Xu li th so 2

Ví dụ 2.20 Đáp ứng tần số của hệ thống trung bình động
Đáp ứng xung của hệ thống trung bình động của ví dụ 2.4 là
1

, M1 n M 2

h[ n] = M1 + M 2 + 1
0,
cá c gía trị khá c

Do đó, đáp ứng tần số là

H ( e j ) =

M2
1
jn
e
M1 + M 2 + 1 n = M1

(2.127)

Phơng trình (2.127) có thể đợc biểu thị dới dạng biểu thức bằng cách dùng
phơng trình (2.56), nh vậy
1
e jM1 e j( M 2 +1)
H( e ) =
M1 + M 2 + 1
1 e j
j

1
e
=
M1 + M 2 + 1
1
e
=
M1 + M 2 + 1

j( M1+ M 2 +1) / 2

e

e j( M1 + M 2 +1) / 2

j / 2

e

j( M1 + M 2 +1) / 2

j / 2

e j( M1 + M 2 +1) / 2
j / 2

j / 2

e j( M 2 M1 +1) / 2
e j( M 2 M1 ) / 2

e
e
1
sin[( M1 + M 2 + 1) / 2] j( M 2 M1 0 / 2
=
e
M1 + M 2 + 1
sin( / 2)

(2.128)

H(ej)

2





2
5

2
5


2

0



2



H(ej)



2



-

Hình 2.19. (a) Biên độ (b) Pha của đáp ứng tần số của hệ thống
trung bình động cho trờng hợp M1= 0 và M2 = 4.

71


Biên độ và pha của H(e j) đợc vẽ trên hình 2.19 với M1 = 0 và M2 = 4. Cần
chú ý rằng H(ej) nh đáp ứng tần số của một hệ thống thời gian- rời rạc đã
yêu cầu. Còn lu ý nữa là H(ej) nằm về phía tần số cao và < H(e j) , tức là
pha của H(ej) thay đổi một cách tuyến tính đối với . Độ suy giảm về phía
tần số cao gợi ý một điều là hệ thống sẽ làm nhẵn rất nhanh sự thay đổi của

dãy lối vào, nói cách khác, hệ thống gần giống nh một mạch lọc thông thấp.
Điều đó cũng khớp với cái mà chúng ta mong chờ một cách trực giác về tính
chất của hệ thống trung bình động.
2.6.2 Các lối vào dạng e-mũ phức bị tác động đột ngột.
Chúng ta đã thấy rằng đối với các hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian
thì các tín hiệu lối vào e-mũ phức dạng e jn với - < n< sẽ tạo ra các tín hiệu lối
ra dạng H(ej)ejn . Các tín hiệu lối vào nh vậy, khác không trên một miền vô hạn ,
có thể đợc xem nh những mô hình tín hiệu không thực tế . Tuy nhiên, nh chúng ta
sẽ thấy trong phần sau , mô hình loại này dùng để biểu diễn một dải rất rộng các tín
hiệu trên phơng diện toán học là chủ yếu, thậm chí chúng chỉ tồn tại trên một miền
hữu hạn. Ngay cả nh vậy, chúng ta cũng vẫn có thể thấy đợc bản chất bổ sung ở bên
trong các hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian bằng việc khảo sát các tín hiệu
lối vào biểu hiện tính thực tiễn hơn dới dạng
x[n] = ejnu[n]
có nghĩa là các e-mũ phức chỉ đợc tác động một cách đột ngột tại một thời điểm nào
đấy, để thuận tiện, ở đây chúng ta chọn là thời điểm n = 0 . Bằng cách sử dụng tổng
nhân chập trong phơng trình (2.62), lối ra tơng ứng của một hệ thống tuyến tính bất
biến với thời gian và nhân quả với đáp ứng xung h[n] là
0, n < 0

jn
,n 0
y[n] = n
jk e
h
[
k
]
e

k = 0

Nếu xét tín hiệu đối với n 0, thì chúng ta có thể viết


jk jn
jk
h
[
k
]
e
e

y[n] =

h[ k ]e
k =0

k = n +1

jk jn
= H(ej)ejn - h[ k]e e



jn
e

(2.129)
(2.130)

Từ phơng trình (2.1130) chúng ta thấy rằng tín hiệu lối ra là tổng của hai số
hạng, tức là y[n] = yss[n] + yt[n]. Số hạng đầu tiên là
yss[n] = H(ej)ejn

72


đợc gọi là đáp ứng trạng thái dừng. Nó đồng nhất với đáp ứng của hệ thống khi lối
vào là ejn với mọi n. Số hạng thứ hai có dạng
yt[n] = -





h[k]e-jkejn

k = n +1

là lợng mà tín hiệu lối ra khác với với kết quả của hàm riêng. Phần này đợc gọi là
đáp ứng quá độ, rõ ràng là trong một số trờng hợp nó tiến gần tới không. Để tìm các
điều kiện mà đối với chúng điều này là đúng, thì hãy xét độ lớn của số hạng thứ hai
này. Biên độ của nó bị giới nội nh sau
|yt[n]| =

h[k]e

jk jn

e





h[k]

(2.131)

k = n +1

Từ phơng trình (2.131) thấy rõ ràng rằng nếu đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn,
nh vậy có nghĩa là h[n] = 0 ngoại trừ 0 n M, thì khi đó số hạng yt[n] = 0 với
n + 1 > M, hoặc n > M - 1. Trong trờng hợp này thì
y[n] = yss[n] = H(ej)ejn

với n> M - 1

Khi đáp ứng xung có chiều dài vô hạn, thì đáp ứng quá độ sẽ không tắt một cách
đột ngột, nhng nếu các mẫu của đáp ứng xung dần tới không khi n tăng lên , thì sau
đó yt[n] sẽ dần tới không. Chú ý rằng phơng trình (2.131) có thể đợc viết dới dạng
|y[n]| =

h[k]e j k e j n

k = n +1



h[ k]

k = n +1



h[k]

(2.132)

k =0

Có nghĩa là đáp ứng quá độ bị giới hạn bởi tổng các giá trị tuyệt đối của tất cả các
mẫu của đáp ứng xung . Nếu phía tay phải của phơng trình (2.132) bị giới nội, có
nghĩa là


| h[k]| <
k =0

thì khi đó hệ thống là ổn định. Từ phơng trình (2.132) suy ra rằng đối với các hệ
thống ổn định, quá trình quá độ sẽ trở nên vô cùng bé khi n . Nh vậy, điều kiện
đủ để một hệ thống ổn định là đáp ứng quá độ phải tắt hết.
Hình 2.20 chỉ ra rằng phần thực của tín hiệu e-mũ phức với tần số

= 2/10 . Các chấm đậm chỉ thị các mẫu x[k] của e-mũ phức đợc tác động đột
nghột, trong khi các vòng tròn rỗng chỉ thị các mẫu của e-mũ phức đang "thất lạc".
Các chấm mờ chỉ thị các mẫu của đáp ứng xung h[n - k] nh một hàm của k cho trờng hợp n=8. Trong trờng hợp chiều dài hữu hạn nh đã chỉ ra trên hình 2.20(a), thấy
rõ ràng rằng lối ra chỉ có thành phần trạng thái dừng khi n 8 , trong khi với trờng
hợp chiều dài vô hạn, thì thấy rõ rằng các mẫu thất lạc càng ít dần khi n tăng, do
bản chất tự nhiên giảm của đáp ứng xung .

73


h[n-k]

0

n

k

(a)
h[n-k]

0

n

k

(b)
Hình 2.20 Minh họa phần thực của lối vào e-mũ phức bị tác động đột
ngột với (a) đáp ứng xung có chiều dài hữu hạn và (b) đáp ứng xung

có chiều dài vô hạn.
Điều kiện về tính ổn định cũng là điều kiện đủ cho sự tồn tại của hàm đáp ứng tần
số . Để thấy đợc điều đó, nói chung cần chú ý
| H(ej)| =



h[k]e

jk

k =





h[k]e

k =

jk





h[k]

k =

nh vậy điều kiện tổng quát là




k =

|h[k]| <

chắc chắn là H(ej) tồn tại. Không nên ngạc nhiên là điều kiện tồn tại của đáp ứng
tần số cũng giống nh điều kiện ngự trị của nghiệm dừng. Thực vậy, e-mũ phức tồn
tại với tất cả n có thể coi nh lũy thừa đợc áp dụng tại n = - . Tính chất hàm riêng
của các e-mũ phức phụ thuộc tính ổn định của hệ thống, bởi vì tại n xác định, đáp
ứng quá độ phải bằng không, có nghĩa là chúng ta chỉ còn thấy đáp ứng dừng
H(ej)ejn với mọi n hữu hạn.
2.7 Biểu diễn các dãy bằng biến đổi Fourier
Một trong những u điểm của biểu diễn đáp ứng tần số của hệ thống tuyến
tính bất biến với thời gian là việc giải thích tính chất của hệ thống nh chúng ta đã
làm trong ví dụ 2.20 theo thông lệ rất dễ dàng. Chúng ta sẽ nói chi tiết hơn quan
điểm này trong chơng 5. Nhng cũng từ quan điểm này, chúng ta hãy trở lại vấn làm
thế nào để có thể tìm đợc các biểu diễn của dạng (2.117) cho dãy lối vào bất kỳ.

74


Nhiều dãy có thể đợc biểu diễn bằng tích phân Fourier dạng


x[n] =

ở đây

X(e

j

)e jn d

(2.133)



X(ej) =



x[n]e

jn

n =

(2.134)

Các phơng trình (2.133) và (2.134) cùng nhau tạo nên biểu diễn Fourier cho dãy
số . Phơng trình (2.133) là công thức tổng hợp tín hiệu; Nó chính là phép biến đổi
Fourier ngợc . Nghĩa là, nó biểu diễn x[n] nh một chồng chất vô số các dãy sin
phức dạng
1
j

X(e ) ejnd
2
với sắp xếp trên một khoảng dài 2 và với X(ej) xác định một lợng tơng đối của
mỗi thành phần sin phức. Mặc dù chúng ta đã chọn miền giá trị của nằm giữa
và +, nhng khi viết phơng trình (2.133) bất kỳ khoảng dài 2 nào cũng đều có thể
đợc sử dụng. Phơng trình (2.134), là biến đổi Fourier của dãy x[n], và là một biểu
thức để tính X(ej) từ dãy x[n], nó cũng là phép phân tích dãy x[n] để xác định xem
cần có bao nhiêu thành phần tần số để tổng hợp nên x[n] khi sử dụng (2.133).
Nói chung, phép biến đổi Fourier là một hàm giá trị phức của . Cũng nh đối
với đáp ứng tần số, chúng ta cũng có thể biểu thị X(e j) dới dạng tọa độ vuông góc
nh sau
X(ej) = XR(ej) + jXI(ej)
(2.135a)
hoặc dới dạng tọa độ cực
X(ej) = |X(ej) | ej(2.135b)
các đại lợng |X(ej) | và X(ej) là biên độ và pha của biến đổi Fourier, tơng ứng.
Biến đổi Fourier đôi khi đợc coi nh phổ Fourier, hay đơn giản hơn gọi là phổ. Cũng
nh vậy, thuật ngữ phổ biên độ thỉnh thỏang cũng đợc sợc sử dụng để gắn với giá trị
tuyệt đối của |X(ej)| , còn góc pha X(ej) đôi khi đợc gọi là phổ pha
Pha X(ej) không đợc xác định một cách duy nhất bởi (2.135b), bởi vì bất
kỳ một số nguyên bội của 2 cũng có thể đợc cộng với X(ej) tại một giá trị bất
kỳ đều không làm thay đổi kết quả của hàm e mũ phức. Đặc biệt khi chúng ta muốn
gắn với một giá trị chủ yếu nào đấy, có nghĩa là X(ej) bị giới hạn trong vùng giá
trị giữa - và + , thì chúng ta sẽ biểu thị giá trị đó nh ARG[X(ej) ]. Nếu chúng ta
muốn gắn hàm pha nh một hàm số liên tục của với 0 < < , thì chúng ta sẽ sử
dụng khái niệm arg[X(ej) ]
Khi so sánh (2.109) với (2.134), chúng ta có thể thấy rằng đáp ứng tần số của
một hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian đơn thuần là biến đổi Fourier của đáp
ứng xung, và do đó đáp ứng xung cũng có thể thu đợc từ đáp ứng tần số bằng cách

áp dụng tích phân biến đổi Fourier ngợc, tức là:

75


1
H(e j )e jn d
h[n] =

2

(2.136)

Nh đã thảo luận trớc đây, đáp ứng tần số là một hàm tuần hoàn. Cũng giống
nh vậy, biến đổi Fourier cũng tuần hoàn với chu kỳ 2. Thực vậy, phơng trình
92.134) có dạng của một chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn X(e j) biến thiên liên
tục, và phơng trình (2.133) biểu thị dãy các giá trị của dãy x[n] theo các số hạng
của hàm tuần hoàn X(ej) , là dạng của một tích phân sẽ đợc sử dụng để thu đợc các
hệ số của chuỗi Fourier. Việc dùng các phơng trình (2.133) và (2.134) tập trung vào
sự biểu diễn của dãy x[n]. Tuy nhiên, rất bổ ích khi nhận thấy sự tơng đơng giữa
biểu diễn chuỗi Fourier của các hàm số tuần hoàn biến thiên liên tục và biến đổi
Fourier của các tín hiệu thời gian- rời rạc, bởi vì tất cả các tính chất tơng tự của các
chuỗi Fourier có thể đợc áp dụng cho biến đổi Fourier để biểu diễn một dãy.
Cho đến nay, chúng ta cha chỉ ra một cách rõ ràng dứt khóat rằng các phơng
trình (2.133) và (2.134) là ngợc của nhau và cũng cha xét đến vấn đề làm thế nào để
mở rộng lớp các tín hiệu có thể đợc biểu diễn dới dạng (2.133). Để chứng minh
rằng phơng trình (2.133) là ngợc của (2.134), chúng ta có thể tìm X(e j) khi sử dụng
phơng trình (2.134) và sau đó thay kết quả vào trong phơng trình (2.133). Đặc biệt,
hãy xét
1

jm jn
x[m]e
e d = x[ n]

2 m =


(2.137)

ở đây chúng ta đã sử dụng x[ n] để mô tả các kết quả tổng hợp Fourier. Chúng ta
muốn chỉ ra rằng x[ n] = x[n] nếu X(ej) có thể tìm đợc khi sử dụng phơng trình
(2.134). Chú ý rằng chỉ số "chạy" của tổng đã đợc thay bằng m để phân biệt nó với
n là chỉ số biến số trong phơng trình (2.133). Nếu tổng vô hạn hội tụ một cách đơn
điệu với mọi , thì chúng ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân và lấy tổng cho
nhau và thu đợc:

1 j ( n m )

x[ n] = x[m]
d
(2.138)
e
m =
2

Tính tích phân bên trong ngoặc đơn ta đợc:
1 j ( n m )
sin ( n m)
e
d =

2
( n m )
1,
=
0

m=n
mn

= [ n m]
Vì thế
x[ n] = x[m][ n m] = x[ n].

76


đây chính là hệ thức mà chúng ta cần chỉ ra.
Việc xác định lớp các tín hiệu có thể đợc biểu thị bằng phơng trình (2.133) tơng đơng với việc khảo sát tính chất hội tụ của tổng vô hạn trong (2.134) . Có nghĩa
là chúng ta phải đề cập tới các điều kiện đợc thỏa mãn bởi các số hạng của tổng
trong (2.134); tức là
, với mọi

X(e j )

ở đây X(ej) là giới hạn khi M của tổng hữu hạn
X M ( e j ) =

M

x[ n]e

jn

(2.139)

n=M

Điều kiện đủ để hội tụ có thể tìm đợc nh sau:


x[ n]e

X(e j ) =





jn

n =

x[ n] e

n =


x[ n]

jn



n =

Nh vậy, nếu x[n] có tổng tuyệt đối, thì X(e j) tồn tại. Hơn thế nữa, trong trờng hợp
này, các chuỗi hội tụ tới một hàm số liên tục của một cách đơn điệu.
Theo nh định nghĩa, vì một dãy ổn định luôn có tổng tuyệt đối, nên tất cả các
dãy ổn định đều có các biến đổi Fourier. Từ đó cũng suy ra rằng bất kỳ một hệ
thống ổn định nào cũng sẽ có đáp ứng tần số hữu hạn và liên tục .
Tính có thể có tổng tuyệt đối là điều kiện đủ cho sự tồn tại của một biểu diễn
biến đổi Fourier. Trong các ví dụ 2.17 và 2.20, chúng ta đã tính các biến đổi Fourier
của các dãy [n - nd] và [1/(M1 + M2 + 1)](u[n + M1] - u[n- M2 - 1]). Các dãy này có
tổng tuyệt đối, vì vậy chúng có chiều dài hữu hạn. Rõ ràng là bất kỳ một dãy có
chiều dài hữu hạn dều có tổng tuyệt đối và vì thế sẽ có biểu diễn của biến đổi
Fourier. Trong bối cảnh của các hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian, thì một
hệ thống FIR bất kỳ sẽ ổn định và do đó sẽ có đáp ứng tần số hữu hạn và liên tục.
Khi một dãy có chiều dài vô hạn, chúng ta phải đề cập đến vấn đề hội tụ của tổng
vô hạn . Ví dụ sau đây sẽ minh họa điều này.
Ví dụ 2.21. Tổng tuyệt đối cho một lũy thừa đợc tác động đột ngột
Giả sử x[n] = anu[n]. Biến đổi Fourier của dãy này là
X(ej)





n =0

n=0

= a n e jn = (ae j ) n
=

1
, nếu
1 ae j

ae j < 1; hoặc

a < 1.

Rõ ràng điều kiện |a| < 1 là điều kiện để x[n] có tổng tuyệt đối;
tức là

77


| a |

n

1
< , nếu | a |< 1
1 | a |

=

(2.140)

Tổng tuyệt đối là điều kiện đủ cho sự tồn tại của biểu diễn Fourier, và nó cũng đảm
bảo cho sự hội tụ đồng điệu . Một số dãy không có tổng tuyệt đối nhng bình phơng
của nó lại có tổng tuyệt đối, có nghĩa là


| x[ n] |

2

<

(2.141)

n =

các dãy nh vậy đợc biểu diễn bởi một biến đổi Fourier nếu chúng ta muốn nới lỏng
điều kiện hội tụ đơn điệu của tổng vô hạn khi xác định X(e j). Đặc biệt, trong trờng
hợp này chúng ta có hội tụ toàn phơng trung bình; Có nghĩa là với
X ( e j ) =



x[ n]e

jn

(2.142a)

n =

X M ( e j ) =

và

M

x[ n]e

jn

n=M

(2.142b)
Từ đó suy ra
2



lim

X(e

j

) X M (e ) d
j

(2.143)

Nói cách khác, sai số |X(ej) - XM(ej)| có thể không dần tới không tại mỗi giá trị
của khi M , nhng tổng năng lợng chứa trong sai số lại dần tới không . Ví
dụ 2.22 minh họa trờng hợp này.
Ví dụ 2.22 Tổng bình phơng đối với mạch lọc thông thấp lý tởng
Hãy xác định đáp ứng xung của mạch lọc thông thấp lý tởng đã đợc thảo
luận trongví dụ 2.19. Đáp ứng tần số là
1,

< C
0, C <

Hlp(ej) =

(2.144)

tuần hoàn với chu kỳ 2. Đáp ứng xung hlp[n] có thể tìm đợc bằng cách sử
dụng phơng trình tổng hợp của biến đổi Fourier (2.133)

78


C

1
=
e jn d

2

C

1
1
(2.145)
[e jn ] =
( e j n e j n )
2 jn
2 jn
sin C n
=
, < n <
n
Lu ý rằng, vì hlp[n] khác không khi n < 0, nên mạch lọc thông thấp lý tởng
là không nhân quả. Chính vì vậy, hlp [n] không có tổng tuyệt đối. Các giá trị
của dãy dần tới không khi n chính là do 1/ n. Điều đó làm cho H lp(ej)
không liên tục tại = C. Vì hlp[n] không có tổng tuyệt đối nên tổng vô hạn
hlp[n] =

C

C

C

C

sin C -jn
e
n

n =
không hội tụ một cách đơn điệu với mọi giá trị của . Để thu đợc cảm quan
trực giác về vần đề này, hãy xét H M(ej) nh là tổng của một số hữu hạn các
số hạng:
HM(ej), M=3
HM(ej), M=1




c

0

c



c

HM(ej), M=7

c

c

0

0

c



HM(ej), M=19



c

0

c



Hình 2.21 Sự hội tụ của biến đổi Fourier. Tính chất dao động tại
= C và thờng gọi là hiện tợng Gibbs.
j

HM(e ) =

sin C n -jn
e
n
n=M
M

Chúng ta có thể chỉ ra rằng HM(ej) có thể đợc biểu thị nh sau

79

(2.146)


1
sin[(2 M + 1)( ) / 2]
d
HM(e ) =

2
sin[( ) / 2]
C

j

C

Hàm số HM(ej) đợc đánh giá trong hình vẽ 2.21 với một số giá trị của M.
Lu ý rằng khi M tăng tính chất dao động tai =C( thờng gọi là hiện tợng
Gibbs) nhanh hơn , nhng mức độ mấp mô lại không giảm. Trong thực tế,
cũng có thể chỉ ra rằng khi M thì biên độ dao động cực đại không dần
tới không , nhng các dao động lại hội tụ hớng về phía trớc điểm = C.
Nh vậy tổng vô hạn sẽ không hội tụ đơn điệu tới hàm không liên tục Hlp(ej)
của phơng trình (2.144). Tuy nhiên, hlp[n], nh đã cho trong
(2.145), lại có tổng
j
bình phơng và tơng ứng với điều đó , HM(e ) sẽ hội tụ theo nghĩa toàn phơng trung

bình tới Hlp(ej) , tức là


j
j
2
lim | H lp (e ) H M (e ) | d = 0


Mặc dù sai số giữa limMHM(ej) và Hlp(ej) có vẻ nh không quan trọng
bởi vì hai hàm này chỉ khác nhau tại = C, nên chúng ta sẽ thấy trong
chơng 7 tính chất của các tổng hữu hạn có ý nghĩa rất quan trọng trong
việc thiết kế các hệ thống thời gian - rời rạc làm nhiệm vụ lọc lựa tín hiệu .
Để có một biểu diễn biến đổi Fourier cho một số dãy không có tổng tuyệt đối cũng
không có tổng bình phơng, đôi khi cũng rất hữu ích. Chúng ta sẽ minh họa những
điều bổ ích đó trong các ví dụ sau đây.
Ví dụ 2.23 Biến đổi Fourier của một hằng số
Xét dãy x[n] = 1 với mọi n. Dãy này vừa không có tổng tuyệt đối lại vừa
không có tổng bình phơng, nên phơng trình (2.134) trong trờng
hợp
này không hội tụ cả theo nghĩa đơn điệu lẫn toàn phơng trung bình. Tuy
nhiên, có thể có ích khi định nghĩa biến đổi Fourier của dãy x[n] là dãy xung
tuần hoàn4
j

X(e ) =



2 ( + 2 r )

r =

(2.147)

Trong trờng hợp này các xung là các hàm số của một biến số liên
tục, và do đó có "độ cao là vô hạn, độ rộng bằng không và diện tích bằng đơn
vị", khớp với tính không hội tụ của phơng trình (2.134). Sử
dụng phơng trình
(2.147) nh một biểu diễn Fourier của dãy x[n] = 1
là đúng về nguyên tắc bởi vì
khi thay phơng trình (2.147) vào (2.133) sẽ đa đến một kết quả chính xác. Ví dụ
2.24 biểu thị một sự tổng quát
hóa của ví dụ này.
Ví dụ 2.24 Biến đổi fourier của các dãy e-mũ phức

80


Xét dãy x[n] mà biến đổi Fourier của nó là một dãy xung tuần hoàn
X(ej) =



2 (

r =

0

+ 2 r )

(2.148)

Trong ví dụ này chúng ta sẽ chỉ ra rằng x[n] là dãy e-mũ phức ej n.
Để an toàn, trong bài toán này chúng ta giả thiết rằng
- < . Nếu các giá trị đã đợc lựa chọn của o không thỏa mãn yêu
cầu này thì có thể lựa chọn o nằm trong khoảng tạo ra cùng một giá trị
X(ej) , bởi vì các xung lặp lại với chu kỳ 2. Vì thế chúng ta có thể định
nghĩa lại o là tần số của xung ở trong tổng (2.148) nằm trong khoảng
giữa - và mà không làm thay đổi bất kỳ các thành phần phổ của X(ej).
Chúng ta có thể xác định x[n] bằng cách thay X(e j) vào trong
tích phân biến đổi Fourier ngợc (2.133). Bởi vì tích phân chỉ kéo dài trên
một chu kỳ, từ - < < , nên chúng ta chỉ cần lấy số hạng với r = 0
trong
phơng trình (2.148). Do đó chúng ta có thể viết:


1
2 ( o )e jn d
x[n] =

2

(2.149)

Từ định nghĩa của hàm xung, suy ra
x[n] = ej

n

với n bất kỳ

Với o = 0, thì dãy này rút gọn lại thành dãy đã đợc khảo sát trong ví
dụ 2.23.
Rõ ràng rằng x[n] trong ví dụ 2.24 không có tổng tuyệt đối và cũng không có
tổng bình phơng, còn |X(ej)| không hữu hạn với mọi . Do đó, định đề toán học


e j n e jn =
o

n =



2 (

r =

o

+ 2 r )

(2.150)

phải đợc giải thích theo một cách đặc biệt. Cách giải thích nh vậy đã đợc cung cấp
bởi lý thuyết các hàm số tổng quát hóa ( Lighthill, 1958). Sử dụng lý thuyết này,

chúng ta có thể mở rộng một cách chính xác khái niệm biểu diễn Fourier cho một
lớp các dãy có thể đợc biểu thị nh một tổng các thành phần tần số rời rạc nh là
x[n] =

a

e j n , < n <
o

k

(2.151)

Từ kết quả của ví dụ 2.24 suy ra rằng
j

X(e ) =



2 a

r = k

k

( o + 2 r )

là một biểu diễn Fourier liên đới của x[n] trong phơng trình (2.151).

81

(2.152)


Một dãy khác vừa không có tổng tuyệt đối vừa không có tổng bình phơng là
dãy nhẩy bậc đơn vị u[n]. Mặc dù nó không chỉ ra một cách hoàn chỉnh, nhng dãy
này có thể đựơc biểu diễn bằng biến đổi Fourier sau đây:

1
+
U(e ) =
( + 2 r)
1 e j r =

j

(2.153)

2.8 Các tính chất đối xứng của biến đổi Fourier
Sử dụng các phép biến đổi Fourier sẽ rất có lợi khi có đợc kiến thức chi tiết
về cái cách mà các tính chất của dãy đợc biểu thị trong chính biến đổi Fourier đó và
ngợc lại . Trong phần này và trong phần 2.9, chúng ta sẽ thảo luận và tổng quát hóa
một số tính chất nh vậy.
Các tính chất đối xứng của biến đổi Fourier thờng rất có ích cho việc đơn
giản hóa lời giải của bài toán. Sự thảo luận sau đây trình bầy các tính chất này, còn
sự chứng minh đã đợc xét đến trong các bài toán 2.72 và 2.73. Nhng trớc khi trình
bầy các tính chất này, chúng ta bắt đầu với một số định nghĩa.
Dãy đối xứng liên hợp phức xe[n] đợc định nghĩa nh một dãy mà đối với nó
thì xe[n] = xe*[-n], và dãy phản đối xứng liên hợp phức là dãy mà đối với nó thì

xo[n] = - xo*[-n], ở đây dấu * ký hiệu liên hợp phức. Một dãy bất kỳ x[n] có thể đợc
biểu thị nh một tổng của một dãy đối xứng liên hợp phức và phản đối xứng liên hợp
phức. Đặc biệt
x[n] = xe[n] + xo[n]
(2.154a)
ở đây
1
xe[n] = (x[ n] + x [ n]) = x e [ n]
2
(2.154b)
và
1
(x[ n] x [ n]) = x o [ n] )
xo[n] =
(2.154c)
2
Một dãy số thực đối xứng liên hợp phức; có nghĩa là x e[n] = xe[-n] thì đợc gọi là
dãy chẵn , còn dãy số thực phản đối xứng liên hợp phức tức là xo[n] = -xo[-n] thì đợc
đợc gọi là dãy lẻ
Biến đổi Fourier X(ej) có thể đợc khai triển thành một tổng của các hàm số
đối xứng liên hợp phức và phản đối xứng liên hợp phức nh
sau
X(ej) = Xe(ej) + Xo(ej)
(2.155a)
ở đây

[

]

Xe(ej) =

1
X ( e j ) + X ( e j )
2

Xo(ej) =

1
X ( e j ) X ( e j )
2

(2.155b)
và

[

82

]

(2.155c)


Bằng cách thay - cho trong phơng trình (2.155b) và 2.155c), sẽ suy ra rằng
Xe(ej) là đối xứng liên hợp phức còn X0(ej) là phản đối xứng liên hợp phức; tức là
Xe(ej) = Xe*(e -j)

(2.156a)

và
Xo(ej) = - Xo* (e -j)
(2.156b)
Nếu một hàm số thực biến số liên tục là đối xứng liên hợp phức, thì nó đợc coi nh
một hàm chẵn , còn một phản đối xứng thực biến số liên tục là một hàm lẻ .
Các tính chất đối xứng của biến đổi Fourier đợc tổng quát hóa trong bảng
2.1. Sáu tính chất đầu tiên áp dụng cho dãy phức tổng quát x[n] với biến đổi Fourier
X(ej) . Các tính chất 1 và 2 đợc xét đến trong bài toán 2.72. Tính chất 3 suy ra từ
các tính chất 1 và 2, cùng với thực thể là biến đổi Fourier của tổng hai dãy là tổng
các biến đổi Fourier của chúng. Đặc biệt, biến đổi Fourier của Re(x[n]) = (1/2)(x[n]
+ x*[n]) là phần đối xứng liên hợp phức của X(e j) , hoặc Xe(ej) . Tơng tự, jIm(x[n])
= (1/2)(x[n] - x*[n] ), hoặc tơng đong với jIm(x[n]) có biến đổi Fourier mà nó là
thành phần phản đối xứng liên hợp Xo(ej) tơng ứng với tính chất 4. Bằng cách khảo
sát biến đổi Fourier của xe[n] và xo[n], các thành phần đối xứng và phản đối xứng
liên hợp phức tơng ứng của x[n], có thể chỉ ra rằng các tính chất 5 và 6 chỉ là sự suy
diễn tiếp theo.
Nếu x[n] là một dãy số thực, thì các tính chất đối xứng này trở nên rất riêng
biệt và hiệu dụng. Đặc biệt, đối với một dãy số thực , thì biến đổi Fourier là đối
xứng liên hợp phức , tức là X(ej) = X* (e -j) (tính chất 7). Biểu thị X(ej) theo các
số hạng của phần thực và phần ảo của nó ta thu đợc
X(ej) = XR(ej) + jXI(ej)

(2.157)

Đặc biệt chúng ta có thể dẫn ra các tính chất 8 và 9
XR(ej) = XR(e -j)

(2.158a)

XI(ej) = - XI(e -j)

(2.158b)

và
Nói cách khác, phần thực của biến đổi Fourier là hàm chẵn , còn phần ảo là hàm lẻ,
nếu dãy là thực. Cũng theo cách làm tơng tự, nếu biểu thị X(ej) dới dạng tọa độ cực
X(ej) = {X(ej) }ej(2.159)
chúng ta có thể chỉ ra rằng , đối với một dãy số thực x[n], biên độ của biến đổi
Fourier {X(ej) } là một hàm chẵn của còn pha lẻ của (các tính chất 10 và 11). Cũng nh vậy đối với dãy thực, phần chẵn của x[n]
biến đổi thành XR(ej) , còn phần lẻ của x[n] biến đổi thành jX I(ej) ( các tính chất
12 và 13).
Bảng 2.1 Các tính chất đối xứng của biến đỏi Fourỉer

83


Biến đổi Fourier X(ej)

Dãy x[n]

X*(ej)
X*(ej)
Xe(ej) (phần đối xứng liên hợp phức
của X(ej) )
Xo(ej) (phần phản đối xứng liên hợp
phức của X(ej))
XR(ej) =Re(X(ej) )

1. x*[n]
2. x*[-n]
3. Re(x[n]
4. jIm(x[n])

5. xe[n] (phần đối xứng
liên hợp phức của x[n])
6. xo[n] ( phần phản đối
jXI(ej) = jIm(X(ej) )
xứng liên hợp phức của x[n])
các tính chất sau đây chỉ áp dụng cho dãy số thực
7. Dãy x[n] thực bất kỳ
X(ej) =X*(e -j) (biến đổi fourier là
đối xứng liên hợp phức)
j
8. Dãy x[n] thực bất kỳ
XR(e ) = XR(e -j) (phần thực chẵn)
9. Dãy x[n] thực bất kỳ
XI(ej) = -XI(e -j) (phần ảo lẻ)
10. Dãy x[n] bất kỳ
{X(ej) }={X(e -j) (biên độ là chẵn)
11.Dãy x[n] thực bất kỳ
12. xe[n]
XR(ej)
( phần chẵn của x[n])
13. xo[n]
jXI(ej)
(phần lẻ của x[n])
Ví dụ 2.25 Minh họa các tính chất đối xứng

Hãy trở lại dãy trong ví dụ 2.21 , ở đó chúng ta đã chỉ ra rằng biến đổi
Fourier của dãy số thực x[n] = anu[n] là
X(ej) =

1
, nếu
1 ae j

a <1

Khi đó , từ các tính chất của các số phức suy ra rằng
1
X(ej) =
= X* (e -j)
j
1 ae
1 a cos
= X R ( e j )
XR (ej) =
2
1 + a 2a cos
a sin
= X I ( e j )
XI (ej) =
2
1 + a 2a cos

b
i

ê
n
đ
ộ

(2.160)

(tính chất 7)
(tính chất 8)
(tính chất 9)

(a)

84


- /2 0
/2
tần số radian ()



2
1
0
1
2


/2

0
/2

(b)
Hình 2.22 Đáp ứng tần số của hệ thống với đáp ứng xung
h[n]=anu[n]. (a) phần thực a> 0; a=0,9 (đờng đậm) và
a=0,5( đờng chấm). (b) phần ảo
4
2
0


/2

0

/2





/2

0

/2

()

1.0
0,5
0
-0,5
-1,0

Hình 2.22 (tiếp ). (c) biên độ a > 0; a = 0,9 (đờng đậm)
và a=0,5 (đờng chấm). (d) pha.

{X(ej) }=

1
= X ( e j )
1/ 2
(1 + a 2a cos )
2

85

(tính chất 10)


a sin
j

= < X(e )

(tính chất 11)

Các hàm số này đã đợc vẽ trong hình 2.22 với a > 0, đặc biệt a = 0,9 (đờng
đậm) và a = 0,5 (đờng chấm). Trong bài toán 2.43, chúng ta xét các hình vẽ tơng
ứng cho a < 0.
2.9 Các định lý về phép biến đổi Fourier
Cùng với các tính chất đối xứng, còn có rất nhiều định lý ( đợc trình bầy
trong các phần 2.9.1-2.9.7) liên hệ các phép toán trên một dãy với các phép toán
trên phép biến đổi Fourier. Chúng ta sẽ thấy rằng trong hầu hết các trờng hợp, các
định lý này hoàn toàn tơng tự với các định lý đối với các tín hiệu thời gian-liên tục
và các biến đổi Fourier của chúng. Để đơn giản cách trình bầy các định lý, chúng ta
đa vào các ký hiệu các phép toán sau đây:
X(ej) = F{x[n]}
x[n] = F--1{X(ej) }
x[n] X(ej)
ở đây, F ký hiệu phép toán " lấy biến đổi Fourier của x[n]", và F-1là ngịch đảo của
phép toán đó. Hầu hết các định lý chỉ đợc phát biểu không có chứng minh. Các
chứng minh đợc tiến hành dới dạng các bài tập, nói chung đợc giải quyết sau một
vài thao tác đơn giản các cách đổi biến trong tổng hoặc tích phân . Trong phần này,
các định lý đợc tổng kết trong bảng 2.2
2.9.1 Tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier
Nếu
f

x1[n]
và
x2[n]

F

X1 (ej)

X2(ej)

thì sau khi thay vào biểu thức định nghĩa của biến đổi Fourier sẽ suy ra
rằng
F
ax1[n] + bx2[n]
a X1 (ej) + b X2 (ej)
(2.161)
Bảng 2.2 Các định lý về biến đổi Fourier
Dãy
x[n]
y[n]

Biến đổi Fourier
X(ej)
Y(ej)

86


1. ax[n]+by[n]
2. x[n-nd] (nd chẵn)
3. ejonx[n]
4. x[-n]

5. nx[n]
6.x[n]*y[n]
7. x[n]y[n]

8.
9.

x[ n]

2

=

aX(ej) +bY(ej)
e-jnX(ej)
X(ej())
X(e -j)
X* (ej) nếu x[n] thực
dX(e j )
j
d
X(ej) Y(ej)
1
X(e j )Y(e j( ) )d

2
Định lý Parseval

2
1

X(e j ) d

2



x[ n]y [ n] =


1
X(e j )Y (e j )d

2

2.9.2 Sự dịch chuyển về thời gian và sự dịch chuyển về tần số

F

Nếu

X (ej)

x[n]

thì khi đó, đối với dãy bị dịch chuyển về thời gian, một sự biến đổi đơn giản về chỉ
số của tổng trong biến đổi Fourier thời gian-rời rạc sinh ra
x[n - nd]

F

e-jndX (ej)

(2.162)

Sự thay thế trực tiếp chứng minh kết quả sau đây cho phép biến đổi Fourier đã bị
dịch về tần số:
F
ejn x[n]
X(ej( ))
(2.163)
2.9.3 Nghịch đảo thời gian
Nếu
x[n]

F

X (ej)

khi đó nếu dãy bị ngợc về thời gian thì
x[-n]

F

X (e -j)

(2.164)

Nếu x[n] là thực, thì định lý này trở thành
x[-n]

F

X* (e -j)

87

(2.165)


2.9.4 Vi phân theo tần số
Nếu

F

x[n]

X (ej)

thì khi đó bằng cách vi phân biến đổi Fourier thời gian-rời rạc, sẽ tìm đợc

F

nx[n]

dX(e j )
j
d

(2.166)

2.9.5 Định lý Parseval
Nếu

F

x[n]

X (ej)

thì
1
j 2
X
(
) d
E = x[ n] =
2
n =


2

(2.167)

Hàm số {X(ej)} đợc gọi là mật độ phổ năng lợng , bởi vì nó xác định năng lợng đợc phân bố nh thế nào ở trong lĩnh vực tần số. Điều cần thiết là mật độ phổ
năng lợng đợc xác định chỉ cho các tín hiệu có năng lợng hữu hạn. Dạng tổng quát
hơn của định lý Parseval đợc chỉ ra trong bài toán 2.77.
2.9.6 Định lý nhân chập
Nếu
x[n]

và
và nếu

h[n]

F

X (ej)

F

H(ej)



y[n] =

x[ k]h[ n k] = x[ n] * h[n]

(2.168)

Y(ej) = X(ej)H(ej)

(2.169)

k =

thì

Nh vậy, phép nhân chập của các dãy đợc quy về phép nhân của các biến đổi Fourier
tơng ứng. Lu ý rằng tính chất dịch chuyển về thời gian là một trờng hợp đặc biệt của
tính chất nhân chập, bởi vì
[n - nd]

F

e-jnd

và nếu h[n] = n - nd], thì y[n] = x[n]*[n -nd] = x[n -nd]. Do đó

88

(2.170)


H(ej) = e-jnd và Y(ej) = e-jndX(ej)
Dẫn xuất về mặt công thức của phép nhân chập đạt đợc một cách dễ dàng khi áp
dụng định nghĩa cuả biến đổi Fourier cho y[n] nh đã biểu thị trong phơng trình
(2.168). Định lý này cũng có thể đợc giải thích nh hệ quả trực tiếp của tính chất
hàm riêng của e-mũ phức đối với các hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian.
Nhắc lại là H(ej) là đáp ứng tần số của hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian
có đáp ứng xung h[n]. Cũng cần nhắc lại là nếu
x[n] = ejn
thì
y[n] = H(ej)ejn
Có nghĩa là các hàm e-mũ phức là các hàm riêng của các hệ thống tuyến tính bất
biến với thời gian, ở đây H(ej) , biến đổi Fourier của h[n], là giá trị riêng. Từ định
nghĩa của tích phân, phơng trình tổng hợp biến đổi Fourier tơng ứng với biểu diễn
của một dãy x[n] nh là một sự chồng chất của các hàm e-mũ phức với kích thớc vô

cùng bé, tức là
1
1
j
jn
X
(
e
)
e
d

=
lim
X(e jk )e jkn
x[n] =





0
2
2 k
Do tính chất hàm riêng của các hệ thống tuyến tính và theo vào nguyên lý chồng
chất, lối ra tơng ứng sẽ là
y[n] = lim
0

1

1
H(e jk )X(e jk )e jkn = H(e j )X(e j )e jn d

2
2

Nh vậy, chúng ta kết luận rằng
Y(ej) = H(ej)X(ej)
nh trong phơng trình (2.169)
2.9.7 Sự điều chế hay định lý hàm cửa sổ
Nếu

F
x[n]

X(ej)

và
w[n]

F

W(ej),

và nếu
y[n] = x[n]w[n]

(2.171)

khi đó

1
X(e j )W(e j ( ) d
Y(e ) =

2
j

89

(2.172)


Phơng trình 2.172 là một phép nhân chập tuần hoàn, tức là một phép nhân chập của
hai hàm số tuần hoàn với cận tích phân chỉ giới hạn trên một chu kỳ. Tính chất đối
ngẫu kết hợp trong hầu hết các định lý biến đổi Fourier rất rõ ràng khi chúng ta so
sánh phép nhân chập và các định lý điều chế. Tuy nhiên , ngợc với trờng hợp thời
gian-liên tục, ở đấy tính đối ngẫu hoàn chỉnh, trong trờng hợp thời gian-rời rạc sự
khác nhau cơ bản nảy sinh bởi vì biến đổi Fourier là tổng trong khi biến đổi ngợc
lại là tích phân với các hàm lấy tích phân tuần hoàn. Mặc dù đối với thời gian-liên
tục chúng ta có thể phát biểu rằng phép nhân chập trong lĩnh vực thời gian đợc biểu
diễn bằng phép nhân thờng trong lĩnh vực tần số và ngợc lại. Trong thời gian-rời rạc
định đề này phải đợc biến điệu đi đôi chút. Đặc biệt , phép nhân chập thời gian-rời
rạc của các dãy (tổng nhân chập)tơng đơng với tích của các biến đổi Fourier tuần
hoàn tơng ứng, và tích của các dãy tơng đơng với phép nhân chập tuần hoàn của các
biến đổi Fourier tơng ứng.
Các định lý của phần này và một số cặp biến đổi Fourier cơ sở đợc tổng quát
hóa trong bảng 2.2 và 2.3, tơng ứng.
Các định lý và các tính chất của biến đổi Fourier rất có ích trong việc xác
định các biến đổi Fourier hoặc các biến đổi ngợc. Thông thờng, khi sử dụng các
định lý và các cặp biến đổi đã biết, thì có thể biểu diễn dãy thành các số hạng của

các phép toán trên các dãy khác mà đối với các dãy này thì biến đổi đã biết, bằng
cách ấy có thể đơn giản hóa bớt các khó khăn khác và những vấn đề buồn tẻ. Các ví
dụ 2.26- 2.30 sẽ minh họa các phơng pháp tiếp cận này.
Ví dụ 2.26 Xác định biến đổi Fourier bằng cách
sử dụng bảng 2.2 và 2.3
Giả sử chúng ta muốn tìm biến đổi Fourier của dãy x[n] = anu[n-5]. Biến
đổi này có thể tính đợc bằng cách vận dụng các định lý 1 và 2 của bảng 2.2
và cặp biến đổi 4 của bảng 2.3. Đặt x1[n] = anu[n]. Chúng ta bắt đầu từ tín
hiệu này vì đó là tín hiệu gần giống nhất với tín hiệu x[n] ở trong bảng 2.2.
Bảng này cho thấy
1
X1 (ej) =
(2.173)
1 ae j
Để thu đợc x[n] từ x1[n], trớc tiên chúng ta làm trễ x1[n] đi 5 mẫu, tức là
x2[n] = x1[n - 5]. Định lý 2 của bảng 2.2 cho hệ thức trong lĩnh vực tần
số tơng ứng X2 (ej) = e-j5 X1 (ej), vì thế
e j5
j
X2 (e ) =
(2.174)
1 ae j
Bảng 2.3 Các cặp biến đổi Fourier
Dãy

Biến đổi Fourier

1. [n]
2. [n - no]

1
e-jno

90




2 ( + 2 k )

3. 1 ( - < n < )

k =

1
1 ae j

4. anu[n] (|a| < 1)

1
+ ( + 2 k )
1 e j
1
(1 ae j ) 2

5. u[n]
6. (n+1)anu[n] (|a| < 1)
7.
8.

r n sin p ( n + 1)
sin p

1
1 2 r cos p e j + r 2 e j 2

u[ n] (| r |< 1)

sin c n
n

1, 0 n M
9. x[n] =
0, cá c giá trị khá c

1, | } < c
X ( e j ) =
0 c <| |
sin[( M + 1) / 2] jM / 2
e
sin( / 2


2 (

10. ejn

k =

11. cos(n+)

[ e

j

k =

o

+ 2 k )

( o + 2 k ) + e ( + o + 2 k )]

Để đa x2[n] tới tín hiệu mong muốn x[n], chúng ta chỉ cần nhân với hằng số
a5, tức là x[n] = a 5x2[n]. Tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier, định
lý 1 của bảng 2.2 sẽ đa đến biến đổi Fourier mong muốn
a 5 e j5
X (e ) =
1 ae j
j

(2.175)

Ví dụ 2.27 Xác định biến đổi Fourier ngợc
bằng cách sử dụng bảng 2.2 và 2.3.
Giả thiết rằng
X (ej) =

1

(1 ae j )(1 be j )

91

(1.176)


Thay thế trực tiếp X (ej) vào trong phơng trình (2.133) sẽ dẫn đến một
tích phân rất khó đánh giá bằng các kỹ thuật lấy tích phân thực thông
thờng. Tuy nhiên, nếu sử dụng kỹ thuật khai triển thành các phân thức riêng
phần, chúng ta sẽ thảo luận nó một cách chi tiết trong chơng 3, có nghĩa là
chúng ta khai triển X (ej) thành dạng:
X (ej) =

a /(a b ) b /(a b )

1 ae j 1 be j

(2.177)

Từ định lý 1 của bảng 2.2 và cặp biến đổi 4 của bảng 2.3 suy ra rằng
a n
b n
x[n ] =
a u[ n]
b u[ n]
ab
ab

(2.178)

Ví dụ 2.28 Xác định đáp ứng xung từ đáp ứng tần số
Đáp ứng tần số của một mạch lọc cao tần với độ trễ là
e jnd , c <| |<
H (e ) =
| |< c
0,
j

ở đây cần hiểu chu kỳ là 2. Đáp ứng tần số có thể đợc biểu thị nh

(2.179)
sau

H (ej) = e-jnd(1-Hlp(ej)) = e-jnd - e-jndHlp(ej).
ở đây Hlp (ej) tuần hoàn với chu kỳ 2 và
1, | |< c
Hlp(ej) =
0, c <| |<
Sử dụng các kết quả của ví dụ 2.22 để thu đợc biến đổi ngợc của
Hlp (ej), cùng với các tính chất 1 và 2 của bảng 2.2, chúng ta có
h[n] = [n - nd] - r[n - nd]
sin c ( n n d )
= [n - nd] =
( n n d )
Ví dụ 2.29 Xác định đáp ứng xung cho phơng trình sai phân
Trong ví dụ này chúng ta xác định đáp ứng xung cho một hệ thống ổn
định tuyến tính và bất biến với thời gian mà đối với hệ thống đó thì tín
hiệu lối vào x[n] và lối ra y[n] thỏa mãn phơng trình sai phân tuyến tính hệ
số - hằng số sau đây:

92


1
1
y[ n 1] = x[ n] x[ n 1]
2
4

y[n] -

(2.180)

Trong chơng 3 chúng ta sẽ thấy rằng biến đổi -z ích lợi hơn là biến đổi
Fourier khi gắn với phơng trình sai phân. Tuy nhiên, ví dụ này cung cấp
một gợi ý về tính ích lợi của các phơng pháp biến đổi trong việc
phân tích các
hệ thống tuyến tính. Để tìm đáp ứng xung , chúng ta đặt
x[n] = [n]; với ký
hiệu h[n] là đáp ứng xung, thì phơng trình (2.180)
trở thành
1
1
h[ n] h[ n 1] = [ n] [ n 1]
(2.182)
2
4
áp dụng biến đổi Fourier cho cả hai phía của (2.181) và sử dụng các tính
chất 1 và 2 của bảng 2.2, chúng ta thu đợc

hoặc

1
1
H(e j ) e j H(e j ) = 1 e j
2
4

(2.182)

1 j
e
j
4
H( e ) =
(2.183)
1 j
1 e
2
Để thu đợc h[n], chúng ta muốn xác định biến đổi Fourier ngợc của H(ej).
Trớc khi hoàn tất việc này, chúng ta viết lại phơng trình (2.183)
nh sau
1 j
e
1
4
j

H(e ) =

(2.184)
1 j
1 j
1 e
1 e
2
2
1

Từ biến đổi 4 của bảng 2.3 thu đợc
n

1
u[ n] F

2

1
1
1 e j
2

Kết hợp phép biến đổi này với tính chất 3 của bảng 2.2, ta thu đợc
1 j
n 1
e
1 1
4
u[ n 1] F
1 1 e j

4 2
2
Dựa trên tính chất 1 của bảng 2.2, ta tìm đợc:
n

1
1 1
h[n] = u[ n]
2
4 2

93

(2.185)

n 1

u[ n 1]

(2.186)


2.10 Các tín hiệu thời gian-rời rạc ngẫu nhiên.
Trong các phần trớc, chúng ta đã tập trung vào việc mô tả toán học các tín
hiệu và các hệ thống thời gian-rời rạc và đã hiểu sâu sắc các dẫn xuất rút ra từ các
biểu diễn toán học đó. Chúng ta đã thấy rằng các tín hiệu và các hệ thống thời gian rời rạc có cả biểu diễn trong lĩnh vực thời gian cũng nh trong lĩnh vực tần số, mỗi
một lĩnh vực đều đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết và thiết kế các hệ thống xử
lý tín hiệu thời gian - rời rạc. Cho đến tận bây giờ, chúng ta đã giả thiết rằng các tín
hiệu là xác định ; có nghĩa là mỗi một giá trị của dãy đợc xác định một cách duy
nhất bằng một biểu thức toán học, một bảng số liệu, hoặc một quy tắc theo một

chủng loại nào đấy.
Trong rất nhiều tính huống, các quá trình phát sinh tín hiệu phức tạp đến
mức mà việc mô tả một cách chính xác tín hiệu là cực kỳ khó khăn hoặc phiền phức
, nếu nói là không không thể đợc. Trong các trờng hợp nh vậy, mô hình hóa tín hiệu
nh một quá trình ngẫu nhiên là điều hết sức bổ ích về phơng diện giải tích. Xem nh
một ví dụ, chúng ta sẽ thấy trong chơng 6 nhiều hiệu ứng liên quan với việc thực thi
các thuật toán xử lý tín hiệu số với độ dài của bộ ghi là hữu hạn có thể đợc biểu
diễn bằng các tạp âm phụ, tức là một dãy ngẫu nhiên. Nhiều hệ thống cơ học phát ra
các tín hiệu âm thanh hoặc các tín hiệu chấn động; các tín hiệu này có thể đợc xử lý
để chuẩn đoán các hỏng hóc tiềm tàng; Hơn nữa, các tín hiệu thờng đợc mô hình
hóa tốt nhất theo các số hạng của các tín ngẫu nhiên. Tín hiệu tiếng nói đợc xử lý
ghi âm tự động hoặc để nén độ rộng băng và âm nhạc đợc xử lý để cải thiện chất lợng âm thanh ; đó là hai trong rất nhiều ví dụ.
Tín hiệu ngẫu nhiên đợc xem là một thành viên của một tập hợp của các tín
hiệu thời gian -rời rạc đợc đặc trng bởi các hàm một độ xác xuất. Đặc biệt hơn, đối
với một tín hiệu riêng biệt tại một thời điểm riêng biệt, thì biên độ của mẫu tín hiệu
tại thời điểm đó giả thiết là đã đợc xác định bởi một sơ đồ xác suất cơ sở. Có nghĩa
là mỗi mẫu cá thể x[n] của tín hiệu riêng biệt đợc giả thiết là kết quả của một số
biến số ngẫu nhiên cơ sở xn. Toàn bộ tín hiệu đợc biểu thị bằng một tập hợp các
biến số ngẫu nhiên nh vậy, một cho mỗi thời gian lấy mẫu, < n < . Tập hợp
của các biến số ngẫu nhiên này đợc gọi là một quá trình ngẫu nhiên , và chúng ta
giả thiết rằng một dãy riêng biệt của các mẫu x[n] với - < n < đã đợc phát sinh
bởi quá trình ngẫu nhiên là cơ sở của tín hiệu. Để mô tả một cách hoàn chỉnh qua
trình ngẫu nhiên, chúng ta cần định rõ sự phân bố xác suất tổng thể và cá thể của tất
cả các biến số ngẫu nhiên .
Chìa khóa để thu đợc các kết quả hữu hiệu từ các mô hình tín hiệu nh vậy
nằm trong sự mô tả chúng theo các số hạng của các phép lấy trung bình có thể tính
đợc từ các định luật xác suất đã đợc giả thiết hoặc đợc xác định từ các tín hiệu đặc
biệt. Trong khi các tín hiệu ngẫu nhiên không có tổng tuyệt đối hoặc tổng bình phơng và vì vậy không có các biến đổi Fourier một cách trực tiếp, nhiều ( nhng không
phải tất cả ) các tính chất của các tín hiệu nh vậy có thể đợc lấy tổng theo các số
hạng của phép lấy trung bình chẳng hạn nh các dãy tự tơng quan hoặc tự hiệp biến,

đối với chúng biến đổi Fourier thờng là tồn tại. Nh chúng ta sẽ thảo luận trong phần
này, biến đổi Fourier của một dãy tự hiệp biến biểu thị rất rõ ràng trong các số hạng
của của sự phân bố công suất theo tần số ở trong tín hiệu. Việc sử dụng các dãy tự
hiệp biến và biến đổi của nó có u điểm quan trọng khác: Tác động của các tín hiệu

94


ngẫu nhiên xử lý với một hệ thống tuyến tính thời gian- rời rạc có thể đợc mô tả một
cách thuận tiện theo các số hạng của tác động của hệ thống lên dãy tự hiệp biến .
Trong các thảo luận sau đây, chúng ta giả thiết rằng độc giả đã làm quen với
các khái niệm cơ bản của các quá trình ngẫu nhiên, chẳng hạn nh phép lấy trung
bình, các hàm hiệp biến và các hàm tơng quan, và phổ công suất. Việc xem lại và
bản tóm tắt ngắn gọn các ký hiệu và các khái niệm đợc cung cấp trong phần phụ
bản A. Sự trình bầy chi tiết hơn về lý thuyết các tín hiệu ngẫu nhiên có thể tìm thấy
trong rất nhiều công trình tuyệt vời nh Davenport (1970) và Papoulis(1984).
Đối tợng đầu tiên của chúng ta trong phần này là trình bầy các các kết quả
đặc biệt mà các kết qủa đó rất bổ ích cho các chơng tiếp theo. Do đó, chúng ta tập
trung trên các tín hiệu ngẫu nhiên dừng theo nghĩa rộng và các biểu diễn của chúng
trong phạm vi xử lý với các hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian. Nhng dù thế
nào đi nữa, để đơn giản, chúng cũng có thể giả thiết rằng x[n] và h[n] là các dãy
thực, và các kết quả có thể đợc tổng quát hóa cho trờng hợp phức .
Hãy khảo sát một hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian và ổn định với
đáp ứng xung thực h[n]. Giả sử x[n] là dãy các giá trị thực và là một dãy mẫu của
một quá trình ngẫu nhiên thời gian-rời rạc dừng theo nghĩa rộng. Khi đó lối ra của
hệ thống tuyến tính cũng là một hàm mẫu của một quá trình ngẫu nhiên liên quan
với qúa trình lối vào bằng phép biến đổi tuyến tính
y[n] =

k =

k =

h[ n k]x[ k] = h[ k]x[ n k]

Nh chúng ta đã chỉ ra, vì hệ thống ổn định, nên y[n] sẽ bị giới nội nếu x[n]
giới nội. Chúng ta sẽ thấy một cách ngắn gọn là nếu lối vào là dừng 5, thì lối ra cũng
dừng. Tín hiệu lối vào có thể đợc đặc trng bởi giá trị trung bình mx của nó và hàm tự
tơng quan xx[m] của nó, hoặc chúng ta cũng có thể có những thông tin bổ sung về
sự phân bố xác suất bậc nhất hoặc thậm chí cả bậc hai. Chúng ta cũng muốn có các
thông tin tơng tự nh vậy trong đặc trng của quá trình ngẫu nhiên lối ra y[n] . Đối với
nhiều ứng dụng, các đại lợng nh giá trị trung bình, phơng sai và tự tơng quan là đủ
để đặc trng cho cả lối vào lẫn lối ra theo các số hạng của phép lấy trung bình đơn
giản. Do đó, chúng ta sẽ đa ra các hệ thức vào- ra cho các đại lợng này.
Các giá trị trung bình của các quá trình lối vào và lối ra tơng ứng là
mx = {xn} my = {yn}
(2.187)
ở đây {.} ký hiệu giá trị kỳ vọng. Trong hầu hết các thảo luận của chúng ta , sẽ là
không cần thiết để phân biệt một cách thận trọng giữa các biến số ngẫu nhiên xn và
yn và các giá trị đặc biệt của chúng x[n] và y[n]. Điều này sẽ đơn giản hóa đáng kể
các ký hiệu toán học. Chẳng hạn, phơng trình (2.187) sẽ đợc viết một cách biến hóa
hơn:
mx[n] = {x[n]}
my[n] = {y[n]}
(2.188)
Nếu x[n] là dừng, thì mx[n] độc lập với n và sẽ đợc viết nh mx, với ký hiệu tơng tự

nh đối với my[n] nếu y[n] là dừng.
Giá trị trung bình của quá trình lối ra là

95