Lý thuyết bài giảng giới hạn của dãy số (2)

Lý thuyết bài giảng chương 4
(Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên)

A. Giới hạn của dãy số
Bài 1. Dãy số có giới hạn 0
Lý thuyết

I.

1. Định nghĩa

 

a) Định nghĩa: Ta nói dãy số un có giới hạn là 0 nếu kể từ số hạng nào đó trở đi của dãy số, các số
hạng đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 số dương bé tùy ý. Khi đó ta viết là lim un  0 hoặc
n 

lim un  0 hoặc un  0

  có giới hạn 0

 

b) Nhận xét: Dãy un có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy un
2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp
1
1
1
 0; lim
 0; lim
0

3
n
n
n
1
1
 0, lim k k   
Tổng quát: lim
k
n
n

a) lim





 

b) Dãy không đổi un có un  0 có giới hạn 0
c) Nếu | q | 1  lim q n  0

  

3. Định lý: Cho hai dãy số un , vn

II.

 u  v

n
thỏa mãn:  n
 lim un  0
lim
v

0
n


Ví dụ

Ví dụ 1: a) lim

1
0
3n

b) lim

2n
n

 
7

0

Ví dự 2: Chứng minh
a) lim

III.



sin 3n  2
n

6

0

b) lim

sin 2n  cos 2n
2.6n

0

Bài tập

GV: Hoàng Văn Phiên

Gmail:

SĐT: 0979.493.934 hoặc 01235.493.934

Trang 1

Lý thuyết bài giảng chương 4
(Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên)

Bài 2. Dãy số có giới hạn
I.

Lý thuyết

1. Định nghĩa giới hạn của dãy số

 





Ta nói dãy un có giới hạn là 1 số hữu hạn L nếu lim un  L  0 . Khi đó ta viết là lim un  L hoặc
n 

lim un  L hoặc un  L
2. Một số tính chất
Định lý 1: Nếu lim un  L thì:
a) lim un  L ; lim 3 un  3 L

L  0
b) Nếu un  0, n thì 
lim un  L
Định lý 2: Nếu lim un  a; lim vn  b; c   thì





a) Các dãy số un  vn , un .vn
u 
b) Nếu b  0 thì dãy số  n 
v 
 n
Định lý 3: (Định lý kẹp về giới hạn)







lim u  v  a  b
n
n

, c.un có giới hạn và lim un .vn  a.b
lim c.u  c.a
n

u
a
có giới hạn và lim n 
vn b









v  un  wn
Cho 3 dãy số un , vn , wn . Nếu với mọi n ta có  n
thì lim un  L
lim vn  lim wn  L
Định lý 4: (Định lý Weiertrass)

   

a) Dãy tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
b) Dãy giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn
3. Tính chất đặc biệt
n


1
a) lim  1    e
n






b) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn | q | 1 là S  u1  u1 .q  u1.q 2  ... 

II.

u1
1q

Ví dụ

Ví dụ 1: Với mọi số nguyên dương k và hằng số c ta có: lim

GV: Hoàng Văn Phiên

Gmail:

c
1
 c.lim k  0
k
n
n

SĐT: 0979.493.934 hoặc 01235.493.934

Trang 2


Lý thuyết bài giảng chương 4
(Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên)



2
16 sin 2n  3
Ví dụ 2: Tính lim

25
n2
Ví dụ 3: Tính

a) lim



2n 4  3n 2  3n  1
5n 4  3n 3  5

b) lim

3n 3  3n 2  3n  1
5n 4  3n 3  5

3n  2

n  1
Ví dụ 4: Tính lim 

 n 
1 1
1

Ví dụ 5: Tính tổng S   2  3  ...
2 2
2
Ví dụ 6: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số
a) 0, 3333...

b) 3, 292929...

c) 0, 99999...

 

Ví dụ 7: Gọi (C) là đường tròn đường kính AB  2a (a là 1 số thực dương). Gọi C 1 là đường gồm

AB
AB
. Gọi C 2 là đường gồm 4 nửa đường tròn đường kính 2 ,…,
2
2
AB
Gọi C n là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính n ,… Gọi pn là độ dài của C n , Sn là diện
2
tích giới hạn bởi đường C n với đoạn thẳng AB.

 

hai nửa đường tròn đường kính

 

 

 

a) Tính pn và Sn

  

b) Tính giới hạn của các dãy pn , Sn

a  1  q  q 2  ...  q n 1  ...
Ví dụ 8: Cho | q | 1,| Q | 1 và 
2
n 1
b  1  Q  Q  ...  Q  ...
Tính tổng S  1  q .Q  q 2 .Q 2  ...  q n .Q n  ...

III.

Bài tập

Bài 3. Dãy số có giới hạn vô cực
I.

Lý thuyết

 

1. Định nghĩa: Ta nói dãy số un có giới hạn là  nếu kể từ số hạng nào đó trở đi của dãy số mà
các số hạng đều lớn hơn 1 số dương lớn tùy ý. Khi đó ta viết là lim un   ,… (TT với giới hạn

âm)
2. Các quy tắc tìm giới hạn vô cực (Không đúng đối với các định lý trong bài 2)



Quy tắc 1: Nếu lim un  ; lim vn   thì lim un .vn

GV: Hoàng Văn Phiên

Gmail:

 được xác định như sau (kẻ bảng)

SĐT: 0979.493.934 hoặc 01235.493.934

Trang 3


Lý thuyết bài giảng chương 4
(Số 20, Tổ 2A, Phường Hoàng Văn Thụ, Thành Phố Thái Nguyên)



Quy tắc 2: Nếu lim un  ; lim vn  a  0 thì lim un .vn
Quy tắc 3: Nếu lim un  a  0; lim vn  0, vn  0 thì lim

 được xác định như sau (kẻ bảng)

un
vn

được xác định như sau (kẻ bảng)

Chú ý:
a) Nếu lim vn  0, vn  0 thì lim
b) Nếu lim un   thì lim

II.

1
 
| vn |

1
0
un

Ví dụ

Ví dụ 1: Có: lim n  ; lim n  ; lim 3 n  ; lim 2n  ; lim 1  2n  ; lim 3 n  





Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
n2  5
2n  1
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau

b) lim

a) lim

a) lim



n 1  n

3n 3  2n 2  5
2n 2  3n  7


1
1
b) lim 



2
2
n  n  1 n  n  1 



Ví dụ 4: Tính
a) lim

1  2  22  ...  2n

1  3  32  ...  3n

b) lim

12  22  32  ...  n 2



2n 1  3  5  ...  2n  1



Ví dụ 5: Tính lim 2.3n  n  5 (Khó)
Ví dụ 6: Tổng của 1 CSN lùi vô hạn bằng 6 và tổng của hai số hạng đầu bằng 4,5. Tìm số hạng đầu
và công bội của CSN đó.

 

Ví dụ 7: Cho dãy số un

u1  1

. Đặt vn  un  6 .
:
un
 3, n  3
un 1 

2





 

a) Chứng minh vn là 1 CSN
b) Tính lim un

III.

Bài tập

B. Giới hạn của hàm số
C. Hàm số liên tục

GV: Hoàng Văn Phiên

Gmail:

SĐT: 0979.493.934 hoặc 01235.493.934

Trang 4