Xử lý tín hiệu số_Chương III (Phần 2)

Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
103
0
r =1
Mặt phẳng Z
Hình 3.4
I
m
(z)
R
e
(z)
ω
-1
+1
[]
)(])([ nxZTrnxFT
n
=
−
(3.48)
nếu X(z) hội tụ tại
1z =
, thì
)]n(x[FTe)n(x
ez
)z(X)e(X
m
nj
j

j
==
=
=
∑
∞
−∞=
−
ω
ω
ω
Như vậy biến đổi Fourier chính là biến đổi
Z được đánh giá trên vòng tròn đơn vò trong mặt
phẳng Z hình 3.4.
Ví dụ như cho dãy tín hiệu
)(
3
1
)( nunx
n






=
Hãy tìm X(Z) và X(e
jω
)

1
0n
n
n
z
3
1
1
1
z
3
1
)z(X
−
∞
=
−
−
=






=
∑
,
3
1

z >
Vậy X(Z) hội tụ trên vòng tròn đơn vò, nên X(e
jω
) tồn tại, ta có :
ω
ω
ω
j
j
j
e
3
1
1
1
ez
)z(X)e(X
−
−
=
=
=
3.5 Biểu Diễn Hệ Thống Trong Miền Tần Số Liên Tục
3.5.1 Đáp ng Tần Số
a. Đònh Nghóa
Chúng ta biết rằng đáp ứng xung h(n) của hệ thống tuyến tính bất biến chính là đáp
ứng (hay đáp ứng ra) của hệ thống kích thích (hay kích thích vào) x(n) = δ(n) Hình 3.5.
Bây giờ ta đặt đầu vào một kích thích
x(n) = e
jωn

với - ∞ < n < ∞ (3.49)
ở đây ω là tần số.
Vậy đáp ứng ra y(n) của hệ thống sẽ được tính như sau :
h(n)
x(n) ≡ δ(n)
y(n) ≡ h(n)
Hình 3.5
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
104
nj
m
mj
m
mnj
m
eemhemhmnxmxny
ωωω






==−=
∑∑∑
∞
−∞=
−
∞

−∞=
−
∞
−∞=
)()()()()(
)(
∑
∞
−∞=
−
=
m
mjj
emheH
ωω
)()(
(3.50)
Vậy
njj
eeHny
ωω
)()( =
(3.51)
Từ đây ta có đònh nghóa :
)(
ω
j
eH
được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống.
Nhận xét :

Theo biểu thức (3.50), ta thấy rằng đáp ứng tần số của hệ thống chính là biến đổi
Fourier của đáp ứng xung :
∑
∞
−∞=
−
==
n
njj
enhnhFTeH
ωω
)()]([)(
(3.52)
Ngược lại, ta cũng có thể nói rằng đáp ứng xung của hệ thống chính là biến đổi
Fourier ngược của đáp ứng tần số của hệ thống :
∫
−
==
π
π
ωωω
ω
π
deeHeHIFTnh
njjj
)(
2
1
)]([)(
(3.53)

b. Biểu Diễn H(e
jω
)
Như vậy,
)(
ω
j
eH
là hàm biến số phức của tần số ω, như vậy, ta có thể biểu diễn nó
dưới dạng sau đây :
[ ] [ ]
)(Im)(Re)(
ωωω
jjj
eHjeHeH +=
(3.54)
hoặc
)(
)()(
ωϕωω
jjj
eeHeH =
(3.55)
[]
)e(Harg)(
jω
=ωϕ
(3.56)
ở đây
)(

ω
j
eH
: là đáp ứng tần số của biên độ hay gọi tắt là đáp ứng biên độ của hệ thống.
)(
ωϕ
: là đáp ứng tần số của pha hay gọi tắt là đáp ứng pha của hệ thống.
Rõ ràng là ta cũng có quan hệ giữa đáp ứng tần số của biên độ
)(
ω
j
eH
và pha
)(
ωϕ
với phần thực và phần ảo của
)(
ω
j
eH
:
[][ ]
)(Im)(Re)(
22
ωωω
jjj
eHeHeH +=
(3.57)
[ ]
[]

)(Re
)(Im
)(
ω
ω
ωϕ
j
j
eH
eH
arctg=
(3.58)
Cũng giống như tín hiệu, chúng ta có cách biểu diễn dưới dạng độ lớn và pha như sau :
)(
)()(
ωθωω
jjj
eeAeH =
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
105
)(
ω
j
eA
gọi là độ lớn, có thể lấy các giá trò âm hoặc dương. Còn
)(
ω
j
eH

chỉ lấy các giá
trò dương.
Ví dụ 3.5 :
Cho một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung như sau :
h(n) = a
n
u(n) với
1<
a
Hãy xác đònh đáp ứng tần số của hệ thống và đáp ứng ra với kích thích vào là
))(
3
nj
enx
π
=
và
3
1
=
a
Giải :
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
−
∞

−∞=
−
===
00
)()()(
n
nj
n
njn
n
njj
aeeaenheH
ωωωω
Vì
1<
a
nên
1
<
−
ω
j
ae
nên chuỗi này hội tụ, vậy ta có :
ω
ω
j
j
ae
eH

−
−
=
1
1
)(
Từ đây ta có :
[]
ω
ω
ω
cos21
cos1
)(Re
2
aa
a
eH
j
−+
−
=
[]
ω
ω
ω
cos21
sin
)(Im
2

aa
a
eH
j
−+
=
ω
ω
cos21
1
)(
2
aa
eH
j
−+
=
Với
))(
3
nj
enx
π
=
, ứng dụng biểu thức (3.50), ta có đáp ứng y(n) như sau :
nj
j
e
e
ny

3
3
3
1
1
1
)(
π
π
−
−
=
3.5.2 Các Bộ Lọc Số Lý Tưởng
Một ứng dụng quan trọng nhất của xử lý tín hiệu là lọc số. Các bộ lọc số dần dần đã
thay thế các bộ lọc tương tự.
Việc thiết kế các bộ lọc thực tế đều đi từ lý thuyết các bộ lọc lý tưởng, vì vậy cần
phải nghiên cứu các bộ lọc lý tưởng. Chúng ta sẽ tiến hành nghiên cứu bốn loại bộ lọc
số tiêu biểu là :
- Bộ lọc số thông thấp.
- Bộ lọc số thông cao.
- Bộ lọc số thông dải.
- Bộ lọc số chắn dải.
Lọc ở đây, chúng ta hiểu là lọc tần số chính, vì vậy mà tất cả các đặc trưng của lọc
tần số đều được cho theo đáp ứng biên độ.
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
106
a. Bộ Lọc Số Thông Thấp Lý Tưởng
Trước hết, chúng ta đònh nghóa thế nào là bộ lọc thông thấp lý tưởng. Bộ lọc
thông thấp lý tưởng được đònh nghóa theo đáp ứng biên độ.

Đònh nghóa :
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông thấp lý tưởng được đònh nghóa như sau :



≤≤−
=
lại còn với
với
ω
ωωω
ω
0
1
)e(H
cc
j
(3.59)
Hình 3.6 cho đồ thò của đáp ứng biên độ của lọc số thông thấp lý tưởng.
Nhận xét :
đây
)(
ω
j
eH
là đối xứng, tức là chúng ta đònh nghóa lọc số thông thấp lý tưởng
với h(n) là thực, và sau này nếu
)(
ω
j

eH
là đối xứng thí ta chỉ cần xét một nửa chu kỳ (
0 ≤ ω ≤ π ) là đủ.
Nếu chỉ xét trong một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc số thông thấp lý
tưởng sẽ như sau :
ω
c
: tần số cắt
( 0 ≤ ω ≤ ω
c
) : dải thông
( ω
c
≤ ω ≤ π ) : dải chắn
Ví dụ 3.6 :
Cho đáp ứng tần số của bộ lọc số thông thấp lý tưởng pha không (θ(ω) = 0) như
sau:



≤≤−
=
lại còn
,
ω
ωωω
ω
,0
1
)e(H

cc
j
với (- π ≤ ω ≤ π )
Hãy tìm đáp ứng xung h(n) của bộ lọc và hãy vẽ h(n) trong trường hợp tần số cắt ω
c
=
π/2.
Giải :
-
π
-
ω
c
0
ω
c

π
ω
|H(e
jω
)|
Hình 3.6
1
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
107
n
n
ee

jn
dedeeHnh
c
njnj
njnjj
cc
c
c
ω
ππ
ω
π
ω
π
ωω
ω
ω
ω
π
π
ωω
sin
1
)(
2
1
2
1
)(
2

1
)( =−===
−
−−
∫∫
n
n
nh
c
cc
ω
ω
π
ω
sin
)( =
(3.60)
thay ω
c
= π/2 ta có :
n
n
nh
2
2
sin
2
1
)(
π

π
=
Thay từng giá trò của n vào ta sẽ thu được các giá trò của h(n). Đồ thò của h(n)
cho trên hình 3.7
Nhận xét :
- Đáp ứng xung h(n) là đối xứng, bởi vì đáp ứng pha θ(ω) là tuyến tính.
- Tâm đối xứng của h(n) nằm tại mẫu n = 0, bởi vì pha θ(ω) = 0 (trùng với trục
hoành).
- Tại tất cả các mẫu là số nguyên lần của 2 (các mẫu chẵn) trừ tại n = 0 thì h(n) = 0
bởi vì ω
c
= π/2. Trong trường hợp tổng quát ω
c
= π/M (M là nguyên dương) thì tại
các mẫu là số nguyên lần của M. h(n) = h(mM) = 0.
- Các bộ lọc có tần số cắt ω
c
= π/M (M là nguyên dương) được gọi là bộ lọc Nyquist.
- Nếu ω
c
= π/2 gọi là bộ lọc nửa band, nếu ω
c
= π/M gọi là bộ lọc một phần M band.
- Đáp ứng biên độ
)(
ω
j
eH
của các bộ lọc số thông thấp lý tưởng là hoàn toàn như
nhau, nhưng đáp ứng pha θ(ω) có thể khác nhau

- L[H(n)] = ∞.
- Là không nhân quả
- Không thực hiện được về vật lý.
b. Bộ Lọc Số Thông Cao Lý Tưởng
Cũng như bộ lọc số thông thấp lý tưởng, bộ lọc số thông cao lý tưởng cũng được
đònh nghóa theo đáp ứng biên độ.
1/2
)n(h
Hình 3.7
0 1 2
n
1/π
1/5π
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
108
Đònh nghóa :
Đáp ứng biên độ của bộ lọc số thông caothấp lý tưởng được đònh nghóa như sau :





ω



π≤ω≤ω
ω≤ω≤π−
=

ω
lại còn

,0
,1
)e(H
c
c
j
(3.61)
và (- π ≤ ω ≤ π )
Hình 3.8 cho đồ thò của đáp ứng biên độ của lọc số thông cao lý tưởng.
Nhận xét :
Cũng giống như bộ lọc số thông thấp lý tưởng,
)(
ω
j
eH
là đối xứng, như vậy h(n)
là thực và như vậy trong miền tần số ω ta chỉ cần xét
)(
ω
j
eH
trong một nửa chu kỳ ( 0
≤ ω ≤ π ) là đủ.
Nếu chỉ xét trong một nửa chu kỳ thì các tham số của bộ lọc số thông cao lý
tưởng sẽ như sau :
ω
c

: tần số cắt
( 0 ≤ ω ≤ ω
c
) : dải chắn
( ω
c
≤ ω ≤ π ) : dải thông
Ví dụ 3.7 :
Cho đáp ứng tần số của bộ lọc thông cao lý tưởng pha không (θ(ω) = 0) như sau :





ω



π≤ω≤ω
ω≤ω≤π−
=
ω
lại còn,0
,1
)e(H
c
c
j
với ( -π ≤ ω ≤ π )
Hãy tìm đáp ứng xung h(n) của bộ lọc và vẽ h(n) trong trường hợp ω

c
= π/2
Giải :
-
π
-
ω
c
0
ω
c

π
ω
|H(e
jω
)|
Hình 3.8
1
Chương 3 - Biểu Diễn Tín Hiệu Và Hệ Thống Rời Rạc Trong Miền Tần Số Liên Tục
Xử Lý Tín Hiệu Số
109

n
n
n
n
dededeeHnh
c
cc

njnjnjj
c
c
ω
ω
π
ω
π
π
ω
π
ω
π
ω
π
ω
ω
ω
π
π
ω
π
π
ωω
sin
sin
2
1
2
1

)(
2
1
)( −=−==
∫∫∫
−−−
n
n
nnh
c
cc
ω
ω
π
ω
δ
sin
)()( −=
(3.62)
thay ω
c
= π/2 ta có :
n
n
nnh
2
2
sin
2
1

)()(
π
π
δ
−=
Thay từng giá trò của n vào ta sẽ thu được các giá trò của h(n). đồ thò của h(n) cho
trên hình 3.9.
Nhận xét :
- Cũng giống như bộ lọc số thông thấp lý tưởng pha không, đối với bộ lọc số thông
cao lý tưởng thì đáp ứng xung h(n) là đối xứng và tâm đối xứng nằm tại mẫu n = 0
bởi vì đáp ứng pha θ(ω) là tuyến tính và pha θ(ω) = 0.
- Nếu ta ký hiệu bộ lọc số thông thấp lý tưởng (lowpass filter) là
)(
ω
j
lp
eH
và h
lp
(n) ;
bộ lọc thông cao (highpass filter) là là
)(
ω
j
hp
eH
và h
hp
(n) thì thấy rằng đối với các
bộ lọc pha không ta có quan hệ sau đây :




≠−
=−
=
0,)(
0,)0(1
)(
nnh
nh
nh
lp
lp
(3.63)
- Ta thấy rằng δ(n) chính là đáp ứng xung của bộ lọc thông tất (All-pass filter) pha
không và đáp ứng biên độ của bộ lọc thông tất là :
)(
ω
j
ap
eH
được đònh nghóa như
sau :
1/2
)n(h
Hình 3.9
n
1/π
1/5π