Ôn luyện THPTQG 2017:Khoang cach

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 THEO CHUYÊN ĐỀ
Chuyê n đề : Khoả n g cách
Loại 1: Khoảng cách dựng trực tiếp từ chân
đường vng góc tới mặt bên:
Giả sử trong một hình khối có đỉnh S, hình chiếu
vng góc là E. Khi đó để tính khoảng cách trực
tiếp từ chân đường vng góc E này tới mặt bên

( SAB )
•

, ta dựng theo các bước sau:
EC ⊥ AB
Bước 1: Hạ
.

( (

ED ⊥ SC ⇒ ED = d E ; SAB
•

Bước 2: Hạ

))

.

SE .EC

ED =

SE 2 + EC 2

• Bước 3: Cách tính:
.
Chú ý: Khoảng cách trong tam diện vng là
một trường hợp của khoảng cách này.
Loại 2: Khoảng cách dựng trực tiếp tới một
điểm trên mặt đáy tới mặt đứng (chứa
đường cao):
Giả sử trong một hình khối có đỉnh S, hình chiếu
vng góc là E. Khi đó ta gọi mặt phẳng chứa

( SAE )

đường cao SE chẳng hạn
là mặt đứng. Để
tính khoảng cách từ một điểm B bất kỳ trên mặt

( SAE )

đáy tới
BG ⊥ AE

ta hạ trực tiếp đường vng góc:

. Khi đó:

( (

BG = d B ; SAE

))

Loại 3: Khoảng cách dựng trực tiếp trong
khối chóp có các cạnh bên bằng nhau:
Giả sử trong một hình khối có đỉnh S có các
cạnh
bên
có
độ
dài
bằng
nhau:
SA = SB = SC = SD
(đáy có thể là bốn đỉnh hoặc
ba đỉnh). Khi đó nếu như E là tâm đường tròn
ngoại tiếp đi qua các đỉnh nằm trên mặt đáy thì
SE là trục đường tròn ngoại tiếp của đáy hay nói
cách khác:

( (

SE = d S; ABCD

))

Chú ý: Nếu đáy là:
• Tam giác đều, E là trọng tâm.
• Tam giác vng, E là trung điểm cạnh
huyền.

• Hình vng, hình chữ nhật, E là giao của
2 đường chéo đồng thời là trung điểm
1


mỗi đường.
Loại 4: Tính khoảng cách gián tiếp qua tỷ
số khoảng cách:
Giả sử ta ta muốn dựng trực tiếp khoảng cách
Q
từ điểm B tới mặt phẳng
mà không thực
hiện được. Đồng thời từ điểm A ta lại dựng được

( )

(Q )

trực tiếp khoảng cách tới
khi đó ta sẽ thực
hiện tính khoảng cách gián tiếp như sau:

( ( ) ) = BE
d ( A; ( Q ) ) AE

d B; Q
•

Nếu AB cắt

•

Nếu AB //

(Q )

(Q )

tại E thì:

( ( ) ) = d ( A; ( Q ) )

.

d B; Q
thì:

.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
AD = 2a, AB = a

S.ABCD

Câu 1: Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật với
. SAD là tam
giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng
A.

a 2

B.

a 3
C.

a 2
2
AB = b

Câu 2: Chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
khoảng cách từ H tới mặt phẳng
2ab
A.

2

12a + b

2

và đường cao

khoảng cách từ A tới mặt phẳng
ab
3ab

( SBC )

SH = a

. Tính

C.

3ab

a +b
2

2

AB = b

Câu 3: Chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy

4a2 + b2

a 3
2

ab

2

B.

D.

.

.

ab

12a + b
2

( SBC )

( SHB )

a + b2
2

D.

và đường cao

SO = a

. Tính

.

4a2 + b2

2ab

ab

4a2 + b2

2 4a2 + b2

A.
C.
D.
B.
Câu 4: Chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Biết
SA = a, AB = b

. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC tới mặt phẳng

ab
A.

2ab

a +b
2

2

B.

2

a +b
2

C.

.

ab

3ab

a +b
2

( SBC )

2

Câu 5: Chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, góc

D.

R BAC = 300

2 a2 + b2
. Biết rằng đường
2


cao

AC.

A.

SM = a

và cạnh

BC = b

. Tính khoảng cách từ A tới

2ab 3

2ab

4a2 + 3b2

4a + 3b
2

B.

Câu 6: Lăng trụ tam giác đều
B 'C '

C.

ABC .A ' B 'C '

. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng
2

B.

ab 3

4a2 + 3b2

3 4a2 + 3b2

( A 'BC )

D.

. Gọi M là trung điểm của

.

ab 3

4a + 3b
2

4a + 3b
2

có

biết M là trung điểm của

ab 3

AA ' = a, AB = b

2ab

2ab 3
A.

2

( SBC )

2

ab 3

4a + 3b
2

C.

2

D.

3 4a2 + 3b2

R BAD = 600

ABCD.A 'B 'C 'D '

Câu 7: Hình hộp đứng
có đáy là hình thoi cạnh b, góc
AA ' = a
đồng thời
. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tính khoảng cách từ G tới mặt
A ' BD
phẳng
.

(

)

2ab

2ab 3
A.

2

B.

Câu 8: Hình hộp

BD = 2CB '

A.

2

ABCD.A ' B 'C ' D '

C'

B.

ab 3

4a + 3b
2

C.

2

D.

3 4a2 + 3b2

có tất cả các cạnh đều bằng a, góc

. Biết rằng hình chiếu của

Tính khoảng cách từ

a 2

ab 3

4a + 3b
2

4a + 3b
2

tới mặt phẳng

A'

trên mặt phẳng

( B 'D 'C )

a 3
C.

( ABCD )

R BAD = 600

và

nằm trên cạnh AC.

.
a 2
2

D.

a 3
2

3


ĐÁP ÁN CHI TIẾT
AD = 2a, AB = a
S.ABCD
Câu 1: Cho hình chóp
có đáy là hình chữ nhật với
. SAD là tam
giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu vuông góc

của S trên mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng

( SHB )

.

Ta thấy rằng CH và BH vuông góc với nhau do đó:

( (

d C ; SHB

) ) = CH

Dễ dàng sử dụng định lý Pythagoras:
CH = CD 2 + DH 2 = a 2

Câu 2: Chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
khoảng cách từ H tới mặt phẳng

AB = b

( SBC )

và đường cao

SH = a

. Tính

.
Hạ HP vuông góc BC và HQ vuông góc SP ta có:

( (

HQ = d H ; SBC

))

Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có:
HQ =

SH .HP

SH 2 + HP 2

Chú ý trong tam giác đều ABC ta luôn có:
S∆ABC =

Diện tích:
HP =

Vậy
có:

Câu 3: Chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
khoảng cách từ A tới mặt phẳng

AP =

. Đường cao:

1
1 3b
b
AP =
=
3
3 2
2 3

HQ =

( SBC )

3
BC 2
4

. Do vậy thay

SH .HP
SH + HP
2

AB = b

2

=

3
BC
2

.

SH = a

ta

ab
12a2 + b2

và đường cao

SO = a

. Tính

.

4


Hạ OY vuông góc BC và OZ vuông góc SY khi đó:

( (

OZ = d O; SBC

Ta có:

1
b
OY = CD =
2
2

( (

d A; SBC

)) =

SO.OY
SO 2 + OY

2

. Do đó ta được:

) ) = 2d ( O;( SBC ) ) =

2SO.OY
SO + OY
2

2

2ab

=

4a2 + b2

Câu 4: Chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Biết
SA = a, AB = b

. Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC tới mặt phẳng

( SBC )

.

Hạ AI vuông góc SB ta có:

( (

AI = d A; SBC

( (

d M ; SBC

)) =

SA.AB
SA + AB
2

) ) = 12d ( A;( SBC ) ) =

Do đó:

Câu 5: Chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, góc
cao
AC.

SM = a

và cạnh

BC = b

. Tính khoảng cách từ A tới

2

a + b2
2

ab
2 a2 + b2

R BAC = 300

( SBC )

ab

=

.

. Biết rằng đường

biết M là trung điểm của

Chú ý: Trong tam giác vuông góc góc 30 0 thì cạnh
đối diện với góc này bằng nửa cạnh huyền. Cạnh
3

góc vuông còn lại gấp

lần cạnh đó.
Hạ MD vuông góc BC và hạ ME vuông góc SD.
MD =

Khi đó:

1
1
AB = b 3
2
2

( (

d M ; SBC

Mặt khác:

( (

d A; SBC

Câu 6: Lăng trụ tam giác đều
B 'C '

Do đó:
ABC .A ' B 'C '

. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng

có

)) =

.
SM .MD
SM + MD
2

) ) = 2d ( M ;( SBC ) ) =

AA ' = a, AB = b

( A 'BC )

2

=

ab 3
4a2 + 3b2

.

2ab 3
4a2 + 3b2

.

. Gọi M là trung điểm của

.

5


A 'H

Hạ AH vuông góc BC và AI vuông góc

( (

d A; A ' BC

( (

d M ; A 'BC

Ta có:

AA '.AH
AA ' + AH
2

) ) = d ( B '; ( A 'BC ) )

( (

d B '; A 'BC

Lại có:

)) =

( (

d M ; A 'BC

điểm của

AB '

)) =

.

4a2 + 3b2

AB '

vì

. Ta có:

b 3
2

ab 3

=

MB '

Vì

) ) = d ( A; ( A 'BC ) )

2

AH =

//

( A 'BC )

cắt

.

( A 'BC )

tại trung

ab 3
4a2 + 3b2

. Vì vậy:

.

R BAD = 600

ABCD.A 'B 'C 'D '

Câu 7: Hình hộp đứng
có đáy là hình thoi cạnh b, góc
AA ' = a
đồng thời
. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Tính khoảng cách từ G tới mặt
phẳng

( A 'BD )

.
Vì ta có hình thoi nên AC và BD vuông góc với nhau.
Chính vì vậy hạ AK vuông góc

( (

AK = d A; A 'BD

OA '

)) =

ta có:

AA '.AO
AA '2 + AO 2

Chú ý: Hình thoi có góc 600 có hai đường chéo, đường
AB 3

AB

chéo dài bằng
, đường chéo ngắn bằng cạnh
.
Đường chéo ngắn là đường chéo đối diện góc 120 0 do

đó

AC = b 3

⇒ AO =

( (

d G ; A 'BD

)) =

b 3
2

( (

.

d A; A ' BD

3

Vậy:
.
Câu 8: Hình hộp

BD = 2CB '

ABCD.A ' B 'C ' D '

))

=

AA '.AO
3 AA ' + AO
2

có tất cả các cạnh đều bằng a, góc

. Biết rằng hình chiếu của

A'

trên mặt phẳng
B 'D 'C
C'
Tính khoảng cách từ
tới mặt phẳng
.

(

)

( ABCD )

2

=

ab 3
3 4a2 + 3b2

R BAD = 600

và

nằm trên cạnh AC.

6


Dễ dàng thấy:
chóp
của

C '.B 'D 'C

C'

CB ' = CD ' = CC '

do đó hình

là hình chóp đều. Hình chiếu

tới mặt phẳng

( B 'D 'C )

là tâm đường

∆B ' D 'C

tròn ngoại tiếp của tam giác
.
A'
Mặt khác hình chiếu của
trên mặt phẳng

( ABCD )

nằm trên cạnh AC do đó dễ dàng

thấy được tam giác

∆B 'D 'C

cân tại C mà

BD = 2CB '

B 'D ' = 2CB '
∆B ' D 'C
do đó
nên
vuông cân tại C cho nên I là tâm ngoại tiếp
∆B ' D 'C

.

( (

d C '; B ' D 'C
Khi đó:

) ) = C 'I

=

a 3
2

.

7