de thi chon HSG cap huyen 2009 2010

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÚ LỘC
NĂM HỌC 2009 – 2010
MÔN TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
-------o0o------Bài 1: (3đ) Tính : Bài 2: (3đ) Cho (x2 - ) : (x2 + ) = a.
Tính biểu thức M = (x4 - ) : (x4 + ) theo a
Bài 3: (4đ) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A =
Bài 4: (3đ) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2 + x + 1 = xy – y .
Bài 5: (4đ) Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. M là trung điểm của BC. Qua
H kẻ đường vuông góc với HM cắt AB, AC theo thứ tự tại E, F.
a) Trên tia đối HC lấy điểm D sao cho HD = HC. Chứng minh rằng E là
trực tâm của tam giác DBH.
b) Chứng minh rằng HE = HF.
Bài 6: (3đ) Cho hình vuông ABCD. Đường tròn tâm A bán kính AB cắt đường
tròn đường kính CD ở E ( E ≠ D ). Chứng minh rằng đường thẳng DE đi qua
trung điểm cạnh BC.
HẾT

HƯỚNG DẪN
Bài 1: - = (+ 1) – ( - 1) = 2
Bài 2:
Từ = a ⇔ = a2 (bình phương 2 vế)


⇔ 1 – = a2 ⇔ x4 + + 2 = ↔ x4 + = (1)
Từ = a ⇔ = a ⇔ = a
⇔ = a ( thay (1) vào) ⇔
x4 - =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra : M = = =
Bài 3: A = = - 1 ≥ -1 ; A = = 4 - ≤ 4

Bài 4: y = = x + 2 + suy ra x – 1 = ±1 ; ±3 .
Bài 5: a) HM là đường trung bình của ∆CBD nên HM//BD, mà HM ⊥ HE nên
HE ⊥ BD hay HE là một đường cao của ∆BDH, ngoài ra BE là đường cao của
∆BDH nên E là trực tâm của tam giác BDH
b) Gọi BH cắt AC ở Q, DE cắt BH ở P. ∆CHQ = ∆DHP (cạnh huyền,góc nhọn)
nên HQ = HP. ∆HQF = ∆HPE (g.c.g) nên HE = HF
Bài 6: Gọi O là trung điểm CD, DE cắt BC ở F. Ta có AO ⊥ DE (đường nối
tâm vuông góc với dây chung) . ∆ADO = ∆DCF (g.c.g) suy ra OD = CF.
Mà OD = = = CF nên F là trung điểm của BC.