PHÂN TÍCH PHỔ VỚI DFT Xử lý tín hiệu số

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

TIỂU LUẬN

XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ NÂNG CAO
CHỦ ĐỀ1:

PHÂN TÍCH PHỔ VỚI DFT
Người hướng dẫn:

TS. NGUYỄN NGỌC MINH

Nhóm học viên thực hiện:

Nguyễn Ngọc Tú
Đinh Hải Châu
Nghiêm Xuân Hùng

Lớp CH Kỹ thuật Viễn thông : M14CQTE02-B

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

1


Mục lục bảng

Mục lục hình
Hình 2. 1:Các bước xử lý trong phân tích DFT của một tín hiệu liên tục theo thời
gian
Hình 2. 2: Đồ thị cửa sổ wR(n)10 và WT(ejω) tương ứng

Hình 2. 3:Đồ thị cửa sổ wT(n - 5)10 và hàm WT(ejω) .
Hình 2. 4: Đồ thị cửa sổ wC(n - 5)10 và hàm WC(ejω) tương ứng.
Hình 2. 5: Đồ thị cửa sổ wHn(n)10 và hàm XHn(ejω)
Hình 2. 6: Đồ thị cửa sổ wHm(n)10 và hàm XHm(ejω)

2


MỞ ĐẦU
Hiện nay các hệ thống số trong các lĩnh vực thông tin, xử lý tín hiệu… đã trở
nên phổ biến và thay thế hầu hết các thiết bị tương tự ở cùng lĩnh vực. Để nghiên
cứu tín hiệu cũng như các đặc trưng của tín hiệu như băng tần, phổ… người ta hay
sử dụng biến đổi Fourier thông thường. Phép biến đổi Fourier thông thường trong
nghiên cứu cho phép phân tích tín hiệu số và hệ xử lý số có độ dài vô hạn theo hàm
tần số ω liên tục. Tuy nhiên các hệ xử lý số trong thực tế lại chỉ có thể xử lý các tín
hiệu số có độ dài hữu hạn ví dụ như một bức ảnh hay một đoạn âm thanh với tần số

ω rời rạc . Do đó người ta xây dựng phép biến đổi Furier cho các dãy có độ dài hữu
hạn và có tần số rời rạc và gọi là phép biến đổi Fourier rời rạc. Nó được viết tắt theo
tiếng Anh là DFT (Discrete Fourier Transform).
DFT được ứng dụng rộng rãi khi nghiên cứu tín hiệu ở dạng giải tích. Đặc biệt
là nghiên cứu phổ tín hiệu cũng như các bộ lọc số. Để thực hiện được điều đó người
ta dùng phương pháp xấp xỉ hàm tần số của dãy vô hạn hoặc có độ dài rất lớn bằng
các công thức nội suy. DFT đòi hỏi tín hiệu có độ dài hữu hạn, thông qua cửa sổ
trước khi phân tích. Đối với tín hiệu hình sin, chiều rộng của búp chính quan sát
được trong các DFT phụ thuộc vào độ dài cửa sổ, với chiều dài cửa sổ càng tăng
dẫn đến búp sóng càng hẹp. Ngoài ra, tác động độc lập vốn có trong phân tích phổ
sử dụng DFT là lấy mẫu các phổ liền kề. Để tránh nhầm lẫn khi quan sát và phân
tích phổ, khoảng cách giữa các mẫu phổ có thể giảm bằng cách tăng size của DFT
theo một trong hai cách. Phương pháp thứ nhấtlà tăng kích thước DFT trong khi vẫn

giữ độ dài cửa sổ cố định (yêu cầu zero-padding của chuỗi cửa sổ). Điều này không
làm tăng độ phân giải. Phương pháp thứ hai là tăng cả chiều dài cửa sổ và kích
thước DFT, trong trường hợp này khoảng cách giữa các mẫu phổ giảm và khả năng
giải quyết các thành phần hình sin gần nhau được tăng lên.
Trong khi tăng chiều dài cửa sổ và độ phân giải thường mang lại lợi ích trong
phân tích phổ của tín liệu ổn định, bất biến về thời gian. Điều này dẫn đến khái
niệm Biến đổi Fourier phụ thuộc thời gian, trong đó một chuỗi các biến đổi Fourier
gồm các slides tín hiệu qua một cửa sổ finite-duration.Biến đổi Fourier phụ thuộc
thời gian có những ứng dụng quan trọng như là bước trung gian của tín hiệu lọc và
để phân tích và giải thích các tín hiệu time-varying.

3


DFT cũng đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích các tín hiệu ngẫu nhiên,
bất biến. Một cách tiếp cận trực quan nhằm ước lượng mật độ phổ công suất của tín
hiệu ngẫu nhiên là tính toán bình phương độ lớn DFT của một phân đoạn tín hiệu.
Các kết quả ước tính , được gọi là periodogram. Một phương pháp khác là ước tính
hàm tự tương quan trực tiếp hoặc với DFT.
Phân tích phổ tín hiệu là một ứng dụng vô cùng quan trọng của biến đổi Fourier
rời rạc, là cơ sở để nghiên cứu tín hiệu ở những nội dung sâu hơn.
Tuy nhiên, trong giới hạn nội dung môn học , tiểu luận "Phân tích phổ với DFT
" xin phép chỉ đề cập tới các khái niệm và nội dung căn bản về biến đổi DFT, sử
dụng phương pháp cửa sổ để giới hạn dãy tuần hoàn có chiều dài vô hạn để phân
tích phổ mà không đi sâu vào phân tích các nội dung liên quan tới tín hiệu timevarying,biến đổi Fourier phục thuộc thời gian, periodogram và ước tính hàm tự
tương quan.
Các nội dung chính của tiểu luận bao gồmcác vấn đề chính sau đây:
- Biến đổi Fourier rời rạc DFT đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N
- Biến đổi Fourier rời rạc DFT đối với dãy có chiều dài hữu hạn N
- Xấp xỉ hàm tần số của dãy vô hạn có độ dài rất lớnbằng phương pháp cửa sổ

- Ứng dụng của DFT trong phân tích phổ tín hiệu.
Do khả năng còn hạn chế nên việc nghiên cứu, tóm lược nội dung của nhóm
cũng chưa được sâu sắc và không tránh khỏi sai sót. Rất mong được sự quan tâm
giúp đỡ của thầy giáo và góp ý của các bạn học viên.

4


1- PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT)
1.1- Biến đổi Fourier rời rạc DFT đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N
Đối với một dãy tuần hoàn bất kỳ với chu kỳ N, ta thấy không cần thiết phải
thực hiện biến đổi Fourier liên tục mà chỉ cần lợi dụng tính chất tuần hoàn của
x%
(n) N với chu kỳ N và tính tuần hoàn của biến e jω chu kỳ 2 π , nghĩa là chỉ cần lấy
2π
các điểm đặc biệt N trên đường tròn đơn vị tương ứng với chu kỳ N của tín hiệu

%
tuần hoàn x( n) N
- Định nghĩa phép biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn chu kỳ N:
Biến đổi Fourier rời rạc (DFT: Discrete Fourier Transform) của một dãy tuần
%
hoàn x(n) N có chu kỳ N được định nghĩa nhưsau:
2π

N −1

N −1

−j

kn
X%( k ) = ∑ x%( n ) .e N = ∑ x%( n ) .e − jωk n
n =0

Trong đó:

ωk =

2π
k
N
với

n =0

(1.1)

k = 0 ÷ N − 1

n = 0 ÷ N − 1

%n ) = x(
%n + lN )
x%
(n) là dãy tuần hoàn chu kỳ N nên nó thỏa mãn: x(
Nếu chúng ta đặt:
Ta có:
− kn
N

W

=e

− jωk n

=e

−j

WNkn = e − jωk n = e

−j

2π
kn
N

2π
kn
N

(1.2)

WN = e

−j

2π
N

−1
N

; W =e

j

2π
N

0
; WN = 1 .

Theo cách đặt như trên thì biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn chu kỳ
N được viếtlại như sau:
N −1

X%(k ) = ∑ x%
(n)WNkn

(1.3)

n =0

Để viểu diễn cho gọn, người ta thường biểu diễn theo (1.3) :
Ký hiệu toán tử:
DFT [ x%
(n ) ] = X%(k )
DFT

x%( n ) 
→ X%( k )

- Định nghĩa phép biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT với dãy tuần hoàn:

5


Cách tính IDFT hoàn toàn giống DFT chỉ khác dấu (-), (+) và hệ số 1/N trước
dấu ∑ .Vì vậy ta chỉ cần xét DFT rồi suy ra biến đổi IDFT. Về mặt thuật toán là
như nhau.
Biến đổi Fourier rời rạc ngược IDFT được định nghĩa như sau:
x%( n ) =

1
N

2π

N −1

j kn
∑ X%( k ) .e N

(1.4)

k =0

Hay viết lại cho gọn:
x%( n ) =

1
N

N −1

∑ X%( k ) .W

− kn
N

k =0

(1.5)

Ký hiệu:
IDFT  X%( k )  = x%( n )

Dạng toán tử:
IDFT
X%( k ) 
→ x%( n )

- Biểu diễn DFT dưới dạng ma trận:
Xuất phát từ biểu thức (1.3)
~

N −1 ~

X (k ) = ∑ x(n).WNkn

n =0

Ta khai triển:
%
(0)WN0 + x%
(1)WN0 + x%
(2)WN0 + ... + x%
( N − 1)WN0
k=0: X (0) = x%
%
(0)WN0 + x%
(1)WN1 + x%
(2)WN2 + ... + x%
( N − 1)WN( N −1)
k=1: X (1) = x%
%
(0)WN0 + x%
(1)WN2 + x%
(2)WN4 + ... + x%
( N − 1)WN2( N −1)
k=2: X (2) = x%
………………..
~

~

~

~

~

0
N −1
2( N −1)
+ ... + x( N − 1)WN( N −1)( N −1)
K= N-1: X ( N − 1) = x(0)WN + x(1)WN + x(2)WN

Ta ký hiệu:
 X%( 0 ) 
 %

 X ( 1) 
X%( k ) =  X%( 2 ) 


M 

 X%( N − 1) 

,

 x%( 0 ) 


 x%( 1) 
x%( n ) =  x%( 2 ) 


M 


 x%( N − 1) 



(1.6)

6


WN0
WN0
 0
WN1
WN
WN = WN0
WN2

 M
M

( N −1)
0
WN WN

WN0
WN2
WN4
M
WN (

2 N −1)



K
WN( N −1) 

K
WN2( N −1) 
O
M 

N −1 N −1
K WN( ) ( ) 
(1.7)
WN0

K

Ta có thể viết lại cho gọn biểu diễn theo ma trận như sau:
X%(k ) = x%
(n).WN

(1.8)
- Các tính chất của DFT đối với dãy tuần hoàn chu kỳ N:
Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc sẽ được tóm tắt trong bảng 1.1, ở đây
ta tập trung xem xét khái niệm về phép chập tuần hoàn.
Phép chập tuần hoàn
- Tích chập tuyến tính đã học:

x3 ( n ) = x1 ( n )* x2 ( n ) =

N −1

∑ x1 ( m )x2 ( n − m )

(1.9)

m =∞

Tích chập tuần hoàn (hay chập vòng) được biểu diễn như sau:
N −1

% %
%
%
%
x%
3 ( n) N = x1 ( n) N (∗) N x2 ( n) N = ∑ x1 ( m) N x2 ( n − m) N

(1.10)

m =0

Miền n

Miền k

N −1 ~

1
∑ X (k )WN− kn
N k =0
%
ax%
1 ( n ) N + bx2 (n ) N
~

x(n) =

N −1 ~

~

X (k ) = ∑ x( n)WNkn
k =0

x%
( n − n0 ) N

%
aX%
1 ( k ) N + bX 2 ( k ) N
W kn0 X%(k )

W x%
( n)
% %
x%

1 (n ) N (∗) N x2 (n ) N

X%( k + l )
X%(k ) X%(k )

N

ln
N

1

%
x%
1 ( n ) N x2 ( k ) N

N

2

N

N −1

1
∑ X%1 (l ) N X%1 (k − l ) N
N i =0
%%
X%
1 ( k ) N (∗) X 2 ( k ) N

X%(k ) = X%∗ (− k )
Re  X%(k )  = Re  X%∗ (− k ) 

~

~

Im  X (k )  = Im  X (−k ) 




~

~

X (k ) = X ( − k )
~

~

arg  X (k )  = − arg  X ( −k ) 




Bảng 1. 1 Các tính chất cơ bản của DFT đối với dãy tuần hoàn có chu kỳ N

7

1.2- Biến đổi Fourier rời rạc DFT với dãy không tuần hoàn có chiều dài
hữu hạn N.

] [
]
Một dãy x(n) có chiều dài N nghĩa là: [
Như trên chúng ta đã xét biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuần hoàn có chu
kỳ N và đãthấy ưu điểm nổi bật của biến đổi Fourier rời rạc DFT là biến đổi xuôi và
biến đổi ngược đều được thực hiện cùng một thuật toán, nhưng trên thực tế không
phải lúc nào chúng ta cũng gặp dãy tuần hoàn.
Bây giờ, ta xét dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn như sau:
L x(n) = 0, N − 1 = N

Hình
1.2.
Biểu
dãy
hoàn
dài
Hình
1.2.1
Biểu1diễn
dãydiễn
không
tuầnkhông
hoàn cótuần
chiều dài
hữucó
hạnchiều

N x(n)N.

hữu hạn N x(n)N.

Ta coi dãy có chiều dài N như trên là một chu kỳ của một dãy tuần hoàn có chu
kỳ M như sau:

Hình 1.2. 2 Biểu diễn dãy tuần hoàn có chiều dài chu kỳ M

Quan hệ giữa chu kỳ M và chiều dài N phải thỏa mãn:
M ≥ N (thường chọn M = 2γ nghĩa là chọn dạng hàm mũ theo cơ số 2)
Nếu M=N, ta có thể biểu diễn quan hệ giữa dãy có chiều dài hữu hạn N x(n) Nvà
~

dãy tuầnhoàn có chu kỳ N

x (n) N

như sau:

(n ) N
 x%
x( n) N = 
0

Hay biểu diễn cho gọn dưới dạng sau:

8

0 ≤ n ≤ N −1

n≠


x(n) N = x%
( n) N rect N (n)

Như vậy, nếu ta coi chiều dài hữu hạn N: x ( n ) N là một chu kỳ của dãy tuần
(n) M
hoàn có chu kỳM: x%
với M ≥ N ta có thể áp dụng định nghĩa biến đổi Fourier
rời rạc đối với dãy tuần hoànnhư đã xét ở trên cho dãy có chiều dài hữu hạn. Sau
khi thực hiện biến đổi xong ta lấy kết quả nhưng chỉ khoanh vùng trong một chu kỳ,
từ đó ta xây dựng được định nghĩa cho cặp biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy có
chiều dài hữu hạn N.
- Định nghĩa cặp DFT đối với dãy có chiều dài hữu hạn N
Cặp biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy không tuần hoàn có chiều dài hữu hạn
N được định nghĩa như sau.
Biến đổi xuôi DFT
 N −1
kn
∑ x ( n ) WN
X ( k ) =  n=0
0


0 ≤ k ≤ N −1
k≠

DFT
x ( n ) 

→ X ( k ) DFT  x ( n )  = X ( k )
Ký hiệu:

Hay:
Biến đổi ngược IDFT
1

x ( n) =  N
0


N −1

∑ X ( k)W

− kn
N

k =0

0 ≤ n ≤ N −1
n≠

I DFT
X ( k ) 
→ x ( n ) I DFT  X ( k )  = x ( n )

Ký hiệu:

Hay:

- Các tính chất của DFT đối với dãy có chiều dài hữu hạn N.
Miền n
1

x ( n) N =  N
0


N −1

∑ X (k )
k =0

N

WN− kn

Miền tần số rời rạc k
0 ≤ n ≤ N −1

n≠

 N −1
kn
∑ x (n) N WN ;0 ≤ k ≤ N − 1
X (k ) N =  k =0
0


ax(n) N1 + bx(n) N2 = x (n) N3 , N 3 = max [ N1 , N 2 ]

aX1 (k ) N3 + bX 2 (k ) N3 = X 3 (k ) N

x (n − n 0 ) N

WNkn0 x( k ) N

WN− k0 n x(n)

X ( k − k0 ) N

N −1

∑ x (m)
m =0

1

N

X 1 (k ) N X 2 ( k ) N

x2 ( n − m) N = x1 ( n) N (∗) N x2 ( n) N

x1 (n) N x2 (n) N

1
N

9

N −1

∑ X (l )
l =0

1

N

X 2 (k − l ) N


x∗ (n) N

X ∗ (−k ) N

x ∗ ( − n) N

X ∗ (k ) N
1
1
X (k ) N + X ∗ (−k ) N
2
2
1
1
X (k ) N − X ∗ (−k ) N
2
2

X ( k ) N = X ∗ ( −k ) N

Re [ x( n) N ]
j Re [ x(n) N ]

Với x(n)N thực

X ∗ ( k ) N = X ( −k ) N

Re [ X (k ) N ] = Re [ X ( −k ) N ]

Im [ X (k ) N ] = − Im [ X ( − k ) N ]
X (k ) N = X ( − k ) N
arg [ X (k ) N ] = − arg [ X ( −k ) N ]
N −1

∑
n =0

1 N −1
2
X (k ) N
∑
N h =0
Bảng 1. 2 Tính chất của DFT đối với các dãy có chiều dài hữu hạn N.

x ( n)

2

Bảng 1.2 tóm tắt các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier rời rạc được thực
hiện với các dãy có chiều dài hữu hạn.
2- XẤP XỈ HÀM TẦN SỐ CỦA DÃY VÔ HẠN HOẶC CÓ ĐỘ DÀI RẤT
LỚN
DFT thường được sử dụng để nghiên cứu phổ tín hiệu liên tục theo thời gian,
cũng như tổng hợp bộ lọc số, ví dụ trong phân tích tần số của tín hiệu tiếng nói
nhằm xác định và mô hình hóa sự cộng hưởng của khoang âm thanh.
Khi sử dụng DFT để phân tích phổ, dãy xc (t ) thường đại diện cho một dãy hữu
hạn các mẫu tại các thời điểm cách đều nhau của một tín hiệu sc (t ) , trong đó t để chỉ
thời gian. Việc chuyển từ thời gian liên tục sang mẫu (thời gian rời rạc) chuyển biến
đổi Fourier liên tục của sc (t ) thành biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT), và
thường gây ra hiệu ứng răng cưa. Việc chọn lựa tần số lấy mẫu thích hợp (xem tần
số Nyquist) là vô cùng quan trọng cho việc giảm thiểu hiệu ứng này.

10


Các bước cơ bản trong việc áp dụng DFT cho tín hiệu liên tục theo thời gian
được thể hiện trong hình 2.1.

Hình 2. 1:Các bước xử lý trong phân tích DFT của một tín hiệu liên tục theo thời gian

Các bộ lọc khử răng cưa ( Anti-aliasing Lowpass Filter ) được tích hợp để loại
bỏ hoặc giảm thiểu hiệu ứng răng cưa khi tín hiệu liên tục theo thời gian được
chuyển thành một chuỗi rời rạc. Bằng công thức nội suy cho phép xác định gần
đúng hàm tần số XN(ejω) = FT[x(n)N] qua dãy phức X(k)N =DFT[x(n)N]. Tuy nhiên,
không thể dùng DFT để xác định hàm tần số của dãy x(n) vô hạn. Nếu dãy x(n)N
hữu hạn, nhưng có N rất lớn thì việc tính DFT để tìm X(k)Nvà XN(ejω) cũng rất khó
khăn do khối lượng và thời gian tính quá lớn. Từ đó có yêu cầu xấp xỉ hàm tần số
X(ejω) của dãy x(n) vô hạn hoặc có độ dài N rất lớn bằng hàm tần số XN(ejω) của dãy

hữu hạn x(n)N với N không quá lớn. Để thực hiện điều đó, cần "chặt" lấy một đoạn
thích hợp của dãy x(n), biến nó thành dãy hữu hạn x(n)N , sau đó tính X(k)N
=DFT[x(n)N], từ đó xấp xỉ hàm tần số XN(ejω) bằng công thức nội suy.
2.1 Các yếu tố ảnh hưởng đến sai số xấp xỉ hàm tần số
Việc "chặt" dãy vô hạn x(n) thành dãy hữu hạn x(n - n0)N , tương đương nhân nó
với hàm cửa sổ w(n - n0)N có dạng:
 ≠0
w(n − n0 ) N = 
0

Khi n ∈ [ n 0 , (n0 + N − 1)]
Khi n ∉ [ n 0 , (n0 + N − 1)]

(2.1)

Tức là: x(n − n0 ) N = x(n).w(n − n0 ) N
Khi đó phổ rời rạc của dãy hữu hạn x(n- n0)N có thể tìm được bằng DFT:
X (k ) N = DFT [ x(n − n 0 ) N ] =

n0 + N −1

∑ x(n).w(n − n

n = n0

jω

0 ) N .e

− jkω1n

(2.2)

Sai số xấp xỉ hàm tần số X(e ) của dãy x(n) vô hạn khi dùng hàm cửa sổ w(n n0)N và tính qua DFT sẽ phụ thuộc vào 3 yếu tố sau:
1. Dạng hàm cửa sổ w(n - n0)N .

11


2. Vị trí đặt cửa sổ, tức là giá trị của n0.
3. Độ dài của cửa sổ, tức là giá trị của N.
Để giảm sai số xấp xỉ, cần chọn dạng hàm cửa sổ w(n), vị trí đặt cửa sổ n0 và độ
dài của cửa sổ N thích hợp.
2.2 Các phương pháp giảm sai số xấp xỉ hàm tần số
2.2.1 Chọn vị trí đặt cửa sổ n0
Nguyên tắc chung là chọn cửa sổ trùm lên vùng quan trọng của dãy x(n), bỏ qua
các vùng ít quan trọng. Vì thế, để chọn vị trí đặt cửa sổ n0 , cần biết dạng cụ thể của
dãy x(n). Thông thường người ta chọn cửa sổ ở vùng x(n) có giá trị lớn, và bỏ qua
các vùng x(n) có giá trị nhỏ.
−n

Ví dụ với dãy x(n) = 2 u (n) thì các mẫu có giá trị lớn nằm ở gần gốc tọa độ, vì
thế vị trí cửa sổ cần được chọn với n0 = 0.
2.2.2. Chọn độ dài của cửa sổ N
Sai số xấp xỉ sẽ phụ thuộc rất lớn vào việc chọn độ dài hàm cửa sổ N, hay chính
là độ dài N của dãy x(n)N . Tất nhiên, N càng lớn thì sai số xấp xỉ càng nhỏ, nhưng
thời gian tính DFTsẽ càng lớn. Tuy nhiên, có những trường hợp do dạng cụ thể của
dãy x(n) mà việc tăng lớn N sẽ không ảnh hưởng nhiều đến độ chính xác của hàm
tần số được xấp xỉ. Vì thế, giá trị của N để xấp xỉ phải được chọn tối ưu theo các
yêu cầu sau:

- Sai số cho phép của hàm tần số được xấp xỉ XN(ejω) so với X(ejω).
- Dạng cụ thể của dãy x(n)
- Hạn chế về thời gian tính DFT.
2.2.3. Chọn hàm cửa sổ w(n)
Dạng hàm cửa sổ ảnh hưởng rất lớn đến độ chính xác của việc xấp xỉ hàm
tần số. Việc chọn hàm cửa sổ nào để xấp xỉ hóa hàm tần số, không chỉ phụ thuộc
vào độ chính xác yêu cầu, mà còn phụ thuộc vào hạn chế về thời gian tính toán, vì
hàm cửa sổ cho độ chính xác càng cao thì việc tính toán sẽ càng phức tạp, và thời
gian tính sẽ càng lớn. Do đó việc chọn hàm cửa sổ phụ thuộc vào sự tối ưu giữa độ
chính xác yêu cầu và thời gian tính.
2.4 Một số hàm cửa sổ thường dùng
2.4.1 Cửa sổ chữ nhật wR(n)N = rectN(n)
 1 Khi n ∈ [ n0 , (n0 + N − 1)]
wR (n − n0 ) N = rectN ( n − n0 ) = 
 0 Khi n ∉ [ n0 , ( n0 + N − 1)]

Đặc tính tần số của cửa sổ chữ nhật wR(n)N có dạng:

12

(2.3)


W R (e

jω

1− e

) = FT [rectN ( n)] =

− jωN

1 − e − jω

sin ( Nω 2 ) − j
=
e
sin ( ω 2 )

( N −1).ω
2

(2.4)

Các tham số của đặc tính tần số các hàm cửa sổ là bề rộng đỉnh trung tâm ∆Ω
và tỷ số giữa biên độ đỉnh trung tâm và đỉnh thứ cấp đầu tiên. Đối với cửa sổ chữ
nhật có:
4π
∆Ω R =
N
- Bề rộng đỉnh trung tâm:
(2.5)
- Tỷ số giữa biên độ đỉnh trung tâm và đỉnh thứ cấp đầu tiên:
 3π 
W R (e j 0 )

ηR =

W R (e

j

3π
N

N . sin

=

)


 N 
 3π N 
sin . 
 N 2

(2.6)

Với N = 6 , η≈4,285

;

Với N = 50 , η≈4,705 ;

Với N = 9 , η≈4,5

;

Với N = 100 ,η≈4,711

3π

η=

Khi N →∞thì

2

= 4,712

Như vậy, khi N tăng lớn, η thay đổi không nhiều và giới hạn của η khi N →∞ là

ηmax = 4,712.
Trên thực tế người ta thường tính tham số này theo dexiben (dB) và ký hiệu là
λ:

λ R = 20 log10

1

η

= 20 log10

1
4,712

= − 13dB

Khi N lớn cửa sổ chữ nhật có các tham số:
- ∆ωR = 4π/N
- λR = -13 dB
Đồ thị cửa sổ chữ nhật wR(n)10 và đặc tính biên độ tần số WR(ejω)tương ứng
trên hình 2.1.
wR(n)10

1
-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n

Hình 2. 2: Đồ thị cửa sổ wR(n)10 và WT(ejω ) tương ứng

13


Khi xấp xỉ hàm tần số bằng cửa sổ chữ nhật, độ chính xác ở búp sóng
chính cao, nhưng độ gợn sóng của ở cả búp sóng chính và các búp sóng phụ đều
lớn.
2.4.2 Cửa sổ tam giác wT(n)N
2|n−n |

0
 1−
wT (n − n0 ) N = 
N

0


Khi | n − n0 | <

N
2

Víi mäi n kh¸c

(2.7)

Cửa sổ tam giác wT(n)N là dãy đối xứng. Có thể chứng minh được, cửa sổ tam
giác wT(n)N là tích chập của hai cửa sổ chữ nhật:
wT (n) N =

2
N

rect N (n) * rect N (n − 1) =
2

2

2
N

w R (n) N * w R (n − 1) N
2

2

(2.8)

Từ đó tìm được đặc tính tần số của cửa sổ tam giác:
2

WT (e jω ) =

N

.W R (e jω ).W R (e jω ).e − jω =

2
N

.

sin 2 ( Nω 4 )
sin 2 (ω 4 )

e − jNω

(2.9)
Đồ thị của cửa sổ tam giác wT(n - 5)10 với n0 = 5 , N = 10 , và đồ thị đặc tính
biên độ tần số WT(ejω) tương ứng trên hình 2.2 .

wT(n - 5)10

0 ,2

-1 0 1

0 ,4

2

0 ,6

1

0 ,8

0 ,8

0 ,6

0 ,4

jω
,2
Hình 2. 03:Đồ
thị
n cửa sổ wT(n - 5)10 và hàm WT(e ) .

3

4

5

6 7

8

9

10 11

Khi N lớn, cửa sổ tam giác có các tham số:
- ∆ωT = 8π/N
- λT = -26 dB

So sánh hàm biên độ tần số của cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:
- Vì ∆ωT = 2∆ωR nên XT(ejω)có đỉnh trung tâm rộng hơn, với hai sườn ít
dốc hơn XR(ejω) . Hàm tần số được xấp xỉ bằng cửa sổ tam giác có sai số ở búp
chính lớn hơn dùng cửa sổ chữ nhật .

14


- Vì λT= 0,5λR nên XT(ejω)có độ gợn sóng ở búp chính và các búp phụ thấp
hơn XR(ejω). Hàm tần số được xấp xỉ bằng cửa sổ tam giác có độ gợn sóng nhỏ
hơn dùng cửa sổ chữ nhật.
2.4.3 Cửa sổ cosin wC(n)N

π (n − n0 ) 
N
 cos
N
wC (n − n0 ) N = 


0


Khi | n − n0 | ≤




2

Víi mäi N kh¸c

(2.10)
Cửa sổ cosinwC(n)N là dãy đối xứng. Khi biểu diễn dãy wC(n)N dưới dạng:
π

n

 π .n  e N − e
wC (n) N = cos
=
2
 N 

− πN n

(2.11)

Theo đó tìm được đặc tính tần số của cửa sổ cosin:
WC ( e

jω

 sin Nω − π 
sin Nω + π   − j  N −1 



2
2

2

 2
 2 
)=
+
.e
 2 sin ω − π  2 sin ω + π  
 2 2N 
 2 2N  


(2.12)

Wc(ejω) là xếp chồng của hai cửa sổ chữ nhật WR(ejω) ngược pha nhau.
Đồ thị của cửa sổ cosinWC(n - 5)10 với n0 = 5 , N = 10 , và hàm biên độ tần số
WC(ejω) tương ứngtrên hình 2.4.

wC(N - 5)10
1

0 ,9 5

0 ,9 5

0 ,8 1

0 ,8 1

0 ,5 9

0 ,5 9

0 ,3 1

0 ,3 1

n
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Hình 2. 4: Đồ thị cửa sổ wC(n - 5)10 và hàm WC(ejω ) tương ứng.

Khi N lớn, cửa sổ cosin có các tham số:
- ∆ωC = 3π/N
- λ C = -24 dB
So sánh cửa sổ cosin với cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:

15


-∆ωC <∆ωR <∆ωT , xấp xỉ hàm tần số dùng cửa sổ cosin có sai số ở búp chính
lớn hơn dùng cửa sổ chữ nhật, nhưng nhỏ hơn dùng cửa sổ tam giác.
- Vì λT<λC<λR nên độ gợn sóng của hàm tần số xấp xỉ bằng cửa sổ cosin thấp
hơn dùng cửa sổ chữ nhật, lớn hơn dùng cửa sổ tam giác.
2.4.4- Các cửa sổ Hanning wHn(n)N và Hamming wHm(n)N
- Hàm cửa sổ Hamming tổng quát có dạng:

 2.π .n 

α + (1 − α ) cos
w H ( n) N = 
 N 

0


Khi 0 ≤ n ≤ ( N − 1)
Víi mäi n kh¸c

(2.13)

- Khi α = 1 chính là cửa sổ dạng chữ nhật WR(n)N.
Đặc tính biên độ tần số của cửa sổ Hamming tổng quát:
 Nω 
 Nω π 
 Nω π 
α sin
sin
− 
sin
+ 

2
2
2
2
(1 − α )

 (1 − α )


 2
jω
W H (e ) =
+
+
2
2
ω 
ω π 

ω π 
sin 
4 sin −
4 sin +


2
 2 2N 
 2 2N 

(2.14)

Đặc tính pha tần số của cửa sổ Hamming tổng quát:
ϕ H (ω ) = e

 N −1 
− jω 

 2 

(2.15)

a- Cửa sổ HanningwHn(n)N
Theo (2.13) khi α= 0,5 cócửa sổ Hanning:

 2.π .n 

0,5 + 0,5 cos
W Hn (n) N = 
 N 


0


Khi 0 ≤ n ≤ ( N − 1)
Víi mäi n kh¸c

Đặc tính tần số của cửa sổ Hanning:
  Nω 
 Nω π 
 Nω π  
sin
− 
sin
+   − jω  N −1 
 sin 2 
2
2


 2
 2
jω

 .e  2 
W Hn (e ) =
+
+
π 


ω 
ω π 
ω
4 sin −
 4 sin +

 2 sin 2 
2
2
N
2
2
N  




(2.16)

Đồ thị cửa sổ Hanning wHn(n)10và hàm biên độ tần số XHn(ejω) tương ứngtrên
hình 2.5.
wHn(n)10 1
0 ,9 0

0 ,9 0

0 ,6 5

0 ,6 5

0 ,3 5

0 ,3 5

0 ,1 0

n

0 ,1 0

Hình 2. 5: Đồ thị cửa sổ wHn(n)10 và hàm XHn(ejω )
0

1

2

3

4

5

6

7

16

8

9

10


Khi N lớn, cửa sổ Hanning có các tham số:
- ∆ωHn = 2,3π/N
- λ Hn = -32 dB
So sánh cửa sổ Hanning với cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:
- Vì ∆ωR <∆ωHn <∆ωT nên búp chính của cửa sổ Hanning lớn hơn cửa sổ chữ
nhật và nhỏ hơn cửa sổ tam giác.
- Vì λHn>λC>λR nên độ gợn sóng ở cả búp chính và các búp phụ của cửa sổ
Hanning thấp hơn các cửa sổ chữ nhật, tam giác, và cosin.
b. Cửa sổ Hamming wHm(n)N
Khi α= 0,54 có hàm cửa sổ Hamming:

 2.π .n 

0,54 + 0,46 cos
W Hm (n) N = 
 N 

0


Khi 0 ≤ n ≤ ( N − 1)
Víi mäi n kh¸c

Đặc tính tần số của cửa sổ Hamming:


 Nω 
 Nω π 
 Nω π  
 0,54. sin 2  0,23. sin  2 − 2  0,23. sin 2 + 2   − jω  N −1 

+

+

  .e  2 
W Hn (e jω ) = 

ω 
ω π 
ω π  
sin −
sin +


 sin 2 
 2 2N 
 2 2 N  


Đồ thị của cửa sổ Hamming wHm(n)10và hàm biên độ tần số XHm(ejω)tương
ứngtrên hình 2.5.

wHm(n)
10

1
0 ,9 1

0 ,9 1

0 ,6 8

0 ,6 8

0 ,4 0

0 ,4 0

0 ,1 7
0

0 ,1 7
1

2

3

4

5

6

7

8

9

n
10

Hình 2. 6: Đồ thị cửa sổ wHm(n)10 và hàm XHm(ejω )

Khi N lớn, cửa sổ Hamming có các tham số:
- ∆ωHn = 2,3π/N
- λHn = -43 dB
17


So sánh cửa sổ Hamming với cửa sổ tam giác và cửa sổ chữ nhật:
- Vì ∆ωR <∆ωHm <∆ωT nên búp chính của cửa sổ Hamming lớn hơn cửa sổ chữ
nhật và nhỏ hơn cửa sổ tam giác.
- Vì λHm>λHn>λR nên độ gợn sóng ở cả búp chính và các búp phụ của hàm tần số
được xấp xỉ bằng cửa sổ Hamming là thấp nhất trong dạng các cửa sổ trên.
Như vậy, cửa sổ chữ nhật cho hàm tần số XN(ejω) gần giống X(ejω) ở búp sóng
chính, nhưng gây sai số lớn ở các vùng biên vì có sóng phụ lớn. Cửa sổ tam giác
cho hàm tần số XN(ejω) có sai số ở búp sóng chính lớn hơn và sai số ở các búp sóng
phụ nhỏ hơn so với dùng cửa sổ chữ nhật. Các cửa sổ Cosin, và Hamming, Hanning
đạt được độ chính xác trung hòa của hai cửa sổ chữ nhật và tam giác ở cả vùng búp
sóng chính và các búp sóng phụ. Độ gợn sóng của cửa sổ Hamming là nhỏ nhất.
3.SỬ DỤNG DFT TRONG PHÂN TÍCH PHỔ TÍN HIỆU
3.1 Khái niệm của phổ
- Spectrum (Phổ): Thực chất nên hiểu là một dạng hàm chuyển đổi. Với một

dạng sóng liên tục, phổ là sự chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số.
- Fourier spectrum: (Phổ Fourier) Là 1 hàm chuyển đổi rất hay được dùng trong
xử lý tín hiệu số (DSP: Digital signal processing). Nó có thể được hiểu đơn giản là
hàm biểu thị sự tương quan của 1 tín hiệu nào đó với 1 tập hợp các hàm sin và cos.
Tại sao phải cần tìm sự tương quan này? Có nhiều lý do, nhưng lý do chính có lẽ là
do sin và cos là những hàm tuần hoàn hay sử dụng nhất trong thông tin bởi khả
năng mang thông tin của chúng. Một tín hiệu nếu được chuyển thành các hàm sin và
cos thì sẽ có khả năng dùng trong thông tin. Như ta đã biết, các hàm sin, cos được
đặc trưng bởi 3 thông số: biên độ, tần số và pha. Trong miền thời gian, cả 3 thông
số này đều được biểu diễn theo hàm của thời gian. Phổ Fourier biểu diễn các thông
số biên độ và thời gian theo thông số tần số. Như vậy mục đích chính của ta là
chuyển đổi 1 tín hiệu (từ miền thời gian) sang miền tần số. Việc chuyển đổi này cho
phép ta có thể xử lý tín hiệu 1 cách chính xác và tiện lợi hơn nhiều do làm việc trực
tiếp với tần số, tài nguyên quan trọng bậc nhất của thông tin.
Trong miền tần số, mỗi tín hiệu đều có đặc điểm riêng của nó. Ví dụ như, tín
hiệu sin chỉ códuy nhất một tần số đơn, trong khi nhiễu trắng chứa tất cả các thành
phần tần số. Sự biếnthiên chậm của tín hiệu là do tần số thấp, trong khi sự biến
thiên nhanh và những sườn nhọnlà do tần số cao. Như xung vuông chẳng hạn, nó
chứa cả tần số thấp và cả tần số cao. Hình 3.1 minh họa cho điều đó. Hình (a) là một
sóng sin tần số thấp, các hình sau (b)-(c) cộngthêm dần các sóng sin tần số cao dần.

18


Hình cuối cùng (e) là tổng của 7 sóng sin. Trong hình(e) ta thấy tổng của 7 sóng sin
có dạng xấp xỉ với dạng của một xung vuông.

Hình 3. 1: Hình ảnh minh họa

Phổ của tín hiệu là mô tả chi tiết các thành phần tần số chứa bên trong tín hiệu.

Ví dụ như vớitín hiệu xung vuông vừa nói trên, phổ của nó chỉ ra tất cả các đỉnh
nhọn của các sóng sinriêng có thể kết hợp lại với nhau tạo ra xung vuông. Thông tin
này quan trọng vì nhiều lý do.
Ví dụ như, thành phần tần số trong một mẩu nhạc chỉ cho ta biết các đặc trưng
của loa, để từđó khi sản xuất lại ta có thể cải tiến cho hay hơn. Một ví dụ khác,
micro trong hệ thống nhậndạng tiếng nói phải có dải tần đủ rộng để có thể bắt được
tất cả các tần số quan trọng trongtiếng nói đầu vào. Để dự đoán các ảnh hưởng của
bộ lọc trên tín hiệu, cần phải biết không chỉbản chất của bộ lọc mà còn phải biết cả
phổ của tín hiệu nữa.
- Phổ biên độ và phổ pha
Phổ của tín hiệu gồm có hai phần: phổ biên độ (magnitude spectrum) và phổ
pha (phasespectrum). Phổ biên độ chỉ ra độ lớn của từng hành phần tần số. Phổ pha
chỉ ra quan hệ phagiữa các thành phần tần số khác nhau. Trong phần này, ta xét tín

19


hiệu rời rạc không tuầnhoàn có chiều dài hữu hạn. Công cụ để tính phổ tín hiệu rời
rạc không tuần hoàn là DTFT.
Để tính phổ tín hiệu, ta qua hai bước: một là tính DTFT của tín hiệu là X(Ω ),
hai là tínhbiên độ và pha của X(Ω) :
X (Ω) = X (Ω) e jθ ( Ω )

(3.1)

ở đây | X(Ω) | là phổ biên độ và θ(Ω) là phổ pha.
Ta dễ dàng chứng minh được rằng đối với tín hiệu thực, phổ biên độ là một hàm
chẵn theotần số Ω và phổ pha là một hàm lẻ theo Ω .
Do đó, nếu biết phổ X(Ω) trong khoảng 0 đến π , ta có thể suy ra phổ trong toàn
dải tần số.

Để dễ giải thích phổ, tần số số Ω từ 0 đến π thường được chuyển đổi thành tần
số tương tự ftừ 0 đến fS/2 nếu tần số lấy mẫu là fS.
3.2. Ý nghĩa của phổ

Ta đã biết được ý nghĩa của phổ trong việc phân tích tín hiệu, từ phổ của tín
hiệu ta biết được một số thông tin cần thiết.
Để tìm phổ của tín hiệu (cả liên tục và rời rạc), ta cần phải biết giá trị của tín
hiệu tại tất cả các thời điểm. Tuy nhiên trong thực tế, do ta chỉ quan sát được tín
hiệu trong một khoảng thời gian hữu hạn nên phổ tính được chỉ là xấp xỉ của phổ
chính xác. DFT được ứng dụng rất hiệu quả trong việc tính toán phổ xấp xỉ này.
Trong thực tế, nếu tín hiệu cần phân tích là tín hiệu liên tục, trước hết ta cho tín
hiệu đó đi qua một bộ lọc chống chồng phổ rồi lấy mẫu với tần số Fs ≥ 2B , với B
là băng thông của tín hiệu sau khi lọc. Như vậy, tần số cao nhất chứa trong tín hiệu
rời rạc là Fs/2. Sau đó, ta phải giới hạn chiều dài của tín hiệu trong khoảng thời gian
T0 = LT, với L là số mẫu và T là khoảng cách giữa hai mẫu. Cuối cùng, ta tính
DFT của tín hiệu rời rạc L mẫu. Như đã trình bày trên, muốn tăng độ phân giải của
phổ rời rạc, ta tăng chiều dài của DFT bằng cách bù thêm số 0 vào cuối tín hiệu rời
rạc trước khi tính DFT.Giảm độ phân giải và rò phổ là hai tác động chính trên phổ
như là kết quả của việc áp một cửa sổ lên tín hiệu.
jω

Độ phân giải ảnh hưởng chủ yếu bởi chiều rộng của búp chính W( e ), trong
khi mức độ rò phụ thuộc vào biên độ tương đối giữa các búp chính và các búp phụ
jω

của W ( e ). Hai yếu tố này lại phụ thuộc chủ yếu là chiều dài L và hình dạng (số
lượng búp chính hẹp) của cửa sổ.
 Xét chuỗi tín hiệu cần phân tích x(n), −∞ ≤ n ≤ ∞
 Quan sát tín hiệu trong L mẫu, nghĩa là 0 ≤ n ≤ L − 1 . Tín hiệu quan sát lúc đó:

20


1
w(n) = 
0
xx(n)= x(n)w(n), với

, 0 ≤ n ≤ L −1
, otherwise

3.3Hiện tượng rò phổ:
 Giả sử x(n) = cosΩ0n, −∞ ≤ n ≤ ∞ . Lúc đó, xx(n)= cosΩ0n, 0 ≤ n ≤ L − 1 .

Phổ của tín hiệu (biểu thức giải tích) dùng DTFT:
X (Ω) = πδ (Ω − Ω0 ) + πδ (Ω + Ω 0 )

1
[ W(Ω − Ω0 ) + W(Ω + Ω 0 ) ]
2
Trong đó, W( Ω ) là biến đổi DTFT của hàm cửa sổ w(n).
sin ΩL / 2 − jΩ ( L −1)/ 2
W(n) =
e
sin Ω / 2
XX (Ω) =

Hình 3.1- Phổ của tín hiệu dùng DFT: dán thêm N-L zeros mẫu vào x(n) rồi lấy
DFT N điểm tạo nên phổ XX(k).
Nhận xét:

- Phổ XX(Ω) không nằm tại một vị trí như hình vẽ X(Ω) mà bị trải ra trong
miền tần số do đặc tính của cửa sổ w(n)→ hiện tượng dò phổ
- Như vậy, việc cửa sổ hóa sẽ làm sai lệch kết quả ước lượng phổ.
3.4Độ phân giải tần số
 Xét tín hiệu gồm 2 thành phần tần số: x(n)= cosΩ1n+ cosΩ2n, -∞≤n≤∞.
Lúc đó, xx(n)= x(n)w(n)= cosΩ1n+ cosΩ2n, 0≤ n ≤L-1.
- Phổ của tín hiệu (biểu thức giải tích) dùng DTFT
X (Ω) = πδ (Ω − Ω 0 ) + πδ (Ω + Ω 0 )

XX (Ω) =

1
[ W(Ω − Ω0 ) + W(Ω + Ω 0 ) ]
2

21


Ω1 − Ω 2 <

2π
L :

W(Ω − Ω1 )
+ Nếu:
và W(Ω − Ω2 ) sẽ chồng lấn lên nhau →
không phân biệt được 2 vạch phổ
2π
Ω1 − Ω 2 ≥
L : W(Ω − Ω1 ) và W(Ω − Ω2 ) được hiển thị tách biệt nhau →

+ Nếu:
phân biệt được 2 vạch phổ
2π
∆Ω =
L được gọi là độ phân giải phổ. Như vậy hàm cửa sổ có chiều dài
Giá trị

L chỉ phân biệt được các thành phần tần số cách nhau một đoạn ít nhất là:
- Phổ tín hiệu dùng DFT: (Ω1= 0,2π; Ω2= 0,22π)

∆Ω =

2π
L

* Ảnh hưởng của đặc tính cửa sổ:
- Độ cao búp phụ: ảnh hưởng đến mức dộ rò phổ. Muốn giảm rò phổ, chọn loại
cửa sổ có búp sóng thấp.
- Độ rộng búp chính: ảnh hưởng đến độ phân giải. Muốn tăng độ phân giải,
chọn loại cửa sổ có độ rộng búp chính hẹp.
Ví dụ: Cho tín hiệu sau: x(t) = sin2πt+ sin3πt+ sin5πt+ sin5,5πt
Tín hiệu này được lấy mẫu ở tốc độ f s= 10Khz. Để việc phân tích phổ dùng
DFT cho 4 đỉnh tách biệt thì thời gian lấy mẫu là bao lâu T0 ?
Giải:
+ Các thành phần tần số: f1=1Khz; f2= 1,5 Khz; f3= 2,5 Khz; f4= 2,75Khz.
+ Khoảng cách tần số nhỏ nhất cần được phân biệt:
∆f= 2,75- 2,5= 0,25 Khz
+ Số mẫu tối thiểu cần phải lấy:
N≥

fs
10 Khz
=
= 40
∆f 0, 25 Khz

+ Thời gian lấy mẫu:

22


KẾT LUẬN
Như vậy khi nghiên cứu phân tích tín hiệu, một phương pháp quan trọng để
giúp cho việc tính toán phân tích đơn giản, nhanh chóng được áp dụng mà không
làm mất đi đặc tính phổ của tín hiệu là dùng phương pháp biến đổi Fourier rời rạc
tín hiệu (DFT). Phương pháp này đã khắc phục được nhược điểm cơ bản của DTFT
thông thường khi phải phân tích miền tần số tín hiệu ở dạng liên tục, gây khó khăn,
phức tạp cho việc tính toán. Phương pháp biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu (DFT) là
một công cụ tính toán rất mạnh để thực hiện phân tích tần số cho tín hiệu rời rạc
trong thực tế. Chính vì vậy, DFT hiện nay đang được ứng dụng trong nhiều ngành
khác nhau. Một vài ứng dụng của DFT như: phân tích phổ tín hiệu khi xử lý tiếng
nói, xử lý ảnh, tổng hợp mạch lọc số, y học…. Do DFT được ứng dụng rộng rãi
trong xử lý tín hiệu rời rạc/ số nên nhiều nhà toán học, kỹ sư đã và đang rất quan
tâm đến việc rút ngắn thời gian tính toán. Năm 1965 thì Cooley và Tukey đã tìm ra
thuật toán FFT, hiện nay người ta vẫn tiếp tục xây dựng hoàn thiện thuật toán tính
DFT nhanh FFT ((Fast Fourier Transform).

23

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1- Sách hướng dẫn học tập xử lý tín hiệu số - Đặng Hoài Bắc - Học viện Công
nghệ Bưu chính viễn thông - Năm 2006.
2- Bài giảng môn học Xử lý tín hiệu số nâng cao dành cho lớp cao học- TS
Nguyễn Ngọc Minh.
3- Xử lý tín hiệu và lọc số - TS Nguyễn Quốc Trung - NXB khoa học kỹ thuật
2003
4- Nhập môn xử lý tín hiệu số - Nguyễn Lâm Đông - NXB khoa học kỹ thuật
2004.
5- Chapter 10 : Fourier analysis of signals using the Discrete Fourier
Transform, Discrete-Time Signal Processing 2nd - Alan V.Oppenheim, Ronald
W.Schafer with John R.Buck - United States of America 1999
6- Lecture 17 MITOpenCourseware - Spectral Analysis with the DFT :
http://www. Lecture Notes _ Discrete-Time Signal Processing _ Electrical
Engineering and Computer Science _ MIT OpenCourseWare.htm

24