD.A 'B'C'D' =  AB; AC  .AD

D'

C'

A'
B'
D
A

C
B

3. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
(1). Vec-tơ chỉ phương của mặt phẳng là vec-tơ khác 0 nằm trong mặt phẳng đó hoặc
nằm trên đường thẳng song song với mặt phẳng đó.
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - />
2


TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC

(2). Vec-tơ pháp tuyến của mặt phẳng là vec-tơ khác 0 nằm trên đường thẳng vuông góc
với mặt phẳng đó (ký hiệu là n )
* Chú ý: Nếu ta lấy một cặp vec-tơ chỉ phương của mặt phẳng (cặp vec-tơ này không
được cùng phương - tức là không cùng nằm trên 1 đường thẳng hoặc 2 đường thẳng song
song) sau đó nhân có hướng 2 vec-tơ đó với nhau thì ta sẽ được 1 vec-tơ pháp tuyến của
mặt phẳng ấy.
(3). Phương trình tổng quát của mặt phẳng là phương trình có dạng:
Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B2 + C 2 > 0

* Chú ý:
- Nếu mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0, A 2 + B2 + C 2 > 0 thì
mặt phẳng (P) có vec-tơ pháp tuyến là n = ( A; B;C )
- Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0 , vec-tơ pháp tuyến là n = ( 0;0;1)
- Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là y = 0 , vec-tơ pháp tuyến là n = ( 0;1; 0 )
- Mặt phẳng (Oyz) có phương trình là x = 0 , vec-tơ pháp tuyến là n = (1;0; 0 )
(4). Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
Xét 2 mặt phẳng (P):A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, (Q) : A 2 x + B2 y + C2 z + D 2 = 0
A1 B1 C1 D1
=
=
≠
A 2 B2 C 2 D 2
A
B
C
D
- Mặt phẳng (P) ≡ (Q) ⇔ 1 = 1 = 1 = 1
A 2 B2 C 2 D 2
A
B
C
D
- Mặt phẳng (P) cắt (Q) ⇔ 1 ≠ 1 ≠ 1 ≠ 1
A 2 B2 C 2 D 2

- Mặt phẳng (P) / /(Q) ⇔

- Mặt phẳng (P) ⊥ (Q) ⇔ n P .n Q = 0 ⇔ A1A 2 + B1B2 + C1C 2 = 0
(5). Công thức viết phương trình mặt phẳng

- Mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ; z 0 ) và có vec-tơ pháp tuyến là n = ( A; B;C ) có
phương trình là A ( x − x 0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0
- Mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm lần lượt nằm trên 3 trục tọa độ:
A ( a;0; 0 ) , B ( 0; b;0 ) ; C ( 0;0;c ) có phương trình là

x y z
+ + = 1, a.b.c ≠ 0 (trong trường hợp
a b c

này mặt phẳng (P) cắt cả 3 trục tọa độ nên gọi là mặt phẳng theo đoạn chắn)
(6). Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
Xét mặt phẳng (P):Ax + By + Cz + D = 0, M ( x 0 ; y0 ; z 0 ) , khi đó khoảng cách từ điểm M đến
mặt phẳng (P) là d ( M; (P) ) =

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D

A 2 + B2 + C 2
* Chú ý: Nếu mặt phẳng (P) / /(Q) thì :

d ( (P); (Q) ) = d ( M;(Q) ) = d ( N;(P) ) , ∀M ∈ (P), ∀N ∈ (Q)
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - />
3


TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC

(7). Góc giữa hai mặt phẳng
Xét 2 mặt phẳng (P):A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, (Q) : A 2 x + B2 y + C2 z + D 2 = 0 , khi đó góc giữa
2 mặt phẳng (P) và (Q) là α được xác định bởi công thức sau:
cosα =

n P .n Q
nP . nQ

=

A1A 2 + B1B2 + C1C2
A12 + B12 + C12 . A 2 2 + B2 2 + C 2 2

, α là góc nhọn.

4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
(1). Vec-tơ chỉ phương của đường thẳng là vec-tơ nằm trên đường thẳng hoặc nằm trên
đường thẳng khác song song với đường thẳng đó, ký hiệu là U
(2). Công thức viết phương trình đường thẳng
Đường thẳng (d) đi qua điểm M ( x 0 ; y0 ; z 0 ) và có vec-tơ chỉ phương là U = ( a; b ) có
 x = x 0 + at

phương trình là:  y = y0 + bt ( t ∈ R ) (PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ) hoặc dạng sau:
z = z + ct
0

x − x 0 y − y0 z − z0
=
=
, a.b.c ≠ 0 (PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC)
a
b
c

* Chú ý:
- Trục Ox có vec-tơ chỉ phương là U = (1;0;0 )
- Trục Oy có vec-tơ chỉ phương là U = ( 0;1;0 )
- Trục Oz có vec-tơ chỉ phương là U = ( 0;0;1)
- Nếu gọi M là điểm bất kỳ trên đường thẳng (d) ⇒ M ( x 0 + at; y0 + bt; z 0 + ct )
(3). Công thức về góc
- Góc giữa 2 đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) là cos ( d1 ;d 2 ) =

U1.U 2
U1 . U 2

- Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là sin ( d;(P) ) =

U d .n P
Ud . n P

(4). Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Xét đường thẳng d1 đi qua điểm M1 có vec-tơ chỉ phương là U1 , đường thẳng d 2 đi qua
điểm M 2 có vec-tơ chỉ phương là U 2
  U1 ; U 2  ≠ 0


- Nếu 
thì d1 cắt d 2
  U1 ; U 2  .M1M 2 = 0
  U1 ; U 2  ≠ 0


- Nếu 
thì d1 và d 2 chéo nhau

  U1 ; U 2  .M1M 2 ≠ 0
  U1 ; U 2  = 0


- Nếu 
thì d1 / /d 2
  U1 ; M1M 2  ≠ 0

Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - />
4


TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC
  U1 ; U 2  = 0


- Nếu 
thì d1 trùng với d 2
  U1 ; M1M 2  = 0

* Chú ý:
- Nếu  U1 ; U 2  .M1M 2 = 0 thì d1 và d 2 đồng phẳng.
- Khi d1 cắt d 2 , giải hệ phương trình gồm 2 đường thẳng này ta tìm được tọa độ
giao điểm của chúng.
(5). Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Xét đường thẳng d đi qua điểm M, có vec-tơ chỉ phương là U , mặt phẳng (P) có
vec-tơ pháp tuyến là n . Khi đó để xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng
(P) ta thực hiện bởi một trong hai cách sau:
d
(I)

(P)

* Cách 1: Xét hệ phương trình 

- Nếu hệ (I) có nghiệm duy nhất thì d cắt (P)
- Nếu hệ (I) vô nghiệm thì d // (P)
- Nếu hệ (I) có vô số nghiệm thì d nằm trong mặt phẳng (P)
* Cách 2:
- Nếu n.U ≠ 0 thì d cắt (P)
n.U = 0
thì d // (P)
M ∉ (P)

- Nếu 

n.U = 0
thì d nằm trong (P)
M ∈ (P)

- Nếu 

Đặc biệt: Nếu d ⊥ (P) ⇒ U = k.n ⇒ vec-tơ chỉ phương của đường thẳng d cũng là vec-tơ
pháp tuyến của mặt phẳng (P) và ngược lại.
(6). Khoảng cách
(6.1). Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm M và
có vec-tơ chỉ phương là U . Khi đó khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d được tính




AM; U 
theo công thức: d ( A; d ) = 
U

* Chú ý:
+ Có thể tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d bằng cách gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên d ⇒ d ( A;d ) = AH . (cách làm này sẽ được cụ thể hóa bằng trong
phần bài tập).
+ Nếu d1 / /d 2 thì d ( d1; d 2 ) = d ( M;d 2 ) = d ( N; d1 ) , ∀M ∈ d1 , ∀N ∈ d 2
(6.2). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - />
5


TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC

Xét đường thẳng d1 đi qua điểm M1 có vec-tơ chỉ phương là U1 , đường thẳng d 2 đi qua
điểm M 2 có vec-tơ chỉ phương là U 2 . Khi đó khoảng cách giữa 2 đường thẳng d1 và d 2
 U1; U 2  .M1M 2

được tính theo công thức d ( d1; d 2 ) = 
 U1 ; U 2 



* Chú ý: Có thể tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng độ dài đoạn vuông
góc chung, cách làm này sẽ được cụ thể hóa trong phần bài tập.
(6.3). Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d // (P).
d ( d;(P) ) = d ( M; (P) ) , ∀M ∈ d

5. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
(1). Định nghĩa:
- Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi.
- Điểm I cố định gọi là tâm mặt cầu.
- Khoảng cách khôi đổi là R, gọi là bán kính của mặt cầu.

(S)
I
R

M

(2). Phương trình mặt cầu
Mặt cầu (S) có tâm I ( a; b; c ) và bán kính R, khi đó (S) có phương trình là:
2

2

( x − a ) + ( y − b) + ( z − c)

2

= R2

* Chú ý: Nếu phương trình (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 thì I ( a; b; c ) và bán
kính mặt cầu được tính theo công thức R = a 2 + b2 + c 2 − d , ( a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 )
(3). Vị trí tương đối của 1 điểm với mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và 1 điểm A, khi đó:
- Nếu IA > R thì A nằm ngoài mặt cầu (S)

- Nếu IA = R thì A nằm trên mặt cầu (S)
- Nếu IA < R thì A nằm trong mặt cầu (S)
(4). Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và đường thẳng d, khi đó:
- Nếu d ( I, d ) > R thì đường thẳng d không cắt mặt cầu (S)
- Nếu d ( I, d ) = R thì đường thẳng d là tiếp tuyến của mặt cầu (S)
- Nếu d ( I, d ) < R thì đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt.
(5). Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P), khi đó:
Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - />
6


TÀI LIỆU THAM KHẢO HÌNH HỌC

- Nếu d ( I, (P) ) > R thì mặt phẳng (P) không cắt mặt cầu (S)
- Nếu d ( I, (P) ) = R thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Nếu d ( I, (P) ) < R thì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là 1 đường
tròn có bán kính là r = R 2 − d ( I;(P) )

2

(S)
I
R

M

P

r

O

(6). Công thức diện tích và thể tích mặt cầu
- Diện tích mặt cầu S = 4πR 2
4
3

- Thể tích mặt cầu V = πR 3

Tài liệu biên soạn có thể đôi chỗ sai sót - rất mong được góp ý chân thành !
Thầy giáo: NGUYỄN HỮU BIỂN

Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - />
7