Trắc nghiệm nguyên hàm tích phân và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.74 MB, 17 trang )

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
Chuyên đề

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

Sưu tập và biên soạn: Thầy Hiếu Live – 0988 593 390
Lớp học chuyên toán thầy Hiếu Live!
Địa chỉ lớp học: Trung tâm Olympia – Cạnh trường cấp 3 Vân Nội

Học thử và thi thử hàng tuần cho học viên mới!
WEBSITE TRẮC NGHIỆM TOÁN HAY CỦA THẦY

Hệ thống 31 ngày TỰ HỌC từ A – Z
chinh phục 9 ĐIỂM Toán

Cảm ơn mọi người đã đọc tài liệu này!
 Trong quá trình biên soạn không tránh khỏi sai sót.
 Rất mong được quý học sinh và thầy cô giáo góp ý để tài liệu được hoàn thiện hơn giúp học sinh học
được nhiều kiến thức hay hơn!
Xin chân thành cảm ơn!

DẠNG 1. NGUYÊN HÀM & PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Bài toán 1: Khái niệm nguyên hàm và tính chất
1. Khái niệm nguyên hàm
— C
f ( x)

K. H

nguyên hàm

F ( x)

f ( x) trên K

F( x)  f ( x), x  K.

—

f ( x) trên K

F ( x)

 f (x)  dx  F(x)  C , const  C 
2. Tính chất


f ( x), g( x)

 f (x) dx  f (x)  C.

Phương pháp:
H1 : H

f ( x) trên K

.

2

ụ

 k  f (x)  dx  k   f (x)  dx.



h nguyên hàm

K và k  0 thì ta luôn có:


F ( x)

  f (x)  g(x)dx   f ( x)dx   g( x)dx.
f ( x),

ầ

ứ

F( x)  5x3  4x2  7 x  120  C

i

: F( x)  f ( x).

?
5x4 4 x3 7 x2



4
3
2

A.

f ( x)  5x2  4x  7

B.

f ( x) 

C.

f ( x)  5x2  4x  7

D.

f ( x)  15x2  8x  7

C.

ex
f ( x) 
2x

H2 : H

F( x)  e x

2

:
2

A.

f ( x)  2xe

x2

B.

f ( x)  e

2x

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

D.

2

f ( x)  x2 e x  1
Page 1

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
x(2  x)
d ớ â k ô

f ( x) 
H3 : H
( x  1)2

x2  x  1
x1
ể
H4 : G
A.

C.

x2  x  1
x1

C.

H5 : Cho  f (x)dx  F(x)  C. K

ó vớ

 0, ta có  f (a x  b)dx bằng:

aF(a x  b)  C

B.

1
F(a x  b)  C
a

x2
x1
f ( x)  3x2  10x  4 là:

m  0.

A.

D.

F( x)  mx3  (3m  2)x2  4x  3

B.

A.

m  3.

B.

x2  x  1
x1

C.

m  2.

1
F(a x  b)  C

2a

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

D.

m  1.

D.

F(a x  b)  C

Page 2

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
Bài toán 2: B ng nguyên hàm củ m t ố hàm th ng g p v i C à h ng ố t y
  dx  x  C

  x dx 



x 1
1 (ax  b) 1
 C ,   1   (ax  b) dx  .
 C ,   1
 1
a
 1

1

1

 x dx  (1   ) x



C

1

1
1
 dx    C
x
x2

Một số lưu ý:
1. Cầ
2.

ắ

vữ

bả

.

h ng bao giờ bằ

ữ

ầ .
ả biến

3.
d

v

i

bả

thành một t ng ho c hiệu
.

4. Phương pháp: Dự v o bả

á

v vậ dụ

á í

ấ

f ( x)  x  3 x  2

3

H1 : Nguyên hàm F( x)
F ( x) 

x4 x2

 2x  C
4
2

B.

F ( x) 

C.

F ( x) 

x 4 3x 2

 2x  C
4
2

D.

F ( x)  3 x 2  3  C

f ( x)   x  1

.

sau?

A.

H2 : Nguyên hàm F( x)

ữ

x4
 3x 2  2 x  C
3

2

sau?
2

A.

F ( x)  2( x 1)  C

C.

F ( x) 

x3
 x2  x  C

3
f ( x)  3 x 2 

H3 : Nguyên hàm F( x)
A.

F ( x)  x 3 

x2
 C.
2

B.

F ( x)  x 3 

f ( x) 

H4 :

2 x3 3
A.
 C
3
x
H5 : Nguyên hàm F( x)

x3 1
  2x  C
3 x

A.

F ( x) 

C.

x3
x
3
F ( x) 
C
x2
2

B.

B.

 x2

F ( x)  
 x C
 2




D.

F ( x )  x3  x 2  x  C

x

2

sau?

x2
 C.
4

C.

F ( x)  6 x 

x
 C.
2

1
 C.
2

D.

F ( x)  6 x 

D.

x3 3
 C
3 x

2x4  3
với x  0 là
x2

3
3x   C
x
3

 x2  1 
f ( x)  

 x 

C.

2 x3 3
 C
3
x

2

sau?

x3 1

  2x  C
3 x

B.

F ( x) 

D.

 x3

 x
F ( x)   3 2   C
 x 


 2 

3

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 3

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
f ( x) 

H6 : Nguyên hàm F( x)

1
1
 x2 
2
3
x

1 x3 x
   C.
x 3 3

A.

F ( x) 

C.

1 x3 x
F ( x )      C.
x 3 3

sau?
1 x3 1
   C.
x 3 3

B.

F ( x) 

D.

F ( x)  

1 x3 x
   C.
2x 3 3

f ( x)  2x3  5x  7.

H7 : Nguyên hàm F( x)

sau?

A.

F( x)  6x2  5x  C.

B.

F ( x) 

x 4 5x 2

 7 x  C.
2
2

C.

F( x)  6x2  5  C.

D.

F ( x) 

x4
 5 x 2  7 x  C.
2

f ( x)  6x5  12x3  x2  8.

H8 : Nguyên hàm F( x)

sau?
x3
 8 x  C.
3

A.

F( x)  30x5  36x2  2x  C.

B.

F ( x)  x 6  3 x 4 

C.

F( x)  x6  12x4  x3  8x  C.

D.

F( x)  30x5  36x2  2x  8  C.

C.

x4
4

f ( x)  x3 trên

H9 :

x4
C
4
H10 : Nguyên hàm F( x)
A.

A.

B.

3x

C

F ( x)  x 2  2 x  3  C

F ( x) 

A.

C.

F ( x)  x 2  2 x  C

A.

F( x)  x3  2x2  3x  C.

C.

F ( x) 

F ( x) 

D.

F ( x) 

B.

F ( x)  2 x  2  C

D.

F ( x) 

x3
 x2  C
3

sau?
x4 x3 x2
 
 C.
4
3
2

D.

F( x)  3x2  4x  3  C.

2 x3 5
 C
3
x

B.

5
C
x

D.

A.



f ( x)dx 

C.



f ( x)dx  2 x3 

5  2x4
.K
x2

C

x3
 x 2  3x  C
3
sau?

F ( x) 

x4 2 x3 3x2


 C.
4
3

2

x

x3
 2 x 2  3x  C
3

B.

B.

f ( x) 

3x2

D.

f ( x)  ( x2  3x).( x  1)

H12 : Nguyên hàm F( x)

H13 : C

C

sau?

f ( x)  x( x  2)


x2  x2
 2x   C


2  2


F ( x) 

x

f ( x)  x 2  2 x  3

x3
 x2  C
3
H11 : Nguyên hàm F( x)
C.

2

là

ó:



f ( x)dx 

2 x3 5
 C
3
x



f ( x)dx 

2 x3
 5lnx 2  C
3

Bài toán 3: B ng nguyên hàm củ m t ố hàm th
Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

ng g p Tiếp
Page 4

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
dx

1



 ax  b  a ln ax  b  C



n.x n x m
x dx 
C
mn

n

m

5

  x 

H1 : X
A.
C.





n

1  n.(ax  b) n (ax  b) m
(ax  b) dx  . 
a 
mn

B.

D.
f ( x) 

F ( x)   ln 5  2 x  2ln x 

C.

3
F ( x)  ln 5  2 x  2ln x   C
x
f ( x) 

1
 C.
x

B.

2 5
x C
5
2 5
5ln x 
x C
5

5ln x 

2
2 3

  2
5  2x x x

3
C
x

A.

H3 : Nguyên hàm F( x)


C




x3  dx


2 5
x C
5
2 5
5ln x 
x C
5

F( x)  ln x 

dx
 ln x  C
x
m

5ln x 

H2 : Nguyên hàm F( x)

A.



B.
D.

sau?
3
C
x
3
F ( x)   ln 5  2 x  2ln x   C
x

F ( x)  ln 5  2 x  2ln x 

x 1

x2

F( x)  ln x 

1
 C.
x

sau?

C.

x2
x
F ( x)  2 3  C.
x
3

x 4  3x 2  2 x  1
x2

H4 : Nguyên hàm F( x)
I

x3
1
 3 x  2 x   C.
3
x

B.

I

x3
1
 3x  ln x   C.
3
x

C.

I

x3
1
 3x  2 ln x   C.
3
x

D.

I

x3
1
 3x  2 ln x   C.
3
x

f ( x) 

A.
C.

3
3 2
  2
x2 x x

2
F ( x)  3ln x  2  3ln x   C
x
3 2
F ( x)  3ln x  2  2   C
x
x

H6 : Tìm nguyên hàm:



  x

2



B.
D.

sau?

2
C
x
2
F ( x)  3ln x  2  3ln x   C
x

F ( x)  3ln x  2  3x 

3

 2 x  dx
x


A.

x3
4 3
 3ln x 
x C
3
3

B.

x3
4 3
 3ln x 
x C

3
3

C.

x3
4 3
 3ln x 
x C
3
3

D.

x3
4 3
 3ln x 
x
3
3

H7 : Tìm nguyên hàm:

3

 

1 1

 C.

x x2

?

A.

H5 : Nguyên hàm F( x)

F ( x) 

D.

4
x 2   dx
x

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 5

A.
C.

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
33 5
53 5
x  4ln x  C
x  4ln x  C
B.

5
3
33 5
33 5
x  4ln x  C
x  4ln x  C
D. 
5
5
f ( x) 

H8 : Nguyên hàm F( x)
A.
C.

x 2  x  x3  1
x3

1
1
F ( x)  ln x   x  2  C
x
2x
1
1
F ( x)  ln x   x  2  C
x
2x

B.

D.

f  x   x 2 – 3x 

H9 :

sau?
1
1
F ( x)  ln x   x  2  C
x
2x
1
1
F ( x)  x   x  2  C
x
2x

1
là
x

A. F(x) =

x 3 3x 2

 ln x  C
3
2

B.

F(x) =

x3 3x 2

 ln x  C
3
2

C. F(x) =

x3 3x 2

 ln x  C
3
2

D.

F(x) =

x3 3x 2

 ln x  C
3
2

f ( x)  x 2  3 x 

H10 :

1
trên
x

là

A.

x3 3 2 1
 x  2 C
3 2
x

B.

x3 3 2
 x  ln | x | C
3 2

C.

x3 3 2
 x  ln x  C
3 2

D.

x3  3x2  ln x  C

H11 : Nguyên hàm F( x)
A.
C.

3
1
 2 C
x 2x
3 1
F ( x)  x  3ln x   2  C
x 2x
F ( x)  x  3ln x 

f ( x) 

( x  1)3
x3

sau?
B.
D.

3 1
F ( x)  x  3ln x   2  C
x 2x
3
1
F ( x)  x  3ln x   2  C
x 2x

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 6

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
Bài toán 4: Tìm nguyên hàm củ các hàm ố thỏ mãn điều kiện cho tr c
Phương pháp:
Bước 1: Tì

f ( x), ứ đi í

Bước 2: Rồi
H1 :

đó

ế F( xo )  C   đ ì

ằ

 f (x)  dx  F(x)  C.
C.

f ( x)  x 2  x  2  bi

Vớ F( x)

F (1) 

ằ

7
. F ( x)
12

bể

ức nào

â ?
A.

F ( x) 

x 4 x3

4
3

B.

F ( x) 

x 4 x3 2
 
4
3 3

C.

F ( x) 

x 4 2 x3

1
4
3

D.

F ( x) 

x 4 2 x3 1


4
3
3

H2 :

f ( x) 

Vớ F( x) l

x 2  3x
b
x

ằ

F (2)  0 . F( x)

bể

ức nào sau

â ?
A.

F ( x)  x 2  3 x  2

B.

x2
F ( x)   3 x  4
2

C.

F ( x)  x2  3x  10

D.

x2
F ( x)   3 x  8
2

H3 :

A.
C.

2 x 2  x3  3x  4
f ( x) 
b
x5

Vớ F( x)
â ?
1 1 1 1
F ( x)  2   3  4
x
x x x
1 1 1 1
F ( x)  2   3  4  2
x
x x x

H4 : C

f ( x) 

x2  1
.G
x

F (1)  0 . F( x) b ể

ằ

1 1 1 1
   2
x 2 x x3 x 4
1 1 1 1
F ( x)   2   3  4  2
x
x x x
F ( x)  

B.
D.
F

f

b

ằ

F(1) 

A.

F ( x) 

x2
 ln x  1

2

B.

F ( x) 

x2
 ln x  1.
2

C.

F ( x) 

x2
 ln x  2
2

D.

F ( x) 

x2
 ln x  2
2

I

H5 : X

3x 4  2 x 3  5
 dx ,
x2

ỏ

F ( x)  x 3  x 2 

5
 5.
x

B.

F ( x)  x 3  x 2 

5
 7.
x

C.

F ( x)  x 3  x 2 

5
 3.
x

D.

F ( x)  x 3  x 2 

5
 5.
x

A.

2 3 x4
x   4x
3
4

B.

F ( x)  x3  1

x3  x 4  2 x

C.

ỏ

ã

k ệ F  0   0 là

2 x3  4 x 4

D.

4

D.

F ( x)  2 x3  2

f ( x)  3x 2  1 ỏ F (1)  0 là:

F

H7 :
A.

f  x   2 x 2  x3  4

3
thì
2

ã F(1)  2.

A.

H6 : Nguyên hàm F  x 

ức

B.

F ( x)  x3  x  2 C.

F ( x)  x3  4

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 7

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
f
b
ằ F(1)  3 thì
f ( x)  x3  4x  5 . G F
H8 : C
A.

F ( x) 

x4
 x2  5x  1
4

B.

F ( x) 

x4
1
 x2  5x 

4
2

C.

F ( x) 

x4
1
 x2  5x 
4
2

D.

F ( x) 

x4
1
 2 x 2  5x 
4
4

H9 :

f ( x) 

Vớ F( x)

2x  3

b
x2

ằ

F (1)  1. F( x)

bể

ức nào sau

bể

ức nào sau

â ?
A.
C.

H10 :

3
F ( x)  2 x   2
x
3
F ( x)  2 x   4
x

3
2

x
3
D. F ( x)  2ln x   4
x
2 1
f ( x)    2 b
ằ F (1)  1. F( x)
x x

B.

Vớ F( x)

F ( x)  2ln x 

â ?
A.
C.

H11 :

A.
C.

1
F ( x)  2ln x   2
x
1
F ( x)  2ln x 
x

1
2
x
1
D. F ( x)  2 x   4
x
2 3 4
f ( x)  3  2  5 b
ằ F (1)  0 . F( x)
x x
x

B.

Vớ F( x)
â ?
1 3 1
F ( x)  2   4  3
x
x x
1 3 1
F ( x)   2   4  3
x
x x

H12 : C

B.
D.

f ( x)  x 3  x 2  2 x  1 . G

A.

x 4 x3
F ( x)    x 2  x  1
4 3

C.

x 4 x3
F ( x)    x 2  x  2
4 3

H13 : T

F ( x) b

ằ

F ( x)  2 x 

1 3 1
  3
x2 x x4
1 3 1
F ( x)   2   4  3
x
x x

F

f

b

ằng F(1) = 4 thì

B.

x 4 x3
49
F ( x)    x 2  x 
4 3
12

D.

x 4 x3
F ( x)    x 2  x
4 3

f '( x)  4 x3  3x 2  2 và F (1)  3

F ( x)  x 4  x 3  2 x  3

B.

F ( x)  x 4  x 3  2 x  3

C.

F ( x)  x 4  x 3  2 x  3

D.

F ( x)  x 4  x 3  2 x  3

A.

f ( x)  ax 

F

F ( x)  x 2 

1
4
x

x2 1 7
C. F ( x) 
 
2 x 2
H15 : T

F  x

ức nào

F ( x) 

A.

H14 :

bể

b
b
x2

F (1)  2; F (1)  4; f (1)  0
1
2
x

B.

F ( x)  x 2 

D.

x2 1 5
F ( x)   
2 x 2

f  x   2  x2 b

F  2 

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

7
3

Page 8

A.
C.

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
19
x3
B. F  x   2 x  x3 
F  x   2x   1
3
3

x3
F  x   2x   3
3

H16 : B
A.

D.

f ( x) 

F

ln 2  1

B.

f (x )

F

H17 :
A.

F(x )

x4

x3

x2

2x

C.

F(x )

x4

x3

x2

10

H18 :

1
2

Vớ F( x)

4x 3

x3 1
F  x  2x  
3 3

1
và F (2)  1 . K
x 1
3
C. ln
2
3x 2

10

2x

2

ỏ

ó F 3 bằ

ã F(1)

9 là:

B.

F(x )

x4

x3

x2

2

D.

F(x )

x4

x3

x2

2x

f ( x)  ( x  1)( x  3) b

ằ

êu:

ln 2

D.

F (3)  0 . F( x) b ể

ức nào

â ?

A.

F ( x) 

x3
 2 x 2  3x  18
3

B.

F ( x) 

x3
 2 x 2  3x  1
3

C.

F ( x) 

x3
 2 x 2  3x  36
3

D.

F ( x) 

x3
 2 x 2  3x
3

H19 :

b

Vớ F( x)

sau â ?
1
1
A. F ( x)   x  2  1
x
x
1
1
C. F ( x)    x  2  1
x
x

f ( x) 

x  x3  2
b
x3

B.
D.

ằ

F (1)  0 . F( x)

bể

ức nào

1

1
F ( x)    x  2  1
x
x
1
1
F ( x)   x  2  3
x
x

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 9

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
Bài toán 5: Bài toán thực tế
Phương pháp: Ứ dụ
b
4 T
ỏ ã
kệ
ớ ể ả
v

H1 :
A.

ù

ù
ó 250.000
264334 con

ạ

ứ
.S
B.

G
H2 :

A.
H3 :
A.

ó

10
257167 con
ớ ở bồ

ú

ầ bồ k ô
ầ ă .
2,33 cm
vậ

ể

vậ 6 / . Vậ
14 m/s

ó

ứ

ớ .T
B.

N (t ) . B

ứ

v

k

v(t ) (m / s) ó

vậ
10
B. 13 m/s

â

?

4000
v ú
1  0,5t

â .B
b

ớ

2,66 cm
v '(t ) 

ò k q ả
C. 11 m/s

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

ầ

v

v)
D. 253584 con

ớ
k

C.

N '(t ) 

ấ ấ ỉ
258959 con

b

ớ ở bồ

5,06 cm

vớ vậ

ù
C.

ằ

ằ
6

h '(t ) 

â
D.

13
t  8 và
5

ò k q ả

3,33 cm

3
(m / s 2 ) . Vậ
t 1

b

ầ

v ).
D. 12 m/s

Page 10

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102

LỜI GIẢI CHI TIẾT:
Bài toán 1: Khái niệm nguyên hàm và tính chất
H1 :

Lời giải:
f ( x)  F '( x)  f ( x)  15x2  8x  7

Lời giải:
Để F
H2 :

u( x)
u( x)
ũ : e  '  u ( x)'.e

Đạ

f ( x)  F '( x)  2x.e x

H3 :

2

Lời giải:
Để F
Đ

 F '( x)  f ( x)

f

 F '( x)  f ( x)

f

A : F '( x) 

x2  2 x  2
( x  1)2

Lời giải:

Để F
H4 :

f

ó

F '( x)  f ( x)  3mx  2(3m  2)x  4  3x  10 x  4
2

2

 3m  3

 m1
2(3m  2)  10

Lời giải:
1

H5 :

 f (a x  b)dx  a F(ax  b)  C
Vì

1
1
 F (ax  b)'  a. f (ax  b)  f (ax  b)
a
a

Bài toán 2: B ng nguyên hàm củ m t ố hàm th
Lời giải:

H1 :

F ( x)    x3  3x  2 dx 

ng g p v i C à h ng ố t y

x 4 3x 2

 2x  C
4
2

Lời giải:
H2 :

F ( x)    x  1 dx   ( x 2  2 x  1)dx 
2

x3
 x2  x  C
3

Lời giải:
H3 :


x 

x2
F( x)    3x2    dx  x3 
C
2 
4


Lời giải:
H4 :

 2 x4  3 
2 x3 3
 2 3
F ( x)   
dx

2
x

dx

 C


2
2 

x
x
3

x




Lời giải:
2

2

 x2  1 

1
 2
1
x3
1
dx

x

dx

x

2

dx

 2x   C

  x 
  x 
 
2 
3
x
x 
H6 : Lời giải:
H5 :

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 11

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
 1
1
1 x3 1
F( x)    2  x2  dx     x  C
3
x 3 3
x

Lời giải:
H7 :





F( x)   2 x3  5x  7 dx 

x4 5x 2

 7x
2
2

Lời giải:
H8 :





F( x)   6 x5  12 x3  x2  8 dx  x6  3x 4 

x3
 8x  C
3

Lời giải:
H9 :

H10 :

x4
 x dx  4  C
Lời giải:

3

F ( x)    x 2  2 x  3dx 

x3
 x 2  3x  C
3

Lời giải:
H11 :

F ( x)   x( x  2)dx    x 2  2 x  dx 

x3
 x2  C
3

Lời giải:
H12 :





F( x)   ( x2  3x).( x  1)dx   x3  2 x2  3x dx 

x 4 2 x 3 3x 2


C

4
3
2

Lời giải:
H13 :



f ( x)dx  

5  2 x4
5 2 x3
 5
2
dx


2
x
dx



C

  x2
x2
x
3



Bài toán 3: B ng nguyên hàm củ m t ố hàm th

ng g p Tiếp

Lời giải:
H1 :

3
5

2 5

x
  x 2  dx  5ln x  5 x

Lời giải:
2 3
3
H2 :
 2
  5  2 x  x  x2    ln 5  2 x  2ln x  x  C
Lời giải:
H3 :

F ( x)  

x 1
1 1 

1
dx     2  dx  ln x   C
2
x
x
x
x 


Lời giải:
H4 :

 x 4  3x 2  2 x  1 
 2
2 1
x3
1
F ( x)   
dx

x

3


dx

 3x  2 ln x   C




2
2 
x x 
3
x
x




Lời giải:
3 2
2
H5 :
 3
  x  2  x  x2  dx  3ln x  2  3ln x  x  C
H6 : Lời giải:

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 12

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
1
 2 3

x3
4 3

2
x


2.
x
dx

 3ln x 
x C


 x
3
3

Lời giải:
5

H7 :

 23 4 
4
x3
3
3 2
(
x

)

dx

x

dx

 4 ln x  C  3 x5  4 ln x  C




5
x
x
5

3
Lời giải:

H8 :

F ( x)  

x 2  x  x3  1
1
1
1
1 1
dx     2  1  3  dx  ln x   x  2  C
3

x
x 
x
2x
x x

Lời giải:
H9 :

1
x3 3x 2
 2
x

3
x

dx


 ln x  C

 
x
3
2

Lời giải:
H10 :

H11 :

1
x3 3x 2
 2
  x  3x  x dx  3  2  ln x  C
Lời giải:

( x  1)3
x3  3x 2  3x  1
 3 3 1
dx

dx   1   2  3  dx
3
3

x
x
x 
 x x
3
1
 x  3ln x   2  C
x 2x
F ( x)  

Bài toán 4: Tìm nguyên hàm củ các hàm ố thỏ mãn điều kiện cho tr

c

Lời giải:

x 4 2 x3
F ( x)   x  x  2  dx    x  2 x  dx  
C
H1 :
4
3
7
5
7
x 4 2 x3
F 1     C   C  1  F ( x)  
1
12
12
12
4
3
Lời giải:
2

3

2

x 2  3x
x2
F ( x)  

dx    x  3 dx   3x  C
H2 :
x
2
x2
F (2)  0  8  C  0  C  8  F ( x)   3x  8
2
Lời giải:

2 x 2  x3  3x  4
1 1 1 1
 2 1 3 4
F ( x)  
dx    3  2  4  5  dx   2   3  4  C
5
H3 :
x
x
x 
x
x x x
x x
1 1 1 1
F (1)  0  2  C  0  C  2  F ( x)   2   3  4  2
x
x x x
Lời giải:
H4 :

F ( x)  

F(1) 

x2  1

dx    x 
x


1
x2
dx

 ln x  C

x
2

3
1
3
x2
  C   C  1  F( x) 
 ln x  1.
2
2
2
2

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 13

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102
Lời giải:
H5 :

3x4  2 x3  5

5 
5
dx    3x 2  2 x  2  dx  x 3  x 2   C
x
x2
x


5
F(1)  2  5  C  2  C  7  F( x)  x 3  x 2   7
x
F ( x)  

Lời giải:
2 x3 x 4
H6 : F ( x)    2 x  x  4 dx  3  4  4 x  C
2 x3 x 4
F (0)  0  C  0  F ( x) 
  4x
3
4

Lời giải:
2

H7 :

3





F ( x)   3x 2  1 dx  x3  x  C
F (1)  0  2  C  0  C  2  F ( x)  x3  x  2
Lời giải:

H8 :





x4
 2 x 2  5x  C
4
13
1
x4
1
F(1)  3 
 C  3  C    F( x) 

 2 x 2  5x 
4
4
4
4
F( x)   x 3  4 x  5 dx 

Lời giải:

2x  3
3
2 3 
dx     2  dx  2 ln x   C
2
H9 :
x
x
x x 
3
F (1)  3  C  1  C  4  F ( x)  2 ln x   4
x
Lời giải:
1
 2 1 
F ( x)      2  dx  2 ln x   C
H10 :
x
 x x 
1
F (1)  1  C  1  C  0  F ( x)  2 ln x 

x
Lời giải:
F ( x)  

1 3 1
 2 3 4
F ( x)    3  2  5  dx   2   4  C
H11 :
x
x 
x
x x
x
1 3 1
F (1)  3  C  0  C  3  F ( x)   2   4  3
x
x x
Lời giải:

x 4 x3
  x2  x  C
H12 :
4 3
1
49
x 4 x3
49
F (1)  4    C  4  C 
 F ( x)    x 2  x 
12

12
4 3
12
Lời giải:
F ( x)    x3  x 2  2 x  1dx 

H13 :

F ( x)    4 x3  3x 2  2  dx  x 4  x3  2 x  C

F (1)  3  (1)4  (1)3  2(1)  C  3  C  3
 F ( x)  x 4  x 3  2 x  3

H14 : Lời giải:
Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 14

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102

b 
ax 2 b

F ( x)    ax  2 dx 
 C
x 
2
x


a
2  b  C  2 
a  1
 F (1)  2 


a
 F (1)  4    b  C  4  b  1
 f (1)  0
2

5

a  b  0
c 

2

Lời giải:
H15 :

F ( x)    2  x 2 dx  2 x 

x3
C
3

7
4
7

x3
  C   C  1  F ( x)  2 x   1
3
3
3
3
Lời giải:
F (2) 

1
dx  ln x  1  C
x

1
H16 :
F (2)  1  ln1  C  1  C  1  F ( x)  ln x  1  1
F ( x)  

 F (3)  ln 2  1
Lời giải:
H17 :

4x 3

F (x )
f (1)

3x 2

1 C

9
F (x )

x4

x3

2x

2 dx

9

C

10

x2

2x

10

x4

x3

x2

2x

C

Lời giải:
H18 :

F ( x)   ( x  1)( x  3)dx   ( x 2  4 x  3)dx 

x3
 2 x 2  3x  C
3

x3
F (3)  0  C  0  F ( x)   2 x 2  3x
3
Lời giải:
H19 :

x  x3  2
2
1
1
 1
dx    2  1  3  dx    x  2  C
3
x
x 
x
x

x
1
1
F (1)  0  1  C  0  C  1  F ( x)    x  2  1
x
x
F ( x)  

Bài toán 5: Bài toán thực tế
Lời giải :

H1 :

4000
dt  8000ln 1  0,5t  C
1  0,5t
ể
= 0  N (0)  8000ln1  C  250000  C  250000

N (t )   N '(t )dt  
B

ầ

ạ

ờ

 N (t )  8000ln 1  0,5t  250000
Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 15

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102

N (10)  8000ln 1  0,5.10  250.000  264334 (con)
Lời giải :

h(t )   h '(t )dt  
Tạ

ờ

ể

ầ

=0

4
3

3
12
(8)  C  0  C  
20
5
4
4

3
12
3
12
3
h(0)  (8)  C  0  C    h(t )   t  8 3 
20
5
20
5

h(t ) 
H2 :

b

1
4
13
1
3
t  8dt    t  8 3 dt   t  8  3  C
5
5
20

Tạ

ờ

ể

=6

â

4
3
12
h(6)  (14) 3   2,66cm
20
5

Lời giải :

v(t )   v '(t )dt  
H3 :

T ờ

ể

b

ầ

3
dt  3ln t  1  C
t 1

Tạ

ờ

ể

=0

v(0)  3ln1  C  6  C  6
 v(t )  3ln t  1  6
Tạ

ờ

ể

10

â : v(10)  3ln11  6  13(m / s)

Trung Tâm Olympia – Vân Trì – Vân Nội (Cạnh trường cấp 3 Vân Nội)

Page 16

Luyện thi Thầy Hiếu Live – 0988 593 390 - Facebook: www.facebook.com/hieulive102

ĐÁP ÁN:
Bài toán 1: Khái niệm nguyên hàm và tính chất
01 {