Xu li th so 3

chơng 4
Lấy mẫu tín hiệu
4.0. Nhập đề.
Các tín hiệu thời gian- rời rạc có thể phát sinh bằng nhiều cách, nhng hay
gặp nhất, chúng xuất hiện nh những sự biểu diễn của các tín hiệu thời gian-liên tục
đợc lấy mẫu. Đáng chú ý rằng, dới các điều kiện ràng buộc hợp lý, thì một tín hiệu
thời gian-liên tục hoàn toàn có thể đợc biểu diễn một cách chính xác bằng các mẫu
đợc lấy tại các điểm gián đoạn trên trục thời gian. Trong chơng này, chúng ta thảo
luận chi tiết các quá trình lấy mẫu tuần hoàn , bao gồm hiện tợng chồng phổ xảy ra
khi tín hiệu không bị giới hạn dải hoặc khi tốc độ lấy mẫu quá thấp. Điều đặc biệt
quan trọng là việc xử lý tín hiệu thời gian-liên tục có thể đợc thực thi qua một quá
trình lấy mẫu, qua sự xử lý thời gian-rời rạc và sự khôi phục tiếp theo của tín hiệu
thời gian-liên tục.
4.1.Sự lấy mẫu tuần hoàn
Mặc dù các khả năng khác có thể tồn tại ( xem Steiglitz, 1965; Oppenheim
và Johnson, 1972), phơng pháp điển hình để thu đợc một biểu diễn thời gian-rời
rạc của một tín hiệu thời gian-liên tục là qua sự lấy mẫu tuần hoàn, ở đây một dãy
mẫu x[n], đã thu đợc từ tín hiệu thời gian- liên tục xc(t) theo hệ thức
x[n] = xc(nT), - < n <
(4.1)
Trong phơng trình (4.1), T là chu kỳ lấy mẫu , và nghịch đảo của nó , f c = 1/T là
tần số lấy mẫu, số mẫu trên một giây.
xc(t)

=xc(nT)

C/D

x[n]

T

Hình 4.1 Biểu diễn giản đồ khối của bộ chuyển đổi
liên tục- rời rạc (C/D).
Chúng ta cũng có thể biểu diễn tần số lấy mẫu nh s = 2/T khi chúng ta
muốn sử dụng các tần số trong radian trên giây.
Chúng ta coi hệ thống thực thi phép toấn đã đợc mô tả trong phơng trình
(4.1) nh một bộ chuyển đổi liên tục- rời rạc lý tởng và ta vẽ nó trên trong giản đồ
khối nh trên hình 4.1. Nh một ví dụ về mối quan hệ giữa xc(t) và x[n], trong hình
2.2, chúng ta đã minh họa dạng sóng của tín hiệu tiếng nói thời gian-liên tục và
dãy mẫu tơng ứng.
Bộ chuyển đổi C/D
s(t)

xung
thời gian

xc(t)

x[n]=xc(nT)

183

X

Chuyển đổi
dãy
xs(t)
tới dãy


rời rạc

(a)
T=T1

T=2T1
xc(t)

xc(t)

xs(t)

-2T T 0 T 2T

-2T

-3 -2 -1 0 1 2 3 ...

n

(c)

0

T

2T

(b)

x[n]

x[n]

-T

xs(t)

-2

-1

0

1

2 ..

n

Hình 4.2. Sự lấy mẫu với một dãy xung tuần hoàn tiếp sau là bộ chuyển đổi
thành thời gian-rời rạc. (a) Hệ thống tổng thể. (b) x s(t) với hai tốc độ lấy
mẫu. (c). Dãy lối ra cho hai tốc độ lấy mẫu khác nhau.
Trong thực tế, phép lấy mẫu đợc thực thi bằng bộ chuyển đổi tơng tự-số (A/D). Các
hệ thống nh vậy đợc xem là gần đúng với bộ (A/D) lý tởng. Các sự khảo sát quan
trọng trong việc thực thi hoặc sự lựa chọn bộ chuyển đổi (A/D) bao gồm sự lợng tử
hóa các mẫu lối ra, tính chất tuyến tính của các bớc lấy mẫu, sự cần thiết cho các
mạch lấy mẫu và duy trì ( sample- and-hold), và các hạn chế trên tốc độ lấy mẫu.
Hiệu ứng lợng tử hóa đợc thảo luận trong các phần 4.8.2 và 4.8.3. Các xuất phát
điểm thực tế khác của sự chuyển đổi (A/D) là liên quan đến mạch điện tử ; những
nội dung đó vợt ra ngoài phạm vi của sách này.

Phép lấy mẫu, nói chung là không thuận nghịch, tức là nếu cho lối ra x[n],
thì nói chung, không thể khôi phục lại đợc xc(t), lối vào tới bộ lấy mẫu , bởi vì có
nhiều tín hiệu thời gian-liên tục tạo ra dãy mẫu lối ra nh nhau. Sự mơ hồ trong việc
lấy mẫu là một xuất phát điểm cơ bản trong xử lý tín hiệu. May mắn thay, có thể
làm mất tính không rõ ràng này bằng cách giới hạn lại tín hiệu lối vào, một cách
hữu hiệu nhất, là điều đó đợc tiến hành ở trong bộ lấy mẫu.
Để thuận tiện trong việc trình bầy, về phơng diện toán học thì sự lấy mẫu đợc thực hiện trong hai tầng nh đã đợc vẽ trong hình 4.2(a). Các tầng này gồm một
bộ điều chế dãy xung tiếp đến là bộ chuyển đổi dãy xung thành một dãy số. Hình
4.2(b) chỉ ra một tín hiệu thời gian-liên tục x c(t) và kết quả của sự lấy mẫu dãy
xung với hai tốc độ lấy mẫu khác nhau. Hình 4.2(c) vẽ hai dãy lối ra tơng ứng. Sự
khác nhau chủ yếu giữa xs(t) và x[n] là ở chỗ xs(t) về ý nghĩa là một tín hiệu thời
gian-liên tục (đặc biệt là một đoàn xung) nó bằng không ngoại trừ tại những chỗ
184


bằng một số nguyên lần của T. Nói cách khác dãy x[n] đã đợc đánh chỉ số trên biến
số nguyên n, mà do hiệu quả của sự chuẩn hóa thời gian; tức là một dãy số x[n]
không chứa một cách tờng minh thông tin về tốc độ lấy mẫu . Hơn thế nữa, các
mẫu của xc(t) đợc biểu diễn bằng các số hữu hạn trong x[n] chứ không phải là diện
tích của các xung , nh với xs(t).
Điều quan trọng cần nhấn mạnh là hình 4.2(a) mô tả một biểu diễn toán học
chặt chẽ rất thuận lợi cho việc hiểu biết về sự lấy mẫu trên cả lĩnh vực thời gian lẫn
trên lĩnh vực tần số. Đó không phải là một biểu diễn đóng kín của các mạch hay
của các hệ thống vật lý nào đó đã đợc thiết kế để thực thi phép lấy mẫu. Có chăng
đây là một mẫu phần cứng có thể đợc xây dựng để tiếp cận với giản đồ khối của
hình 4.2(a) là xuất phát điểm thứ hai ở điểm này. Chúng ta đa vào sự biểu diễn của
phép lấy mẫu này bởi vì nó đa ra đợc các kết quả then chốt một cách rất đơn giản,
và bởi vì cách tiếp cận này đa đến nhiều kiến thức quan trọng mà những kiến thức
này rất khó thu đợc từ các dẫn xuất mang tính chất hình thức chứ không phải là
dựa trên việc vận hành các công thức biến đổi Fourier.

4.2. Biểu diễn sự lấy mẫu trên lĩnh vực tần số.
Để đa ra hệ thức trên lĩnh vực tần số giữa tín hiệu lối vào và lối ra của một
bộ chuyển đổi C/D, trớc tiên hãy xét sự chuyển đổi từ x c(t) tới xs(t) qua sự điều chế
dãy xung tuần hoàn


s(t) =



(t-nT)

(4.2)

n =

ở đây (t) là hàm xung đơn vị, hoặc hàm Đen-ta Dirac. Chúng ta điều chế s(t) với
xc(t), sẽ thu đợc
xs(t) = xc(t)s(t)
= xc(t)





(t-nT)

(4.3)

n =

Qua tính chất dịch chuyển của hàm xung, xs(t) có thể đợc biểu thị nh sau
xs(t) =





xc(n)()

n =

(4.4)

Bây giờ hãy xét biến đổi Fourier của x s(t). Vì , từ phơng trình 4.3, xs(t) là tích của
xc(t) và s(t), nên biến đổi Fourier của x s(t) là nhân chập cảc các biến đổi Fourier
X(j) và S(j). Biến đổi Fourier của một dãy xung tuần hoàn là một dãy xung
tuần hoàn( Oppenheim và Willsky, 1997). Đặc biệt,
2
S(j) =
(4.5)
( k s )
T k =
Ơ đây s = 2/ là tần số lấy mẫu đo bằng radian/s. Vì
Xs(j) = (1/2)Xc(j)*S(j)
ở đây * ký hiệu phép nhân chập biến số liên tục, từ đó suy ra
1
Xs(j) =
(4.6)
X c (j( k s ))

T k =
Phơng trình (4.6) cho ta biết mối quan hệ giữa các biến đổi-z của lối vào và
lối ra của bộ điều chế dãy xung ở trong hình 4.2(a). Từ phơng trình (4.6) chúng ta
thấy rằng biến đổi Fourier của xs(t) là các bản sao của biến đổi Fourier của x c(t) đợc lặp lại một cách tuần hoàn. Các bản sao của X c (j) bị dịch chuyễn đi một số
nguyên lần của tần số lấy mẫu và sau đó đợc cộng lại với nhau để tạo nên biến đổi
Fourier tuần hoàn của các dãy xung của các mẫu. Hình 4.3 vẽ biểu diễn trên lĩnh
vực tần số của sự lấy mẫu dãy xung. Hình 4.3(a) biểu diễn một biến đổi Fourier bị
185


giới hạn dải có thành phần tần số khác không lớn nhất trong X c (j) tại N . Hình
4.3(b) chỉ ra dãy xung tuần hoàn S(j), còn hình 4.3(c) cho thấy Xs (j), kết quả
của sự nhân chập giữa Xc (j) với S(j). Từ hình 4.3(c), thấy rõ là khi
s - N > N , hoặc S > 2 N
(4.7)
thì phiên bản của Xc(j) không bị chồng phủ, và do đó, khi chúng đợc cộng vào
với nhau trong phơng trình (4.6), thì chính cái đó đã giữ (trong phạm vi một hệ số
định mức t/T) một phiên bản của Xc (j) tại mỗi vị trí là một số nguyên lần của s
. Vì thế, xc(t) có thể đợc khôi phục lại từ xs(t) với một mạch lọc thông thấp lý tởng.
Điều này đã đợc vẽ trong hình 4.4(a), nó chỉ ra bộ điều chế dãy xung nối tiếp sau
là một hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian có đáp ứng tần số là Hr(j). Với
Xc(j) nh đã chỉ trong hình 4.4(b), thì Xs(j) phải có dạng nh trong hình 4.4(c), ở
đây đã giả thiết rằng s > 2N.


(t nT )

s(t)=

n =

Vì

Xr(j) = Hr(j)Xs(j)
(4.8)
Nên suy ra rằng Hr(j) là một mạch lọc thông thấp lý tởng với hệ số khuyếch đại
T và tần số cắt c thỏa mãn
N < c < ( s - N)
(4.9)
khi đó
Xr (j) = XC (j)
(4.10)
Nh đã đợc vẽ trên hình 4.4(e)
.
XC(j)
1

N
(a)
S(j)

-N



2/

-2s

-2s

-s

- s

s

0

(b)
Xs(j)
1/T

-N

N

(c)

186

s



2s

2s

Xs(j)
1/T

s-N
s
(d)



2s

Hình 4. 3. Hệ quả trong lĩnh vực tần số của sự lấy mẫu trong
vực thời gian. (a) Phổ của tín hiệu gốc,(b) Phổ của hàm lấy mẫu,(c) Phổ của
tín hiệu đã đợc lấy mẫu với s>2N , (d) Phổ của tín hiệu đã đợc lấy mẫu
với s < 2N
lĩnh

s(t)=



(t nT)

n =

xc(t)

x

xs(t)

Hr (j)

xr(t)

(a)



(b)

X(j)

C

1
N

-N

Xc(j)
1
(c)
-s

N

-N

s

Hr(j)

-c

c



Xr(j)



-N

187

N




(d)

(e)

Hình 4.4 Sự khôi phục chính xác một tín hiệu thời gian-liên tục từ các mẫu
của nó và mạch lọc thông thấp lý tởng.

Nếu bất phơng trình (4.7) không đợc duy trì ; tức là nếu s 2N, thì các
bản sao của Xc(j) sẽ chồng phủ lên nhau, có nghĩa là chúng bị cộng vào với
nhau, Xc(j) không thể khôi phục lại đợc bằng mạch lọc thông thấp. Điều này đã
đợc minh họa trong hình 4.3(d). Trong trờng hợp này, tín hiệu lối ra đợc
Xc(j)




a)
0

-0


0 <

Xs(j)
0
=
T
2


T

b)


T

0

-s
0

s
2

s



Xs(j)
0 >

T

s
=
T
2


T

0

s
2

0





Xr(j)
không có chồng phổ

0



0 <


T

0


Xr(j)

có chồng phổ

188

0 >

-(0)
cosin


T

(0)



Hình 4.5. Tác động của sự chồng phổ khi lấy mẫu tín hiệu

khôi phục lại xr(t) trong hình 4.4(a) để trở về tín hiệu lối vào thời gian liên tục
gốc đã bị biến dạng, do hiện tợng gọi là sự biến dạng chồng phổ , hay đơn giản hơn
gọi là sự chồng phổ.
Hình 4.5 minh họa sự chồng phổ trong lĩnh vực tần số đối với trờng hợp đơn
giản là tín hiệu cosine. Hình 4.5(a) chỉ ra biến đỏi Fourier của tín hiệu
xc(t) = cosot
(4.11)
Hình 4.5(b) chỉ ra biến đổi Fourier của xs(t) với o < s/2, và hình 4.5(c) chỉ ra
biến đổi Fourier của xs(t) với o > s/2. Hình 4.5)d) và (e) tơng ứng với các biến
đổi Fourier của lối ra của mạch lọc thông thấp đối vói o < s /2 = / và o >
/ T , tơng ứng , với c = s/ 2. Hình 4.5(c) và (e) tơng ứng với trờng hợp chồng
phổ. Nếu không có sự chồng phổ, thì tín hiệu lối ra đợc khôi phục lại là
xr(t) = cosot,

(4.12)
Với sự chồng phổ, thì tín hiệu lối ra đã đợc xây dựng lại là
xr(t) = cos(s - 0t)
(4.13)
Tức là, tín hiệu tần số cao hơn cosot đã nhận dạng ( sự chồng phổ) của tín hiệu
tần số thấp hơn cos(s - o)t nh là hệ quả của sự lấy mẫu và sự khôi phục lại.
Thảo luận này là cơ sở cho định lý lấy mẫu Nyquist ( Nyquist 1928; Shannon,
1949 ), đã phát biểu nh sau:
Định lý lấy mẫu Nyquist : Giả sử xc(t) là một tín hiệu bị giới hạn giải với
Xc(j) = 0 với || N
(4.14a)
thì khi đó xc(t) đợc xác định một cách duy nhất bởi các mẫu của nó x[n] = x c(nT),
n = 0, 1, 2, ..., nếu
2
s =
2N
(4.14b)
T
Tần số N thờng đợc gọi là tần số Nyquist , còn tần số 2N phải vợt quá tần số lấy
mmẫu thì đợc gọi là tốc độ Nyquist.
Đến đây, chúng ta mới chỉ xét bộ điều chế dãy xung ở trong hình 4.2(a).
Đối tợng chính của chúng ta lúc này là biểu thị X(e j), biến đổi Fourier của dãy
x[n], theo các số hạng Xs(ej) và Xc(ej) . Để kết thúc phần này, hãy xét một biểu
diễn khác của Xs(j). áp dụng biến đổi Fourier thời gian- liên tục cho phơng trình
(4.4), chúng ta thu đợc:
Xs(ej) =
Vì

x

n =

c

( nT )e jTn

x[n] = xc(nT)

189

(4.15)
(4.16)


và
X(ej) =

x[ n]e

jn

(4.17)

suy ra rằng
Xs(j) = X(ej)|= = X(ej)
(4.18)
Do đó, từ các phơng trình (4.6) và (4.18) ta đợc:
1

X(ej) = X c ( j( k s )),
(4.19)
T
hay tơng đơng với nó
1
2 k
X c ( j
)
X(ej) =
(4.20)

T k =
T
T
Từ các phơng trình (4.18)- (4.20), chúng ta thấy rằng X(ej) đơn thuần là một phiên
bản định mức về tần số của Xs(j) với sự chia thang tần số đã đợc xác định
= . Việc chia thang này có thể xem nh sự chuẩn hóa trục tần số để sao cho
tần số = s trong biểu thức Xs(j) đợc chuẩn hóa thành = 2 trong biểu thức
X(ej) . Thực tế là nếu có việc chia thang hoặc sự chuẩn hóa tần số trong phép biến
đổi từ Xs(j) đến X(ej) thì liên quan trực tiếp với thực tế là có sự chuẩn hóa về
thời gian trong phép biến đổi từ x s(t) đến x[n]. Đặc biệt, nh chúng ta đã thấy trong
hình 4.2, xs(t) vẫn giữ lại một khoảng không giữa các mẫu bằng chu kỳ lấy mẫu T.
Trái lại "khoảng cách" của các giá trị của dãy x[n] lại luôn luôn bằng đơn vị. Có
nghĩa là trục thời gian đã đợc chuẩn hóa bởi một thừa số của T. Tơng ứng nh vậy,
trong lĩnh vực tần số, trục tần số đợc chuẩn hóa bởi hệ số của fs= 1/ T.
Ví dụ 4.1 Lấy mẫu và khôi phục lại một tín hiệu hình sin
Nếu chúng ta lấy mẫu tín hiệu thời gian - rời rạc x c(t) = cos(4000t) với chu
kỳ lấy mẫu T = 1/ 6000, thì chúng ta sẽ thu đợc x[n] = xc(nT) = cos(4000Tn) =
cos(0n), ở đây 0 = 400T = 2/3. Trong trờng hợp này,
s = 2/ = 12000,

và tần số cao nhất của tín hiệu là 0 = 4000, nh vậy các điều kiện của định lý lấy
mẫu Nyquist đã đợc thỏa mãn và không có sự chồng phổ.
Biến đổi Fourier của xc(t) là
Xc (j) = (400) + ( + 4000),
và hình 4.6(a) chỉ ra rằng
Xs(j) =

1
X c ( j( s ))
T

(4.21)

với s = 12 000. Chú ý rằng Xc (j) là một cặp xung tại = 4000, và chúng
ta thấy các bản sao đã bị dịch chuyển của biến đổi Fourier này có tâm tại s ,
2, ...Đồ thị X(ej) = Xs(j/T) là một hàm số của tần số chuẩn hóa = cho
trên hình 4.6(b), ở đây chúng ta đã sử dụng thực tế là sự chia thang một biến độc
lập của một xung cũng là thang chia của diện tích của chúng, có nghĩa là
(/) = (). Chú ý là tần gốc 0 = 4000 tơng ứng với tần số đã chuẩn hóa 0
= 4000 = 2/3, thỏa mãn bất đẳng thức 0 < , tơng ứng với thực tế
190


0 = 4000 < / = 6000. Hình 4.6(a) cũng cho thấy đáp ứng tần số của mạch
lọc khôi phục lý tởng Hr(j) đối với tốc độ lấy mẫu đã cho s = 12.000 . Từ hình
vẽ này cho thấy tín hiệu cần đợc khôi phục lại phải có tần số 0 = 4000; Đó chính
là tần số của tín hiệu gốc xc(t).
Xs(j)
T
/T

-16000

8000 4000 4000 8000
(a)

16000

X(ej)= Xs(j/)


-8/3

4/3 2/3 0
(b)

2/3 4/3

8/3



Hình 4.6. Các biến đổi Fourier thời gián - liên tục a), thời gian - rời
rạc (b) đối với tín hiệu đợc lấy mẫu với tần số
0=4000 và
chu kỳ lấy mẫu T=1/6000.
Ví dụ 4.2 Sự chồng phổ khi khôi phục lại một tín hiệu đợc lấy
mẫu dới mức
Bây giờ chúng ta giả thiết rằng tín hiệu thời gian - liên tục là x c(t) =
cos(16.000t), nhng chu kỳ lấy mẫu là T = 1/ 6000, nh trong ví dụ 4.1.

Chu kỳ lấy mẫu này không thỏa mãn tiêu chuẩn Nyquist, bởi vì
s = 2/ = 12.000 < 20 = 32.000. Do đó, chúng ta hy vọng có thể
nhìn thấy sự chồng phổ. Bây giờ chúng ta thấy một kết quả khá lý thú.
Biến đổi Fourier Xs(j) đối với trờng hợp này hoàn toàn giống nh
trong
hình 4.6(a). Tuy nhiên, xung bây giờ định xứ tại = 4000 là xuất phát từ
Xc(j( s)) ở trong (4.21) chứ không phảitừ Xc(j) và xung tại
= 4000 là từ Xc(j( + s)). Nếu vẽ đồ thị X(ej) = Xs(j / ) là một
hàm số của thì chúng ta sẽ thu đợc cùng một kết quả nh đã vẽ trong
hình 4.6(b), bởi vì chúng ta đang chuẩn hóa bởi cùng một chu kỳ lấy mẫu.
Lý do cơ bản của điều này là dãy các mẫu trong cả hai trờng hợp là nh
nhau; Tức là:
cos(16.000n / 6000) = cos( 2n + 4000n / 6000) = cos( 2n/ 3).

191


( Chú ý rằng chúng ta có thể cộng thêm một số nguyên lần 2 vào đối
số của hàm cos cũng không làm thay đổi giá trị của nó ). Vì vậy chúng
ta đã thu đợc cùng một dãy các mẫu, x[n] = cos(2/ 3), bằng cách lấy
mẫu hai tín hiệu thời gian - rời rạc khác nhau với cùng một tần số lấy
mẫu. Trong trờng hợp một thỏa mãn tiêu chuẩn Nyquist, còn trong trờng
hợp khác thì không. Cũng nh trớc đây, hình 4.6(a) chỉ ra đáp ứng tần số
của mạch lọc khôi phục lý tởng Hr(j) đối với tốc độ lấy mẫu đã cho
s = 12.000. Từ hình vẽ này thấy rõ rằng tín hiệu đợc khôi phục lại phải
có tần số 0 = 4000, đó không phải là tần số của tín hiệu gốc xc(t).
Xs(j)
T
/

-4000

2000 1000 0 1000

2000

4000

(a)
X(ej)=Xs(j/)



8/3

4/3 2/3 0

2/3 4/3

8/3

(b)
Hình 4.7 Tín hiệu cos tần số 0=4000 đợc lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu
T=1/1500 . (a) thời gian-liên tục, (b) thời gian-rời rạc
Ví dụ 4.3 Ví dụ thứ hai của sự chồng phổ.
Đây là ví dụ cuối cùng, chúng ta giả thiết rằng tín hiệu vẫn là x c(t) =
cos(4000t), nh đã lấy trong ví dụ 4.1; có nghĩa là tần số lại vẫn là
0 = 4000. Tuy nhiên, chu kỳ lấy mẫu bây giờ đợc tăng lên tới T = 1/
1500. Hơn nữa, chu kỳ lấy mẫu này không thỏa mãn tiêu chuẩn
Nyquist, bởi

vì s = 2/ = 3000 < 20 = 8000. Do đó, chúng ta hy
vọng lại thấy sự
chồng phổ. Hình 4.7(a) chỉ ra đồ thị của Xs(j) cho trờng
hợp này. Lần này thì
xung định xứ tại = 1000 là từ XC(j( s)), còn xung tại = 1000là từ
XC(j( + s)). Vẽ X(ej) = Xs(j / ) nh một hàm số của sẽ thu đợc đồ thị đã

192


cho trong hình 4.7(b), mà nh chúng ta thấy đồng nhất với hình 4.6(b). Lại một
lần nữa, chúng ta thấy biến đổi
Fourier này tơng ứng với dãy x[n] = cos(2n/3).
Vì vậy, chúng ta thấy
rằng cùng một tín hiệu thời gian - rời rạc có thể là kết
quả từ sự lấy mẫu cùng một tín hiệu thời gian - liên tục tại hai tốc độ lấy mẫu
khác nhau nếu
một trong hai tốc độ lấy mẫu đó không thỏa mãn định lý lấy
mẫu. Đáp ứng
tần số của mạch lọc khôi phục lý tởng Hr(j) đối với tốc độ
lấy mẫu đã cho s = 3000 choi trên hình 4.7(a). Từ hình vẽ này thấy rõ rằng
rằng tín
hiệu đợc khôi phục lại khi sử dụng chu kỳ lấy mẫu T = 1/ 1500 phải
có tần số 0 = 1000 chứ không phải bằng 4000.
4.3 Khôi phục lại một tín hiệu giới hạn dải từ các mẫu của nó.
Theo định lý lấy mẫu, các mẫu của tín hiệu thời gian- liên tục giới hạn dải
đã đợc lấy thờng là đủ để biểu diễn tín hiệu một cách chính xác, theo cách hiểu là
tín hiệu có thể đợc khôi phục từ các mẫu và với hiểu biết về chu kỳ lấy mẫu. Sự
điều chế dãy xung cung cấp các phơng tiện thuận lợi để hiểu biết các quá trình
khôi phục lại tín hiệu giới hạn dải thời gian -liên tục từ các mẫu của nó.

Trong phần 4.2 chúng ta đã thấy rằng nếu các điều kiện của định lý lấy mẫu
không đợc đáp ứng và nếu dãy xung bị điều chế đợc lọc bởi một mạch lọc thích
hợp , thì biến đổi Fourier của tín hiệu ở lối ra của mạch lọc sẽ đồng nhất với biến
đổi Fourier của tín hiệu thời gian -liên tục xc(t), và nh vậy, lối ra của mạch lọc sẽ là
xc(t). Nếu dãy các mẫu x[n] đã cho, thì chúng ta có thể tạo nên một dãy xung x s(t)
trong đó các xung liên tiếp nhau đợc sắp xếp cách nhau theo các khoảng cách bằng
nhau và bằng các giá trị liên tiếp của dãy, tức là :
xs(t) =



x[ n](t nT )

(4.22)

n =

Mẫu thứ n gắn liền với xung tại t = nT, ở đây T là chu kỳ lấy mẫu liên quan với dãy
x[n]. Nếu dãy xung này là lối vào của một mạch lọc thông thấp thời gian -liên tục
với đáp ứng tần số Hr(j) và đáp ứng xung hr(t), thì lối ra của mạch lọc sẽ là:
xr(t) =



x[ n]h r (t nT )

(4.23)

n =

Biểu diễn giản đồ khối của quá trình khôi phục lại tín hiệu này đợc chỉ ra trên hình
4.8(a). Cần nhắc lại rằng mạch lọc khôi phục lý tởng có hệ số khuyếch đại T ( để
cân bằng với thừa số 1/ T trong phơng trình (4.19) hoặc (4.20)) và tần số cắt c
nằm giữa và s - N Để cho tiện lợi ngời ta thờng chọn c = s/ 2 = /. Cách
lựa chọn này thích hợp với tỉ lệ bất kỳ giữa s và N để tránh sự chồng phổ ( tức là
với s > 2N ). Hình 4.8(b) chỉ ra đáp ứng tần số của mạch lọc khôi phục lý tởng .
Đáp ứng xung tơng ứng , hr(t), là biến đổi Fourier ngợc của Hr(j), và đối với tần
số cắt /T , đợc cho bởi:
hr(t) =

sin( t / T )
t / T

193

(4.24)


Đáp ứng xung này đợc chỉ ra trên hình 4.8(c). Thay (4.24) vào trong (4.23) ,
ta suy ra rằng
xr(t) =





x[ n]

n =

sin[ (t nT ) / T ]
(t nT ) / T

(4.25)

Từ lĩnh vực tần số trong phần 4.2, chúng ta đã thấy rằng nếu x[n] = x c(nT), ở đây
Xc(j) = 0 với || /T, thì khi đó xr(t) bằng xc(t). Điều này không phải hiển nhiên
ngay tức khắc mà nó chỉ đúng khi xét phơng trình (4.25) một cách riêng rẽ. Tuy
nhiên, nhiều kiến thức hữu ích sẽ đợc toả sáng khi xem xét phơng trình này một
cách chặt chẽ hơn . Đầu tiên chúng ta hãy xét hàm số h r(t) đợc cho bởi phơng trình
(4.24). Chúng ta lu ý rằng
hr(0) = 1

(4.26a)

Hệ thức này suy ra từ quy tắc Lôpital. Thêm vào đó,
hr(0) = 0 với n = 1, 2,....

(4.26b)

Từ các phơng trình (4.26a), (4.26b) và (4.23) suy ra rằng nếu x[n] = x c(n), thì khi
đó
xr(mT) = xc(mT)

(4.27)

cho tất cả các giá trị m nguyên. Điều đó có nghĩa là tín hiệu đợc khôi phục lại bởi
phơng trình (4.25) có cùng một giá trị tại thời điểm lấy mẫu nh tín hiệu thời gianliên tục gốc, độc lập với chu kỳ lấy mẫu T.
Trong hình 4.9, chúng ta chỉ ra tín hiệu thời gian- liên tục x c(t) và dãy xung
bị điều chế tơng ứng . Hình 4.9(c) chỉ ra một vài số hạng :

x[n]

sin[ (t nT ) / T ]
(t nT ) / T

Hệ thống khôi phục laị lý tởng
Mạch lọc
chuyển đổi
x[n]

dãy thành

khôi phục
xs(t)

dãy xung

lý tởng
Hr(j)

194

xr(t)


chu kỳ lấy mẫu T
(a)
Hr(j)
T

/

-/



hr(t)
1

-4T

-2T

0

2T

4T t

Hình 4.8 (a) Giản đồ khối của một hệ thống khôi phục lại lý tởng.
(b) Đáp ứng tần số của mạch lọc khôi phục lý tởng.
(c) Đáp ứng xung của mạch lọc khôi phục lý tởng.

và kết quả của tín hiệu đã đợc khôi phục lại xr(t). Nh đã đợc gợi ý bởi hình vẽ này,
mạch lọc thông thấp lý tởng nội suy giữa các xung của xs(t) để xây dựng một tín
hiệu thời gian- liên tục xr(t). Từ phơng trình (4.27), tín hiệu kết quả là sự xây dựng
lại xc(t) một cách chính xác tại các thời điểm lấy mẫu. Thật vậy, nếu không có sự
chồng phổ, thì mạch lọc thông thấp sẽ nội suy sự khôi phục chính xác giữa các
mẫu tiếp theo sau sự phân tích trên lĩnh vực tần số của quá trình khôi phục lại và
lấy mẫu.

xc(t)

(a)
t

195


xs(t)

(b)
T

t
xr(t)

(c)

T

t

Hình 4.9 Sự nội suy giới hạn dải lý tởng
Sẽ rất thuận lợi khi công thức hóa các thảo luận trớc đây bằng việc định nghĩa một
hệ thống lý tởng để khôi phục lại một tín hiệu giới hạn dải từ một dãy mẫu. Chúng
ta sẽ gọi hệ thống này là bộ chuyển đổi thời gian-liên tục thành rời rạc lý tởng
(D/C). Hệ thống mong muốn này đã đợc vẽ trong hình 4.10. Nh chúng ta đã thấy,
quá trình khôi phục lý tởng có thể đợc biểu diễn nh sự chuyển đổi một dãy số
thành một dãy xung , nh trong phơng trình (4.22), tiếp theo sau là một mạch lọc

thông thấp lý tởng mà kết quả ở lối ra đợc cho bởi phơng trình (4.25). Bớc trung
gian trong qúa trình chuyển đổi tới dãy xung là một sự tiện lợi về phơng diện toán
học cho việc thu nhận đợc phơng trình (4.25) và để hiểu quá trình khôi phục lại tín
hiệu . Tuy nhiên, một khi chúng ta quen với quá trình này, thì sẽ rất ích lợi để định
nghĩa một biểu diễn cô đọng hơn, nh đã đợc vẽ trong hình 4.10(b), ở đây lối vào là
dãy x[n] và lối ra là tín hiệu thời gian- liên tục x r(t) đợc cho bởi phơng trình (4.25).
Các tính chất của bộ chuyển đổi D/C lý tởng dễ nhìn thấy nhất ở trong lĩnh vực tần
số. Để đa ra quan hệ vào/ ra trong lĩnh vực này, hãy xét biến đổi Fourier của phơng
trình (4.23) hoặc phơng trình (4.25), nó là:
Xr(j) =



x[ n]H r ( j)e jTn

n =

Đa thừa số Hr(j) ra ngoài dấu tổng, chúng ta có thể viết
Hệ thống khôi phục lại lý tởng

mạch lọc
chuyển từ
x[n]

dãy số tới

khôi phục
xs(t)

lý tởng

196

xr(t)


D/C

dãy xung

xr(t)

Hr(j)

x[n]

chu kỳ lấy mẫu

T

(a)

(b)

Hình 4.10 (a)
(b) Biểu diễn tơng

Sự khôi phục tín hiệu giới hạn dải lý tởng
đơng của bộ chuyển đổi D/C lý tởng
Xr(j) = r(j)X(ejT),

(4.28)

Phơng trình (4.28) cho một mô tả trên lĩnh vực tần số của bộ chuyển đổi D/C lý tởng. Theo phơng trình (4.28), thì X(ej) đã đợc định mức về tần số ( tức là đã đợc thay bằng ). Mạch lọc thông thấp lý tởng Hr(j) chọn lọc chu kỳ cơ sở của
phép biến đổi Fourier tuần hoàn kết quả X(e jT) và cân bằng với mức 1/T vốn có
trong khi lấy mẫu. Vì thế, nếu dãy x[n] đã thu đợc bằng sự lấy mẫu một tín hiệu
giới hạn dải tại tốc độ Nyquist hoặc cao hơn, thì khi đó tín hiệu đợc khôi phục lại
xr(t) sẽ bằng tín hiệu giới hạn giải gốc. Trong trờng hợp bất kỳ, từ (4.28) cũng thấy
rõ ràng rằng lối ra của bộ chuyển đổi D/C lý tởng luôn bị giới hạn dải tới tần số cắt
tối đa của mạch lọc thông thấp, tiêu biểu nhất là lấy bằng một nửa tần số lấy mẫu.

4.4 Xử lý thời gian - rời rạc các tín hiệu thời gian - liên tục
ứng dụng chủ yếu của các hệ thống thời gian- rời rạc nằm trong việc xử lý
các tín hiệu thời gian- liên tục. Điêù này đợc thực hiện bằng một hệ thống có dạng
tổng quát nh đợc vẽ trong hình 4.11. Hệ thống là một mạch nối tiếp của bộ chuyển
đổi C/ D nối tiêp với với hệ thống thời gian- rời rạc và tiếp đến là một bộ chuyển
đổi D/C. Giản đồ khối trên hình 4.11 biểu diễn một lớp rất rộng các hệ thống, bởi
vì tốc độ lấy mẫu và hệ thống thời gian-rời rạc có thể đợc chọn lựa nh mong muốn.

Hệ thống
xc(t)

C/ D

x[n]

thời gian-

y[n]

D/C

yr(t)

rời rạc
T

T

Hình 4.11 Xử lý thời gian- rời rạc các tín hiệu thời gian-liên tục

197


Cần chú ý rằng hệ thống tổng thể tơng đơng với một hệ thống thời gian- liên tục,
bởi vì nó chuyển đổi một tín hiệu lối vào thời gian - liên tục x c(t) thành tín hiệu lối
ra thời gian - liên tục y r(t). Các tính chất của hệ thống tổng thể phụ thuộc vào sự
lựa chọn của hệ thống thời gian-rời rạc và tốc độ lấy mẫu. Chúng ta giả thiết trong
hình 4.11 rằng các bộ chuyển đổi D/C và C/D có cùng một tốc độ lấy mẫu . Điều
đó không quan trọng, trong các phần sau của chơng này và một số bài toán ở cuối
chơng sẽ xét các hệ thống mà trong đó các tốc độ lấy mẫu ở lối vào và lối ra không
nh nhau.
Các phần trớc của chơng giành cho việc hiểu các phép toán chuyển đổi C/D
và D/C trong hình 4.11. Để cho tiện, và cũng là bớc đầu tiên để hiểu họat động của
hệ thống tổng thể trong hình 4.11, chúng ta sẽ tổng quát hóa các biểu diễn toán học
của các phép toán này.
Bộ
chuyển
đổi C/D tạo ra một tín hiệu thời gian - rời rạc
x[n] = xc(nT),

(4.29)

tức là một dãy mẫu của tín hiệu thời gian -liên tục x c(t) ở lối vào. Biến đổi Fourier
thời gian- rời rạc của dãy này liên hệ với biến đổi Fourier thời gian- liên tục của tín
hiệu thời gian-liên tục ở lối vào bởi hệ thức:
1
X(e ) =
T
j



2 k
X c j(
)
T
T
k =



(4.30)

Bộ chuyển đổi D/C sản sinh ra một tín hiệu lối ra thời gian-liên tục dạng:
yr(t) =

y[ n]

n =

sin[ (t nT ) / T ]
(t nT ) / T

(4.31)

ở đây dãy y[n] là lối ra của hệ thống thời gian-rời rạc khi lối vào của hệ thống là
x[n]. Từ phơng trình (4.28) ta đã biết Yr(j) là biến đổi Fourier thời gian-liên tục
của yr(t) và Y(ej) là biến đổi Fourier thời gian -rời rạc của y[n], chúng liên hệ với
nhau bởi hệ thức:
Yr(j) = Hr(j)Y(ej)
TY(e jT ), | |< / T
=
0, cá c gia trị kh á c

(4.32)

Tiếp theo, chúng ta thiết lập mối quan hệ giữa dãy lối ra y[n] với dãy lối vào
x[n], hoặc tơng đơng , giữa Y(ej) với X(ej). Một ví dụ đơn giản là hệ thống đồng
nhất , tức là y[n] = x[n]. Đó là trờng hợp mà chúng ta đã nghiên cứu chi tiết .
Chúng ta biết rằng nếu xc(t) có biến đổi Fourier giới hạn dải sao cho X c(j) = 0 với
| | /T và nếu hệ thống thời gian -rời rạc trong hình 4.11 là hệ thống đồng nhất
có nghĩa là y[n] = x[n] = xc(nT) , thì lối ra sẽ là y r(t) = xc(t). Nhắc lại rằng, khi
chứng minh kết quả này, chúng ta đã sử dụng các biểu diễn trong lĩnh vực tần số
của các tín hiệu thời gian-liên tục và thời gian- rời rạc, bởi vì khái niệm then chốt
của sự chồng phổ dễ hiểu nhất ở trong lĩnh vực tần số. Cũng giống nh vậy , khi

198


chúng ta gắn với các hệ thống phức tạp hơn hệ thống nhận dạng, thì nói chung,
chúng ta tiến hành phần tích trong lĩnh vực tần số. Nếu hệ thống là phi tuyến hoặc
thay đổi với thời gian, thì thờng là khó thu đợc một hệ thức tổng quát giữa biến đổi
Fourier của lối vào và lối ra của hệ thống. ( Trong bài toán 4.33, chúng ta xét một
ví dụ của hệ thống cho trên hình 4.11 trong đó hệ thống thời gian-rời rạc là phi
tuyến) . Tuy nhiên, trờng hợp tuyến tính bất biến với thời gian đa đến các kết quả
đơn giản hơn, nhng lại rất hữu ích .
4.4.1 Các hệ thống thời gian-rời rạc tuyến tính bất biến với thời gian
Nếu hệ thống thời gian-rời rạc trong hình 4.11 là tuyến tính và bất biến với
thời gian, thì khi đó chúng ta có:
Y(ej) = H(ej)X(ej)

(4.33)

ở đây H(ej) là đáp ứng tần số của hệ thống hoặc, tơng đơng, là biến đổi
Fourier của đáp ứng mẫu đơn vị, còn X(e j) và Y(ej) là các biến đổi Fourier của
lối vào và lối ra, tơng ứng. Phối hợp các phơng trình (4.32) và (4.33), chúng ta
nhận đợc
Yr(j) = r(j)H(ej)X(ej)

(4.34)

Tiếp theo, sử dụng phơng trình (4.30) với = , ta có
Yr ( j) = H r ( j)H(e jT )

1
T

X c j(

k =

2 k
)
T

(4.35)

Nếu Xc(j) = 0 với || /T, thì khi đó mạch lọc khôi phục thông thấp lý tởng
Hr(j) sẽ làm mất thừa số 1/ T và chỉ lựa chọn số hạng trong phơng trình (4.35) với
k = 0; tức là :
H(e jT )X c ( j),
Yr ( j) =
0,

| |< / T
| | / T

(4.36)

Vì thế, nếu Xc(j) bị giới hạn dải và tốc độ lấy mẫu lớn hơn tốc độ Nyquist, thì lối
ra liên hệ với lối vào qua phơng trình dạng:

Yr(j) = Heff(j)Xc(j)

(3.37)

H(e jT ), | |< / T
Heff(j) =
| | / T
0,

(4.38)

ở đây

Có nghĩa là hệ thống thời gian- liên tục tổng thể tơng đơng với một hệ thống tuyến
tính bất biến với thời gian mà đáp ứng tần số hiệu dụng đợc cho bởi phơng trình
(4.38).
199


Điều quan trọng cần nhấn mạnh là tính chất tuyến tính và bất biến với thời
gian của hệ thống cho trên hình 4.11 phụ thuộc vào hai nhân tố. Thứ nhất là, hệ
thống thời gian-rời rạc phải tuyến tính và bất biến với thời gian . Thứ hai là, tín
hiệu lối vào phải đợc giới hạn dải, và tốc độ lấy mẫu phải đủ cao để sao cho bất kỳ
thành phần bị chồng phổ đều bị loại bỏ bởi hệ thống thời gian- rời rạc. Nh một
minh họa đơn giản cho điều kiện thứ hai này đang bị vi phạm , hãy xét trờng hợp
khi xc(t) là một xung đơn biên độ đơn vị có chiều dài nhỏ hơn chu kỳ lấy mẫu. Nếu
xung bằng đơn vị tại t = 0, thì khi đó x[n] = [n]. Tuy nhiên, rõ ràng là có thể dịch
chuyển xung này sao cho nó không thẳng hàng với bất kỳ thời gian lấy mẫu nào ;
tức là x[n] = 0 với mọi n. Hiển nhiên, một xung nh vậy, là bị giới hạn về phơng
diện thời gian, nhng lại không bị giới hạn dải. Thậm chí nếu hệ thống thời gian-rời

rạc là hệ thống đồng nhất , nghĩa là y[n] = x[n] , thì hệ thống tổng thể sẽ không bất
biến với thời gian. Trong trờng hợp tổng quát, nếu hệ thống thời gian-rời rạc trong
hình 4.11 là tuyến tính và bất biến với thời gian, và nếu tần số lấy mẫu lớn hơn tần
số Nyquist liên quan với độ rộng dải của lối vào x c(t), thì khi đó hệ thống tổng thể
sẽ tơng đơng với một hệ thống thời gian-liên tục tuyến tính và bất biến với thời
gian có đáp ứng tần số hiệu dụng cho trong phơng trình (4.38). Hơn thế nữa, phơng
trình (4.38) vẫn còn giá trị nếu có một số sự chồng phổ xảy ra ở trong bộ chuyển
đổi C/D, chừng nào mà H(ej) không cho qua các thành phần bị chồng phổ. Ví dụ
4.4 là một minh họa đơn giản cho điều này.
Ví dụ 4.4 Sự lọc thông thấp thời gian-liên tục lý tởng bằng cách
sử dụng một mạch lọc thông thấp thời gian-rời rạc
Xét hình 4.11, với hệ thống thời gian-rời rạc tuyến tính và bất biến với thời
gian có đáp ứng tần số
1, | |< c
H ( e j ) =
0, c <| |

(4.39)

H(ej)

1
-2

c

c

2

(a)

eff(j)
1
c/



c/T
(b)

Hình 4.12 (a) Đáp ứng tần số của hệ thống thời gian - rời rạc trong
hình 4.11. (b) Đáp ứng tần số thời gian-liên tục hiệu dụng tơng ứng đối với
các lối vào giới hạn dải.

200


Xc(j)

1

a)

N

-N

Xs(j)=X(ej)
1/T

b)

/ N

-2/

/

X(ej)

2

2/

(ej)






c)

2

Y(ej)

d)

1/T
c c

-2



Y(ej)

Hr(j)
1/T

-2/

2

c/T c/T

e)

2/

Yr(j)
f)

-c/T c/T

Hình 4.13 (a) Biến đổi Fourier của tín hiệu lối vào giới hạn dải.(b) Biến đổi
Fourier của lối vào đã đợc lấy mẫu vẽ nh một hàm số của tần số thời gian-liên
tục.(c)Biến đổi Fourier và đáp ứng tần số của dãy mẫu.d) Biến đổi Fourier của lối
ra. e) Biến đổi Fourier của lối ra của hệ thống thời gian-rời rạc và đáp ứng tần số
của mạch lọc khôi phục lý tởng vẽ theo . f) Biến đổi Fourier của lối ra.

201


Dĩ nhiên, đáp ứng tần số này tuần hoàn với chu kỳ 2, nh đã chỉ ra trên
hình 4.12(a). Đối với các lối vào giới hạn dải đã lấy mẫu lớn hơn tốc độ
Nyquist, thì từ (4.38) suy ra rằng hệ thống tổng thể của hình 4.11 sẽ có tính
chất nh một hệ thống thời gian-liên tục tuyến tính và bất biến với thời gian
với đáp ứng tần số
1, | T | < c hoặc | | < c / T
Heff =
0, | T | > c hoặc | | > c / T

(4.40)

Nh đã chỉ ra trên hình 4.12(b), đáp ứng tần số hiệu dụng này là đáp ứng
tần số của mạch lọc thông thấp lý tởng với tần số cắt c = c/ T.
Khi giải thích kết quả này, hãy khảo sát sự minh họa bằng đồ thị
đã cho
trong hình 4.13. Hình 4.13(a) chỉ thị biến đổi Fourier của tín hiệu
giới hạn
dải. Hình 4.13(b) cho thấy biến đổi Fourier của dãy xung bị điều chế

trung gian, nó đồng nhất với X(ej), biến đổi Fourier thời gian-rời rạc của dãy
mẫu đã đợc đánh giá bởi = . Trong hình 4.13(c) là biến đổi Fourier
thời gian-rời rạc của dãy mẫu và đáp ứng tần số của hệ thống thời gian-rời
rạc , cả hai đợc vẽ nh một hàm số của biến số tần số thời gian -rời rạc đã
đợc chuẩn hóa . Hình 4.13(d) chỉ ra Y(ej) = H(ej)X(ej), biến đổi
Fourier của lối ra của hệ thống thời gian-rời rạc . Hình 4.13(e) minh họa
biến đổi Fourier của lối ra của hệ thống thời gian-rời rạc nh một hàm số
của tần số thời gian-liên tục , cùng với đáp ứng tần số của mạch lọc khoi
phục lý tởng Hr(j)của bộ chuyển đổi D/ C. Cuối cùng , hình 4.13(f) chỉ ra
biến đổi Fourier kết quả của lối ra của bộ chuyển đổi C/D. So sánh hình
4.13(a) với hình 4.13(f) , chúng ta thấy rằng hệ thống có tính chất nh một
hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian với đáp ứng tần số đợc cho bởi
phơng trình (4.40) và đợc vẽ trên hình 4.12(b).
Nhiều điểm quan trọng đã đợc minh họa trong ví dụ 4.4. Thứ nhất, lu ý rằng
mạch lọc thông thấp thời gian -rời rạc với tần số cắt thời gian- rời rạc c có hiệu
ứng của một mạch lọc thông thấp lý tởng với tần số cắt c = c/T khi sử dụng cấu
hình của hình 4.11. Tần số cắt này phụ thuộc cả vào c lẫn T . Đặc biệt, bằng việc
sử dụng một mạch lọc thông thấp thời gian - rời rạc cố định, nhng lại thay đổi chu
kỳ lấy mẫu T, thì một mạch lọc thông thấp thời gian - liên tục vói tần số cắt biến
đổi có thể đợc thực hiện. Chẳng hạn, nếu T đã chọn sao cho < c, thì khi đó
lối ra của hệ thống ở trên hình 4.11 sẽ là y r(t) = xc(t). Cũng nh vậy, nh đã đợc minh
họa trong bài toán 4.25, phơng trình (4.40) sẽ có giá trị ngay cả khi nếu có sự
chồng phổ nào đó đợc biểu diễn trong các hình 4.13(b) và (c), cho đến khi mà các
thành phần biến dạng ( chồng phổ) đó bị loại bỏ bởi mạch lọc H(e j). Đặc biệt, từ
hình 4.13(c) , chúng ta thấy rằng để không có sự chồng phổ biểu thị ở lối ra , thì
phải có điều kiện
( 2 NT) > c

(4.41)

( 2 NT) > NT

(4.42)

so sánh với yêu cầu Nyquist là

202


Nh một ví dụ khác của sự xử lý thời gian-liên tục sử dụng hệ thống thời gian-rời
rạc, hãy xét sự thực thi một bộ vi phân lý tởng cho các tín hiệu giới hạn dải.
Ví dụ 4.5 Sự thực thi thời gian- rời rạc của một bộ vi phân lý
tởng thời gian-liên tục bị giới hạn dải
Hệ thống vi phân thời gian-liên tục lý tởng đợc định nghĩa bởi
d
[x c (t )]
dt

yc(t) =

(4.43)

với đáp ứng tần số tơng ứng
(4.44)

Hc(j) = j

Bởi vì chúng ta đang xét sự thực hiện hệ thống dới dạng nh trong hình
4.11, nên các lối ra đều bị giới hạn dải. Để xử lý các tín hiệu giới hạn dải,
thì cần phải có:

j, | | < / T
Heff (j) =
0, | | / T

(4.45)

nh đã vẽ trên hình 4.14(a). Hệ thống thời gian-rời rạc tơng ứng có đáp
ứng tần số
H(ej) =

j
, ||<
T

(4.46)

tuần hoàn với chu kỳ 2. Đáp ứng tần số này đợc vẽ trong hình 4.14(b).
Đáp ứng xung tơng ứng có thể đợc chỉ ra là:
h[n] =

n cos n sin n
n 2 T

,
hoặc tơng đơng
0, n = 0

h[n] = cos n
nT , n 0

| Heff(j)|

T

203

(4.47)


/

-/



eff(j)
/2
/

-/



-/2
(a)
| H(ej)|
/

-2

2



H(ej)
/2


-/2
(b)
Hình 4.14 (a) Đáp ứng tần số của một bộ vi phân giới hạn dải lý tởng thời
gian-liên tục Hc(j)=j, || < /. (b) Đáp ứng tần số của một mạch lọc thời gianrời rạc để thực thi bộ vi phân giới hạn dải thời gian-liên tục.
Vì thế, nếu hệ thống thời gian-rời rạc với đáp ứng xung này đã đợc sử
dụng trong sơ đồ của hình 4.11, thì lối ra đối với mỗi lối vào giới hạn dải sẽ
là đạo hàm của lối vào.
Ví dụ 4.6 Minh họa ví dụ 4.5 với lối vào sin
Giả sử bộ vi phân giới hạn dải của ví dụ 4.5 có lối vào x c(t) = cos(0t) vói
0 < / . Lối vào đã đợc lấy mẫu sẽ là x[n] = cos(0n), ở đây 0 =
0 < , và biến đổi Fourier thời gian-rời rạc, đợc biểu thị nh một hàm
số của là
204


X ( e j T ) =

1
T



[ ( 0 k s ) + ( + 0 k s )]

k =

Nếu chúng ta tập trung trên dải tần số cơ sở / < < / , thì chúng ta
sẽ thu đợc
X ( e j T ) =



( 0 ) + ( + 0 ) vói | | / T
T
T

(4.48)

Để biểu thị biến đổi Fourier thời gian-rời rạc theo các số hạng của , chúng
ta thay =/ vào trong phơng trình (4.48) và sử dụng (/) = ()
kết quả thu đợc là
X(ej) = ( 0) + ( + 0, || .
Dĩ nhiên, biến đổi Fourier thời gian- rời rạc X(e j) lặp lại một cách tuần
hoàn vfới chu kỳ 2 theo biến số , , còn X(ejT) lặp lại một cách tuần hoàn
với chu kỳ 2/T. Bây giờ thì
Y(ej) = H(ej) X(ej)
j

[ ( 0 ) + ( + 0 )]
T
j
j
= 0 ( 0 ) 0 ( + 0 ), | |
T
T
=

Từ phơng trình (4.32), biến đổi Fourier thời gian- liên tục của lối ra của bộ
chuyển đổi D/C với || / là
Yr ( j) = H r ( j)Y(e jT ) = TY(e j )
j
j

= T 0 (T 0 T ) 0 (T + 0 T )
T
T

j 1
j 1

= T 0
( 0 ) 0
( + 0 )
T T
T T

= j 0 ( 0 ) j 0 ( + 0 )
Do đó, mạch lọc khôi phục chọn hai xung tại 0 , vì vậy suy ra rằng

y r ( t ) = j 0

1 j 0 t
1
e
j 0 e j 0 t = 0 sin( 0 t )
2
2

205


và chúng ta thu đợc kết quả mong đợi là
y r (t ) =

d
[x c (t )]
dt

4.4.2 Bất biến xung
Chúng ta đã chỉ ra rằng hệ thống nối tiếp trong hình 4.11 có thể tơng đơng
với một hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian đối với các tín hiệu lối vào giới
hạn giải. Bây giờ chúng ta giả thiết rằng, nh đã mô tả trong hình 4.15, cho một hệ
thống thời gian -liên tục mong muốn, hãy thực thi một hệ thống có dạng nh trên
hình 4.11. Với Hc(j) bị giới gạn dải, phơng trình (4.38) sẽ xác định làm thế nào
để chọn H(ej) sao cho Heff(j) = Hc(j). Đặc biệt
H(ej) = Hc(j/T),

|| <

(4.49)

Với điều kiện thêm nữa là T phải đợc chọn sao cho
|| /

Hc(j) = 0,

(4.50)

Với điều kiện ràng buộc (4.49) và (4.50) , cũng có một hệ thức hữu hiệu và rõ ràng
giữa đáp ứng xung thời gian- liên tục h c(t) và đáp ứng xung thời gian- rời rạc h[n].
Đặc biệt , nh chúng ta sẽ kiểm tra ngắn gọn nh sau
h[n] = Thc(nT);

(4.51)

tức là đáp ứng xung của hệ thống thời gian- rời rạc là một phiên bản đã đợc lấy
mẫu và định mức của hc(t). Khi h[n] và hc(t) đợc liên hệ với nhau qua phơng trình
(4.51), thì hệ thống đợc gọi là một phiên bản bất biến xung của hệ thống thời gian
-liên tục.
Phơng trình 4.51 là một hệ quả trực tiếp của sự thảo luận trong phần 4.2.
Đặc biệt, với x[n] và xc(t) đợc thay một cách tơng ứng bằng h[n] và hc(t) vào trong
phơng trình (4.16), tức là:
h[n] = hc(nT)

(4.52)

thì phơng trình (4.20) trở thành
1
H(e ) =

T
j



2 k
H c j(
)
T
T
k =



(4.53)

hoặc, nếu phơng trình (4.50) đợc thỏa mãn,
H(ej) =
xc(t)

1

H c ( j ), | |
T
T

Hệ thống LTI
yc(t)
thời gian-liên tục

206

(4.54)


hc(t), Hc(j)

gian-rời rạc
H(ej)
y[n]

(a)

xc(t)
D/C

Hệ thống LTI
thời
C / D x[n] h[n],

yr(t)=yc(t)
T

T
Heff(j) = Hc (j)
(b)
Hình 4.15 (a) Hệ thống LTI thời gian-liên tục.
(b) Hệ thống tơng đơng đối với các lối vào giới hạn dải.

Biến đổi phơng trình (4.52) và (4.54) để tính đối với thừa số định mức của T trong

(4.51), chúng ta có
h[n] = Thc(nT),
H(ej) = Hc(j/T),

(4.55)
|| /

(4.56)

Ví dụ 4.7 Mạch lọc thông thấp thời gian-rời rạc
thu đợc bằng bất biến xung.
Giả thiết rằng chúng ta muốn thu đợc một mạch lọc thông thấp thời gianrời rạc lý tởng với tần số cắt c < . Chúng ta có thể thực hiện đợc điều
này bằng cách lấy mẫu một mạch lọc thông thấp thời gian -liên tục lý tởng
với tần số cắt c = c / < / đợc định nghĩa bởi
1, | | <
H c ( j _) =
0, | |
Đáp ứng xung của hệ thống thời gian- liên tục này là
h c (t ) =

sin( c t )
t

Vì thế chúng ta định nghĩa đáp ứng xung của hệ thống thời gian - rạc là
h[n] = Th c ( nT ) = T

sin( c nT ) sin( c n )
=
nT
n

ở đây c = cT. Chúng ta luôn luôn chỉ ra rằng dãy này tơng đơng với
biến đổi Fourier thời gian - rời rạc

207