Bài tập môn xác suất và thống kê có giải chi tiết

BÀI TẬP

XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
Ấn bản thứ hai

NGUYỄN VĂN THÌN
Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

LƯU HÀNH NỘI BỘ


BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
c 2011, 2012 Nguyễn Văn Thìn
Bản quyền thuộc tác giả.
Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tác phẩm dưới mọi hình thức phải được sự đồng
ý của chủ sở hữu quyền tác giả.
Ấn bản đầu tiên

9/2011

Ấn bản thứ hai

9/2012


Lời nói đầu
Ngày nay xác suất và thống kê toán đã trở thành một khoa học có nhiều ứng dụng
trong nhiều lĩnh vực khoa học và kĩ thuật khác nhau như: vật lí, thiên văn học, hóa
học, sinh học, y học, tâm lí học, kinh tế học . . .
Vì thế mà môn học xác suất và thống kê toán đã trở thành môn bắt buộc cơ sở
được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học, cao đẳng cho các sinh viên ngay từ năm

nhất hoặc năm hai.
Mục đích của tài liệu này là nhằm giúp bạn đọc thông qua việc giải các bài tập
(được trình bày dưới nhiều ngữ cảnh, tình huống và trong nhiều lĩnh vực khác nhau)
có thể hiểu đúng bản chất của những khái niệm và phương pháp cơ bản nhất của xác
suất và thống kê, và qua đó có thể áp dụng được chúng, đi sâu tìm hiểu được phương
pháp thích hợp cho những tình huống cụ thể trong chuyên nghành mà bạn theo đuổi.
Tài liệu gồm có hai phần chính cộng thêm phần phụ lục:
Phần I là những bài tập về lí thuyết xác suất gồm khoảng 200 bài được sưu tầm
và biên soạn gồm bốn chương:
• Chương 1 nói về các khái niệm tối thiểu của lí thuyết tập hợp và giải tích tổ hợp,
nhằm chuẩn bị các kiến thức để bạn đọc có thể lĩnh hội và giải các bài tập về sau
được dễ dàng.
• Chương 2 dành cho các bài tập về các khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất
chẳng hạn như không gian các biến cố, xác suất cổ điển, xác suất hình học, xác
suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ,. . .
• Chương 3 trình bày các bài tập về biến ngẫu nhiên và hàm phân phối cùng các
đặc trưng của các biến ngẫu nhiên như kì vọng, phương sai, trung vị,. . .
• Chương 4 trình bày các bài tập về các biến ngẫu nhiên thông dụng như biến ngẫu
nhiên có phân phối Bernulli, phân phối Poison, phân phối đều, phân phối chuẩn.
Phần II là những bài tập thống kê toán học gồm khoảng 70 bài được sưu tầm và
biên soạn bao gồm ba chương:
• Chương 5 dành cho các bài tập về lí thuyết mẫu, tính toán các đặc trưng của
mẫu như trung bình mẫu, phương sai mẫu,. . .
• Chương 6 trình bày các bài tập về lí thuyết ước lượng, chủ yếu là ước lượng
khoảng cho trung bình, tỉ lệ của tổng thể.
i


ii

• Chương 7 nói đến các bài tập về lí thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê.
Trong mỗi chương tôi có chia ra thành các mục nhỏ theo từng chuyên đề để các
bạn có thể rèn luyện chuyên sâu và tập trung hơn.
Tài liệu gồm những bài tập để rèn luyện kĩ năng tính toán, rèn luyện tư duy và
phương pháp chứng minh cũng như giúp bạn đọc nắm vững và vận dụng các khái niệm
cơ bản về xác suất và thống kê. Một số bài tập được đánh dấu (*) là các bài tập khó,
thử thách dành cho các sinh viên khá giỏi đã nắm vững và vận dụng sáng tạo các kiến
thức đã học trên lớp.
Trong tài liệu này đi kèm các bài tập là các chú thích, hướng dẫn, đáp án tùy theo
mức độ khó dễ của chúng.
Vì khả năng có hạn, chắc chắn tài liệu còn có nhiều thiếu sót, tôi mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các bạn đọc để ấn bản tiếp theo được hoàn thiện hơn.

Tp. Hồ Chí Minh,
Mùa hè, 2012

Nguyễn Văn Thìn


Mục lục
Lời nói đầu

i

1 Tập hợp - Giải tích tổ hợp

1

1.1

Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Giải tích tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Biến cố và xác suất

10

2.1

Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Xác suất cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.3

Xác suất hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.4

Các công thức tính xác suất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.5

Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes . . . . . . . . . . . . . . .

19

3 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

24

4 Một số phân phối xác suất thông dụng

36

4.1

Phân phối Bernoulli, nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.2

Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.3

Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5 Lí thuyết mẫu

46

6 Ước lượng tham số thống kê

49

6.1

Ước lượng trung bình tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

6.2

Ước lượng tỉ lệ tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

6.3

Tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

7 Kiểm định giả thuyết thống kê
7.1

54

So sánh kì vọng với một số cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

54


MỤC LỤC

iv

7.2

So sánh hai kì vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

7.3

So sánh tỉ lệ với một số cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

7.4

So sánh hai tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

A Các bảng phân phối

63


Chương 1

Tập hợp - Giải tích tổ hợp
1.1

Tập hợp

Bài 1.1 (*). Cho dãy tập hợp A1 , A2 , . . . , An , . . .. Chứng minh rằng luôn luôn tồn tại dãy
tập hợp B1 , B2 , . . . , Bn , . . ., sao cho:
(a) Các Bi từng đôi một rời nhau;
(b)

∞
i=1 Ai

=

∞
k=1 Bk .

Hướng dẫn. Hãy bắt đầu với hai trường hợp dễ nhất n = 2 và n = 3.
Chú thích.

∞
i=1

Ai = {x|∃n, x ∈ An }.

Bài tập này chỉ ra cách xây dựng một họ các tập rời nhau từ một họ các tập bất kì.

Bài 1.2. Chứng minh rằng các hệ thức sau đây tương đương nếu A và B là tập hợp con của
Ω:
A ∪ B = Ω, A ⊂ B, B ⊂ A.
Hướng dẫn. Hãy chứng minh A ∪ B = Ω ⇒ A ⊂ B ⇒ B ⊂ A ⇒ A ∪ B = Ω.

Bài 1.3. Khẳng định sau có đúng hay không: "nếu A, B, C là các tập con của tập Ω sao cho
A ⊂ B ∪ C và B ⊂ A ∪ C
thì B = ∅" ?
Bài 1.4. Chứng minh rằng nếu A, B, C là các tập hợp con của tập hợp Ω, sao cho
A ∩ B ⊂ C và A ∪ C ⊂ B, thì A ∩ C = ∅

Bài 1.5. Tìm biểu thức đơn giản của các biểu thức sau:
(a) (A ∪ B)(A ∪ C)
(b) (A ∪ B)(A ∪ B)
1

1.1. TẬP HỢP

2

(c) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B)
(d) (A ∪ B)(A ∪ B)(A ∪ B)
(e) (A ∪ B)(B ∪ C)
Bài 1.6. Hệ thức nào trong các hệ thức sau đây đúng. Nếu đúng hãy chứng minh, nếu sai
hãy cho ví dụ minh họa.
(a) A ∪ B ∪ C = A ∪ (B \ AB) ∪ (C \ AC)
(b) A ∪ B = (A \ AB) ∪ B
(c) (A ∪ B) \ A = B
(d) (A ∪ B) \ C = A ∪ (B \ C)
(e) ABC = AB(C ∪ B)
(f) AB ∪ BC ∪ CA ⊃ ABC
(g) (AB ∪ BC ∪ CA) ⊂ (A ∪ B ∪ C)
(h) ABC ⊂ A ∪ B
(i) A ∪ BC = AC ∪ BC
(j) A ∪ BC = C \ (C(A ∪ B))
Chú thích. Đôi khi vì sự đơn giản và tiện lợi người ta viết AB thay cho A ∩ B, A + B thay cho A ∪ B và A
hoặc Ac thay cho A. Chữ c nhỏ trong Ac là viết tắt của từ "complement" (phần bù) trong tiếng Anh.

Bài 1.7. Chứng minh rằng:
(a) A ∪ B ∪ A ∪ B = A
(b) (A ∪ B)AB = AB ∪ BA
Bài 1.8. Chứng minh
(a) Nếu A ∪ B = AB thì A = B
(b) A ∪ BC ⊃ (A ∪ B)C
(c) Nếu A1 ⊂ A, B1 ⊂ B và A ∩ B = ∅ thì A1 ∩ B1 = ∅

Bài 1.9. Hệ thức nào trong các hệ thức sau đây đúng? Đối với các hệ thức sai, hãy chỉ ra
điều kiện để hệ thức đúng.
(a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
(c) (A ∪ B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C)


1.1. TẬP HỢP

3

(d) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C)
Bài 1.10. Cho A, B, C là các tập con của Ω. Đặt A
(a) B

A=A

(b) A

∅=A

(c) A

A=∅

(d) A

Ω=A

(e) A

B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)

(f) (A

B)

B = (A \ B) ∪ (B \ A). Chứng minh:

B

C=A

(B

C)

Chú thích. Phép toán
ở trên gọi là hiệu đối xứng. Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B, kí hiệu là A
là tập hợp gồm các phần tử chỉ thuộc A hoặc chỉ thuộc B, không đồng thời thuộc cả A và B.

B,

Bài 1.11. Cho A, B, C là các tập con của Ω. Chứng minh:
(a) ((A ∩ B) ∪ (C ∩ D)) = (A ∪ B ) ∩ (C ∪ D )
(b) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) ∩ (A ∪ B) ∩ (A ∪ B ) = ∅
(c) A \ B = A ∩ (A
(d) A ∪ B = (A
(e) (A ∩ B )
(f) A

(h) A

(A ∩ B)

(B ∩ A ) = A

B

D⇒A

C=B

B=C

(g) A ∩ (B

B)

B)

C) = (A ∩ B)

B = (A

C)

(C

D

(A ∩ C)
B)

Bài 1.12 (*). Cho A ⊂ Ω. Định nghĩa, IA , là hàm chỉ (the indicator function, hay người ta
còn gọi là hàm đặc trưng - the characteristic function) của A như sau:
IA : Ω → [0, 1]
với
IA (x) :=

1 nếu x ∈ A
0 nếu x ∈ A

(a) Cho A, B là các tập con của Ω. Chứng minh rằng
A = B nếu và chỉ nếu IA = IB
(b) Chứng minh các hệ thức sau
i. IΩ = 1; I∅ = 0
ii. IA∩B = IA IB


1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

4

iii. IA∪B = IA + IB − IA IB
iv. IA = 1 − IA
v. IA

B

≡ IA + IB (mod 2)

vi. IA\B = IA (1 − IB )
(c) Bằng cách sử dụng các hệ thức liên quan đến hàm chỉ trong câu b, chứng minh các hệ
thức liên quan đến tập hợp trong bài 1.11
Chú thích. Cho số nguyên dương n, hai số nguyên a, b được gọi là đồng dư theo mô-đun n nếu chúng có cùng
số dư khi chia cho n (tức là a − b chia hết cho n). Kí hiệu là a ≡ b (mod n). Ví dụ: 1 ≡ 3 (mod 2).

Bài 1.13 (*). Cho Ω là một tập hợp và giả sử rằng R là một tập khác rỗng các tập con của
Ω. Ta nói rằng R là một vành các tập con của Ω nếu
(A ∈ R và B ∈ R) ⇒ (A ∪ B ∈ R và A \ B ∈ R).
(a) Giả sử R là một vành các tập con của Ω. Chứng minh rằng ∅ ∈ R.
(b) Cho một ví dụ một vành R các tập con của Ω sao cho Ω ∈
/ R.
(c) Gọi R là một tập các tập con của Ω. Chứng minh rằng R là một vành nếu và chỉ nếu
(A ∈ R và B ∈ R) ⇒ (A ∩ B ∈ R và A

B ∈ R).

(d) Cho S là một tập các tập con của Ω. Giả sử rằng
(A ∈ S và B ∈ S) ⇒ (A ∩ B ∈ S và A \ B ∈ S).
Chứng minh rằng S không nhất thiết là một vành các tập con của Ω.
(e) Chứng minh rằng giao của hai vành các tập con của Ω là một vành các tập con của Ω.
Hướng dẫn. Trong câu (c), sử dụng kết quả câu (c) và (d) trong bài 1.11

1.2

Giải tích tổ hợp

Bài 1.14. Nếu một người có 6 đôi vớ khác nhau và 4 đôi giày khác nhau. Có bao nhiêu cách

kết hợp giữa vớ và giày?
Đáp án. 24.

Bài 1.15. Một lớp có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ra một ban cán sự lớp
gồm 3 người: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quỹ. Hỏi giáo viên chủ nhiệm có bao nhiêu cách
chọn ban cán sự lớp?
Đáp án. 59280.

Bài 1.16. Một lô hàng có 50 sản phẩm.


1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

5

(a) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên cùng lúc 5 sản phẩm để kiểm tra?
(b) Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên lần lượt 5 sản phẩm?
Đáp án. (a) 2118760 (b) 254251200.

Bài 1.17. Trong một hệ thống điện thoại nội bộ 3 số
(a) có bao nhiêu máy có các chữ số khác nhau?
(b) Có bao nhiêu máy có số 9 ở cuối còn các chữ số còn lại đều khác nhau?
Đáp án. (a) 720 (b) 90.

Bài 1.18. Mã vùng điện thoại của một quốc gia có dạng một dãy gồm 3 số. Số đầu tiên là
một số nguyên nằm giữa 2 và 9., số thứ hai là 0 hoặc 1, và số thứ ba là một số nguyên bất
kì từ 1 đến 9.
(a) Có thể có tối đa bao nhiêu mã vùng?
(b) Có bao nhiêu mã vùng bắt đầu với số 4?
Đáp án. (a) 144 (b) 18

Bài 1.19. Một hộp có 8 bi đỏ, 6 bi trắng, 4 bi vàng. Người ta chọn ra 6 bi từ hộp đó. Hỏi
có bao nhiêu cách chọn nếu:
(a) Không yêu cầu gì thêm.
(b) Phải có 2 bi đỏ, 2 bi trắng, 2 bi vàng.
(c) Có đúng 2 bi vàng.
Đáp án. (a) 18564 (b) 2520 (c) 6006.

Bài 1.20. Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ
ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B còn 4 người trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân
công?
Đáp án. 1260.

Bài 1.21. Một tổ sản xuất có 12 người, trong đó có 4 nữ, cần chia thành 4 nhóm đều nhau.
Hãy tìm số cách phân chia sao cho mỗi nhóm có 1 nữ?
Đáp án. 10080.

Bài 1.22. Xếp 12 hành khách lên 4 toa tàu. Tìm số cách sắp xếp:
(a) Mỗi toa có 3 hành khách.
(b) Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách, 2 toa còn lại mỗi toa có 1 hành
khách.


1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

6

Đáp án. (a) 369600 (b) 665280.

Bài 1.23. (a) Có bao nhiêu cách xếp 3 nam và 3 nữ ngồi thành một hàng?

(b) Có bao nhiêu cách xếp 3 nam và 3 nữ ngồi thành một hàng nếu mỗi nam và mỗi nữ ngồi
cạnh nhau?
(c) Có bao nhiêu cách xếp nếu 3 nam phải ngồi cạnh nhau?
(d) Có bao nhiêu cách xếp nếu không có hai nam hoặc hai nữ nào được ngồi cạnh nhau?
Đáp án. (a) 720 (b) 72 (c) 144 (d) 72.

Bài 1.24. Có 6 học sinh được sắp xếp ngồi vào 6 chỗ đã ghi số thứ tự trên một bàn dài.
Tìm số cách xếp
(a) 6 học sinh vào bàn.
(b) 6 học sinh này vào bàn sao cho 2 học sinh A, B ngồi cạnh nhau.
(c) 6 học sinh này ngồi vào bàn sao cho 2 học sinh A, B không ngồi cạnh nhau.
Đáp án. (a) 720 (b) 240 (c) 480.

Bài 1.25. Năm người A, B, C, D, E sẽ phát biểu trong một hội nghị. Có bao nhiêu cách sắp
xếp để:
(a) B phát biểu sau A.
(b) A phát biểu xong thì đến lượt B.
Đáp án. (a) 120 (b) 24.

Bài 1.26. Từ 8 sinh viên nữ và 6 sinh viên nam, một nhóm làm việc gồm 3 nam và 3 nữ
phải được lập ra. Có bao nhiêu cách lập nhóm nếu
(a) 2 trong số các sinh viên nam không chịu làm việc cùng nhau?
(b) 2 trong số các sinh viên nữ không chịu làm việc cùng nhau?
(c) 1 nam và 1 nữ không chịu làm việc cùng nhau?
Đáp án. (a) 896 (b) 1000 (c) 910.

Bài 1.27. Một người có 8 người bạn. Người này dự định mời 5 trong số 8 người bạn tham
dự một bữa tiệc liên hoan. Có bao nhiêu cách chọn nếu
(a) 2 trong số các người bạn giận nhau và sẽ không tham dự cùng nhau?
(b) 2 trong số các người bạn sẽ chỉ tham dự cùng nhau?

Đáp án. (a) 36 (b) 26.


1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

7

Bài 1.28. Xét một lưới các điểm được cho như hình bên dưới. Giả sử bắt đầu tại điểm A,
ta có thể đi một bước lên trên hoặc một bước ngang sang phải và tiếp tục như vậy cho đến
khi đến được điểm B. Hỏi có bao nhiêu đường đi từ A đến B?
s
s
s
s
sB

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

A
Đáp án. 35.
Hướng dẫn. Chú ý rằng để đến B, ta cần đi 4 bước ngang sang phải và 3 bước lên trên.

Bài 1.29. Trong bài 1.28, có bao nhiêu đường đi từ A đến B qua C như trong hình bên
dưới?
s
s
s
s
sB

s

s

sC

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

A
Đáp án. 18

Bài 1.30. Các đại biểu đến từ 10 nước trong đó có Nga, Pháp, Anh, và Mỹ được xếp ngồi
vào một hàng ghế. Có bao nhiêu cách xếp chỗ sao cho đại biểu Anh và Pháp ngồi kế nhau
và đại biểu Nga và Mỹ không ngồi kế nhau?
Đáp án. 564480.

Bài 1.31 (*). 8 món quà giống nhau được chia cho 4 bạn.
(a) Có bao nhiêu cách chia?
(b) Có bao nhiêu cách chia nếu mỗi bạn nhận ít nhất một món quà?
Đáp án. (a) 165 (b) 35

Bài 1.32 (*). Ta có 20 triệu đồng để đầu tư vào 4 hạng mục. Mỗi khoản đầu tư phải là bội
số của 1 triệu đồng và mỗi hạng mục đều yêu cầu một khoản đầu tư tối thiểu nếu ta đầu tư
vào đó. Các khoảng đầu tư tối thiểu này tương ứng là 2, 2, 3 và 4 triệu đồng. Có bao nhiêu
cách đầu tư nếu ta đầu tư


1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

8

(a) cả 4 hạng mục?
(b) ít nhất 3 trong 4 hạng mục?
Đáp án. (a) 220 (b) 572

Bài 1.33. Các chữ cái của các từ sau đây có thể được sắp xếp theo bao nhiêu cách?
(a) HANOI
(b) NGHEAN
(c) NHATRANG
Đáp án. (a) 120 (b) 360 (c) 10080

Bài 1.34 (*). Người ta có thể sắp xếp các chữ cái của từ
MUHAMMADAN
theo bao nhiêu cách sao cho 3 chữ cái giống nhau không ở gần nhau?
Chú thích. Muhammadan, trong tiếng Anh, là một tính từ và có nghĩa là (thuộc/liên quan đến) đạo Hồi.
Đáp án. 88080.

Bài 1.35. Cho số nguyên n ≥ 2, chứng minh rằng
(a) 1 + Cn1 + Cn2 + · · · + Cnn = 2n
(b) 1 − Cn1 + Cn2 + · · · + (−1)n Cnn = 0
(c) Cn1 + 2Cn2 + · · · + nCnn = n2n−1
(d) Cn1 − 2Cn2 + 3Cn3 + · · · + (−1)n−1 nCnn = 0
(e) 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + · · · + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2n−2
Hướng dẫn. Sử dụng công thức nhị thức Newton.

Bài 1.36. Cho m, n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng
n+1
n
n
n
Cnn + Cn+1
+ Cn+2
+ · · · + Cn+m
= Cn+m+1
k+1
Hướng dẫn. Sử dụng hệ thức Cn+1
= Cnk + Cnk+1 .

Bài 1.37. Cho m, n, r là các số nguyên dương. Chứng minh rằng
m

r+1
r+1
r
Cn−k
= Cn+1
− Cn−m

(a)
k=0
m

m
(−1)k Cnk = (−1)m Cn−1

(b)
k=0


1.2. GIẢI TÍCH TỔ HỢP

9

k+1
Hướng dẫn. (a) Sử dụng hệ thức Cn+1
= Cnk + Cnk+1 . (b) Quy nạp.

Bài 1.38. Chứng minh rằng với các số nguyên dương n, k
k−1
k−2
0

Cn0 Cnk − Cn1 Cn−1
+ Cn2 Cn−2
− · · · + (−1)k Cnk Cn−k
=0

Tổng quát hơn,
k
k−i i
Cni Cn−i
t = Cnk (1 + t)k
i=0

Bài 1.39 (Hệ thức Vandermonde). Giả sử m, n, r là các số nguyên dương. Chứng minh
rằng
0 r
1 r−1
r
0
Cm
Cn−m + Cm
Cn−m + · · · + Cm
Cn−m
= Cnr
Chú thích. Hệ thức này được tìm ra bởi nhà toán học Alexandre-Théophile Vandermonde vào thế kỉ 18.
Hướng dẫn. So sánh các hệ số tr trong hai vế của hệ thức (1 + t)m (1 + t)n−m = (1 + t)n .

Bài 1.40. Chứng minh rằng
Cn0

2

+ Cn1

2

n
+ · · · + (Cnn )2 = C2n

Hướng dẫn. Áp dụng bài 1.39.

Bài 1.41. Chứng minh rằng
n
k=0

2n!
n 2
= (C2n
)
− k)!]2

(k!)2 [(n

Hướng dẫn. Áp dụng bài 1.40.

Bài 1.42 (*). Cho r ≤ n là các số nguyên dương. Chứng minh rằng
n

(−1)n−k Cnk k r =
k=0

0 nếu r < n
n! nếu r = n

Hướng dẫn. Xét đạo hàm cấp r của (1 − et )n tại t = 0.

Bài 1.43. Chứng minh rằng
1
1
1
1 1
1
Cn1 − Cn2 + · · · + (−1)n−1 Cnn = 1 + + + · · · +
1
2
n
2 3
n
n−1

(1 − t)k = [1 − (1 − t)n ]t−1 .

Hướng dẫn. Tích phân trên [0, 1] hệ thức
k=0


Chương 2

Biến cố và xác suất
2.1

Biến cố

Bài 2.1. Một hộp bút có 3 cây bút xanh, đỏ, tím. Xét phép thử lấy ra một cây bút từ hộp,
sau đó trả lại hộp và rút ra cây bút thứ hai.
(a) Hãy mô tả không gian mẫu.
(b) Trong trường hợp cây bút thứ nhất không được trả lại hộp, hãy mô tả không gian mẫu.
Bài 2.2. Khi nào thì có các đẳng thức sau:
(a) A + B = A
(b) AB = A
(c) A + B = AB
Hai sự kiện A và A + B có xung khắc không?
Đáp án. (a) A = ∅, B = Ω (b) A = Ω, B = ∅ (c) A = B; Có.

Bài 2.3. Một chiếc tàu thủy gồm một bánh lái, 4 nồi hơi, 2 tuốc bin. Gọi A, Bi (i =
1, . . . , 4), Cj (j = 1, 2) lần lượt là các sự kiện bánh lái hoạt động tốt, nồi hơi thứ i hoạt
động tốt, tuốc bin thứ j hoạt động tốt. Biết rằng tàu hoạt động tốt khi và chỉ khi bánh lái,
ít nhất 1 nồi hơi và ít nhất một tuốc bin đều hoạt động tốt. Gọi D là sự kiện tàu hoạt động
tốt. Hãy biểu diễn D và D qua A, Bi , Cj .
Bài 2.4. Có 4 sinh viên làm bài thi. Kí hiệu Bi (i = 1, . . . , 4) là biến cố sinh viên thứ i làm
bài thi đạt yêu cầu. Hãy biểu diễn các biến cố sau đây:
(a) Có đúng một sinh viên đạt yêu cầu.
(b) Có đúng ba sinh viên đạt yêu cầu.
(c) Có ít nhất một sinh viên đạt yêu cầu.
10


2.1. BIẾN CỐ

11

(d) Không có sinh viên nào đạt yêu cầu.
Bài 2.5. Tung hai con xúc sắc. Gọi E là biến cố tổng số nốt là lẻ, F là biến cố xuất hiện
mặt một nốt, và G là biến cố tổng số nốt là 5. Hãy mô tả các biến cố sau EF , E ∪ F , F G,
EF c , và EF G.
Đáp án. EF = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (4, 1), (6, 1)}; F G = {(1, 4), (4, 1)}; EF G = {(1, 4), (4, 1)}.
Hướng dẫn. Trước hết hãy viết ra không gian mẫu Ω và các biến cố E, F và G.

Bài 2.6. Xét phép thử: Gieo một xúc xắc 2 lần. Mô tả không gian biến cố sơ cấp ứng với
phép thử trên?
Gọi A: "Tổng số nốt chia hết cho 3”, B: "Trị tuyệt đối của hiệu số nốt là số chẵn”. Biểu
diễn A, B?
Bài 2.7. A, B và C thay phiên nhau lần lượt tung một đồng xu. Người đầu tiên tung được
mặt ngửa là người thắng cuộc. Không gian mẫu của thí nghiệm này được định nghĩa như sau
S = {1, 01, 001, 0001, . . . , 0000 · · · }
(a) Hãy giải thích không gian mẫu trên.
(b) Hãy mô tả các biến cố sau theo cách biểu diễn của S:
(i) A = “A thắng”.
(ii) B = “B thắng”.
(iii) (A ∪ B)c .
Giả sử rằng A tung đầu tiên, sau đó đến B, đến C, rồi quay lại A, tiếp tục như vậy.
Bài 2.8. Một hệ thống máy có năm bộ phận. Mỗi bộ phận có thể hoạt động hoặc bị hư.
Xét một phép thử quan sát tình trạng của các bộ phận này, và kết quả của phép thử được
ghi lại trong một vector (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ), với xi bằng 1 nếu bộ phận i hoạt động và bằng 0
nếu bị hư.
(a) Có bao nhiêu biến cố sơ cấp trong không gian mẫu của thí ngiệm này?
(b) Giả sử rằng hệ thống hoạt động nếu bộ phận 1 và 2 đều hoạt động, hoặc nếu bộ phận
3 và 4 đều hoạt động, hoặc nếu bộ phận 1, 3 và 5 đều hoạt động. Gọi W là biến cố hệ
thống hoạt động. Hãy biểu diễn W .
(c) Gọi A là biến cố các bộ phận 4 và 5 đều bị hư. A có bao nhiêu biến cố sơ cấp?
(d) Hãy biểu diễn biến cố AW .

Đáp án. (d) AW = {(1, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0)}.

Bài 2.9. Xét một phép thử bao gồm xác định loại công việc lao động–hoặc lao động trí óc
hoặc lao động chân tay–và nơi sinh–miền Bắc, miền Trung, hoặc miền Nam–của 15 thành
viên thuộc một đội bóng nghiệp dư. Hỏi có bao nhiêu biến cố sơ cấp


2.2. XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN

12

(a) trong không gian mẫu?
(b) trong biến cố “có ít nhất một trong các thành viên là lao động trí óc”?
Đáp án. (a) 615 (b) 615 − 315 .

Bài 2.10. Cho A, B là hai biến cố ngẫu nhiên đã biết. Tìm biến cố X từ hệ thức:
X +A+X +A=B
Đáp án. X = B.

Bài 2.11. Cho A, B là các tập con của Ω. Tìm điều kiện cần và đủ để tồn tại một tập con
X của Ω thỏa AX + BX = ∅.
Đáp án. B ⊂ A

Bài 2.12. Xét phép thử: Bắn không hạn chế vào 1 bia cho đến khi trúng bia lần đầu tiên
thì dừng. Biểu diễn không gian biến cố sơ cấp của biến cố trên. Chỉ ra một hệ đầy đủ các
biến cố.
Hướng dẫn. Có nhiều hệ đầy đủ các biến cố cho không gian mẫu này. Hãy tìm một hệ đơn giản nhất.

Bài 2.13. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi Ai là biến cố xảy ra khi số nốt
ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất là i(i = 1, . . . , 6), Bk biến cố xảy ra khi số nốt ở mặt trên

con xúc xắc thứ hai là k(k = 1, . . . , 6).
(a) Hãy mô tả các biến cố A6 B6 , A3 B5
(b) Viết bằng kí hiệu các biến cố:
• A: “hiệu giữa số nốt ở mặt trên con xúc xắc thứ nhất và thứ hai có trị số tuyệt đối
bằng ba”.
• B: “số nốt ở mặt trên hai con xúc xắc bằng nhau”.
(c) Hãy chỉ ra một nhóm đầy đủ các biến cố.

2.2

Xác suất cổ điển

Bài 2.14. Một nhóm n người xếp ngẫu nhiên thành một hàng dài.
(a) Tìm xác suất để 2 người định trước đứng cạnh nhau.
(b) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau 2 người.
(c) Tìm xác suất để 2 người đó đứng cách nhau r người (0 < r < n − 2).
(d) Xét trường hợp khi họ xếp thành một vòng tròn.
Đáp án. (a)

2
n

(b)

2(n−3)
(n−1)n

(c)

2(n−r−1)

(n−1)n

(d) Nếu r =

n−2
2

thì P =

1
.
n−1

Nếu r =

n−2
2

thì P =

2
.
n−1


2.2. XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN

13

Bài 2.15. Thang máy của một tòa nhà 7 tầng, xuất phát từ tầng một với 3 người khách.

Tính xác suất để:
(a) Tất cả cùng ra ở tầng bốn.
(b) Tất cả cùng ra ở một tầng.
(c) Mỗi người ra một tầng khác nhau.
1
6
6·5·4
(b) 3 (c)
63
6
63

Đáp án. (a)

Bài 2.16. Có n quả cầu được phân ngẫu nhiên lần lượt vào n hộp, mỗi hộp có thể chứa
nhiều quả cầu. Khi phân biệt hộp và cầu, tìm xác suất để mỗi hộp chứa một quả cầu.
Đáp án.

n!
nn

Bài 2.17. Cho một lô hàng gồm n sản phẩm trong đó có m sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên
từ lô hàng đó k sản phẩm. Tìm xác suất sao cho trong số sản phẩm lấy ra có đúng s sản
phẩm xấu (s < k).
Đáp án.

k−s
s
Cn−m
Cm

k
Cn

Bài 2.18. Ta gieo liên tiếp 4 lần một đồng tiền cân đối đồng chất. Tìm xác suất của các
biến cố:
(a) A: “Có hai mặt sấp”.
(b) B: “Có ba mặt ngửa”.
(c) C: “Có ít nhất một mặt sấp”.
Đáp án. (a) 0.375 (b) 0.25 (c) 0.9375

Bài 2.19. Mười hai sản phẩm được sắp ngẫu nhiên vào ba hộp. Tìm xác suất để hộp thứ
nhất có chứa ba sản phẩm.
Đáp án. 0.212

Bài 2.20 (*). Gieo đồng thời hai con xúc xắc đồng chất cân đối n lần liên tiếp. Tìm xác
suất để xuất hiện ít nhất một lần hai mặt trên cùng có 6 nốt.
Đáp án. 1 −

35 n
.
36


2.3. XÁC SUẤT HÌNH HỌC

2.3

14

Xác suất hình học

Bài 2.21. Một thanh sắt thẳng được bẻ thành ba khúc một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất
để ba khúc đó tạo được thành một tam giác. Biết rằng thanh sắt dài l (đơn vị dài.)
Đáp án. 0.25

Bài 2.22 (* Bài toán Butffon). Trên mặt phẳng có các đường thẳng song song cách đều
nhau 2a, gieo ngẫu nhiên một cây kim có độ dài 2l (l < a). Tìm xác suất để cây kim cắt một
đường thẳng nào đó.
Đáp án.

2l
.
aπ

Bài 2.23. Trên đường tròn bán kính R có một điểm A cố định, chọn ngẫu nhiên một điểm
B. Tìm xác suất để cung AB không quá R.
Đáp án.

1
.
3

Bài 2.24. Trên đoạn thẳng OA ta gieo một cách ngẫu nhiên hai điểm B, C có tọa độ tương
ứng là OB = x, OC = y(y ≥ x). Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài
của đoạn OB.
Đáp án. 0.25

2.4

Các công thức tính xác suất cơ bản

Bài 2.25. Một hệ thống được cấu tạo bởi 3 bộ phận độc lập nhau. Hệ thống sẽ hoạt động
nếu ít nhất 2 trong 3 bộ phận còn hoạt động. Nếu độ tin cậy của mỗi bộ phận là 0.95 thì độ
tin cậy của hệ thống là bao nhiêu?
Đáp án. 0.9928
Hướng dẫn. Gọi
• Bi là biến cố “Bộ phận thứ i hoạt động tốt” (i = 1, 2, 3)
• H là biến cố “Hệ thống hoạt động tốt”
Biểu diễn H theo Bi và tính P (H).

Bài 2.26. Một hộp có 7 bi đỏ và 3 bi đen.
(a) Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp ra để kiểm tra. Tính xác suất nhận được bi đen.
(b) Lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 2 bi. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.
(c) Lấy ngẫu nhiên ra 2 viên bi từ hộp. Tính xác suất để lấy được 2 bi đen.
Đáp án. (a) 0.3 (b) 0.09 (c) 0.067


2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN

Bài 2.27. Cho P (A) = 13 , P (B) =

1
2

15

và P (A + B) = 43 .

Tính P (AB), P (A.B), P (A + B), P (AB), P (AB).
Đáp án.

1
, 1 , 11 , 1 , 5 .
12 4 12 4 12

Bài 2.28. Tỷ lệ người bị bệnh tim trong một vùng dân cư là 9%, bị bệnh huyết áp là 12%,
bị cả hai bệnh là 7%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đó
(a) Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp.
(b) Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp.
(c) Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp.
(d) Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp.
(e) Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp.
Đáp án. (a) 0.14 (b) 0.86 (c) 0.93 (d) 0.02 (e) 0.05
Hướng dẫn. Gọi
• A là biến cố “nhận được người bị bệnh tim”
• B là biến cố “nhận được người bị bệnh huyết áp”
Ta có: P (A) = 0.09; P (B) = 0.12; P (AB) = 0.07
Biểu diễn các biến cố trong từng câu theo A và B và tính xác suất các biến cố đó.

Bài 2.29. Bạn quên mất số cuối cùng trong số điện thoại cần gọi (số điện thoại gồm 6 chữ
số) và bạn chọn số cuối cùng này một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn gọi đúng số
điện thoại này mà không phải thử quá 3 lần. Nếu biết số cuối cùng là số lẻ thì xác suất này
là bao nhiêu ?
Đáp án. 0.3; 0.6
Hướng dẫn. Gọi Ai là biến cố “gọi đúng ở lần thứ i” (i = 1, 2, 3)
Biểu diễn các biến cố cần tìm theo Ai và áp dụng các công thức tính xác suất để tìm xác suất của các
biến cố này.

Bài 2.30 (*). (a) Cho A, B là hai biến cố độc lập. Chứng minh rằng A, B; A, B và A, B
đều là các cặp biến cố độc lập.

(b) Cho A1 , A2 , . . . , An là n biến cố độc lập. Chứng minh rằng A1 , A2 , . . . , An cũng là n biến
cố độc lập. Từ đó suy ra rằng nếu xét n biến cố B1 , B2 , . . . , Bn với Bi = Ai hoặc Bi = Ai
thì B1 , B2 , . . . , Bn cũng là n biến cố độc lập.
Bài 2.31. Một đợt xổ số phát hành N vé, trong đó có M vé có thưởng. Một người mua r
vé (r < N − M ). Tính xác suất để người đó có ít nhất một vé trúng thưởng.
Đáp án. 1 −

r
CN
−M
r
CN

.


2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN

16

Bài 2.32. Một người có 3 con gà mái, 2 con gà trống nhốt chung một lồng. Một người đến
mua, người bán bắt ngẫu nhiên ra một con. Người mua chấp nhận mua con đó.
(a) Tìm xác suất để người đó mua được con gà mái.
Người thứ hai đến mua, người bán lại bắt ngẫu nhiên ra một con.
(b) Tìm xác suất người thứ hai mua được gà trống, biết rằng người thứ nhất mua được gà
mái.
(c) Xác suất trên bằng bao nhiêu nếu người bán gà quên mất rằng con gà bán cho người thứ
nhất là gà trống hay gà mái?
Đáp án. (a) 0.6 (b) 0.5 (c) 0.4

Bài 2.33 (*). Có một nhóm n sinh viên, mỗi người có một áo mưa giống hệt nhau. Một
hôm trời mưa, cả nhóm cùng đến lớp và treo áo ở mắc áo. Lúc ra về vì vội vàng mỗi người
lấy hú họa một cái áo. Tính xác suất có ít nhất một sinh viên chọn đúng áo của mình.
Đáp án. 1 −

1
2!

+

1
3

1
− · · · + (−1)n−1 n!
.

Hướng dẫn. Gọi
• Ai là biến cố “Sinh viên thứ i nhận đúng áo của mình” (i = 1, . . . , n)
• A là biến cố “Có ít nhất một sinh viên nhận đúng áo của mình”
Biểu diễn A theo Ai và áp dụng công thức cộng xác suất.

Bài 2.34 (*). Một người viết n lá thư và bỏ n lá thư này vào trong n phong bì đã viết sẵn
địa chỉ. Tìm xác suất sao cho có ít nhất một lá thư được bỏ đúng vào phong bì của nó.
Hướng dẫn. Tương tự bài 2.33.

Bài 2.35. Ba xạ thủ, mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu với xác suất trúng đích của
mỗi người là 0.6; 0.7; 0.8. Tìm xác suất
(a) chỉ có người thứ hai bắn trúng.
(b) có đúng một người bắn trúng.

(c) có ít nhất một người bắn trúng.
(d) cả ba người đều bắn trúng.
(e) có đúng hai người bắn trúng.
(f) có ít nhất hai người bắn trúng.
(g) có không quá hai người bắn trúng.
Đáp án. (a) 0.056 (b) 0.188 (c) 0.976 (d) 0.336 (e) 0.452 (f) 0.788 (g) 0.664
Hướng dẫn. Gọi Ai là biến cố “Xạ thủ thứ i bắn trúng” (i = 1, 2, 3)
Biễu diễn các biến cố cần tìm theo Ai và áp dụng các công thức tính xác suất.


2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN

17

Bài 2.36. Cho hai biến cố xung khắc A và B, sao cho P (A) = 0, P (B) = 0.
Chứng minh rằng A và B phụ thuộc nhau.
Hướng dẫn. Dùng định nghĩa.

Bài 2.37. Ba con ngựa a, b, c trong một cuộc đua ngựa. Nếu xuất hiện bac có nghĩa là b đến
đích trước, sau đó là a và về cuối là c. Khi đó tập hợp tất cả các khả năng xuất hiện là
Ω = {abc, acb, bac, bca, cab, cba}.
Giả sử rằng P [{abc}] = P [{acb}] = 1/18 và bốn khả năng còn lại đều có xác suất xảy ra là
2/9. Hơn nữa, ta định nghĩa các biến cố
A = "a đến đích trước b"

và

B = "a đến đích trước c"

(a) Hai biến cố A và B có tạo thành một hệ đầy đủ của Ω?

(b) Hai biến cố A và B có độc lập nhau?
Đáp án. (a) không (b) có.

Bài 2.38. Có tồn tại hai biến cố xung khắc và độc lập không?
Hướng dẫn. Hãy viết ra các định nghĩa hai biến cố xung khắc và hai biến cố độc lập nhau.

Bài 2.39. Một máy tính điện tử gồm có n bộ phận. Xác suất hỏng trong khoảng thời gian
T của bộ phận thứ k bằng pk (k = 1, 2, . . . , n). Nếu dù chỉ một bộ phận bị hỏng thì máy tính
ngừng làm việc. Tìm xác suất để máy tính ngừng làm việc trong khoảng thời gian T .
Đáp án. 1 − (1 − p1 )(1 − p2 ) · · · (1 − pn ).

Bài 2.40. Chứng minh rằng nếu
P (A|B) > P (A), thì P (B|A) > P (B)

Bài 2.41. Giả sử P (AB) = 1/4, P (A|B) = 1/8 và P (B) = 1/2. Tính P (A).
Đáp án. 5/16.

Bài 2.42. Biết rằng ta đã nhận được ít nhất một mặt ngửa trong 3 lần tung đồng xu độc
lập. Hỏi xác suất đạt được cả 3 mặt ngửa là bao nhiêu?
Đáp án. 1/7
Hướng dẫn. Áp dụng công thức xác suất có điều kiện.

Bài 2.43. Tung một con xúc sắc hai lần độc lập nhau. Biết rằng lần tung thứ nhất được số
nốt chẵn. Tính xác suất tổng số nốt hai lần tung bằng 4.
Đáp án. 1/18


2.4. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CƠ BẢN

18

Bài 2.44. Giả sử P (A) = P (B) = 1/4 và P (A|B) = P (B). Tính P (AB).
Đáp án. 3/16

Bài 2.45. Bắn liên tiếp vào một mục tiêu đến khi trúng mục tiêu thì ngừng. Tìm xác suất
sao cho phải bắn đến viên thứ 6, biết rằng xác suất trúng đích của mỗi viên đạn là 0.2 và
các lần bắn là độc lập.
Đáp án. 0.0655
Hướng dẫn. Gọi
• Ai là biến cố “Bắn trúng lần thứ i”
• A là biến cố “Phải bắn đến viên thứ 6”
Biểu diễn A theo Ai và áp dụng các công thức tính xác suất.

Bài 2.46. Giả sử các biến cố A1 , . . . , An độc lập có xác suất tương ứng P (Ak ) = pk (k =
1, . . . , n). Tìm xác suất sao cho:
(a) không một biến cố nào trong các biến cố đó xuất hiện.
(b) có ít nhất một biến cố trong các biến cố đó xuất hiện.
Từ đó suy ra công thức khai triển tích
n

(1 − pk )
k=1

Đáp án. (a)

n
k=1 (1

− pk ) (b) 1 −

n
k=1 (1

− pk ).

Bài 2.47. Có ba tiêu chí phổ biến cho việc chọn mua một chiếc xe hơi mới nào đó là A: hộp
số tự động, B: động cơ V6, và C: điều hòa nhiệt độ. Dựa trên dữ liệu bán hàng trước đây, ta
có thể giả sử rằng P (A) = 0.7, P (B) = 0.75, P (C) = 0.80, P (A+B) = 0.80, P (A+C) = 0.85,
P (B + C) = 0.90 và P (A + B + C) = 0.95, với P (A) là xác suất người mua bất kì chọn tiêu
chí A, v.v. . . . Tính xác suất của các biến cố sau:
(a) người mua chọn ít nhất một trong 3 tiêu chí.
(b) người mua không chọn tiêu chí nào trong 3 tiêu chí trên.
(c) người mua chỉ chọn tiêu chí điều hòa nhiệt độ.
(d) người mua chọn chính xác một trong 3 tiêu chí.
Đáp án. (a) 0.95 (b) 0.05 (c) 0.15 (d) 0.3

Bài 2.48. Giả sử A, B là hai biến cố bất kì. Ta định nghĩa khoảng cách d(A, B) giữa A và
B như sau:
d(A, B) = P (A B)
Chứng minh rằng nếu A, B, C là các biến cố thì
d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)
Đây là bất đẳng thức tam giác cho hàm khoảng cách d.


2.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ, CÔNG THỨC BAYES

19

Hướng dẫn. Sử dụng bài 1.11(h).

Bài 2.49 (*). Giả sử A, B là hai biến cố bất kì. Ta định nghĩa khoảng cách d(A, B) giữa A
và B như sau
P (A B)
nếu P (A ∪ B) = 0
P (A∪B)
d(A, B) =
0
nếu P (A ∪ B) = 0
Chứng minh rằng nếu A, B, C là các biến cố thì
d(A, C) ≤ d(A, B) + d(B, C)
Đây là bất đẳng thức tam giác cho hàm khoảng cách d.

2.5

Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Bài 2.50. Giả sử P (B|A1 ) = 1/2, P (B|A2 ) = 1/4 với A1 và A2 là hai biến cố đồng khả
năng và tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố. Tính P (A1 |B).
Đáp án. 2/3

Bài 2.51 (*). Một hộp đựng 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng thưởng. Có 10 người lần
lượt rút thăm (không hoàn lại). Tính xác suất nhận được phiếu trúng thưởng của mỗi người.
Đáp án. 0.2

Bài 2.52. Có hai hộp đựng bi. Hộp 1 đựng 20 bi trong đó có 5 bi đỏ và 15 bi trắng. Hộp 2
đựng 15 bi trong đó có 6 bi đỏ và 9 bi trắng. Lấy một bi ở hộp 1 bỏ vào hộp 2, trộn đều rồi
lấy ra một bi. Tính xác suất nhận được bi đỏ? bi trắng?
Đáp án. 0.391; 0.609
Hướng dẫn. Gọi
• A là biến cố “Bi nhận được từ hộp 2 là bi đỏ”

• B là biến cố “Bi từ hộp 1 bỏ sang hộp 2 là bi đỏ”

Bài 2.53. Trong một vùng dân cư, cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá. Biết tỷ lệ
người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, trong số người không hút thuốc lá là
30%. Khám ngẫu nhiên một người và thấy người này bị viêm họng.
(a) Tìm xác suất người này hút thuốc lá.
(b) Nếu người này không bị viêm họng thì xác suất người này hút thuốc lá là bao nhiêu.
Đáp án. (a) 0.462 (b) 0.197
Hướng dẫn. Gọi
• A là biến cố “Người này hút thuốc”
• B là biến cố “Người này bị viêm họng”