Một số bài toán Tổ hợp Xác suất (có đáp án)

Hướng tư duy một số bài toán
Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
Nhắc lại công thức
1) Hoán vị Pn  n!  1.2.3...n ;
2) Tổ hợp Cnk 

n!
;
k ! n  k !

3) Chỉnh hợp Ank 

n!
;
 n  k !

Câu 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh:
1) Thành một hàng dọc.
2) Vào một bàn tròn và không có sự phân biệt giữa các ghế.
Hướng dẫn
1) Mỗi các xếp 5 học sinh này thành một hàng là một hoán vị của 5 phần tử.
Do đó, số cách sắp xếp là 5!  120 cách.
2) Do không có sự phân biệt giữa 5 vị trí trên bàn tròn, nên nếu xoay bàn theo một góc
bất kì thì thu được hoán vị giống với cách xếp ban đầu. Nói cách khác, do có 5 người,
mỗi hoán vị sẽ có lặp lại 5 lần.

Cách 1.

1



Cố định 1 người vào vị trí bất kì để cố định bàn tròn lại. Khi đó, sắp xếp 4
người còn lại có 4!  24 cách.

Cách 2.


Xếp 5 người quanh bàn có tất cả 5!  120 cách.



Nhưng do mỗi hoán vị bị lặp 5 lần khi ta xoay bàn tròn đủ một vòng, nên số
hoán vị khác nhau thực tế là

120
 24 cách.
5

Câu 2. Với 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 7 chữ số trong đó chữ
số 6 có mặt hai lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
Hướng dẫn
Nhận xét: Số cần lập có 2 chữ số 6 và 5 chữ số khác, như vậy sử dụng vừa hết 6 chữ số đã
cho.
1) Cách 1. Số cần lập có dạng a1a2 ...a7


Do yêu cầu có 2 số 6, ta chọn 2 vị trí cho 2 số 6 này trước, có C72 cách.
(Khi đó còn lại vừa đúng 5 số, không cần chọn nữa).



Sắp xếp 5 số còn lại có 5! cách.

Như vậy, tổng cộng lập được C72 .5!  2520 số.
2) Cách 2. Số cần lập có dạng a1a2 ...a7 .


Sắp xếp 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 vào 5 trong 7 vị trí trên, có A75 cách.



2 vị trí còn lại là 2 chữ số 6, vì giống nhau nên chỉ có 1 cách.

Như vậy, tổng cộng lập được A75 .1  2520 số.
Câu 3. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số; mỗi số gồm 5 chữ số
đôi một khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5.
Hướng dẫn
Nhận xét: Khác với bài trước, ta không sử dụng hết 7 chữ số đã cho; và các số đã cho bao
gồm số 0 nên sẽ có những dãy số bắt đầu bằng 0 cần phải loại đi.
Số cần lập có dạng abcde, a  0 .
1) Cách 1: Chọn vị trí số 5 trước – Làm ngược


Xét tất cả các dãy số lập được (bao gồm cả các dãy bắt đầu bằng số 0).

 Do yêu cầu phải có số 5, chọn vị trí cho số 5 trước, có 5 cách.
 Chọn 4 số từ 6 số còn lại và sắp xếp chúng, có A64 cách.
Như vậy, lập được tất cả 5A64 dãy số


Xét các dãy bắt đầu bằng số 0 có dạng 0bcde .
2


 Chọn vị trí cho số 5, có 4 cách.
 Chọn 3 số từ 5 số còn lại và sắp xếp chúng, có A53 cách.
Như vậy, có tất cả 4A53 dãy bắt đầu bằng số 0.
Suy ra, số các số thỏa mãn đề bài là 5 A64  4 A53  1560 số.
2) Cách 2: Chọn vị trí số 5 trước – Làm xuôi


TH1: Số 5 ở vị trí đầu tiên.

 Chọn vị trí số 5, có 1 cách (vị trí đầu tiên).
 Chọn 4 số trong 6 số còn lại và sắp xếp chúng vào 4 vị trí bcde , có A64 cách.
Như vậy, lập được 1.A64  A64 số.


TH2: Số 5 không ở vị trí đầu.

 Chọn vị trí cho số 5, có 4 cách (b, c, d hoặc e).
 Khi đó, cần chọn số a trước (để đảm bảo a  0 ), có 5 cách (do a  0, a  5 ).
 Chọn 3 số trong 5 số còn lại và sắp xếp chúng vào 3 vị trí còn lại, có A53 cách.
Như vậy, lập được 4.5.A53 số.
Tổng cộng, ta lập được A64  4.5. A53  1560 số thỏa mãn đề bài.
3) Cách 3: Chọn 4 số khác số 5 trước


Xét tất cả các dãy số lập được (bao gồm các các dãy bắt đầu bằng 0).

 Chọn 4 số khác số 5 và sắp xếp chúng, có A64 cách.
 Khi đó, có 5 vị trí trống; xếp số 5 vào 1 trong 5 vị trí này, có 5 cách.
Như vậy, có tất cả 5.A64 dãy số như vậy.


Xét các dãy số bắt đầu bằng số 0 có dạng 0bcde .

 Chọn 3 số khác số 5 từ 5 số còn lại (1, 2, 3, 4, 6), có C53 cách.
 Xếp 3 số trên vào 3 trong 4 vị trí phía sau số 0, có A43 cách.
 Xếp số 5 vào vị trí còn lại, có 1 cách.
Như vậy, có tất cả C53 . A43 .1 dãy số bắt đầu bằng số 0.
Lưu ý: Cũng có thể hiểu quá trình này như sau:
o Chọn và sắp xếp 3 số khác 0 và 5 từ 7 số ban đầu, có A53 cách.
o Khi đó tạo ra 4 vị trí trống, số 5 được xếp vào 1 trong 4 vị trí, có 4
cách.
o Xếp số 0 phía trước 4 số đó, có 1 cách.
Như vậy, có 4 A53  240 dãy số như vậy.

3


Suy ra, số các số thỏa mãn để bài là 5. A64  C53 . A43 .1  1560 số.
4) Cách 4: Làm ngược – Xét các số không bao gồm số 5


Xét tất cả các số gồm 5 chữ số khác nhau.

 Số các dãy số (bao gồm các các dãy bắt đầu bằng 0) lập được là A75 .
 Trong đó có A64 dãy bắt đầu bằng số 0 (bằng số cách chọn và sắp xếp 4 số

khác nhau từ 6 số còn lại vào 4 vị trí sau số 0).
Như vậy, lập được tất cả A75  A64  2160 số.


Xét các số không có số 5.
Tương tự lập luận trên, lập được A65  A54  600 số.

Suy ra, lập được tất cả 2160  600  1560 số thỏa mãn đề bài.
Câu 4. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi
một khác nhau.
Hướng dẫn
Số cần lập có dạng abcde, a  0, e  0; 2; 4;6 .
Nhận xét: Điều kiện của số a

 a  0

và số e  e 0;2;4,;6 phụ thuộc lẫn nhau (nếu

a  2; 4; 6 thì e có 3 cách chọn, nếu a  1;3;5 thì e có 4 cách chọn và ngược lại, e  0 thì
a có 6 cách chọn, e  2; 4;6 thì a có 5 cách chọn).
1) Cách 1: Làm xuôi – Chia trường hợp theo số e.


TH 1: e  0

 Chọn e có 1 cách  e  0  .
 Chọn số a, có 6 cách  a  1, 2,3, 4,5,6 .
 Chọn 3 số khác nhau từ 5 số còn lại và sắp xếp chúng, có A53 cách.
Như vậy, lập được 1.6. A53  6. A53 số như vậy.


TH 2: e  2; 4;6

 Chọn số e, có 3 cách ( e  2 , e  4 hoặc e  6 ).
 Chọn số a có 5 cách (a khác số e và a  0 )
 Chọn 3 số khác nhau từ 5 số còn lại và sắp xếp chúng, có A53 cách.
Như vậy, lập được 3.5.A53 số như vậy.
Tổng cộng lập được 6. A53  3.5. A53  1260 số thỏa mãn đề bài.
2) Cách 2: Làm xuôi – Chia trường hợp theo số a.

4




TH 1: a  2; 4;6 .

 Chọn số a, có 3 cách ( a  2 , a  4 hoặc a  6 ).
 Khi đó, chọn số e chỉ còn 3 cách ( e chẵn và khác số a).
 Chọn 3 số khác nhau từ 5 số còn lại và sắp xếp chúng, có A53 cách.
Như vậy, lập được 3.3.A53 trong trường hợp này.


TH 2: a  1;3;5 .

 Chọn số a, có 3 cách ( a  1 , a  3 hoặc a  5 ).
 Khi đó, chọn số e có 4 cách ( e  0; 2; 4;6 ).
 Chọn 3 số khác nhau từ 5 số còn lại và sắp xếp chúng, có A53 cách.
Như vậy, lập được 3.4.A53 số trong trường hợp này.
Tổng cộng lập được 3.3. A53  3.4. A53  1260 số thỏa mãn đề bài.

3) Cách 3: Làm ngược – Tìm số các số lẻ lập được.
Nhận xét: Điều kiện của số cho số e trong trường hợp này là e  1;3;5 .Khi đó, nếu
chọn số e trước thì sẽ không ảnh hưởng đến số a (nhưng nếu chọn a trước thì số e vẫn
bị ảnh hưởng).


Xét tất cả các số lập được gồm 5 chữ số khác nhau abcde, a  0, .

 Chọn a có 6 cách ( a  0 ).
 Chọn 4 số khác nhau từ 6 số còn lại và sắp xếp chúng, có A64 cách.
Như vậy, lập được tất cả 6A64 số.
(Lưu ý: Cũng có thể tính bằng A75  A64  2160 : Tất cả các dãy gồm 5 số khác nhau,
trừ đi số dãy bắt đầu bằng số 0)


Xét các số lẻ lập được.

 Chọn số e có 3 cách ( e  1, e  3 hoặc e  5 ).
 Chọn số a khi đó có 5 cách ( a  0 và a khác số e).
 Chọn 3 số khác nhau từ 5 số còn lại và sắp xếp chúng, có A53 cách.
Như vậy, lập được 3.5.A53 số lẻ.
Suy ra, số các số chẵn lập được là 6 A64  3.5. A53  1260 số.
Câu 5. Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn một kĩ
sư làm tổ trưởng, một công nhân làm tổ phó và năm công nhân làm tổ viên. Hỏi có
bao nhiêu cách thành lập tổ công tác?
Hướng dẫn
5


Nhận xét: Bài toán gồm 3 bước: Chọn 1 tổ trưởng; chọn 1 tổ phó và chọn 5 tổ viên. Trong

đó, riêng tổ trưởng được chọn từ 3 kĩ sư, hoàn toàn riêng biệt với 6 người còn lại nên thứ tự
của bước này không ảnh hưởng phép tính. 1 tổ trưởng và 5 tổ viên đều được chọn từ 10 công
nhân nên 2 bước này có ảnh hưởng đến nhau.
1) Cách 1: Chọn tổ phó trước, tổ viên sau.


Chọn tổ trưởng từ 3 kĩ sư, có 3 cách.



Chọn tổ phó tử 10 công nhân, có 10 cách.



Chọn 5 tổ viên từ 9 công nhân còn lại, có C95 cách.
Như vậy, có tất cả 3.10.C95  3780 cách thành lập tổ công tác.

2) Cách 2: Chọn tổ viên trước, tổ phó sau


Chọn tổ trưởng từ 3 kĩ sư, có 3 cách.



Chọn 5 tổ viên từ 10 công nhân, có C105 cách.



Chọn tổ phó từ 5 công nhân còn lại, có 5 cách.
Như vậy, có tất cả 3.C105 .5  3780 cách thành lập tổ công tác.

3) Một số hướng tương tự (nhưng thường không ai làm :D )


Chọn tổ phó, tổ viên rồi chọn tổ trưởng, phép tính là 10.C95 .3  3780 cách.



Chọn tổ phó, tổ trưởng rồi chọn tổ viên, phép tính là 10.3.C95  3780 cách.



Chọn tổ viên, tổ trưởng rồi chọn tổ phó, phép tính là C105 .5.3  3780 cách.



Chọn tổ viên, tổ phó rồi chọn tổ trưởng, phép tính là C105 .3.5  3780 cách.

4) Hướng tư duy ngược (chắc cũng không ai làm :D).
Nhận xét: Số cách chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng bằng số cách chọn 2 kĩ sư còn lại
(không làm tổ trưởng); và thay vì chọn tổ phó và tổ viên trước, ta có thể chọn 4 công
nhân còn lại (4 người cuối cùng không tham gia vào tổ công tác).
Ví dụ.


Chọn 2 kĩ sư không tham gia vào tổ công tác, có C32 cách (thì dĩ nhiên người
còn lại là tổ trưởng).



Chọn tổ phó từ 10 công nhân, có 10 cách.



Chọn 4 công nhân không tham gia công tác từ 9 công nhân còn lại, có C94
cách (5 người còn lại dĩ nhiên chính là các tổ viên tham gia công tác).
Như vậy, có tất cả C32 .10.C94  3780 cách.

Tương tự với cách tính phổ biến phía trên, ta cũng có thể đổi thứ tự các bước trên,
dẫn đến các phép tính khác nhau và đều đi đến kết quả cuối cùng là 3780 cách.

6


Câu 6. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5.
Hỏi có bao nhiêu số như vậy, nếu:
1) Năm chữ số 1 xếp kề nhau.
2) Các chữ số 1 được xếp tùy ý.
Hướng dẫn
1) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.


Sắp xếp 4 chữ số 2, 3, 4, 5 tùy ý, có 4! cách.



Khi đó có 5 chỗ trống. Do 5 số 1 xếp kề nhau (coi như 1 số) nên chúng được
xếp vào 1 trong 5 chỗ trống đó, có 5 cách.

Như vậy, lập được 4!.5  120 số.

Nhận xét: Cách hiểu khác


Coi 5 số 1 là 1 số (do đứng liền nhau). Như vậy ta có tất cả 5 chữ số. Số cách
lập là hoán vị của 5 số này, bằng 5!  120 số.



Xem như ta có 9 vị trí 123456789 để xếp 9 số trên. Chọn 5 vị trí kề nhau cho
5

số

1,

9  5 1  5

có

cách

(là

các

dãy

vị

trí

12345, 23456, 34567, 45678, 56789 ). Hoán vị 4 chữ số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị tí
còn lại, có 4! cách. Nên số cách là 5.4!  120 .
2) Năm chữ số 1 được xếp tùy ý
a) Cách 1: Quy tắc nhân


Xếp 5 chữ số 1 trước. Do 5 số giống nhau nên chỉ có 1 cách.



Khi đó, có 6 chỗ trống, xếp số 2 vào 1 trong 6 vị trí đó, có 6 cách.



Khi đó, có 7 chỗ trống, xếp số 3 vào 1 trong 7 vị trí đó, có 7 cách.



Khi đó, có 8 chỗ trống, xếp số 4 vào 1 trong 8 vị trí đó, có 8 cách.



Khi đó, có 9 chỗ trống, xếp số 5 vào 1 trong 9 vị trí đó, có 9 cách.

Như vậy, lập được 1.6.7.8.9  3024 số.
b) Cách 2: Hoán vị


Sắp xếp cả 9 chữ số một cách tùy ý, có 9! cách.



Tuy nhiên, nếu như chỉ hoán vị 5 số 1 thì sẽ tạo được số không đổi. Nói cách
khác, mỗi số lập được bị lặp 5!.

Do đó, thực tế chỉ lập được

9!
 3024 số.
5!

c) Cách 3: Chính hợp – Tổ hợp – Xếp 5 số 1 trước.


Coi như có trước 9 vị trí để xếp 9 chữ số trên.



Chọn 5 trong 9 vị trí trên để xếp 5 số 1, không phân biệt thứ tự, có C95 cách.

7




Hoán vị 4 chữ số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí còn lại có 4! cách.

Như vậy, lập được C95 .4!  3024 số.
d) Cách 4: Chính hợp – Tổ hợp – Xếp 5 số 1 sau.



Coi như có trước 9 vị trí để xếp 9 chữ số trên.



Chọn 4 vị trí để xếp 4 chữ số 2, 3, 4, 5; có phân biệt thứ tự, có A94 cách.



5 vị trí còn lại là 5 số 1, có 1 cách.

Như vậy, lập được A94 .1  3024 số.
Câu 7. Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3
người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán
bộ lớp.
Hướng dẫn
1) Cách 1: Làm xuôi
Để trong 3 người, có ít nhất 1 người là cán bộ lớp, ta có 2 TH: 1 cán bộ lớp và 2 học
sinh khác hoặc 2 cán bộ lớp và 1 học sinh khác (chỉ có 2 cán bộ lớp nên không có TH
cả 3 đều là cán bộ lớp).


TH 1. Có 1 cán bộ lớp và 2 học sinh khác.

 Chọn 1 cán bộ lớp, có C21 cách.
 Chọn thêm 2 học sinh từ 18 học sinh khác, có C182 cách.
 Như vậy, trường hợp này có C21 .C182 cách.


TH 2. Có 2 cán bộ lớp và 1 học sinh khác.
1
Tương tự TH 1, trường hợp này có C22 .C18
cách.

1
 324 cách chọn.
Như vậy, tổng cộng có C21 .C182  C22 .C18

Lưu ý: Trong cả 2 TH, bước chọn cán bộ lớp và chọn học sinh khác hoàn toàn độc
lập, nên thực hiện bước nào trước cũng được.
2) Cách 2: Làm ngược
Số cách chọn thỏa mãn đề bài bằng tổng số cách chọn 3 học sinh khác nhau, trừ đi số
cách chọn 3 học sinh mà không có cán bộ lớp.


3
Tổng số cách chọn 3 học sinh khác nhau là C20
.



Trong đó, số trường hợp chọn mà không có cán bộ lớp là C183 (cả 3 học sinh
đều nằm trong nhóm 18 học sinh khác).

3
 C183  324 cách.
Như vậy, số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là C20

8

Câu 8. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi
từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 4 viên bi lấy ra không có đủ 3 màu?
Hướng dẫn
1) Cách 1. Làm ngược
Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bằng số cách chọn 4 viên khác nhau trừ đi số cách
chọn sao cho có đủ 3 màu.


Số cách chọn 4 viên khác nhau từ tổng số 15 viên bi là C154 cách.



Ta tìm số cách chọn 4 viên sao cho có đủ 3 màu.

Lưu ý: Cách làm sai thường gặp


Để có đủ 3 màu, chọn mỗi mãu 1 viên; viên thứ 4 thì chọn tự do trong tất cả
số bi còn lại.



Như vậy, chọn 1 viên đỏ có 4 cách; 1 viên trắng có 5 cách; 1 viên vàng có 6
cách. Viên cuối cùng chọn tùy ý trong 12 viên còn lại, có 12 cách.



Do đó, tổng số có 4.5.6.12  1440 cách chọn 4 viên có đủ 3 màu.

Tuy nhiên, để ý một chút sẽ thấy ngay, con số 1440 này lớn hơn cả tổng số cách chọn
là C154  1365 cách. Rõ ràng đây là một lập luận sai!
Để 4 viên bi có đủ 3 màu, ta có 3 khả năng:
 TH 1: 1 viên đỏ, 1 viên trắng, 2 viên vàng. Số cách là C41 .C51 .C62 .
 TH 2: 1 viên đỏ, 2 viên trắng, 1 viên vàng. Số cách là C41 .C52 .C61 .
 TH 3: 2 viên đỏ, 1 viên trắng, 1 viên vàng. Số cách là C42 .C51 .C61 .
Vậy tổng số cách chọn có đủ 3 màu là C41 .C51 .C62  C41 .C52 .C61  C42 .C51 .C61  720 .
Vậy số cách chọn mà không có đủ 3 màu là C154  720  645 .
2) Cách 2. Làm xuôi: Tính 2 TH: 4 viên cùng màu và 4 viên có đúng 2 màu.
Nhận xét: Số viên bi mỗi màu (4, 5 và 6) đều bằng hoặc lớn hơn số viên bi cần chọn
(4 viên). Do đó ta sẽ có cả 3 khả năng mà 4 viên bi cùng 1 màu.
a) 4 viên bi cùng 1 màu: Có 3 khả năng


4 viên đều màu đỏ, có C44 cách.



4 viên màu trắng, có C54 cách.



4 viên màu vàng, có C64 cách.
Như vậy, tổng số cách chọn 4 viên cùng 1 màu là C44  C54  C64  21 cách.

b) 4 viên bi gồm đúng 2 màu.


TH 1. Gồm đỏ và trắng (phải có cả 2, không được chỉ 1 trong 2 màu).

9


 Tổng số cách chọn 4 viên từ 4 viên đỏ và 5 viên trắng, có C94 cách.
 Tuy nhiên trong số này gồm C44 trường hợp 4 viên đỏ và C54 viên trắng không
thỏa mãn.
Như vậy, số cách chọn 4 viên gồm bi đỏ và trắng là C94  C44  C54  120 .


TH 2. Gồm trắng và vàng (phải có cả 2, không được chỉ 1 trong 2 màu).

 Tương tự lập luận ở TH 1, số cách là C114  C54  C64  310 .


TH 3. Gồm vàng và đỏ (phải có cả 2, không được chỉ 1 trong 2 màu).

 Tương tự lập luận ở TH 1, số cách là C104  C44  C64  194 .
Như vậy, tổng ssoo cách chọn 4 viên bi có đúng 2 màu là
120  310  194  624 .

Vậy tổng số cách chọn 4 viên bi không có đủ 3 màu là 21  624  645 .
Câu 9. Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được thành lập bằng cách dùng 7
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho 2 chữ số chẵn không nằm liền nhau.
Hướng dẫn
1) Cách 1: Làm xuôi


Sắp xếp 5 chữ số lẻ một cách tùy ý, có 5! cách.



Khi đó, tạo ra 6 vị trí trống. Để 2 số lẻ không nằm liền nhau, ta cần xếp chúng
(có thứ tự) vào 2 trong 6 vị trí trên, có A62 cách.

Như vậy, ta lập được 5!. A62  3600 số.
2) Cách 2: Làm ngược
Số cách xếp thỏa mãn đề bài bằng số cách xếp 7 chữ số tùy ý, trừ đi số cách xếp sao
cho 2 chữ số chẵn kề nhau.
a) Số cách xếp 7 chữ số đã cho tùy ý là 7! .
b) Ta tìm số cách xếp sao cho 2 chữ số chẵn kề nhau.


Cách 1.

 Xếp 5 chữ số lẻ trước tùy ý, có 5! .
 Khi đó, có 6 chỗ trống. Để 2 chữ số chẵn kề nhau, ta xếp cả 2 số vào 1
trong 6 vị trí trên, có 6 cách.
 Do 2 số chẵn khác nhau, hoán vị 2 số chẵn có 2! cách.
Vậy số cách xếp để 2 số chẵn kề nhau là 5!.6.2!  1440 .


Cách 2.

 Xếp 2 chữ số chẵn kề nhau trước, có 2! cách.

10


 Khi đó, coi 2 số này là 1, cùng với 5 số lẻ, ta có 6 số. Hoán vị 5 số này, có

6! cách.

Vậy số cách xếp 2 số chẵn kề nhau là 2!.6!  1440 .


Cách 3. Xem như ta có 7 vị trí 1234567 để xếp 7 chữ số trên

 Chọn 2 vị trí kề nhau để xếp 2 số chẵn, có 7  2  1  6 cách (là các cặp vị
trí 12, 23, 34,...,67 ).
 Do 2 số chẵn khác nhau nên xếp chúng vào 2 vị trí đã chọn, có 2! cách.
 Sắp xếp 5 chữ số lẻ tùy ý vào 5 vị trí còn lại, có 5! cách.
Vậy số cách xếp để 2 số chẵn kề nhau là 6.2!.5!  1440 .
Vậy, số cách xếp sao cho 2 số chẵn không nằm kề nhau là 7! 1440  3600 .
Câu 10.

Cho đa giác đều A1 A2 ... A2 n , n  2 nội tiếp trong đường tròn  O  . Biết rằng số

tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1 , A2 ,.., A2 n nhiều gấp 20 lần số hình chữ
nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh A1 , A2 ,.., A2 n , tìm n.
Hướng dẫn
3
1) Số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n đỉnh A1 , A2 ,.., A2 n là C2n
.

2) Ta tìm số hình chữ nhật được tạo từ 4 trong 2n đỉnh A1 , A2 ,.., A2 n .
a) Cách 1.
Đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn  O  tạo ra n
đường chéo đi qua tâm O. Mỗi hình chữ nhật có hai
đường chéo là 2 trong số n đường chéo trên. Do đó, số
hình chữ nhật lập được là Cn2 .

b) Cách 2.
Kẻ đường kính d của đường tròn và không đi
qua các đỉnh qua đa giác. Đường kính này
chia đa giác thành 2 nửa, mỗi nửa n đỉnh.


Chọn 2 đỉnh bất kì thuộc cùng một nửa
của đa giác (để đảm bảo 2 đỉnh này
không thẳng hàng với tâm O).



Để tạo thành hình chữ nhật thì 2 đỉnh
còn lại phải là 2 đỉnh đối xứng với 2
đỉnh đã chọn qua tâm O, chỉ có 1 cách chọn duy nhất.

Do đó, số hình chữ nhật tạo được là Cn2 .1  Cn2 .

11


Lưu ý: Cũng có thể thay đổi thứ tự các bước như sau:


Đỉnh thứ nhất chọn 1 kì thuộc 1 nửa đa giác, có n cách.



Đỉnh thứ 2 là đỉnh đối xứng với đỉnh thứ nhất qua tâm O, có 1 cách.



Đỉnh thứ 3 chọn trong  n  1 đỉnh còn lại trong nửa đa giác.



Đỉnh cuối cùng là đỉnh đối xứng với đỉnh thứ 3, có 1 cách.



Số cách chọn 2 4 đỉnh như trên là n  n  1 .

Tuy nhiên với cách này, mỗi hình chữ nhật bị lặp lại 2!  2 lần do đỉnh thứ nhất
và thứ 3 có vai trò như nhau (ví dụ chọn đỉnh A1 trước, A3 sau sẽ tạo ra cùng
hình chữ nhật với việc chọn A3 trước, A1 sau).


Như vậy, số hình chữ nhật khác nhau được tạo ra thực tế là

n  n  1
2

.

3) Tìm n
3
Ta có C2n
tam giác và Cn2 hình chữ nhật. Theo đề bài thì

C23n  20Cn2 


 2n  !

6  2n  3  !

2n  2n  1 2n  2 

 20.

 20.

n!
2  n  2 !

n  n  1



6
2
 n  0  loai 

  n  1 loai 
 2 2n  1  30  n  8 tm

 
 

2n  n  1 2n  1
3

 10n  n  1

Vậy n  8 .

Bài tập tự luyện
Câu 11. Bảy chữ cái của chữ VIETNAM có thể tạo ra bao nhiêu chữ (không cân có nghĩa)
mà các phụ âm và nguyên âm xen kẽ nhau.

Đáp án: 144

Câu 12. Có bao nhiêu cách xếp 3 học sinh nam và 4 học sinh nữ vào một dãy ghế dài sao cho
Đáp án: 288

các học sinh cùng giới ngồi kề nhau.

Câu 13. Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy ra một nhóm 5 người trong đó có 3 nữ. Hỏi có
Đáp án: 840

bao nhiêu cách chọn.
Câu 14. Một bộ bài có 52 lá, trong đó có 4 lá át.

1) Có bao nhiêu cách chọn ra 3 lá bài khác nhau từ bộ bài.
2) Có bao nhiêu cách rít ra 3 lá, trong đó có đúng 2 lá át.
Đáp án:

12

a) 22100

b) 288


Câu 15. Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Văn, 2
cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Tiếng Anh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp số sách này
lên kệ sách dài sao cho các cuốn cùng môn được xếp kề nhau.
Đáp án: 207360
Câu 16. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên là
Đáp án: 42000

chữ số lẻ.

Câu 17. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3
Đáp án: 7200

chữ số chẵn.
Câu 18. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được:
1) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?

2) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
Đáp án: a) 2160

b) 1260

Câu 19. Một họ đường thẳng gồm 3 đường thẳng song song cắt 1 họ gồm 4 đường thẳng
song song khác. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?
Đáp án: 18
Câu 20. Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số mà tổng của các chữ số là số chẵn.

Đáp án: 45.105
Câu 21. Một đội văn nghệ có 10 học sinh nam, 10 học sinh nữ. Chọn một tốp ca gồm 5 em,
trong đó có ít nhất 2 nam, 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
Đáp án: 10800
Câu 22. Cho tập hợp A   x; y; z; t . Có bao nhiêu tập con của A:
1) Không chứa phần tử x.
2) Chứa phần tử x.
Đáp án) a) 8 b) 8
Câu 23. Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số có 4 chữ số khác nhau
Đáp án: 54

và không chia hết cho 5.

Câu 24. Cho 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Từ 5 chữ số này có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5
chữ số sao cho trong mỗi số đó, mỗi số có mặt đúng 1 lần.
Đáp án: 60
Câu 25. Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 1 nahf vật lí nam. Lập một đoàn công
tác có 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao
nhiêu cách.
Đáp án: 90
Câu 26. Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ra 5 người sao cho:

13


1) Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong nhóm.
Đáp án: 1) 5400

2) 12900

Câu 27. Một lớp học có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn 5 người trong lớp
tahm gia phong trào “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 người
đó phải có ít nhất:
1) Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
2) Một học sinh nữ và một học sinh nam.
Đáp án: 1) 10800

2) 12200

Câu 28. Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà
Đáp án: 90720

mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau.

Câu 29. Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu khó, 10 câu trung
bình và 15 câu dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề
gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề phải có đủ 3 loại câu hỏi dễ, trung
bình, khó và số câu hỏi dễ không ít hơn 2.
Đáp án: 56875
Câu 30. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công đội thanh niên đó về giúp đỡ 3 tỉnh, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1
Đáp án: 207900

nữ.

Câu 31. Có bao nhiêu số nguyên chẵn gồm 6 chữ số khác nhau thỏa mãn điều kiện chữ số
hàng trăm ngàn khác 0 và phải có một chữ số 2.
Đáp án: 44520

Câu 32. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh
lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ,
sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn như vậy?

Đáp số: 225

Câu 33. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một
Đáp án: 108

khác nhau và chia hết cho 5.

Hết

14