Quy hoach truc giao cap 2

1. Thuật toán xác định phương trình hồi quy
Trình tự các bước tiến hành nhằm xác định dạng của phương trình hồi quy được
trình bày dưới đây:
1.1. Chọn dạng của phương trình hồi quy
Phương trình bậc 2: y  b0   b j x j  b jr x jr   b jj x2j

(1.1)

Trong đó y là giá trị được dự đoán bằng phương trình miêu tả bản chất quá trình
cần tìm.
1.2. Tính toán các hệ số hồi quy
b j   (xuj Yu ) /  xuj2   (x uj Yu ) / N ;

u=(1, 2, ...N)

(1.2)

b'j   (x 'ujYu ) /  x 'uj2

(1.3)

xuj'  xuj2   ( xuj2 / N )

(1.4)

1.3. Tính phương sai tái sinh của hàm
S y2   (Yn0  Y0 ) / (n 0  1)
2

(1.5)

Với giá trị bình quân của hàm khi thí nghiệm ở tâm
Y0  (1/ n 0 )((Y10  ...  Yn0 )

(1.6)

1.4. Tính phương sai của các hệ số hồi quy
S2{b j }  S2y /  x2ju

(1.7)

1.5. Kiểm tra tính có nghĩa của hệ số
Được xác định bằng cách so sánh tỷ số (|bj|/S{bj}) với chuẩn số Student t(α,f) .
Nếu (| b j |) / S{b j }  t ( , f) thì hệ số bj không có nghĩa và bị loại khỏi phương trình
hồi quy t ( , f) .
Giá trị của chuẩn số Student t ( , f) được tra bảng. Ở đây  được gọi là mức có
nghĩa hoặc sai số cho phép, thông thường trong kỹ thuật ta chọn   0, 05 . Và số
mực độ tự do f=n0-1 (n0- số lần thí nghiệm ở tâm).
1.6. Tính phương sai dư
Phương sai dư được định nghĩa bởi công thức:
Sr2es   (Yu  yu )2 / (N g 1)

(1.8)


Trong đó:
Yu – Giá trị của hàm tìm được khi thí nghiệm.
Yu – Giá trị của hàm tìm được sau tính toán.
u – Thứ tự số hàng.
N – Số lượng thí nghiệm
g – Số nhân tố có nghĩa (không kể nhân tố tự do).

1.7. Kiểm tra sự tương thích của hàm
F  (S2res ) / (S2y )

(1.9)

So sánh F với chuẩn Fisher tương ứng a (f1 , f 2 ) với:
 - Mức có nghĩa, đã nói ở trên

f1 =N – g – 1 Số mức độ tự do của phân tán lớn (trong tính toán phương sai
dư)
f2 = n0 – 1
Số mức độ tự do của phân tán hẹp hơn (trong tính toán phương
sai tái sinh)
Chuẩn số Fisher được tra bảng a (f1 , f 2 )
Khi F< a (f1 , f 2 )

Chúng ta nói phương trình hồi quy tương thích, có nghĩa

mô hình toán học được dùng hoàn toàn miêu tả được bản chất quá trình.
Nếu như F> a (f1 , f 2 ) Ta nói phương trình hồi quy không tương thích.

2


2. Xây dựng quy hoạch trực giao cấp 2 tới công nghệ chế tạo HK nhôm
2.1. Chọn dạng của phương trình hồi quy
Dùng mô hình toán học có dạng đa thức bậc 2 được mô tả như (1.1). Như vậy ta
sẽ xây dựng quy hoạch thực nghiệm trực giao cấp 2 đủ với 15 thí nghiệm, trong đó
có 8 thí nghiệm cơ bản, 1 thí nghiệm ở tâm và 6 thí nghiệm trong không gian mở
rộng. Lưu ý rằng thí nghiệm ở tâm là kết quả trung bình của 3 kết quả thí nghiệm ở

tâm đã tiến hành. Các thông số công nghệ được mã hóa trong ma trận thực nghiệm
bởi các biến như sau:
+ Nhiệt độ biến dạng: Tbd(oC): x1
+ Mức độ biến dạng: (%):

x2

+ Nhiệt độ hóa già Thg(oC): x3
Giá trị của các biến ứng với thí nghiệm cơ bản (x=-1 hoặc x=-1), thí nghiệm ở
tâm (x=0), thí nghiệm mở rộng (x=-  hoặc x= +  ) được xác định theo đề bài như
bảng 1.
Bảng 1: Khoảng giá trị của các thông số công nghệ theo đề bài
-

-1

0

+1



Tbd(oC)

360

370

410

450

460

(%)

15

20

30

40

45

Thg(oC)

110

120

150

180

190

Khoảng biến thiên của các biến trong không gian mở rộng:
+ Với Tbd(oC): .Z1  1, 215.40  48,6

quy tròn 50.
+ Với (%): .Z2  1, 215.10  12,15

quy tròn 15.

+ Với Thg(oC): .Z3  1, 215.30  36, 45

quy tròn 40.

2.2. Ma trận thực nghiệm
Dựa vào kết quả thí nghiệm ta thành lập ma trận thực nghiệm
+ Ma trận trực giao cấp 2 này không chứa thành phần x1x2x3.
3


+ Hệ số mở rộng   1, 215 .
Giá trị các mã biến cấp 2 (x’uj) được xác định theo công thức sau:
xuj'  xuj2   ( xuj2 / N )

(2.1)

xuj: với u: số thứ tự hàng;
j: số thứ tự các biến
- Trong các giai đoạn thí nghiệm cơ bản:
Khi x’uj= ±1; với u=1:8; j=1:3;
x’uj=1-(8+2Ω2)/15 = 1-(8+2x1.476)/15=0.27;
- Trong thí nghiệm ở tâm: (u=9; j=1:3)
x'9j=0-(8+2Ω2)/15=0-0.73=-0.73
- Trong thí nghiệm mở rộng: (u=10:15; j=1:3)
+ Khi xuj=0, thì x'uj=0-(8+2Ω2)/15=0-0.73=-0.73

+ Khi xuj=±Ω, thì x'uj=Ω2-(8+2Ω2)/15=1.476-0.73= 0.75
Bảng 2: Ma trận thực nghiệm
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

x0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

+
+
+
+
+

x1
+
+
+
+
0
+ω
-ω
0
0
0
0

x2
+
+
+
+
0
0
0
+ω
-ω
0

0

x3
+
+
+
+
0
0
0
0
0
+ω
-ω

x1x2 x1x3 x2x3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

x1'

x '2

x 3'

0.27
0.27
0.27
0.27

0.27
0.27
0.27
0.27
-0.73
0.75
0.75
-0.73
-0.73
-0.73
-0.73

0.27
0.27
0.27
0.27
0.27
0.27
0.27
0.27
-0.73
-0.73
-0.73
0.75
0.75
-0.73
-0.73

0.27
0.27

0.27
0.27
0.27
0.27
0.27
0.27
-0.73
-0.73
-0.73
-0.73
-0.73
0.75
0.75

Y
516
526
492
545
502
540
516
554
531
508
546
542
512
540
546

2.3. Xác định các hệ số của hàm hồi quy
4


Ký hiệu hệ số hàm hồi quy: bj
bj=∑(xujYu)/N=∑(xujYu)/∑xuj2; với u=1:15; j=1:10

(2.2)

Bảng 3: Các hệ số của hàm hồi quy
2
b0   (x u 0 Yu ) /  xu0
b0

527.73

2
b1   (x u1Yu ) /  xu1
b1

-7.23

2
b2   (x u 2 Yu ) /  xu2
b2

16.02

2

b3   (x u 3Yu ) /  xu3
b3

-3.68

b12   (x12 Yu ) /  x122 b12

-1.63

b13   (x13Yu ) /  x132 b13

2.9

2
b23   (x 23Yu ) /  x23
b23

5.38

b1'   (x1' Yu ) /  x1' b1'

-6.35

b2'   (x '2 Yu ) /  x2' b2'

-6.35

b3'   (x 3' Yu ) /  x3' b3'

4.48

2

2

2

2.4. Tính phương sai tái sinh của hàm
Ta đã làm 3 thí nghiệm ở tâm (n0=3), được kết quả Y0  {528 531 534}; với
j=1:3;
Giá trị trung bình thí nghiệm ở tâm được coi như Y9 trong bảng ma trận thực
nghiệm
0

Y 

528  531  534
 531
3

(2.3)

Vậy giá trị của phương sai tái sinh là:
S

2
y

 (Y


n

0

0

Y )

n0  1



32  0  32
 9  Sy  3
2

(2.4)

5


2.5. Tính phương sai các hệ số hồi quy
S 2{bj}  S y2 /  X ju  S{bj}  S y2 /  X ju với u=1:15
2

2

(2.5)

9
 0.6  S{b0 }  0.77
15
9
S 2 {b j }  3
 0.821  S{b j }  0.91; j {1, 2,3}
2  2*1.476
9
S 2 {b jr }  S 2 {b12 }  S 2{b13}  S 2{b23}   1.125  S{b j r}  1.06; j {1, 2,3}
8
1
S 2 {b jj }  S 2{b11}  S 2{b22 }  S 2{b33} 
 2.058  S{b jj }  1.43
4.3727
S 2 {b0 } 

Bảng 4. Phương sai của hệ số hàm hồi quy
S(b0)
S(b1)
S(b2)
S(b3)
S(b12)
S(b13)
S(b23)
S(b11)
S(b22)
S(b33)

0.26
0.91

0.91
0.91
1.06
1.06
1.06
1.43
1.43
1.43

2.6. Chọn chuẩn số Student t ( , f)
Coi độ chính xác tính toán ở đây là 5% - tức mức ý nghĩa α = 0,05. Mặt khác
t=n0-1=2, từ bảng Student trong số liệu thống kê toán học tra được
t(α,t)=t(0,05;2)=4.3.
2.7. Kiểm tra tính có nghĩa của các hệ số
Ta có công thức bj/S(bj)

(2.6)

So sánh các hệ số hồi quy |bj| với tích số S{bj}t(α,f). Nếu |bj|> S{bj}t(α,f) thì
bj sẽ tồn tại trong phương trình vì có ý nghĩa.

6


Bảng 5. Tỷ số của hệ số hồi quy với phương sai của hệ số
|bj|/ S{bj}

|bj|/ S{bj}

t(α,f)

Giá trị bj
giữ lại

|b0|/ S{b0}

685.37

4.3

OK

|b1|/ S{b1}

7.94

4.3

OK

|b2|/ S{b2}

17.6

4.3

OK

|b3|/ S{b3}

4.04

4.3

Loại

|b12|/ S{b12}

1.53

4.3

Loại

|b13|/ S{b13}

2.71

4.3

Loại

|b23|/ S{b23}

5.07

4.3

OK

|b11|/ S{b11}

4.44

4.3

OK

|b22|/ S{b22}

4.44

4.3

OK

|b33|/ S{b33}

3.13

4.3

Loại

2.8. Xác định phương trình hồi quy và tìm giá trị của hàm theo lý thuyết
Từ kết quả tính toán ở trên, ta có thể xác định được dạng của phương trình hồi
quy:
ylt= y=527.73-7.23x1+16.02x2+5.38x23-6.48x1'-6.48x2'
(2.7)
Thay thế các giá trị của các mã biến xuj trong bảng ma trận thực nghiệm ở

từng hàng từ u=1 đến u=15, ta được trị số của độ dẻo (%) hợp kim nhôm tính theo
phương trình hồi quy.
Bảng 5 là giá trị của độ bền theo kết quả thực nghiệm (Y), theo kết quả tính
toán (y), sai số giữa chúng (Y-y) và bình phương các sai số (Y-y)2.

7


Bảng 6: So sánh kết quả tính toán và kết quả thực nghiệm
N

Y

ylt

Y-ylt

(Y  ylt )2

1

516

506.418

9.58219

91.818

2

526

527.706

-1.70621

2.9112

3

492

495.668

-3.66781

13.453

4

545

538.456

6.54379

42.821

5

502

510.128

-8.12781

66.061

6

540

552.916

-12.9162

166.83

7

516

520.878

-4.87781

23.793

8

554

542.166

11.8338

140.04

9

531

537.025

-6.02529

36.304

10

508

518.845

-10.8451

117.62

11

546

536.414

9.58601

91.892

12

542

547.039

-5.03912

25.393

13

512

508.112

3.88754

15.113

14

540

537.025

2.97471

8.8489

15

546

537.025

8.97471

80.545

Tổng bp các sai số

Σ(Yu - yu)^2

923.44

2.9. Kiểm tra sự tương thích của hàm
2.9.1 Xác định phương sai dư
Nội dung chính của bước này là xem xét hàm hồi quy được viết dưới dạng
phương trình (2.1) có đủ mức tin cậy hay không, nếu tương thích – nếu miêu tả
được quan hệ giữa các thông số công nghệ đến độ bền của hợp kim nhôm và có thể

tính toán được những giá trị của độ bền trong phạm vi nghiên cứu mà chưa làm
được thí nghiệm.
8


Muốn vậy cần tính tiếp phương sai dư của hàm Sres2 theo công thức
Sr2es   (Yu  yu )2 / (N g 1)

(2.8)

Trong trường hợp này thì:
+ Số lượng thí nghiệm N=15
+ Số nhân tố có nghĩa g=5
+ Tổng bình phương các sai số (Y-y)2 = 923,44
Như vậy phương sai dư của hàm có giá trị:
Sr2es   (Yu  yu )2 / (N g1)  923, 44 / (15  5 1)  102,604

2.9.2 . Xác định chuẩn Fischer
Giá trị của F tính theo công thức:
F  S2res / S2y  102,604 / 9  11, 4

(2.9)
Xác định chuẩn số Fischer a (f1 ,f 2 ) từ các bảng thống kê toán học với điều kiện:
+ Mức ý nghĩa α=0,05.
+ Số mức độ tự do của phân tán lớn (trong tính toán phương sai dư):
f1=N-g-1=9
+ Số mức độ tự do của phân tán hẹp hơn (trong tính toán phương sai tái sinh)
f2=n0-1=2
Như vậy a (f1 ,f 2 ) =19,35. Vì F< a (f1 ,f 2 ) nên phương trình tương thích, chứng tỏ
hàm nội suy được viết dưới dạng phương trình (2.1) đủ độ tin cậy cần thiết.

Tới đây có thể chỉnh lý lại phương trình (2.1) như sau:
y = 527,7 – 7,23.x1 + 16,02.x2 + 5,38x2x3 - 6,35(x12-0,73)- 6,35(x22-0,73)
y = 536,97 – 7,23.x1 + 16,02.x2 + 5,38x2x3 - 6,35x12- 6,35x22
(2.10)
Nhận xét:
Xét ảnh hưởng của từng nhân tố tới độ bền của hợp kim nhôm
y(x1,1,1)=-7,23x1-6,35 x12+552,02
(2.11)
2
y(1,x2,1)=21,4x2-6,35 x2 +523,39
(2.12)
y(1,1,x3)=5,38x3+538,44
(2.13)
Từ các phương trình (2.11), (2.12), (2.13) cho hay ảnh hưởng lớn nhất đối với
độ bền của hợp kim nhôm đó là mức độ biến dạng (thông số x2), thứ đến là nhiệt
độ hóa già (thông số x3), nhiệt độ biến dạng (thông số x1) có ảnh hưởng thấp hơn.
3. Xác định phương án công nghệ tối ưu
9


3.1. Tìm cực trị theo phương pháp leo dốc của Box-Wilson
Chương trình tính được lập trình tính trong môi trường Matlap (xem phụ lục 1).
Từ bảng 5 và bảng 6, ta chọn y6 có giá trị lớn nhất làm điểm xuất phát: y6-0(1,1,1)=552,90, gradient của hàm theo các hướng của điểm xuất phát được tính
bằng cách lấy đạo hàm riêng của phương trình (2.10) đối với các biến x1, x2, x3:
y / x1  12, 7x1  7, 23  5, 47
y / x2  5,38x 3  12, 7x 2  16, 02  8, 70
y / x3  5,38x 2  5,38

Vì gradient của hàm theo hướng x2 là lớn nhất nên bước leo dốc đầu tiên sẽ di
chuyển theo hướng này và giá trị của các biến ở điểm tiếp theo sẽ là:

x(1)1  1  5, 47
x(1)2  1  8, 70  1, 215    0.024712
x(1)3  1  5,38

Xác định được tọa độ của các biến còn lại:
x(1)1  1  5, 47  -0,86482
x(1)3  1  5,38  1,13295

Giá trị của hàm sau bước leo dốc thứ nhất:
y6-1=y(-0,86482; 1,215; 1,13295)=555,97
Sau bước leo dốc thứ nhất, hàm đã nằm ở biên mở rộng theo hướng x2, thay thế
x2=1,215 vào phương trình (2.10) ta được:
y= 547,0603-7,23x1+6,53670x3-6,35x12
(2.14)
Tìm hướng gradient phát triển cho bước leo dốc thứ hai bằng cách lấy đạo hàm
riêng của hàm (2.14) đối với các biến x1 và x3:
y / x1  -7,23-12,70x1  3, 75323
y / x3  6,53670  6,53670

Hàm sẽ phát triển trong bước leo dốc thứ 2 theo hướng x2, vì gradient theo
hướng x2 lớn hơn so với theo hướng x1.
Giá trị của các biến ở bước leo dốc thứ 2 sẽ là:
x(2)1  0,86482  3, 7532
x(2)3  1,13295  6,53670  1, 215    0, 01255

Xác định được tọa độ của các biến còn lại:
x(2)1  0,86482  3,7532  0,81771

Giá trị của hàm sau bước leo dốc thứ 2:
y6-2=y(-0,81771;1,215, 1,215)=556,67

10


Sau bước leo dốc thứ 2, hàm đã nằm ở biên mở rộng của x2 và x3, thay thế
x3=1,215 vào phương trình (2.14) ta được:
y= 555,0023-7,23x1-6,35x12
(2.15)
Hàm cuối cùng chỉ có 1 biến x1, dễ dàng tìm được cực trị thông qua lấy đạo
hàm của (2.15):
dy6-2/dx1 =-7,23-12,70x1=0x1= -0,5693
Cực trị của hàm sau bước thứ 3:
y7-3 = y(-0,5693; 1,215; 1,215)=557,06
Hệ tọa độ trong công nghệ tối ưu khi tạo hợp kim nhôm có độ bền lớn nhất
được trình bày trong bảng 7.
Như vậy phương trình (2.10) đạt giá trị lớn nhất ymax = 557,06 khi x1=(-0,5693;
x2=1,215; x3=1,215.
Suy ra được, để có được chế độ công nghệ tối ưu thì:
+ Nhiệt độ biến dạng: Tbd(oC)=-0,5693.40+410=387,23. Quy tròn 390oC
+ Mức độ biến dạng: (%)=1,215.10+30=42,15. Quy tròn 42 (%)
+ Nhiệt độ hóa già Thg(oC)=1,215.30+150=186,45. Quy tròn 190oC
Bảng 7: Hệ tọa độ khi tìm độ bền lớn nhất của hợp kim nhôm
Bước
x1
x2
x3
y
Xuất phát
-1
1
1

552,90
1
-0,86482
1,215
1,1330
555,97
2
-0,8177
1,215
1,215
556,67
3
-0,5693
1,215
1,215
557,06
3.2. Tìm cực trị bằng lập trình trong Matlap
Thuật toán như sau: cho các biến x1, x2, x3 chạy đồng thời một cách tự do trong
khoảng [-1,215; 1,215] với các điểm chia cách nhau 0,001. Như vậy mỗi biến đầu
vào sẽ có N=2431 giá trị khác nhau và có N3=24313 bộ số (x1, x2, x3).
Giá trị của y được xác định bởi biểu thức (2.10):
y = 536,97 – 7,23.x1 + 16,02.x2 + 5,38x2x3 - 6,35x12- 6,35x22
Mỗi một bộ số (x1, x2, x3) sẽ cho ta một giá trị của y. Chương trình tính sẽ so
sánh 24313 các giá trị y khác nhau và đưa ra giá trị lớn nhất ymax và bộ số (x1, x2,
x3) làm nên giá trị ymax đó.
11


Kết quả cuối cùng khi chạy phần mềm Matlap được hiển thị dưới đây:
ymax = 557,06 khi x1=-0,5593; x2=1,21534; x3=1,2152

File chương trình tính với tên QHTN.m được trình bày tại phụ lục (1) của bài
tiểu luận này.
3.3. So sánh kết quả tính ymax bằng phương pháp leo dốc của Box-Wilson và
phương pháp số bằng phần mềm Matlap:
Dễ dàng nhận thấy kết quả tính toán bằng 2 phương pháp thì khác nhau không
đáng kể. Chứng tỏ phương pháp leo dốc của Box-Wilson cho độ chính xác và độ
tin cậy cao. Phương pháp này được dùng phổ biến khi các ứng dụng lập trình bằng
máy tính chưa phát triển.

12


Phụ lục(1)
%Cuc tri bac2
%(tên File: QHTN.m)
function QHTN
% Xac dinh che do cong nghe toi uu tu phuong trinh noi suy:
% y = 536,97 – 7,23.x1 + 16,02.x2 + 5,38x2x3 - 6,35x1^2- 6,35x2^2
clc;
clear all;
h=0.01;
x1=-1.215:h:1.215;
x2=-1.215:h:1.215;
x3=-1.215:h:1.215;
N=(1.215+1.215)/h+1 % tong so cac diem chia
n=0;
for i=1:N
for j=1:N
for k=1:N
n=n+1;

y(n)=16.02*x2(j)-7.23*x1(i)+5.38*x2(j)*x3(k)-6.35*x1(i)-.35*x2(j)+536.97
ii(n)=i;
jj(n)=j;
kk(n)=k;
end
end
end
for n=2:N^3
if y(n)y(n)=y(n-1);
jj(n)=jj(n-1);
ii(n)=ii(n-1);
kk(n)=kk(n-1);
end
end
ymax=y(n)
x1p=x1(ii(n))
x2p=x2(jj(n))
x3p=x3(kk(n))
disp(['gia tri lon nhat cua ham ymax = ', num2str(ymax)]);
disp(['Tai gia tri x1 = ', num2str(x1p),'
x2= ', num2str(x2p), ' x3 = ',
num2str(x3p)]);

13


14