Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2015 trường Phan Bội Châu Lâm Đồng

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG
TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU
***

THI THỬ - KỲ THI THPT QUỐC GIA 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút.

( )

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3x2 - 1 có đồ thị C .

( )

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.
b) Tìm m để phương trình x3 - 3x2 + m - 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có đúng hai
nghiệm lớn hơn 1.
Câu 2. (1,0 điểm)

a
a
1
3p
và
+ cos = < a < 2p . Tính cosa .
2
2
2
2
b) Cho số phức z thỏa: ( 1+ i ) z = 3- i . Tìm phần thực của số phức w = z2 - z .
a) Cho sin

Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình:

22x+ x + 2 = 4x + 2 x +1

(

(

)

2

Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân I =

ò
1

)

x + 1 £ x x2 - 3x - 3 .

Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 2x + 2

1+ lnx
dx
x2

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = a 5 . Tam giác

a ·
; ASB = 1200 . Gọi E là trung
2
điểm của AD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCE .
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh A nằm trên
đường thẳng D : x - y + 1 = 0. Đường chéo BD có phương trình: 5x - y - 7 = 0. Xác định tọa độ
SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết SA = a;SB =

( )

các đỉnh của hình chữ nhật đã cho, biết rằng I 1;4 là trung điểm của CD và đỉnh D có hoành độ
nguyên.

( )

Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng a : x + y - z = 0 và

( b) : x -

2y - 2z = 0. Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm thuộc ( a ) và bán kính bằng 3, đồng

( )

(

)

thời tiếp xúc với b tại điểm M . Biết rằng M Î Oxz .
n- 1
2

Câu 9. (0,5 điểm) Cho n Î N* thỏa mãn 6C n+1 = An + 160. Tìm hệ số của số hạng chứa x7 trong

(

)(

)

n

khai triển 1- 2x3 2 + x .

(

)

2
2
2
Câu 10. (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z £ 2 y + 1 . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức P = 2xy + 2yz +

1
x +y + z +1

------------- HẾT -------------


S GIO DC & O TO LM NG

TRNG THPT PHAN BI CHU
***
CU

P N THANG IM
THI TH - K THI THPT QUC GIA 2015
Mụn: TON
P N

IM

a) (1,0 im)
+ Tp xỏc nh D = R

0,25

+ Gii hn: limy = - Ơ ;limy = +Ơ
xđ+Ơ

xđ- Ơ

+ S bin thiờn:

ộx = 0
y ' = - 3x + 6x ; y ' = 0 ờ
ờx = 2
ờ
ở
Hm s ng bin trờn khong ( 0;2) v nghch bin trờn khong ( - Ơ ;0) ;
2

0,25

( 2;+Ơ )
Hm s t cc i ti x = 2;yC = 3 v t cc tiu ti x = 0;yCT = - 1
+ Bng bin thiờn:

x

y'
y
Cõu 1
(2,0 im)

- Ơ

0
-

2

0

+

+Ơ

0

+Ơ

-

0,25

3
- Ơ

- 1
+ th:
y

3

2

1

0,25

x
-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

b) (1,0 im)

( )

3
2
3
2
+ Xột phng trỡnh x - 3x + m - 1 = 0 - x + 3x - 1 = m - 2 *

( )

( )

+ Phng trỡnh * l phng trỡnh honh giao im ca C v ng thng

d : y = m- 2

( )

+ Da vo th ta thy, phng trỡnh * cú ba nghim phõn bit, trong ú cú

Cõu 2
(1,0 im)

ỳng hai nghim ln hn 1 khi v ch khi 1 < m - 2 < 3 3 < m < 5
+ Vy 3 < m < 5 tha món yờu cu bi toỏn.
a) (0,5 im)
+ Vỡ

3p
< a < 2p nờn sina < 0;cosa > 0
2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

2

ổ a
aử
1
3
7
2
+Ta cú ỗ
ữ
sin + cos ữ
=
ị
sin
a
=
ị
cos
a
=
1
sin
a
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ 4

2ứ
4
4
ố 2

0,25

b) (0,5 im)

(

)

+ Ta cú 1+ i z = 3- i z =

(

+ Khi ú w = z2 - z = 1- 2i

)

2

3- i
= 1- 2i
1+ i

0,25

- ( 1- 2i ) = - 4 - 2i

0,25

Vy phn thc ca s phc w = z2 - z l - 4
+ iu kin: x 0 . Phng trỡnh ó cho tr thnh:
Cõu 3
(0,5 im)

( 4 - 2) ( 2
x

x

1
x = 0 (Tha k)
2

)

- 1 = 0 4x = 2 2 x = 1 x =

+ Vy phng trỡnh ó cho cú hai nghim x = 0; x =

1
2

0,25

0,25

+ iu kin: x - 1. Bt phng trỡnh ó cho tr thnh

(

)

(

3

) ( x - 2 x + 1)

x - 3x ( x + 1) - 2 x + 1 0 x + x + 1
3

Cõu 4
(1,0 im)

2

0

ộx + x + 1 = 0 1
()
ờ
ờ
ờx - 2 x + 1 0( 2)
ở

0,25

ỡù x Ê 0
1- 5
x + 1 = - x ùớ 2
x=
ùù x - x - 1 = 0
2
ùợ
ỡù x 0
( 2) 2 x + 1 Ê x ùớù x2 - 4x - 4 0 x 2 + 2 2
ùùợ

0,25

( 1)

ỡ
ỹ
ộ2 + 2 2; +Ơ ẩ ùù 1- 5ùù
S
=
Kt hp vi K, ta cú tp nghim ca BPT l
ớ
ý
ờ
ùù 2 ùù
ở
ùỵ
ợù

)

2

2

2

2

0,25
2

ln x
1
1
1
1
+ I 2 = ũ 2 dx = ln x + ũ 2dx = - ln2 +
x
2
2
x
x
1
1
1
+ Vy I = I 1 + I 2 = -

0,25

2

1
1
1
+ I 1 = ũ 2dx = =
x1 2
x
1
2

0,25

2

1+ ln x
1
ln x
dx = ũ 2dx + ũ 2 dx = I 1 + I 2
+ Ta cú I = ũ
2
x
x
x
1
1
1

Cõu 5

(1,0 im)

0,25

1
ln2 + 1
2

0,25

0,25


+ Trong D SAB ta cú:

a2
a
7a2
a 7
0
AB = a + - 2a. .cos120 =
ị AB =
4
2
4
2
2

2

(

)

K SH ^ AB ti H . Khi ú SH ^ ABCD v ta cú SH =
Cõu 6
(1,0 im)

ị SH =

2SD ABC
AB

0,25

SA.SB.sin1200 a 21
=
AB
14

3
1
a
21
a
7
a
15
+ Th tớch khi chúp V
= .

.
.a 5 =
( vtt)
S .ABCD
3 14
2
12
+ Ta cú BC ^ ( SAB ) ị BC ^ SB v AD ^ SA

0,25

+ Trong cỏc tam giỏc vuụng SBC ;CED;SAE ta cú

21a2
4
2
2
2
EC = ED + DC = 3a2
9a2
2
2
2
SE = SA + AE =
4
2
2
+ Ta thy SC = SE + EC 2 ị D SEC vuụng ti E .
ã
ã

+ Vỡ SBC
= SEC
= 900 nờn S.BCE ni tip mt cu ng kớnh SC .
SC 2 = SB 2 + BC 2 =

SC
a 21 .
=
2
4
+ Vỡ A ẻ D nờn A ( a;a + 1) v D ẻ BD nờn D ( d;5d - 7) v d ẻ Z
+ Bỏn kớnh mt cu ngoi tip hỡnh chúp S.BCE l r =

( )

(

)

+ Vỡ I 1;4 l trung im ca CD nờn C 2- d;15- 5d

0,25

0,25

0,25

+ Gi M l tõm hỡnh ch nht ta cú M l trung im ca AD v BC
Cõu 7
(1,0 im)

ổ
a - d + 2 a - 5d + 16ử
ữ
ữ
ị Mỗ
;
ỗ
ữ
ữ
ỗ
2
2
ố
ứ

0,25

a - d + 2 a - 5d + 16
- 7 = 0 ị a = 5 ị A ( 5;6)
2
2
uuur uur
+ AD ^ ID ị AD.ID = 0 ( d - 5) ( d - 1) + ( 5d - 13) ( 5d - 11) = 0
V M ẻ BD ị 5.

26d2 - 126d + 148 = 0 d = 2 ẻ Z d =

37
ẽ Z

13

0,25


ổ
5 11ử

ữ
; ữ
ị B 3;8
+ Vi d = 2 ta cú D 2;3 ;C 0;5 ị M ỗ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố2 2 ứ

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

0,25

( )

+ Vỡ M ẻ Oxz nờn M a;0;b . Mt khỏc vỡ b tip xỳa mt cu ti M nờn

M ẻ ( b) ị a = 2b ị M ( 2b;0;b)

Cõu 8
(1,0 im)

ỡù x = 2b + t
ùù
ù
ị I ( 2b + t;- 2t;b - 2t )
+ Gi I l tõm ca ( S ) . Khi ú IM : ớ y = - 2t
ùù
ùù z = b - 2t
ợ
+ Vỡ I ẻ

( a)

(

)

nờn t = - b . T ú I b;2b;3b .

( ( ))

Ta cú r = d I ; b



9b
3

= 3 b = 1

2

2

2

2

2

0,25

2

n- 1
2
+ iu kin n 2. T 6C n+1 = An + 160 ta cú 2n2 + 4n - 160 = 0
n = 8 (nhn) hoc n = - 10 (loi)

(

)(

)

+ Vi n = 8 xột khai trin 1- 2x3 2 + x
Cõu 9
(0,5 im)

0,25

0,25

( S ) : ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) = 9
b = - 1 ị ( S ) : ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 9

+ Vi b = 1 ị

0,25

(

)

8

8

= ( 2 + x) - 2x3 ( 2 + x)

0,25
8

0,25

8

k 8- k k
S hng tng quỏt trong khai trin 2 + x l C 8 2 .x ị s hng cha x7 l

C 872.x7

(

)

8

3 k 8- k k
S hng tng quỏt trong khai trin 2x3 2 + x l 2x C 8 2 .x ị s hng

0,25

3 4 4 4
cha x7 l 2x C 8 2 .x
7
4 4
+ Vy h s ca s hng cha x7 cn tỡm l C 8 2- 2C 8 2 = - 2224

0,25

+ p dng bt ng thc cụ si, ta cú:

ổ yử
ổ
ử
y
1
1
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
P Êỗ
x
+
+
+
z
+
= x +y +z +
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ ố
ữ x +y +z +1

ỗ
ỗ2
2ứ
x +y + z +1
ố
ứ

0,25

1
= f ( t)
t +1
2
2
2
+ Vi x, y, z > 0: x + y + z Ê 2( y + 1) , ta cú
t t = x + y + z , ta cú P Ê t +

Cõu 10
(1,0 im)

(

) (

) (

)

2( y + 1) + 6 x2 + 1 + y2 + 4 + z2 + 1 2x + 4y + 2z

0,25

ị 0 < x + y + z Ê 4 hay 0 < t Ê 4
1
21
Ê f ( 4) = ; " t ẻ ( 0;4ự
ỳ
ỷ
t +1
5
21
+ Vy max P = max f ( t ) =
x = z = 1;y = 2
ự
( 0;4ỳỷ
5

()

+ Xột hm s f t = t +

0,25
0,25