Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán

Nguyn Quang Khiờm
Chuyờn :

THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh
Tớnh cht dóy t s bng nhau

I.Mục tiêu:
-Học sinh nắm chắc tính chất dãy tỉ số bằng nhau biết vận dụng làm bài tập.
-Rèn cho học sinh kỹ năng trình bày các bài toán về tính chất dãy tỉ số bằng
nhau.
-Rèn cho học sinh có t duy sáng tạo trong giải toán.
-Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, và biết vận dụng các kiến thức toán học vào
gải các bài toán trong thực tế.
II.Trọng tâm:
Hai tiết đầu: hai dạng toán đầu.
III.Chuẩn bị:
- Giáo viên: chọn lọc phân laọi bài tập, soạn bài bằng văn bản và GAĐT, máy
chiếu, máy tính.
-Học sinh: học thuộc tính chất của tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
IV.Hot động dạyhọc:
A.Lý thuyết:
* Các tính chất của tỉ lệ thức:
+ Nếu

a c
= ad = bc
b d

+ Nếu a, b, c, d 0 thì :
ad = bc

a c
=
b d

a b
=
c d

d c
=
b a

d b
=
c a

* Về tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
+ Từ dãy tỉ số
*
*

a c e
a c
= hoặc = =
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
b d
f
b d

a c a+c ac

= =
=
b d b+d bd
a c e
a+c+e
ace
= = =
=
= ...
b d
f b+d + f bd f

Thỏng 11 nm 2008

Trang 1


Nguyn Quang Khiờm
Chuyờn :

THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh
Tớnh cht dóy t s bng nhau

B.Các dạng toán:
Dạng 1: Tìm các số khi bit tng (hoc tớch) v t s ca chỳng.
VD1: Tìm x,y,z biết:
a)

x y z
= = và x + y + z = 18 ;

2 3 4

b)

x y z
= = và x y z = 15
2 3 4

Giải:
a) Cỏch 1: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
x = 2.2 = 4
x y z x + y + z 18

= = =
=
= 2 y = 2.3 = 6
2 3 4 2+3+ 4 9
z = 2.4 = 8


Cỏch 2: t t s bng k rỳt x,y,z theo k.
x = 2k
x y z

= = = k y = 3k (1)
2 3 4
z = 4k

x + y + z = 2k + 3k + 4k = 9k
9k = 18 k = 2

Theo (1) ta cú: x = 4; y = 6; z = 8
Cỏch 3: Rỳt x, y theo z.
1

x= z

x y z

2
= =

2 3 4
y = 3 z

4
1
3
9
x + y + z = z + z + z = z = 18
2
4
4
z = 8; x = 4; y = 6
x = 3.2 = 6
x y z x y z 15

=
= 3 y = 3.3 = 9
b) = = =

2 3 4 234 5
z = 3.4 = 12


VD2: Tìm x, y,z biết:
a)

x y z
= = và x + 2 y + 4 z = 93 ;
3 4 5

Thỏng 11 nm 2008

b)

x y z
= = và 2 x + y 3 z = 34
3 4 5

Trang 2


Nguyn Quang Khiờm
Chuyờn :

THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh
Tớnh cht dóy t s bng nhau

Giải:
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

x = 3.3 = 9
x y z 2 y 4 z x + 2 y + 4 z 93

=
=
=
= 3 y = 3.4 = 12
a) = = =
3 4 5
8
20
3 + 8 + 20
31
z = 3.5 = 15

x = 2.3 = 6
x y z 2 x 3 z 2 x + y 3z
34

=
= 2 y = 2.4 = 8
b) = = = = =
3 4 5 6 15
6 + 4 15
17
z = 2.5 = 10

2x 3y 4z
= =
và x+2y+4z=220 ;

3
4 5

VD3: Tìm x, y,z biết:
Giải:
a) Từ

2x 3y 4z
x
y
z
=
=

=
=
3
4
5
18 16 15

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
x = 2.18 = 36
x
y
z
x + 2 y + 4 z 220

=
=

=
=
= 2 y = 2.16 = 32
18 16 15 18 + 32 + 60 110
z = 2.15 = 30


VD 4: Tìm x, y biết:
a) 5 x = 7 y và x + 2 y = 51 ;

b) a.x = b. y (a 0, b 0, b a) và x y = b a

Giải:
a) Từ 5 x = 7 y

x y
=
7 5

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
x = 21
x y x + 2 y 51
= =
=
=3
7 5 7 + 10 17
y = 15

b) Từ a.x = b. y

x y
=
b a

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
x = b
x y x y ba
= =
=
=1
b a ba ba
y = a

Thỏng 11 nm 2008

Trang 3


Nguyn Quang Khiờm
Chuyờn :

THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh
Tớnh cht dóy t s bng nhau

à à 3B=C
à à
VD5: Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC bit 2A=B;

Giải:
0

à
à à à à à à
à à 3B=C
à à 2A=B
à à = C A = B = C = A + B + C = 180 = 200
2A=B;
3
1 2 6
9
9
Từ:
à = 200 ; B
à = 400 ;C
à = 1200
A

Tổng quát :
Tìm x,y,z biết

x y z
= = và mx+ny+pz=d
a b c

(*)

Với a, b, c, d là các số cho trớc và m,n,p 0
Phơng pháp giải là: ta chỉ cần áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để để tạo ra
tỷ số là hằng số .
Cụ thể:
Từ

x y z mx ny pz mx + ny + pz
d
= = =
= = =
=
a b c ma nb pc ma + nb + pc ma + nb + pc

VD6: Tìm x,y,z biết:
a)

x y
=
và xy = 24 ;
2 3

b)

x y z
= = và xyz = 24
2 3 4

Giải:
a) Cỏch 1:
2

2

x y x y
x y xy 24

= ữ = ữ = . =
=
=4
2 3 2 3
2 3 6
6
x
= 2 x = 4
2

Vi x = 4 y = 6
Vi x = - 4 y = - 6

Cỏch 2: Đặt

x y
= = k x = 2k ; y = 3k
2 3

Thỏng 11 nm 2008

Trang 4


Nguyn Quang Khiờm
Chuyờn :

THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh
Tớnh cht dóy t s bng nhau

Thay x = 2k ; y = 3k vào xy = 24 ta đợc:
2k .3k = 6k 2 = 24 k 2 = 4 k = 2

-Với k = 2 x = 4; y = 6
-Với k = 2 x = 4; y = 6
b) Đặt

x y z
= = = k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k
2 3 4

Thay x = 2k ; y = 3k ; z = 4k vào xyz = 24 ta đợc:
x = 2

2k .3k .4k = 24k = 24 k = 1 k = 1 y = 3
z = 4

3

3

VD7: Tìm x, y,z biết:
a)

x y z
= = và x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 =141
3 4 5

b)

x y z
= = và 2 x 2 + y 2 3 z 2 = 77
3 4 5

Giải:
x y z
= =
(1)
3 4 5
a) Từ
x2 y 2 z 2

=
=
9 16 25

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
x 2 y 2 z 2 2 y 2 4 z 2 x 2 + 2 y 2 + 4 z 2 141
=
=
=
=
=
=
= 1 x 2 = 9 x = 3
9 16 25 32 100
9 + 32 + 100
141
x = 3
x = 3

kết hợp với (1) y = 4 hoặc y = 4
z = 5
z = 5



b) Từ

x y z
x2 y2 z2
= = (1)
=
=
3 4 5
9 16 25

Thỏng 11 nm 2008

Trang 5


Nguyn Quang Khiờm
Chuyờn :

THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh
Tớnh cht dóy t s bng nhau

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:

x 2 y 2 z 2 2 x 2 3z 2 2 x 2 + y 2 3z 2 77
=
=
=
=
=
=
= 1 x 2 = 9 x = 3
9 16 25 18
75
18 + 16 75
77
x = 3
x = 3


kết hợp với (1) y = 4 hoặc y = 4
z = 5
z = 5



Tổng quát :
Tìm x,y,z biết

x y z
= = và mx k + ny k + pz k = d
a b c

Với a, b, c, d , m, n, p, d , k là các số khác 0 k N *

Phơng pháp giải nh sau:
Từ

x y z
mx k ny k
pz k
= =
=
=
a b c
ma k nb k
pc k

mx k ny k
pz k
=
=
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cho dãy tỉ số ma k nb k pc k ta đợc:
mx k ny k
pz k
mx k + ny k + pz k
d
=
=
=
=
k
k
k
k

k
k
k
ma
nb
pc
ma + nb + pc
ma + nb k + pc k

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức t một hệ thức cho trớc.
a
b

c
d

VD1: Cho tỉ lệ thức: = (a, b, c, d 0; a b; c d )
Chứng minh rằng:
a)

a+b c+d
=
ab cd

b)

a+b c+d
=
b
d

Giải:
a) Cỏch 1: p dng tớnh cht dóy t s bng nhau.
Từ

a c
a b
= = . áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
b d
c d

a b a+b ab
= =
=
c d c+d cd

Thỏng 11 nm 2008

Trang 6


Nguyn Quang Khiờm
Chuyờn :
do :

THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh
Tớnh cht dóy t s bng nhau

a+b ab
a+b c+d

=

=
c+d cd
a b cd

Cỏch 2: t t s bng k rỳt t theo k v mu:
a + b kb + b k + 1
=
=
a = kb a b kb b k 1
a c

t = = k
b d
c = kd
c + d = kd + d = k + 1
c d kd d k 1
a+b c+d
=
ab cd

Vy:

Cỏch 3: p dng tớnh cht ca t l thc.
b)do:

b a+b
a+b c+d
=

=
d c+d
b
d

Cỏch 2: t t s bng k rỳt t theo k v mu:
Cỏch 3: p dng tớnh cht ca t l thc.
Cỏch 4:

a c
a
c
a+b c+d
= +1 = +1
=
b d
b
d
b
d
a c
b d

VD2: Cho tỉ lệ thức: = Chứng minh rằng:
2a+3b 2c+3d
a)
=
2a-3b 2c-3d

3a 2 +5ab 3c 2 +5cd
b) 2
=
7a -10b 2 7c 2 -10d 2

Giải:
a) Cỏch 1: p dng tớnh cht dóy t s bng nhau.
do:

a c
a b
= = . áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
b d
c d
a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b
= = = =
=
c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d

t :

2a+3b 2a-3b
2a+3b 2c+3d
=

=
2c+3d 2c-3d
2a-3b 2c-3d

Cỏch 2: t t s bng k rỳt t theo k v mu:

2a+3b 2kb+3b 2k+3
=
=
a=kb 2a-3b 2kb-3b 2k-3
a c

t = =k
b d
c=kd 2c+3d = 2kd+3d = 3k+3
2c-3d 2kd-3d 2k-3

Thỏng 11 nm 2008

Trang 7


Nguyn Quang Khiờm
Chuyờn :
Vy:

THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh
Tớnh cht dóy t s bng nhau

2a+3b 2c+3d
=
2a-3b 2c-3d

Cỏch 3: p dng tớnh cht ca t l thc.
b) Cỏch 1: p dng tớnh cht dóy t s bng nhau.
do:

a c
a b
= = . áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta đợc:
b d
c d
2

2

a b a b a b a 2 b 2 ab
= ữ = ữ = . = 2 = 2 =
c d c d
c d c d
cd
2
2
2
2
3a 7a 10b
5ab 3a +5ab 7a 2 -10b 2
= 2= 2=
=
=
=
3c 7c 10d 2 5cd 3c 2 +5cd 7c 2 -10d 2
3a 2 +5ab 3c2 +5cd
2
=
7a -10b 2 7c 2 -10d 2

t

3a 2 +5ab 7a 2 -10b 2
3a 2 +5ab 3c 2 +5cd
=

=
3c 2 +5cd 7c 2 -10d 2
7a 2 -10b 2 7c2 -10d 2

Cỏch 2: t t s bng k rỳt t theo k v mu:
Cỏch 3: p dng tớnh cht ca t l thc.
Tổng quát :
a c
Nu: = thỡ:
b d

ma+nb mc+nd
a)
=
m'a+n'b m'c+n'd

ma 2 +nb 2 +kab mc 2 +nd 2 +kac
b)
=
m'a 2 +n'b 2 +k'ab m'c 2 +n'd 2 +kcd

Nhn xột: Hu ht cỏc bi tp trong hai dng toỏn trờn u cú th gii bng nhiu
cỏch tuy nhiờn mi bi ta nờn chn c ỏch gii hp lý nht.

VD 3: Cho tỉ lệ thức:
Giải:

a+b c+d
a
c
=
. Chứng minh rằng: = .
b
d
ab cd

a+b c+d
a b + 2b c d + 2d
2b
2d
=

=
1+
= 1+
a b c d
a b
cd
a b
cd
c d a b
c 1 a 1
a c

=

=
=
2d
2b
2d 2 2b 2
b d

Dạng 3: Tớnh giỏ tr ca mt biu thc.

Thỏng 11 nm 2008

Trang 8


Nguyễn Quang Khiêm
Chuyên đề:

THCS Hàn Thuyên - Lương Tài -Bắc Ninh
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

a b c
a 2 +b 2 +c 2
=
=
M=
Ví dụ: Cho :
hãy tính giá trị của biểu thức
b c a

(a+b+c) 2

Gi¶i:
a b c a+b+c
= = =
=1 ⇒ a = b = c
b c a a+b+c
a 2 +b 2 +c 2 a 2 +a 2 +a 2 3a 2 3a 2 1
⇒ M=
=
=
=
=
(a+b+c) 2 (a+a+a) 2 (3a) 2 9a 2 3

Tháng 11 năm 2008

Trang 9


Nguyn Quang Khiờm
Chuyờn :

THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh
Tớnh cht dóy t s bng nhau

C.Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm hai số x và y biết:
a)

x 7
= và 5x 2y = 87;
y 3

b)

x
y
=
và 2x y = 34;
19 21

Bài 2: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c 7b = 30.
Bài 3: Tìm các số x; y; z biết rằng:
x y y z
= ; = và 2x + 3y z = 186;
3 4 5 7
2x 3y 4z
=
=
c) 3x = 2y; 7y = 5z và x y + z = 32;d)
và x + y + z = 49;
3
4
5
x 1 y 2 z 3
=
=
e)
và 2x + 3y z = 50;

2
3
4

a)

x y z
= =
và 5x + y 2z = 28;
10 6 24

b)

Bài 4: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a)

x y z
= = và xyz = 810;
2 3 5

b)

x 3 y3
z3
=
=
và x2 + y2 + z2 = 14.
8 64 216

Bài 5: Tìm các số x; y; z biết rằng:

y + z +1 x + z + 2 x + y 3
1
=
=
=
;
x
y
z
x+y+z
1 + 2y 1 + 4y 1 + 6y
2x + 1 3y 2 2x + 3y 1
=
=
=
=
b)
;
c)
18
24
6x
5
7
6x

a)

Bi 6: Ba ngi cựng gúp vn kinh doanh c tng s tin l 180 triu ng. Bit

rng 3 ln s vn ca ngi th nht bng 2 ln s vn ca ngi th hai v 4 ln s
vn ca ngi th hai bng 3 ln vn ca ngi th 3. Tớnh s vn m tng ngi ó
gúp.
a
c
= ; Chứng minh rằng:
b
d
5a + 3b 5c + 3d
7a 2 + 3ab
7c 2 + 3cd
=
=
a)
;
b)
.
5a 3b 5c 3d
11a 2 8b 2 11c 2 8d 2
a
c
2a +13b 2c +13d
=
= .
Bài 8: Cho tỉ lệ thức:
. Chứng minh rằng:
3a 7b
3c 7d
b
d

x
y
z
bz cy cx az ay bx
=
=
= =
Bài 9: Cho dãy tỉ số :
.
Chứng
minh
rằng:
a
b
c
a
b
c

Bài 7: Cho tỉ lệ thức:

.

Bài 10: Cho 4 số a1; a2; a3; a4 thoả mãn: a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4.
Chứng minh rằng:
Bài 11*: Cho tỉ lệ thức :
Thỏng 11 nm 2008

a13 + a 32 + a 33 a1
= .

a 32 + a 33 + a 34 a 4
a 2 +b 2
ab
=
c 2 +d 2
cd

. Chứng minh rằng:

a
c
=
b
d

.
Trang 10


Nguyn Quang Khiờm
Chuyờn :
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau:

THCS Hn Thuyờn - Lng Ti -Bc Ninh
Tớnh cht dóy t s bng nhau
a
b
c
,
,

.
b +c c +a a +b

Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?

Bài 13: Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 sao cho:
a+b-c a-b+c -a+b+c
=
=
c
b
a

Tìm giá bằng số của biểu thức: M =

Bài 14: Cho biểu thức: P=

(a+b)(b+c)(c+a)
abc

x+y y+z z+t t+x
+
+
+
.Tìm giá tri của biểu thức P biêt rằng:
z+t t+x x+y z+y

x
y
z

t
=
=
=
y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z
a1

a2

a 2007

a 2008

Bi 15: Cho 2008 s tho món a1+a2+...+a2008 0 v a = a =...= a = a
2
3
2008
1
2
a12 +a 22 +...a 22007 +a 2008
Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc: N=
(a1 +a 2 +...+a 2007 +a 2008 ) 2

a
b
c
ax 2 + bx + c
=
=
Bi 16: Cho P = 2

Chng
minh
rng
nu
a1 b1 c1
a1x + b1x 2 + c1

Thỡ giỏ tr ca P khụng ph thuc vo giỏ tr ca x.

Thỏng 11 nm 2008

Trang 11