TÌM CÁC CÔNG THỨC CỦA ĐIỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH TRONG TẤM VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM ĐƯỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TRỰC HƯỚNG (LUẬN VĂN THẠC SĨ)

QU

N

ƢỜ

-----------------------

D Ã

TÌM CÁC CƠNG THỨC CỦ
TRONG TẤM VỚ

Á

U

ƢƠ

ỂM TIẾP XÚC CỦA SÓNG RAYLEIGH
ỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU KHI TẤM

ƢỢC LÀM TỪ VẬT LIỆU TR

UẬ

i - 2015
1

ƢỚNG

LỜI CẢM Ơ

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáo hướng dẫn TS. Trần
Thanh Tuấn, người đã giao đề tài và quan tâm, tận tình hướng dẫn emtrong suốt quá trình
thực hiện luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới nhóm Seminar tại bộ mơn ơhọc do PGS.
TS Phạm hí Vĩnh chủ trì, cùng tồn thể các thầy cơ giáo trong khoaTốn - ơ - Tin học,
trường ại học Khoa Học Tự Nhiên - ại Học Quốc Gia Hà Nội đãdạy bảo, cung cấp
kiến thức bổ ích cho em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại khoa.
Em xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường ại học Khoa
học Tự nhiên - ại Học QuốcGia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình thực
hiện luận văn.
Nhân dịp này, em cảm ơn gia đình, bạn bè đã ln động viên, tạo điều kiệncho em trong
suốt q trình học tập và thực hiện luận văn này.

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2015
Học viên
Doãn hu

2

ƣơng


Lời mở đầu
Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh trong các mơ hình khác nhau thường
dẫn về một phương trình siêu việt dạng ẩn phụ thuộc vào hai biến là vận tốc truyền sóng
và tần số sóng cùng với các tham số vật liệu của mơ hình. Trong việc giải số tìm nghiệm
của phương trình tán sắc này, tần số sóng thường được cho trước và vận tốc truyền sóng

sẽ được tìm bằng các phương pháp số khác nhau. Nói chung, với một giá trị tần số sóng,
sẽ có nhiều nghiệm của vận tốc và các nghiệm vận tốc này sẽ ứng với các mode truyền
sóng khác nhau của sóng mặt Rayleigh. Khi các nghiệm vận tốc truyền sóng được tìm với
các giá trị khác nhau của tần số sóng thì bức tranh miêu tả sự phụ thuộc của chúng được
gọi là các đường cong phổ của các mode truyền sóng. Thơng thường các đường cong phổ
này nằm xen kẽ nhau. Tuy nhiên trong một số trường hợp đặc biệt của giá trị tham số mơ
hình, tồn tại các cặp đường cong (ứng với các mode khác nhau) có vẻ như là tiến gần về
nhau và “tiếp xúc” với nhau. ác điểm tiếp xúc này là những điểm thuộc hai mode khác
nhau của bài tốn truyền sóng Rayleigh và chúng là những điểm tương ứng với các
nghiệm bội của phương trình tán sắc. Có nhiều thuật ngữ tiếng nh cho điểm đặc biệt
này như là “osculation points” hay “avoided crossing points” và luận văn sẽ sử dụng
thuật ngữ “điểm tiếp xúc”.
Những điểm tiếp xúc như trên không những chỉ xuất hiện trong bài tốn truyền sóng
Rayleigh mà cịn xuất hiện trong nhiều bài toán thuộc các lĩnh vực khác nhau như trong
vật lý lượng tử, vật lý chất rắn, cơ học,... cùng với nhiều thuật ngữ khác nhau (xem
Kausel cùng các cộng sự, 2015, cùng với các tài liệu tham khảo của bài báo). Nói chung
những điểm tiếp xúc này là những nghiệm bội của bài toán giá trị riêng tương ứng với các
lĩnh vực ở trên, do đó chúng có một số tính chất đặc biệt. Trong lĩnh vực địa chấn, cụ thể
là trong phương pháp tỷ số H/V-là một phương pháp liên quan đến sóng mặt Rayleigh,
một tính chất đặc biệt của đường cong tỷ số /V được phát hiện tại điểm tiếp xúc này.
ó là tại điểm tiếp xúc, đường cong này sẽ có một điểm cực đại chuyển thành một điểm
không (xem Trần Thanh Tuấn, 2009). Do điểm cực đại và điểm không là hai điểm quan
trọng trong phương pháp tỷ số /V nên điểm tiếp xúc của tập đường cong phổ vận tốc
của sóng mặt Rayleigh cần được nghiên cứu.
Trong lĩnh vực địa chấn, mặc dù điểm tiếp xúc đã được quan sát thấy từ khá lâu (ví
dụ như trong Sezawa và Kanai, 1935) nhưng những cơng trình nghiên cứu lý thuyết về
các điểm này vẫn cịn khá ít. Theo Kausel và các cộng sự (2015) thì có thể nói rằng điểm
tiếp xúc trong lĩnh vực địa chấn được đề cập rõ ràng đầu tiên trong một cuốn sách của
Levshin (1973) và sau đó được đề cập và nhắc đến trong một số công trình như của
Forbriger (2006) và của Liu và các cộng sự (2009). Gần đây, một số kết quả giải tích về

3


điểm tiếp xúc của sóng Rayleigh trong một tấm đàn hồi, cụ thể là các công thức xác định
điểm tiếp xúc, đã được công bố trong Trần Thanh Tuấn (2009) và được bổ sung trong
Kausel và các cộng sự (2015). Tuy nhiên các cơng thức này mới chỉ được tìm cho trường
hợp tấm đàn hồi là đẳng hướng. Nội dung chính của luận văn cao học này là đi tìm các
cơng thức của điểm tiếp xúc của sóng Rayleigh trong tấm với các điều kiện biên khác
nhau khi tấm được làm từ vật liệu trực hướng. ơn nữa, tính chất trơn của phổ đường
cong vận tốc tại các điểm tiếp xúc cũng được khảo sát.
Luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận có 3 chương. Nội dung của chương 1 là đi
tìm phương trình tán sắc của sóng Rayleigh truyền trong tấm trong trường hợp tấm có hai
biên tự do và trường hợp tấm có một biên tự do và một biên ngàm. hương 2 sẽ khảo sát
các phương trình tán sắc tìm được để đi tìm các cơng thức xác định điểm tiếp xúc và khảo
sát tính trơn của phổ đường cong vận tốc tại các điểm tiếp xúc. hương 3 sẽ trình bày các
kết quả nhận được trong trường hợp đẳng hướng và minh họa một vài kết quả ví dụ số.

4


hƣơng 1: Phƣơng trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền
trong tấm đ n hồi trực hƣớng
hương này sẽ sử dụng phương pháp truyền thống để đi tìm phương trình tán sắc của
sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm trực hướng. ầu tiên, các phương trình trạng thái và
các phương trình chuyển động được trình bày lại theo các sách chuyên khảo. Sau đó, tùy
vào điều kiện biên của tấm, các phương trình tán sắc của sóng Rayleigh sẽ được thiết lập.
ác phương trình tán sắc này sẽ được sử dụng trong việc nghiên cứu điểm tiếp xúc trong
chương tiếp theo.
1.1.

ác phƣơng trình truyền sóng cơ bản

Xét bài tốn một tấm trực hướng có độ dày là h và các thơng số vật liệu là
c11 , c12 , c22 , c66 . Sóng mặt Rayleigh được truyền trong mặt phẳng của tấm theo trục 0x1
trùng với một hướng chính của tấm và tắt dần theo trục 0x2 vng góc với mặt phẳng
tấm. Trục Ox1 nằm ở đáy tấm có phương trình x2  0 và do đó mặt trên của tấm có
phương trình x2  h . Do bài tốn truyền sóng Rayleigh là biến dạng phẳng nên trường
chuyển dịch có dạng

ui  ui ( x1, x2 , t ), (i  1,2), u3 ( x1, x2 , t )  0,

(1.1)

trong đó t là thời gian. Mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển dịch được cho bởi (ví dụ
xem Ting, 1996)

 11  c11u1,1  c12u2,2
 22  c12u1,1  c22u2,2

(1.2)

 12  c66 (u1,2  u2,1 )
trong đó dấu phẩy chỉ đạo hàm theo biến không gian. Trong trường hợp khơng xét đến
trọng lực thì phương trình chuyển động của sóng Rayleigh có dạng

 11,1   12,2   u1 ,
 12,1   22,2   u2 .

(1.3)

Giả sử sóng lan truyềntheo phương 0x1 với vận tốc c và số sóng k , khi đó các hàm
chuyển dịch có thể được biểu diễn dưới dạng

ui  Ui  x2  eik ( x1 ct ) , (i  1,2).

5

(1.4)


Thay dạng của các hàm chuyển dịch này vào phương trình chuyển động (1.3) sau khi đã
sử dụng phương trình trạng thái (1.2), ta thu được một hệ phương trình vi phân chuyển
động đối với U i ( x2 ) . Giải hệ này ta có nghiệm tổng quát của các hàm chuyển dịch có
dạng (xem Phạm hí Vĩnh và Ogden, 2004)

u1  B1ekb1x2  B2e kb1x2  B3e kb3 x2  B4e  kb3 x2
u2  1B1ekb1x2  1B2e kb1x2   3 B3e kb3 x2   3 B4e  kb3 x2

(1.5)

trong đó Bi (i  1, 4) là các hằng số tích phân và b1 , b3 là nghiệm của phương trình

c22c66b4  (c12  c66 )2  c22 ( X  c11 )  c66 ( X  c66 )  b2  (c11  X )(c66  X )  0 (1.6)
với X   c 2 . Chú ý rằng đây là một phương trình trùng phương của b và nói chung là nó
có bốn nghiệm phức b1 và b3 . b12 và b32 có thể thực hoặc phức và b1 , b3 là các căn chính
của chúng. Nghĩa là, trong trường hợp bi2 (i  1,3) là phức, bi được chọn là số phức có phần
thực dương. Nếu bi2 là số thực dương, bi cũng là số thực dương và nếu bi2 là số thực âm, bi
là các số thuần ảo có phần ảo dương. Trong phương trình(1.5), ta ký hiệu

 k  ik  (U 2 / U1 )k

(1.7)

với

k 

bk (c12  c66 )
c11  X  c66bk2

, (k  1,3).
c22bk2  c66  X
(c12  c66 )bk

(1.8)

Sử dụng các đại lượng không thứ nguyên
e1 

c11
c
c
X
, e2  22 , e3  12 , x 
c66
c66
c66
c66

(1.9)

khi đó phương trình (1.6) có dạng

e2b4  (e3  1)2  e2 ( x  e1 )  ( x  1)  b2  (e1  x)(1  x)  0
và (1.8) có dạng

6

(1.10)


bk (e3  1)
e1  x  bk2
k  2

, (k  1, 2).
e2bk  1  x (e3  1)bk

(1.11)

Theo cơng thức Viet ta có:

S ( x)  b12  b32  

(e3  1) 2  e2 ( x  e1 )  ( x  1)
,
e2

(e  x)(1  x)
P( x)  b  b  1

.
e2
2
1

(1.12)

2
3

Các số hạng trong công thức của các hàm chuyển dịch trong (1.5) tương ứng với
bốn thành phần của sóng gồm hai sóng đi lên và hai sóng đi xuống của sóng qP và qSV
trong tấm.
Phương trình tán sắc để xác định vận tốc truyền sóng c phụ thuộc vào tần số sẽ
được xác định từ các điều kiện biên. Trong phần tiếp theo của chương này, hai trường
hợp biên của tấm sẽ được xem xét. ó là trường hợp tấm có hai mặt biên tự do và trường
hợp tấm có mặt trên tự do và mặt dưới bị ngàm.
1.2. rƣờng hợp tấm có hai mặt tự do
Từ điều kiện tự do ứng suất tại mặt trên và mặt dưới của tấm ta có

 12 (0)   22 (0)  0
 12 (h)   22 (h)  0

(1.13)

Sử dụng các công thức của chuyển dịch (1.5) và ứng suất (1.2) vào các điều kiện biên
trên chúng ta thu được một hệ các phương trình đại số đối với các hằng số tích phân
B1 , B2 , B3 , B4 dưới dạng ma trận như sau:

M1  [B1 , B2 , B3 , B4 ]T  0

(1.14)

trong đó ma trận M1 có dạng

b1  1

e2b11  e3
M1  
  b1  1  e b1

 b1
 e2b11  e3  e

  b1  1 
e2b11  e3
  b1  1  e  b1
 e2b11  e3  e b1

7

b3  3
e2b3 3  e3
 b3  3  e b3
 e2b33  e3  e b3

  b3  3  

e2b3 3  e3 
(1.15)

  b3  3  e  b3 

 e2b3 3  e3  e b3 


với   kh . ể hệ phương trình trên có nghiệm khơng tầm thường thì định thức tương
ứng của ma trận phải bằng 0. Từ đó ta thu được phương trình tán sắc của sóng mặt
Rayleigh như sau
2

B02  B0
cosh( b1 )cosh( b3 ) 
sinh( b1 )sinh( b3 )  1
2 B0 B0

(1.16)

trong đó
B0  b3 ( Se2  2e3  x)(1  x)  e2 xb12 
B0  b1 ( Se2  2e3  x)(1  x)  e2 xb32 

(1.17)

với S được biểu diễn trong (1.12).
Khi được biểu diễn thông qua các tham số của tấm, phương trình tán sắc (1.16) có dạng
cosh( b1 )cosh( b3 )  B

sinh( b1 ) sinh( b3 )
1
b1

b3

(1.18)

với
( Se2  2e3  x)2 (1  x)2 S  e22 x 2 PS  4e2 x(Se2  2e3  x)(1  x) P
B
( Se2  2e3  x)2 (1  x)2  e22 x 2 P  e2 xS (Se2  2e3  x)(1  x)

(1.19)

trong đó P và S được cho bởi phương trình (1.12).
1.3. rƣờng hợp tấm có mặt trên tự do, mặt dƣới bị ngàm
Từ điều kiện tự do ứng suất tại mặt trên của tấm và điều kiện ngàm của mặt dưới
tấm ta có

 12 (h)   22 (h)  0,
u1 (0)  u2 (0)  0.

(1.20)

Tương tự như trường hợp hai biên tự do, sử dụng các công thức của chuyển dịch(1.5) và
ứng suất(1.2) vào các điều kiện biên trên chúng ta thu được một hệ các phương trình đại
số đối với các hằng số tích phân B1 , B2 , B3 , B4 dưới dạng ma trận như sau:

M2  [B1 , B2 , B3 , B4 ]T  0
8

(1.21)

trong đó ma trận M 2 có dạng
1


 1
M2  
  b1  1  e b1

 b1
 e2b11  e3  e

1

1
  b1  1  e  b
 e2b11  e3  e b
1

1

1
 3
 b3  3  e b3
 e2b33  e3  e b3



3
 . (1.22)

  b3  3  e  b3 
 e2b3 3  e3  e b3 
1

Khi đó phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh trong trường hợp tấm có đáy
ngàm có dạng

A cosh( b1 )cosh( b3 )  C sinh( b1 )sinh( b3 )  1

(1.23)

trong đó ta sử dụng các ký hiệu
2

A02  A0
C02  C0
A
,C 
2 A0 A0
2C0 C0

2

(1.24)

Với

A0  b32e2  e3  x,

C0  b3  b12e2  e3  e3 x  ,

A0  b e  e3  x,

C0  b1  b e  e3  e3 x  .

2
1 2

2
3 2

(1.25)

Khi biểu diễn thông qua các tham số vật liệu của tấm, phương trình tán sắc (1.23) có
dạng
A cosh( b1 )cosh( b3 )  C

sinh( b1 ) sinh( b3 )
1
b1
b3

(1.26)

với

A A

e22 ( S 2  2 P)  2e2 (e3  x) S  2(e3  x) 2
2 e22 P  e2 S (e3  x)  (e3  x) 2 

e 2 PS  e 2 (1  x) 2 S  4e2e3 (1  x) P
C  Cb1b3  2 2 3
2 e2 P  e2e3 (1  x) S  e32 (1  x) 2 

(1.27)

trong đó P và S được biểu diễn bởi (1.12).
Chú ý rằng, khi được biểu diễn dưới dạng (1.26), vế trái của phương trình tán sắc sẽ
ln ln có giá trị thực.
9


hƣơng 2. ác công thức xác định điểm tiếp xúc
Phương trình tán sắc (1.16) và (1.23) của sóng Rayleigh truyền trong tấm là phương
trình dạng ẩn để xác định vận tốc như là một hàm của tần số. Về nguyên tắc, để đi xác
định điểm tiếp xúc ta cần tìm các giá trị của tần số sao cho các phương trình trên có
nghiệm kép. ầu tiên, các phương trình tán sắc (1.16) và (1.23) sẽ được tách thành hai
phương trình con biểu diễn các mode đối xứng và phản đối xứng (theo thuật ngữ dùng
trong bài báo của Tolstoy và Usdin, 1953) bằng một phép đổi biến.
2.1. rƣờng hợp tấm có hai mặt tự do
ặt

t1  tanh(

 b1
2

) và t3  tanh(

 b3
2

).

(2.1)

Ta có các đẳng thức liên hệ của các hàm lượng giác sau
1  t32
2t
1  t12
2t
cosh( b1 ) 
, cosh( b3 ) 
, sinh( b1 )  1 2 , sinh( b3 )  3 2 . (2.2)
2
2
1  t1
1  t3
1  t1
1  t3

Thay các biểu thức này vào phương trình tán sắc (1.16) ta có
4t1t3
1  t12 1  t32
B
1
2
2
1  t1 1  t3

(1  t12 )(1  t32 )

(2.3)

trong đó ta ký hiệu
2

B 2  B0
B 0
.
2 B0 B0

(2.4)

Từ(2.3)ta có

(1  t12 )(1  t32 )  4 Bt1t3  (1  t12 )(1  t32 )
 t12 (1  t32 )  (1  t32 )   4 Bt1t3  (1  t32 )  (1  t32 )   0
 t12  (2 Bt3 )t1  t32  0.

ây là một phương trình bậc hai đối với biến t1 và hai nghiệm của phương trình là
10

(2.5)


t1  Bt3  '

(2.6)

'  B2t32  t32  ( B2  1)t32 .

(2.7)

với

Dấu (+) trong phương trình (2.6)tương ứng với mode đối xứng, dấu (–) tương ứng với
mode phản đối xứng. Hai thuật ngữ này bắt nguồn từ thực tế rằng nghiệm của nhánh (+)
có chuyển dịch của chất điểm tại hai bề mặt của tấm đối xứng nhau, và nghiệm của nhánh
(-) có chuyển dịch phản đối xứng.
Những điểm tiếp xúc là những điểm mà tại đó hai mode đối xứng và phản đối xứng
gặp nhau. Từ điều kiện này và từ cách đặt ở trên ta có phương trình xác định điểm tiếp
xúc là

 B2  1
 0  2
t3  0
'

(2.8)

Với trường hợp t32  0 . ây là một trường hợp khơng có ý nghĩa vật lý nên ta không
xét đến.
Ta xét trường hợp B 2  1 . Nghĩa là, hoặc B  1 hoặc B  1.
Xét trường hợp B  1 , ta có
2

B02  B0  2B0 B0  B0  B0 .

(2.9)

iều này dẫn đến phương trình tán sắc (1.16) có dạng

cosh( b1 )cosh( b3 )  sinh( b1 )sinh( b3 )  1.

(2.10)

Từ đó suy ra b1  b3 .
Xét trường hợp B  1, tương tự như trên ta có :
2

B02  B0  2B0 B0  B0   B0 .

Từ đó suy ra

11

(2.11)


(1  x) e32  e2 (e1  x)   x e2 (1  x)(e1  x)  0.

(2.12)

ây chính là phương trình tán sắc sóng Rayleigh truyền trong bán khơng gian có tính
chất vật liệu giống như của tấm (xem Pham Chi Vinh và Ogden, 2004). Tuy nhiên, vận
tốc truyền sóng của sóng Rayleigh trong tấm ln ln lớn hơn xR . Do đó nếu điểm tiếp
xúc tồn tại thì nó sẽ là một nghiệm thực khác xR của phương trình (2.12), nếu tồn tại.
iều kiện của các tham số của tấm để phương trình Rayleigh (2.12) tồn tại nhiều hơn một
nghiệm thực là phức tạp và có thể xem trong Phạm hí Vĩnh và Ogden (2004).

Giả sử ta đã tìm được vận tốc truyền sóng xa của điểm tiếp xúc (nếu tồn tại). ể tìm
tần số tại điểm tiếp xúc ta sử dụng phương trình (2.6) và có t1  t3 .
tan(

iều này dẫn đến

i b1
i b
i b i b
2k
)  tan( 2 )  0  1  2  k   
(k  Z)
2
2
2
2
i(b1  b2 )

(2.13)

với b1  b2  S  2 P và được lấy giá trị x  xa . Chú ý rằng để nhận được phương
trình trên ta đã sử dụng đẳng thức tanh( x)  i tan(ix).
2.2. rƣờng hợp tấm có mặt đáy bị ngàm
Sử dụng các biểu thức trong (2.1) và (2.2), phương trình tán sắc (1.23) khi đó được
biểu diễn dưới dạng

A(1  t12 )(1  t32 )  C (2t1 )(2t3 )  (1  t12 )(1  t32 )
 t12  A(1  t32 )  (1  t32 )   2(2Ct3 )t1   A(1  t32 )  (1  t32 )   0.

(2.14)

Phương trình trên là phương trình bậc hai đối với t1 . Biệt thức  ' của phương trình này là

'  4C 2t32   A2 (1  t32 )2  (1  t32 )2  =t 34 1  A2   2t32  2C 2  A2  1  1  A2 . (2.15)
Hai nghiệm t1 của phương trình tán sắc này ứng với hai nhánh đối xứng và phản đối
xứng.
Phương trình tán sắc của nhánh đối xứng là:
2Ct3   '
t1 
A(1  t32 )  (1  t32 )

12

(2.16)


hoặc dưới dạng ẩn nó có dạng
 A(1  t32 )  (1  t32 )   2Ct3  '  0

(2.17)

F ( x,  )  ' ( x,  )  0,

(2.18)

F ( x,  )   A( x)(1  t32 )  (1  t32 )  t1  2C ( x)t3.

(2.19)

hay

trong đó

Chú ý rằng các hàm t1 và t3 là các hàm phụ thuộc vào cả biến x và  .
Phương trình tán sắc của nhánh phản đối xứng là
t1 

2Ct3   '
A(1  t32 )  (1  t32 )

(2.20)

hoặc được biểu diễn dưới dạng ẩn có dạng:

F ( , x)  ( , x)  0.

(2.21)

ối với các tham số vật liệu của tấm (ei) được cho trước, các đường cong nghiệm
x( ) của phương trình tán sắc (1.23)là hợp của các đường cong nghiệm của phương trình
của hai nhánhđối xứng và phản đối xứng. Trong một số giá trị đặc biệt của tham số vật
liệu của tấm, chúng có thể giao nhau và điều kiện cần để chúng gặp nhau là

( , x)  0

(2.22)

với ( , x) được xác định từ(2.15). ây là phương trình bậc hai đối với t32 có biệt thức

1   2C 2  A2  1  1  A2   4  C 2  1 C 2  A2  .

2

2

(2.23)

Tùy thuộc vào giá trị của x, ei và  mà biệt thức trên có giá trị dương, âm hay bằng
khơng tương ứng với các trường hợp sau đây.
Trường hợp1: phương trình(2.22) khơng có nghiệm.

13


Trong trường hợp này, khơng có điểm giao nhau giữa hai mode đối xứng và mode
phản đối xứng với mọi giá trị của tần số sóng. Nghĩa là, điểm tiếp xúc khơng tồn tại.
Trường hợp 2: phương trình(2.22) có nghiệm kép.
Trong trường hợp này biệt thức 1 của phương trình(2.23) bằng 0. Nghĩa là

C

2

 1 C 2  A2   0.

(2.24)

Ta xét các trường hợp sau:
rƣờng hợp: C 2  A2  0  C 2  A2
Khi đó phương trình xác định điểm tiếp xúc (2.22) trở thành:

( , x)  1  A2  t32  1  0.
2

(2.25)

Do t32  1  0 ( , x) nên ta có A2  1  C 2 . Từ biểu thức của A trong (1.24), điều kiện
này trở thành

 A  A0
( A02  A02 )2  4 A02 A02  A02  A02  0   0
 A0   A0

(2.26)

1. Ta xét A0  A0 suy ra b12e2  e3  x  b22e2  e3  x hay (b12  b22 )e2  0.
Từ đó suy ra b12  b22 .

ây là kết quả trong trường hợp phương trình đặc trưng

(1.10) bị suy biến, do đó khơng có ý nghĩa vật lý.
2. Ta xét trường hợp A0   A0 , khi đó ta có

Se2  2e3  2 x  0.

(2.27)

Từ biểu thức của S trong (1.12), ta có cơng thức xác định vận tốc truyền sóng tại
điểm tiếp xúc có dạng
e1e2  e32
xa1 

.
e2  1

14

(2.28)


Do xa1 phải lớn hơn không và từ điều kiện năng lượng đàn hồi xác định dương nên ta có





e2  1. Từ điều kiện C2=1 , thay x  xa1 vào ta có  e2  1 e1e2  e32  e3  1  0 . Do đó
2

e3  1.
Như vậy ta đã tìm được tập hợp điểm tiếp xúc thứ nhất xảy ra khi e3  1 tại
xa1 

e1e2  1
. Tiếp theo ta sẽ đi tìm giá trị của tần số sóng tại tập điểm tiếp xúc thứ nhất
e2  1

này.
Từ phương trình (2.16) hay (2.20)với   0 ta có
t1 

2Ct3

.
A 1  t32   1  t32 

(2.29)

Do
2 A02
C
A0   A0  A 
 1  t1    t1t3  C.
2
2 A0
t3

(2.30).

Do C 2  1 nên t1t3 chỉ có thể nhận giá trị là 1 hoặc -1. Do định nghĩa của các biến t1 và

t3 trong phương trình (2.1), chúng chỉ có thể nhận giá trị thuần ảo. Vì vậy, b1 và b3 cũng
phải nhận các giá trị thuần ảo. Và do quy ước chọn giá trị của b1 , b3 trình bày trong
hương 1, ta có b1b3  0 . Vì vậy, với e3  1 và x  xa1 , ta có
 e 1 
b1b3  P( xa1 )   1

 e2  1 

2

(2.31)

Trong luận văn này ta chỉ xét trường hợp e1  1 do nếu ngược lại vật liệu có thể sẽ có
những tính chất đặc biệt như là hệ số Poisson âm trong trường hợp đẳng hướng. Do đó
e 1
b1b3  P( xa1 )   1
. Thay giá trị x  xa1 vào biểu thức của C  x  trong phương trình
e2  1
(1.24) ta có

 

C xa1  

e2  1
 P( xa1 )  1.
e1  1

15

(2.32)


Như vậy từ (2.30) ta có

t1t3  1.

(2.33)

Do tanh( x)  i tan(ix) , từ phương trình (2.33)
i b
i b1

tan 3  1
2
2
i b i b 
 1  3   m , m  Z
2
2
2
 tan

(2.34)

hay



  2m
i(b1  b3 )

, m  Z.

(2.35)

Từ (1.12) và thay x  xa1 ta có

b1  b3  b12  2b1b3  b32  4

2i xa1
1  e1e2


.
e2 (e2  1)
e2

(2.36)

Do đó

a  
1

  2m
2 xa1



e2 
(  m ) (m  0,1, 2,...).
xa1 2

(2.37)

e2
Như vậy tập hợp nghiệm S1 của điểm tiếp xúc là

S1 : e3  1, xa1 

e1e2  1
,  a1 
e2  1

e2 
(  m ) (m  0,1, 2,...).
xa1 2

(2.38)

rƣờng hợp C 2  1  A2
Khi đó phương trình xác định điểm tiếp xúc (2.22) trở thành

1  A 1  t   0.
2

2
3

Do A2  1, nên từ phương trình trên ta có
16

(2.39)


t32  1

(2.40)

vì vậy b3 là số thuần ảo. Từ phương trình (2.16) ta có

t1 

2Ct3
 Ct3  t12  Ct32  t12  t32  1.
2

(2.41)

Như vậy b1 cũng là số thuần ảo. Do quy ước chọn b1 và b3 trong hương 1, nên b1b3  0
.Từ điều kiện C 2  1 ta có
2

C02  C0  0.

(2.42)

Thay biểu thức C0 và C0 vào ta có

b

2
1

 b32   Pe22  e32 ( x  1)2   0

 1  x  e1  x  e2  e32  x  1  0  b12  b32 
2

(2.43)

 1  x   e1  x  e2  e32  x  1   0.





2
2
Từ đó suy ra x  1 hoặc e1e2  e3  x e2  e3 .

Với x  1 , thay vào các biểu thức của P và S trong phương trình (1.12) ta có
e  e  1  1  e3 
b b  0, b  b  2 1
.
e2
2

2 2
1 3

2
1

2
3

(2.44)

Từ đó suy ra b1 hoặc b3 bằng khơng. iều này khơng có ý nghĩa vật lý.
Với x  1 ta có vận tốc truyền sóng tại lớp các điểm tiếp xúc thứ hai bằng
e2e1  e32
xa2 

.
e2  e32

(2.45)

Do e1e2  e32  0 nên điều kiện xa2  0 suy ra e2  e32  0 .
Thay giá trị của xa2 trong phương trình (2.45) vào biểu thức của P( x) trong (1.12) ta có

17


P( xa2

 e  1
) 1

e

2

e32

2
2  e3 

2

 b1b3  P  

 e1  1 e3  0.

e

2

 e32 

(2.46)

Trong phương trình trên, để cho đơn giản ta đã giả thiết e1  1  0 . Từ phương trình (1.24)
ta có

C ( xa2 )  

 e1  1 e3

b1b3  e2  e32 

 1.

(2.47)

Do đó ta có t1  t3 từ phương trình (2.41), và từ đẳng thức tanh( x)  i tan(ix) , ta có

tan(

ib 
ib1
)  tan( 3 )  1.
2

2

Với điều kiện này, tần số tại điểm tiếp xúc được tìm từ một trong hai điều kiện sau
 ib1 
  k

 2
4

 ib3    l

4
 2

( k , l  Z)

(2.48)

hoặc


 ib1
   k

 2
4

 ib3     l

4

 2

( k , l  Z)

(2.49)

Cả hai phương trình trong (2.48) và (2.49) đều cho ta

 i  b1  b3 
 p (p  Z)

2

 i  b1  b3     q (q  Z)

2
2

(2.50)

Từ đó suy ra



2 p
  2q

, p  1, 2,3
i(b1  b3 ) i (b1  b3 )
18

, q  0,1, 2

(2.51)


Từ(1.12) ta có

b1  b3  b12  2b1b3  b32  i (1  e3 )

xa2

(2.52)

e2

và
b1  b3  b  2b1b3  b  i
2
1

2
3

(e3  1)2 xa2
e2



4e3  e1  1 xa2

e1e2  e32

(2.53)

.

Do đó, từ (2.51) ta có thêm tập nghiệm của điểm tiếp xúc nữa, đó là

S2 : xa2 

a 
2

e2e1  e32
,
e2  e32
e2   2q

xa2 (e3  1)

2 p
xa2
e2

(2.54)

4e e  e  1
(e3  1)  2 3 1 2
e1e2  e3
2

(q  0,1, 2... và q  1, 2,...)
Từ các biểu diễn tập nghiệm(2.54)các thông số phải chịu thêm một ràng buộc, đó là
2p
(e3  1) 2 

4e2e3  e1  1
e1e2  e32



1  2q

(1  e3 )

1
1

4e2e3  e1  1

e e

1 2

 e32  (e3  1) 2



1  2q
2p

hay

4e2e3  e1  1

2

 2p 
R2 :

1

.
 e1e2  e32  (e3  1)2  1  2q 

(2.55)

Ngồi ra các thơng số tự do p, q cũng phải thỏa mãn thêm điều kiện từ các điều kiện áp
lên các tham số vật liệu, tức là

2p
 1.
1  2q
Trường hợp 3: phương trình (2.22) có hai nghiệm phân biệt

19

(2.56)

Trong trường hợp này, phương trình (2.22) có thể được phân tích thành

( , x)  T ( , x)(t32  t312 )(t32  t322 )

(2.57)

trong đó T ( , x) là một hàm hệ số nào đó.Khi đó, đường cong của mode đối xứng sẽ gặp
đường cong của mode phản đối xứng tại hai điểm phân biệt được xác định từ việc giải
phương trình t32  t312 hoặc t32  t322 cùng với phương trình (2.16).
2.3. ính trơn của đƣờng cong phổ vận tốc tại điểm tiếp xúc
Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong tấm (1.23) có dạng

F ( , x)  ( , x)  0

(2.58)

trong đó hàm F ( , x) và ( , x) được cho trong phương trình (2.19) và (2.15).
ạo hàm của đường cong vận tốc theo tần số của mode đối xứng được tính theo cơng
thức của đạo hàm của hàm ẩn như sau
(

F  (  )
dx ( sym )
)
 
d
Fx  (  ) x

(2.59)

và đối với các mode phản đối xứng
(

F  (  )
dx ( asym )
)
 
.
d
Fx  (  ) x

(2.60)

Tại tập các điểm tiếp xúc Si , đạo hàm riêng của hàm F ( i , xi )  F (Si )  i  1,2  được tính
tốn trực tiếp bằng các quy tắc lấy đạo hàm. Từ phương trình (2.19), biểu thức của hàm
F ( , x) được viết lại dưới dạng

F ( x,  )  A( x)t1 1  t32   2C ( x)t3  t1 1  t32 

(2.61)

trong đó các hàm t1 và t3 được ngầm hiểu là t1  t1 ( , x) và t3  t3 ( , x). Khi đó các đạo
hàm riêng của hàm này có dạng
Fx  Axt1 1  t32   A t1 (1  t32 )   2Cxt3  2C  t3  x  t1 (1  t32 )  ,
x

F  A t1 (1  t32 )   2C  t3   t1 (1  t32 )  .



20

x

(2.62)


Tuy nhiên, các đạo hàm riêng của  ( , x) tại các điểm tiếp xúc thì khơng tính tốn trực
tiếp được theo cách như trên vì hàm này bằng khơng tại các điểm tiếp xúc, do đó các đạo
hàm riêng của hàm này nếu được tính theo cơng thức sẽ không xác định tại các điểm tiếp
xúc. Biểu thức của hàm ( , x) trong phương trình (2.15) được biểu diễn lại có dạng

  1  A2  t34  2t32  1  4t32  C 2  1
(2.63)

 1  A2  t32  1  4t32  C 2  1 .
2

Từ biểu thức của A( x) và C ( x) trong (1.24) và (1.25) ta có
1  A2

x  x 


2

a1

 e2  1

C 2 1 


e


e 

x  xa2
2

M ( x)

2

(2.64)

2

2 2
3

M ( x)
e22 P ( x)

trong đó

M ( x) 

 e2  1

2

x 2  2 (e2  1)(1  e3 )2  (e2  1)(e1e2  1)  x   e1e2  e32  e1e2  (2  e3 ) 2 
4  e3  1  e2  e3  x   e1e2  e 
2

2
3

2

(2.65)

Xét tập hợp nghiệm S1 trong phƣơng trình (2.38)
Trong trường hợp này ta có e3  1 và vận tốc truyền sóng tại các điểm tiếp xúc là
xa1 

e1e2  1
.
e2  1

Ta có cơng thức tính các đạo hàm riêng của hàm

   (


   (
x

a1 , xa1 )  lim

, xa1 )  lim

  , x  như sau

 ( , xa1 )   ( a1 , xa1 )

  a

  a1

a1

(2.66)

,

1

 ( a1 , x)   ( a1 , xa1 )
x  xa1

x  xa1

21

(2.67)

.

Chú ý rằng



 ( a1 , xa1 )  0 , và khi e3  1 ta có xa  xa . Do đó từ (2.64) và (2.65) ta có
1

2



  , xa1  0 . iều này dẫn đến

   (


a1

, xa1 )  0.

(2.68)

Thay    a1 vào trong phương trình (2.63) ta có



















2
M ( x)
t32  a , x  1  4t32  a , x 2 1
1
1


e2 P( x) e2  1

  a1 , x  x  xa1

(2.69)

Từ đó suy ra

   

x





a1 , xa1  sign x  xa1





2
t32  a , xa  1  4t32  a , xa 2 1
1
1
1
1


e2 P( xa1 )

M ( xa1 )
e2  1

(2.70)

với

 e  1 ,

P( xa )  1
2
 e2  1
2

1

M ( xa1 ) 

1
.
4 xa1

(2.71).

Trong trường hợp này, thay e3  1 và x  xa1 vào các biểu thức đạo hàm của hàm

A( x) và C ( x) ta có A( xa1 )  1, C ( xa1 )  1, Ax ( xa1 )  Cx ( xa1 )  0.
Do đó từ phương trình (2.62) ta có
Fx  S1    t1 (1  t32 )   2  t3  x  t1 (1  t32 ) 
=  2 t t



2
1 3 x

x

 2  t3  x  2  t t  t3 

2
1 3

x

x

(2.72)

 2 t3 (t1t3  1) x   2t3  t1t3  x   S1 

do t1t3 (S1 )  1  0 . Tương tự như vậy ta có:

F  S1    2t3  t1t3    S1  .
Xét tập hợp nghiệm S 2 trong phƣơng trình(2.54)
Trong trường hợp tập nghiệm này, vận tốc truyền sóng bằng
22

(2.73)


e1e2  e32
xa2 
,
e2  e32

(2.74)

t32 (S2 )  t32 ( a2 , xa2 )  1.

(2.75)

và ta có

Tương tự như phần trên ta có

   (


a2

, xa2 )  lim

 ( , xa2 )

  a2

  a

 lim

xa2  xa1 t32 ( , xa2 )  1

2

  a

(e2  1)

  a2

M ( xa2 ).

(2.76)

2

Từ phương trình (2.75), biểu thức trên khơng xác định tại điểm ( a2 , xa2 ) do có dạng

0 / 0 . Tại lân cận ( a , xa ) ta có khai triển Taylor của hàm t32 ( , x) theo hai biến có dạng
2

2

t32 ( , x)  1   t32  ( a2 , xa2 )( x  xa2 )   t32  (   a2 )  ...


x



(2.77)



 t ( , xa2 )  1  (t ) ( a2 , xa2 ) (   a2 )  o    a2 .
2
3

2

3 

Ta có

 t   S    tanh
2
3 

2

2

 b3 

 b3 
 b3 
  2 tanh
 tanh

2 
2 
2 

(2.78)

 t3 1  t  b3  2t3b3 ( xa2 ,  a2 ).
2
3

Ở trên ta đã sử dụng kết quả trong phương trình (2.75). Từ đó suy ra

 


ể tính

   (
x

a2



2t3  S2  b3  S2  xa2  xa1

( a2 , xa2 )  sign(   a2 )

e2  1

, xa2 ) , ta sử dụng công thức

   (
x

a2

, xa2 )  lim

x  xa2

M ( xa2 ).
 ( a2 , x)
x  xa2

(2.79)

với

2

 ( a2 , x)  x  xa2

2
( x  xa1 )2 t3 ( a2 , x)  1
4t32 ( a2 , x)

M ( x) (2.80)
2
(e2  1) 2
(e2  e32 ) 2 e22 P( x)
xx



a2



được xác định từ (2.63) và (2.64).Tại lân cận ( a2 , xa2 ) , từ khai triển Taylor (2.77)ta có
23

t32 ( a2 , x)  1   t32  ( a2 , xa2 )( x  xa2 )  o( x  xa2 )

(2.81)

x

với

t 

2
3 x

( a2 , xa2 )  2t3 ( a2 , xa2 ) a2  b3  x ( xa2 ).

(2.82)

Do đó

 

( xa2  xa1 )2

 ( a2 , xa2 )  sign( x  xa2 )

trong đó P( xa2

e

2

2

e32



2 2
3

e

2

(e2  1)2

x

 e  1
) 1

4
 t32  ( S2 )  
M ( xa2 ) (2.83)
2
x

 (e  e ) 2 e 2 P ( x )

2
3
2
a2

và M ( xa2 ) 

e2 1  e1 
1

.
2
4e3 e3  e1e2  1  e3  12

ể tính tốn các đạo hàm riêng của hàm F ( , x) tại lân cận nghiệm S 2 ta có
A( xa2 ) 

e3 (2e2  e3  e32 )  e1e2 (e3  1) 2
; C ( xa2 )  1,
2e3 (e2  e32 )

(2.84)

(e  e )(1  e3 )
A ( xa2 )  2 3 2
; C ' ( xa2 )  0.
2e3
'

Thay các giá trị này vào phương trình (2.62) ta nhận được

x

 S2   t1 (1  t32 )  2t3  x  S2  ,

(2.85)



 S2   t1 (1  t32 )  2t3   S2 .

(2.86).

Fx (S2 )  A( xa2 ) t1 (1  t32 ) 

và
F (S2 )  A( xa2 ) t1 (1  t32 ) 

Tính chất của đạo hàm của vận tốc truyền sóng đối với tần số tại điểm tiếp xúc
ối với cả hai tập nghiệm của điểm tiếp xúc S1 , S2 ta đều có

 

x

( ai , xai )  sign( x  xai ) R( ai , xai )

và

24

(2.87)


 





( ai , xai )  sign(   ai ) Q( ai , xai ), i  1,3



(2.88)

trong đó, các hàm R( ai , xai ) và Q( ai , xai ) ứng với mỗi tập nghiệm được cho bởi phương
trình (2.70) và (2.79), (2.83). Như vậy, ta thấy rằng các đạo hàm riêng của hàm  ( , x)
sẽ không liên tục tại các điểm tiếp xúc do hàm sign( x  xa ) và sign(   a ) gián đoạn tại
các điểm này. iều này làm cho đạo hàm toàn phần của vận tốc truyền sóng đối với tần
số cũng bị gián đoạn. Tuy nhiên, chúng ta cũng thấy rằng các đạo hàm riêng bên trái của
hàm





 ( , x) sẽ bằng các đạo hàm riêng bên phải của hàm   ( , x) . Và từ công

thức (2.59) và (2.60), ta thấy rằng tại điểm tiếp xúc, đạo hàm toàn phần bên trái của
đường cong vận tốc đối với tần số của mode đối xứng bằng đạo hàm toàn phần bên phải

của mode phản đối xứng và ngược lại.

vg 

d
dc
ck
dk
dk

(2.89)

và vận tốc nhóm đặc trưng cho vận tốc truyền năng lượng của các mode. Chính vì vậy, tại
điểm tiếp xúc, một nhánh của mode đối xứng phải được nối một cách trơn với một nhánh
khác của mode phản đối xứng. Nếu điều này không xảy ra, vận tốc truyền năng lượng sẽ
bị gián đoạn tại điểm tiếp xúc.
ối với các điểm tiếp xúc thuộc trường hợp 3, tại các điểm tiếp xúc loại này, tính trơn
của đường cong vận tốc vẫn chưa được xác định. Bước đầu chúng ta có thể biết rằng

lim

2
2

t3 t31

 ( , x)
1
 T ( , x) t32  t322 lim
 .

2
2
2
2
2
2
t3 t31 t  t
t3  t31
3
31

(2.90)

 
Do đó đạo hàm của đường cong vận tốc đối với tần số ban đầu sẽ có dạng   và chỉ có
 
thể xác định được bằng các cơng cụ giải tích tốt hơn, ví dụ như sử dụng định lý
L’ ospital.

25