Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2015 trường Nguyễn Bỉnh Khiêm Lâm Đồng

Sở giáo dục & đào tạo Lâm Đồng
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2015
Thời gian làm bài 180 phút

1
4

Câu 1 (2,0 điểm): Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 ( C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Câu 2 (1,0 điểm):
a) Giải phương trình: 2 cos 2 x − 3 sin 2 x = 0 .

b) Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm môđun của số phức z + z 2 .
Câu 3 (0,5 điểm): Giải bất phương trình:

log 1 (x − 1) ≥ 1 + log3 x
3

( x + y )3 − 27 x = 5( 3 32 x − 15 − 3 − y )

Câu 4 (1,0 điểm): Giải hệ phương trình:  3
2
2

2 x = y ( y + x )
1

x

Câu 5 (1,0 điểm): Tính tích phân: I = ∫ x( x + e )dx
0

Câu 6 (1,0 điểm) : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, SA
vuông góc với đáy và SB = a 2 , góc giữa (SBC) và đáy bằng 300. Tính thể tích khối chóp. Xác
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Câu 7 (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích
bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo, I nằm trên đường thẳng y = x.
Tìm tọa độ các đỉnh C, D.
Câu 8 (1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;1) và mặt phẳng (P):
2x – y + 3z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (α ) đi qua điểm M, vuông góc với mặt phẳng
(P) và song song với trục Oy.
Câu 9 (0,5 điểm): Một tổ có 7 học sinh gồm 3 học sinh nữ, 4 học sinh nam. Xếp ngẫu nhiên 7
học sinh vào một hàng ngang. Tính xác suất để 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau.
Câu 10 (1,0 điểm): Cho x, y, z ∈ [0;1] thỏa
biểu thức P = xy 2 z 3 .

1
2
3
+
+
= 1. . Tìm giá trị lớn nhất của
4x + 5 4 y + 5 4z + 5


ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
CÂU

1

2,0 điểm

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

a) (1,0 điểm)
TXĐ: D = ¡
y = +∞, lim y = +∞
.Giới hạn: xlim
→−∞
x →+∞

0,25

Sự biến thiên:
x = 0
 x = ±2

3
∙Chiều biến thiên: y ' = x − 4 x, y ' = 0 ⇔ 

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2;0) và (2; +∞)
+ Hàm số nghịch biến trên (−∞; −2) và (0;2)
.Cực trị:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±2 , yCT = -4
.Bảng biến thiên:
−∞
x

y’
+∞

y

-2
0

+

0
0
0

-4

-

2
0

0,25

+∞

+

+∞

-4

0,25

Đồ thị:

0,25

b) (1,0 điểm)
Ta có: y0 = 0
Phương trình hoành độ giao điểm:

 x0 = 0
1 4
x0 − 2 x02 = 0 ⇔ 
4
 x0 = ±2 2

0,25


x0 = 0 ⇒ y '(0) = 0, phương trình tiếp tuyến: y = 0

0,25

x0 = 2 2 ⇒ y '(2 2) = 8 2 , phương trình tiếp tuyến: y = 8 2 x − 32

0,25

x0 = −2 2 ⇒ y '(2 2) = −8 2 , phương trình tiếp tuyến: y = −8 2 x − 32

2
1,0 điểm

0,25

a) (0,5 điểm)

π
2 cos 2 x − 3 sin 2 x = 0 ⇔ 3 sin 2 x − cos 2 x = 1 ⇔ sin(2 x − ) = 1
6
π
π
x = + kπ , x = + k π ( k ∈ ¢ )
6
2

0,25
0,25
0,25

3
0,5 điểm

b) (0,5 điểm)
z = 2 + 3i , z 2 = −5 − 12i , z + z 2 = −3 − 9i
| z + z 2 |= 3 10

0,25
0,25

Điều kiện: x>1
log 1 (x − 1) ≥ 1 − log3 x ⇔ log 1 (3x − 3) ≥ log 1 x

0,25

3

⇔ 3x − 3 ≤ x ⇔ x ≤

4
1,0 điểm

3

3

3
3
⇒1< x ≤
2
2

3
3

( x + y ) − 27 x = 5( 32 x − 15 − 3 − y) (1)
 3
2
2


2 x = y ( y + x ) (2)
x = y = 0
2
2
Từ (2) ⇔ ( x − y )(2 x + xy + y ) = 0 ⇔ 
x = y

0,25

0,25

TH1:x = y = 0 thay vào phương trình (1) của hệ không thỏa
TH2: x = y thay vào phương trình (1):
8 x 3 − 27 x = 5 3 32 x − 15 − 3 − x ⇔ 8 x3 + 10 x = 32 x − 15 + 5 3 32 x − 15
Xét hàm số f (t ) = t 3 + 5t trên ¡
f '(t ) = 3t 2 + 5 > 0, ∀t ∈ ¡ ⇒ f (t ) đồng biến trên ¡

0,25

Ta có: f (2 x) = f ( 3 32 x − 15) ⇔ 2 x = 3 32 x − 15
1
−1 ± 61
⇔ 8 x 3 − 32 x + 15 = 0 ⇔ x = , x =
2
4
1 1 −1 + 61 −1 + 61 −1 − 61 −1 − 61
Nghiệm của hệ: ( ; ), (
;
), (
;

)
2 2
4
4
4
4

0,25

0,25


5
1,0 điểm

1

1

1

I = ∫ x ( x + e )dx = ∫ x dx + ∫ xe x dx
x

2

0

0

1

2
Tính I1 = ∫ x dx =
0

0,25

0

0,25

1
3

0,25

1

x
Tính I 2 = ∫ xe dx = 1
0

Kết luận: I =
6
1,0 điểm

0,25

4

3

a 6
a 2
a2 6
, SA =
, S ABC =
2
2
4
3
1
a 3
V = .S ABC .SA =
3
12

AB =

0.25
0.25

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I là trung điểm SC, bán kính R =
0.5

SC a 3
=
2
2

7
1,0 điểm

Phương trình AB: 2x + y - 2 = 0, I(x; x)
1
2

Diện tích ∆IAB : S = d ( I , AB). AB = 1
x = 0
2
d ( I , AB ) =
⇔| 3 x − 2 |= 2 ⇔ 
x = 4
5
3


Với I(0;0): C(-1;0), D(0;-2)
4 4
5 8
8 2
Với I ( ; ) : C ( ; ), D( ; )
3 3
3 3
3 3

8
1,0 điểm

9

0,5 điểm

r

(P) có vectơ pháp tuyến n = (2;-1;3)
r
Oy có vectơ chỉ phương j = (0;1;0)
r
r r
(α ) có có vectơ pháp tuyến nα = [n P , j ] = (−3;0; 2) = (2;-1;3)
Phương trình mặt phẳng (α ) : 2x – y + 3z + 4 = 0
Gọi A là biến cố : “3 học sinh nữ đứng cạnh nhau”
Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh: n(Ω) =7!
Xếp 3 học sinh nữ đứng cạnh nhau: n(A) = 5.3!4!
Xác suất: P( A) =

1
7

0.25

0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.5
0.25

0.25


10
1,0 điểm

36
1
144
1
1152
, f '(t ) = −
, f ''(t ) = − 2 +
2
4t + 5
t (4t + 5)
t
(4t + 5)3
1
1
32
f(t) liên tục trên (0;1], f’(t) = 0 ⇔ t = , f ''( ) = − < 0
4
4
3
1
Suy ra f (t ) ≤ f ( ) = 6 − 2 ln 2
4

Xét f (t ) = ln t +

TH1: x = 0 hoặc y = 0 hoặc z = 0 =>P = 0
TH2: xyz ≠ 0
=> ln P = ln x + 2 ln y + 3ln z ≤ −12 ln 2
P ≤ 2−12 =

1
1
. Suy ra Pmax =
4096
4096

0.25

0.25
0.25
0.25