Xu li th so 4

4.6 Sự thay đổi tốc độ lấy mẫu trong quá trình xử lý thời gian-rời rạc
Chúng ta đã thấy rằng một tín hiệu thời gian-liên tục x c(t) có thể đợc
biểu diễn bởi một tín hiệu thời gian-rời rạc bao gồm một dãy mẫu
x[n] = xc(nT)
(4.69)
Các thảo luận trớc đây của chúng ta cũng đã chỉ ra rằng , ngay cả khi x[n]
không thu đợc một cách nguyên gốc bằng sự lấy mẫu, thì chúng ta cũng luôn
luôn có thể sử dụng công thức nội suy giới hạn dải của phơng trình (4.25) để
tìm tín hiệu giới hạn dải thời gian- liên tục x r(t) mà các mẫu của nó là x[n] =
xc(nT).
Điều cần thiết là thay đổi tốc độ lấy mẫu của một tín hiệu thời gian-rời
rạc, tức là để thu đợc một biểu diễn thời gian-rời rạc mới của tín hiệu thời gian
-liên tục cơ sở dới dạng
x'[n] = xc(nT')
(4.70)
ở đây T' T . Một phơng pháp gần đúng để thu nhận đợc dãy x'[n] từ x[n] là
khôi phục lại xc(t) từ x[n] bằng cách sử dụng phơng trình 4.25 và sau đó lấy
mẫu lại xc(t) với chu kỳ lấy mẫu T' để thu đợc x'[n]. Tuy nhiên, thờng thì đó
không phải là một phơng pháp vừa ý, bởi vì mạch lọc khôi phục lại tơng tự , bộ
chuyển đổi D/ C, và bộ chuyển đổi C / D đợc sử dụng để thực thi trong thực tế
thì lại không lý tởng. Vì thế , ngời ta chỉ quan tâm đến việc khảo sát các phơng
pháp thay đổi tốc độ lấy mẫu để giải quyết chỉ các phép toán thời gian-rời rạc.
4.6.1 Sự giảm bớt tốc độ lấy mẫu bởi một thừa số nguyên
Tốc độ lấy mẫu một dãy đợc giảm bớt bởi sự "lấy mẫu" chính nó, có
nghĩa là nhờ việc định nghĩa một dãy mới
xd[n] = x[nM] = xc(nMT)
(4.71)
Phơng trình 4.71 xác định hệ thống đợc vẽ trên hình 4.20, đợc gọi là bộ
nén tốc độ lấy mẫu ( xem Crochiere và Rabiner 1983 ) hoặc đơn giản hơn là bộ
nén. Từ phơng trình (4.71) thấy rõ ràng rằng x d[n] đồng nhất với dãy thu đợc từ
xc(t) bằng sự lấy mẫu với chu kỳ lấy mẫu T' = MT. Hơn nữa, nếu X c(j) = 0 với

|| N , thì khi đó xd[n] là một biểu diễn chính xác của x c(t) nếu / T' =
/() N. Có nghĩa là tốc độ lấy mẫu có thể đợc giảm bớt bởi một thừa số
M mà không có sự chồng phổ nếu tốc độ lấy mẫu gốc ít nhất bằng M lần tốc độ
Nyquist, hoặc, trớc hết là nếu độ rộng dải của dãy đợc giảm bớt bởi thừa số M
nhờ vào việc lọc thời gian-rời rạc . Nói chung, phép làm giảm tốc độ lấy mẫu
(bao gồm sự lọc trớc nào đó) đều đợc gọi là sự lấy mẫu giảm (downsampling)
Cũng nh trong trờng hợp lấy mẫu một tín hiệu- thời gian liên tục, việc
thu đợc một hệ thức trên lĩnh vực tần số giữa lối vào và lối ra của bộ nén thì sẽ
rất ích lợi. Tuy nhiên, lần này , nó sẽ là hệ thức giữa các biến đổi Fourier thời
gian-rời rạc. Mặc dù có rất nhiều phơng pháp có thể đợc sử dụng để đa ra các
kết quả mong muốn, nhng chúng ta sẽ dựa trên các kết quả thu đợc từ sự lấy
mẫu các tín hiệu thời gian-liên tục để đa ra các kết quả của mình. Trớc tiên,
cần nhắc lại rằng phép biến đổi Fourier thời gian-rời rạc của x[n] = x c(nT) là
1
2 k
j
X c j(
)
X(e ) =
(4.72)

T k = T
T
Tơng tự, biến đổi Fourier thời gian-rời rạc của x d[n] = x[nM] = xc(nT') với T' =
MT là

217


1

2 r
X c j(

Xd(e ) =
(4.73)

T r = T
T'
Bây giờ, vì T' = MT, nên chúng ta có thể viết phơng trình (4.73 ) nh sau
1
2 r

j
X c j(

)
Xd(e ) =
(4.74)

MT r = MT MT
Để tìm đợc mối quan hệ giữa các phơng trình (4.74) và (4.72), cần lu ý rằng chỉ
số của tổng trong phơng trình (4.74) có thể đợc biểu thị nh sau
r = i + kM
(4.75)
ở đây k và i là các số nguyên , < < và 0 i M - 1. Rõ ràng là r vẫn
là một số nguyên thay đổi từ - đến , nhng bây giờ, phơng trình (4.74) có
thể đợc biểu thị dới dạng
1 M 1 1
2 k 2 i

j


)
Xd(e ) =
(4.76)

X c j(
M i = 0 T k = MT
T
MT
Số hạng bên trong ngoặc vuông trong phơng trình (4.76) đợc ghi nhận từ phơng
trình (4.72) nh sau
1
2 i 2 k
j(2i)/M
X c j(

)
X(e
)=
(4.77)

T k =
MT
T
Vì thế, chúng ta có thể biểu thị phơng trình (4.76) dới dạng
1 M 1
j
X ( e j( / M 2 / M ) )

Xd(e ) =
(4.78)

M i =0
Có một sự tơng tự rất lớn giữa các phơng trình (4.72) và (4.78): Phơng trình
(4.72) biểu thị biến đổi Fourier của dãy mẫu x[n] (với chu kỳ T) theo các số
hạng của biến đổi Fourier của tín hiệu thời gian-liên tục x c(t); Phơng trình 4.78
biểu thị biến đổi Fourier của dãy đã đợc lấy mẫu thời gian-rời rạc xd[n] ( với
chu kỳ lấy mẫu M) theo các số hạng của biến đổi Fourier của dãy x[n]. Nếu so
sánh các phơng trình (4.73) và (4.78), chúng ta sẽ thấy rằng X d(ej) có thể đợc
coi nh đã bao gồm vô số các phiên bản của X c(j) , tần số đã đợc định mức qua
= ' và đã bị dịch chuyển bởi một số nguyên lần của 2/T' ( phơng trình
(4.73)), hoặc M bản sao của biến đổi Fourier tuần hoàn X(e j) , tần số đã đợc
định mức bởi M và bị dịch chuyển bởi một số nguyên lần của 2( phơng trình
4.78)). Cả hai sự giải thích đều cho thấy rất rõ rằng X d(ej) là tuần hoàn với chu
kỳ 2 ( nh là tất cả các biến đổi Fourier thời gian- rời rạc) và rằng sự chồng phổ
có thể tránh đợc nếu chắc chắn rằng X(ej) đã đợc giới hạn dải , tức là:
X(ej) = ||
(4.79)
và 2 / 2 .
Sự lấy mẫu giảm đợc minh họa trong hình 4.21. Hình 4.21(a) chỉ ra biến
đổi Fourier của tín hiệu thời gian-liên tục giới hạn dải, còn hình 4.21(b) chỉ ra
biến đổi Fourier của dãy xung lấy mẫu khi chu kỳ lấy mẫu là T,. Hình 4.21(c)
chỉ ra X(ej) và đã đợc liên hệ với hình 4.21(b) qua phơng trình (4.18). Nh
chúng ta luôn luôn thấy, hình 4.21(b) và (c) chỉ khác nhau về thang chia của
biến số tần số. Hình 4.21(d) cho thấy biến đổi Fourier thời gian-rời rạc của dãy
đợc lấy mẫu giảm khi M = 2. Chúng ta cũng đã vẽ biến đổi Fourier này nh một
hàm số của tần số đã đợc chuẩn hoá = T' . Cuối cùng, hình 4.21(e) chỉ ra
j

218


biến đổi Fourier thời gian-rời rạc của dãy đã đợc lấy mẫu giảm và đợc vẽ nh
một hàm số của biến số tần số thời gian -liên tục. Hình 4.21(e) đồng nhất với
hình 4.21(d), ngoại trừ đối với thang chia của trục tần số qua hệ thức = /T'.
Trong ví dụ này, 2/ = 4N ; tức là, tốc độ lấy mẫu gốc, chính xác gấp
hai lần tốc độ cực tiểu để tránh sự chồng phổ. Vì thế, khi dãy gốc đã đợc lấy
mẫu với tốc độ lấy mẫu giảm bởi thừa số M = 2, thì không có kết quả chồng
phổ. Nếu trong trờng hợp mà thừa số lấy mẫu giảm mà lớn hơn 2, thì sự chồng
phổ sẽ xảy ra, nh đã minh họa trên hình 4.22.
Hình 4.22(a) chỉ ra biến đổi Fourier thời gian-liên tục của x c(t), còn hình
4.22(b) cho thấy biến đổi Fourier thơì gian-rời rạc của dãy x[n] = x c(nT), khi
2/ = 4N. Vì vậy N = NT = /2 . Bây giờ, nếu chúng ta lấy mẫu giảm bởi
thừa số M = 3, thì chúng ta sẽ thu đợc dãy xd[n] = x[3n] = xc(3nT) mà biến đổi
Fourier của nó đã đợc vẽ trên hình 4.22(c) với tần số chuẩn hoá = T'. Cần
chú ý rằng do MN =3 /2 lớn hơn , nên sự chồng phổ xảy ra. Nói chung , để
tránh sự chồng phổ trong khi lấy mẫu giảm với thừa số M thì phải đòi hỏi điều
kiện
N M < , hoặc N < / M
(4.80)
Nếu điều kiện này không đợc thoả mãn, thì sự chồng phổ xảy ra, nhng đối với
một số ứng dụng, nó có thể đợc bỏ qua. Trong các trờng hợp khác, sự lấy mẫu
giảm sẽ không gây ra sự chồng phổ nếu chúng ta ng thuận giảm độ rộng dải của
tín hiệu x[n] trớc khi lấy mẫu giảm. Vì thế, nếu x[n] đợc lọc bởi mạch lọc thông
~
thấp lý tởng với tần số cắt /M , thì khi đó lối ra x[ n] có thể đợc lấy mẫu giảm
mà không có sự chồng phổ, nh đã đợc minh họa trên các hình 4.22(d), (e) và
x d [ n] = ~
x[ nM] không còn biểu thị cho tín hiệu thời gian(f). Chú ý rằng dãy ~

x d [ n] = ~
x c ( nT ' ) , ở đây T' = MT, và ~
x(t ) thu đliên tục gốc xc(t) nữa. Hơn nữa, ~
ợc từ xc(t) bởi mạch lọc thông thấp với tần số cắt c = /T'= / (MT).
Từ các thảo luận trên đây, chúng ta nhận thấy rằng một hệ thống tổng
thể để lấy mấu giảm với thừa số M là một hệ thống đã đợc chỉ ra trên hình 4.23.
Hệ thống nh vậy đợc gọi là bộ làm giảm tốc độ lấy mẫu (decimator), và sự lấy
mẫu giảm bởi mạch lọc thông thấp tiếp đến là sự nén có tên gọi là sự làm giảm
tốc độ lấy mẫu (decimation- Crochiere và Rabiner, 1983).

Xc(j)
1


-N

219

(a)



Xs(j)=X(ej)
1/
N

-2/

(b)
2/

X(ej)
1/
2

N



=

[



]


(=2)
1/

4/

2

1
X ( e j / 2 ) + X ( e j ( 2 ) / 2 )
2

1/
(d)

Xd(ej)=

M=2

2

(c)

2

=

Xd(ej)

2/

2/

(e)
4/

=/

Hình 4.21 Minh họa trên lĩnh vực tần số quá trình
giảm tốc độ lấy mẫu
4.6.2 Sự tăng tốc độ lấy mẫu bởi một thừa số nguyên
Chúng ta đã thấy rằng sự giảm tốc độ lấy mẫu bởi một thừa số nguyên

của một tín hiệu thời gian-rời rạc đòi hỏi sự lấy mẫu theo cách giống nh sự lấy
mẫu một tín hiệu thời gian-liên tục. Không khỏi ngạc nhiên rằng, sự tăng tốc độ
lấy mẫu đòi hỏi các phép toán giống nh sự chuyển đổi D/C. Để thấy đợc điều
đó, hãy xét một tín hiệu x[n] mà chúng ta muốn tăng tốc độ lấy mẫu của nó lên
một thừa số L. Nếu chúng ta xét một tín hiệu thời gian-liên tục cơ sở x c(t), mục
tiêu là thu đợc các mẫu
xi[n] = xc(nT')
(4.81)
ở đây T' = T/L, từ dãy mẫu
x[n] = xc(nT)
(4.82)
chúng ta sẽ gán cho phép làm tăng tốc độ lấy mẫu cái tên là sự lấy mẫu tăng
(upsampling).
Xc(j)
1
(a)
-

X(e )
j

220

N




1/T
(b)

−2π

−π

−ωN
ωN
jω
Xd(e )

π

2π

ω=ΩΤ

1/MT
M=3
-2π

−π

0

π

(c)
2π

ω=ΩΤ

Hd(ejω)
1

(d)

−π −π/Μ

-2π

π/Μ

π

2π

ω=ΩΤ

~
X ( e jω ) = H d ( e jω ) X ( e jω )
(e)

1/Τ
−π −π/3

-2π

π/3

π

2π ω=ΩΤ

~
X d ( e jω )
1/MT
-2π

−π

(M=3) (f)
π

2π

ω=ΩΤ

H×nh 4.22 (a)-(c) Sù lÊy mÉu gi¶m cã chång phæ.
(d)-(f) Sù lÊy mÉu gi¶m cã läc tríc ®Ó tr¸nh chång phæ

x[n]
chu kú

M¹ch läc
th«ng thÊp
HSK§ =1
tÇn sè c¾t=π/M

~
x[ n]

221

M

~
x d [ n] = ~
x[ nM]


lấy mẫu T
Hình 4.23 Hệ thống tổng quát để giảm tốc độ lấy mẫu M lần
Từ các phơng trình (4.81) và (4.82) suy ra rằng
xi[n] = x[n/L] = xc(nT/L), n = 0, L , L ,... .
Hình 4.24 chỉ ra một hệ thống để thu đợc xi[n] từ x[n] khi chỉ sử dụng quá trình
xử lý thời gian-rời rạc. Hệ thống ở phía trái đợc gọi là bộ giãn tốc độ lấy mẫu
( xem Crochiere và Rabiner, 1983) hoặc đơn giản hơn là bộ giãn nở . Lối ra
của nó là
x[ n / L], n = 0, L,2 L,...
x e [ n] =
(4.84)
0, cá c gía trị kh á c
hoặc tơng đơng
x e [ n] =



x[ k][ n kL]

k =

(4.85)

Hệ thống phía bên phải là một mạch lọc thông thấp thời gian-rời rạc với tần số
cắt /L và hệ số khuyếch đại là L. Hệ thống này đóng vai trò tơng tự nh một bộ
chuyển đổi D/C ở trong hình 4.10(b). Đầu tiên chúng ta tạo ra một dãy xung
thời gian-rời rạc xe[n], và sau đó chúng ta sử dụng một mạch lọc thông thấp để
xây dựng lại dãy đó.
Hoạt động của hệ thống ở trong hình 4.24 dễ hiểu nhất ở trong lĩnh vực
tần số. Biến đổi Fourier của xe[n] có thể đợc biểu thị nh sau


X e (e j ) = x[ k ][ n kL] e jn
n = k =

(4.86)
=



x[ k]e jLk

= X(e jL )

k =

x[n]
Chu kỳ
lấy mẫu T

Mạch lọc

L
thông thấp
xe[n]
HSKĐ=L
xi[n]
Chu kỳ
T.S cắt=/L
Chu kỳ
lấy mẫu T'=T/L
lấy mẫu T'=T/L

Hình 4.24 Hệ thống tổng quát để tăng tốc độ lấy mẫu tăng L lần
Vì thế, biến đổi Fourier của lối ra của bộ giản nở là một phiên bản đã đợc định
mức về tần số của biến đổi Fourier của lối vào ; tức là , đợc thay bằng L sao
cho bây giờ đợc chuẩn hoá bởi
= T'
(4.87)

222


Xc(j)
1

(a)


-N
1/T

2



X(ej)

0

(b)



2 =

Xe(ej)=X(ejL)
1/T
-4/L

2/L 0

L=2
2/L
Hi(ej)

(c)

4/L =T'
(d)

L

-2



0



2 =T'

Xi(ej)
1/T'=L/T
(e)
-2



0



2

=T'

Hình 4.25 Minh họa trên lĩnh vực tần số sự nội suy
Hiệu ứng này đã đợc minh họa trên hình 4.25. Hình 4.25(a) chỉ ra biến đổi
Fourier thời gian-liên tục giới hạn dải, còn hình 4.25(b) chỉ ra biến đổi Fourier
thời gian-rời rạc của dãy x[n] = x c(nT), ở đây / T =N. Hình 4.25(c) cho thấy
Xe(ej) theo phơng trình 4.86) với L = 2, và hình 4.25(e) chỉ ra biến đổi Fourier

của tín hiệu mong muốn xi[n]. Chúng ta thấy rằng Xi(ej) có thể thu đợc từ
Xe(ej) bằng cách hiệu chỉnh thang biên độ từ 1/T đến 1/T' và bằng cách cất đi

223


tất cả các ảnh định mức về tần số của X c(j) ngoại trừ tại các vị trí là những s ố
nguyên lần 2. Đối với trờng hợp đã đợc mô tả trên hình 4.25, thì điều đó yêu
cầu một mạch lọc thông thấp với hệ số khuyếch đại bằng 2 và tần số cắt bằng
/2, nh đã chỉ ra trong hình 4.25(d). Nói chung, hệ số khuyếch đại cần yêu cầu
là L , bởi vì L(1/T) = [1/(T/L)] = 1/T' , và tần số cắt phải bằng /L.
Ví dụ này chỉ ra rằng hệ thống của hình 4.24 quả thực là cho một lối ra
thoả mãn phơng trình (4.81) nếu dãy lối vào x[n] = xc(nT) thu đợc bằng sự lấy
mẫu không có chồng phổ. Do đó, hệ thống này có tên gọi là bộ nội suy, bởi vì
nó điền thêm vào các mẫu thiếu, và do đó hoạt động của sự lấy mẫu tăng đợc
coi là đồng nghĩa với sự nội suy.
Cũng giống nh trong trờng hợp của bộ chuyển đổi D/C, có thể thu đợc
công thức nội suy xi[n] theo các số hạng của x[n]. Trớc hết, hãy lu ý rằng đáp
ứng xung của mạch lọc thông thấp trong hình 4.24 là
h i [ n] =

sin( n / L )
n / L

(4.88)

Sử dụng phơng trình 4.85, ta thu đợc
x i [ n] =

x[ k ]

k =

sin[ ( n kL ) / L
( n kL ) / L

(4.89)

Đáp ứng xung hi[n] có các tính chất
hi[0] = 1.
hi[n] = 0,
n = L, 2L, ...
(4.90)
Vì thế, đối với mạch lọc nội suy thông thấp lý tởng , chúng ta có
xi[n] = x[n/L] = xc(nT/L) = xc(nT'), n =0, L, 2L (4.91)
nh đã mong đợi. Thật ra thì xi[n] = xc(nT') với mọi n , đều đợc suy ra từ các lập
luận trên lĩnh vực tần số.
Trong thực tế, các mạch lọc thông thấp không thể đợc thực thi một cách
hoàn toàn chính xác, nhng, nh chúng ta sẽ thấy trong chơng 7 rằng các mạch
lọc này có thể đợc thiết kế gần đúng tốt. ( xem thêm Schafer và Rabiner, 1973,
và Oetken và đồng tác giả, 1975). Trong một số trờng hợp thủ tục nội suy rất
đơn giản thì lại thoả đáng. Bởi vì sự nội suy tuyến tính thờng đợc sử dụng (mặc
dù trong trờng hợp tổng quát thì rất không chính xác ), nên cũng đáng bỏ công
ra để kiểm tra sự nội suy tuyến tính trong khung cảnh chung mà chúng ta vừa
mới phát triển.
Sự nội suy tuyến tính có thể đợc thực hiện bởi hệ thống cho trên hình

4.24 nếu mạch lọc có đáp ứng xung là
1 | n | / L, | n | L
hlin[n] =
(4.92)
0, cá c gía trị kh á c
Nh đã chỉ ra trên hình 4.26 với L=5. Với mạch lọc loại này, lối ra đợc nội suy
sẽ là


xlin[n] =



k =

x e [ k ]h lin [ n k ] =



x[ k]h lin [n kL]

k =

(4.93)

Hình 4.27(a) vẽ xe[n] và xlin[n] cho trờng hợp L=5. Từ hình vẽ này chúng ta thấy
rằng xlin đồng nhất với dãy thu đợc bằng sự nội suy tuyến tính giữa các mẫu.

224

1

4/5
3/5
2/5

1/5

n
Hình 4.26 Đáp ứng xung cho phép nội suy tuyến tính
xe[n]
L=5






n

xlin[n]

(a)
L

n
Hi(ej)

=5

Hlin(ej)

4/5 2/5/5 /5
(b)

4/5



Hình 4.27 (a) Minh họa phép nội suy tuyến tính bằng việc lọc. (b) Đáp ứng tần
số của bộ nội suy tuyến tính đợc so sánh với mạch lọc nội suy thông thấp lý tởng

Chú ý rằng
hlin = 1
hlin[n] = 0,
nh vậy có nghĩa là

n =L, 2L, ...

(4.94)

xlin[n] = x[n/L] tại n = 0, L, 2L, ...
(4.95)
Lợng biến dạng trong các mẫu dẫn đến một điều là nó có thể đợc đánh giá bằng
việc so sánh đáp ứng tần số của bộ nội suy tuyến tính với đáp ứng tần số của bộ
nội suy thông thấp lý tởng với thừa số nội suy L. Cũng có thể chỉ ra rằng (bài
toán 4.50)

225

2

1 sin(L / 2)
(4.96)
H lin (e ) =
L sin( / 2)
Hàm số này đợc vẽ trong hình 4.27(b) cho L = 5, cùng với mạch lọc nội suy
thông thấp lý tởng. Từ hình vẽ, chúng ta thấy rằng nếu tín hiệu gốc đợc lấy mẫu
tại tốc độ Nyquist, thì sự nội suy tuyến tính sẽ không hoàn toàn tốt, bởi vì lối ra
của mạch lọc sẽ chứa năng lợng đáng kể trong dải /L < || . Tuy nhiên,
nếu tốc độ lấy mẫu gốc cao hơn nhiều tốc độ Nyquist, thì khi đó bộ nội suy
tuyến tính sẽ thành công hơn trong việc lấy đi các ảnh đã đợc chia thang tần số
của Xc(j) tại các điểm bội của 2/L. Chính vì Hlin(ej) rất nhỏ tại các tần số đã
đợc chuẩn hoá ấy và tại các tốc độ lấy mẫu cao hơn các phiên bản đã bị dịch
chuyển của Xc(j) đợc định xứ nhiều hơn tại các tần số này. Về phơng diện
trực giác thì điều này là hoàn toàn hợp lý, bởi vì, nếu tốc độ lấy mẫu gốc v ợt
quá xa tốc độ Nyquist, thì tín hiệu sẽ không còn có sự khác nhau nhiều giữa các
mẫu nữa, và vì thế, sự nội suy tuyến tính sẽ chính xác hơn cho các tín hiệu đợc
lấy mẫu vợt quá .
j

4.6.3 Sự thay đổi tốc độ lấy mẫu bởi một thừa số không nguyên
Chúng ta đã chỉ ra làm thế nào để tăng và giảm tốc độ lấy mẫu của một
dãy bởi một thừa số nguyên. Bằng cách kết hợp sự làm giảm tốc độ lấy mẫu và
sự nội suy, có thể thay đổi tốc độ lấy mẫu bởi một thừa số không nguyên. Đặc
biệt, hãy xét hình 4.28(a), ở đấy chỉ ra một bộ nội suy làm giảm chu kỳ lấy mẫu
từ T tới T/L, tiếp theo sau là một bộ làm giảm tốc độ lấy mẫu ;làm tăng chu kỳ
x d [ n] có chu kỳ lấy mẫu hiệu dụng T'

lấy mẫu tăng M lần, tạo ra một dãy lối ra ~
=TM/L. Bằng cách chọn L và M một cách thích hợp, chúng ta có thể đạt đợc
một tỉ số mong muốn nào đấy của chu kỳ lấy mẫu. Chẳng hạn, nếu L = 100 và
m = 101, thì khi đó T' = 1, 01T.
Nếu M > L, thì có sự tăng tổng thể trong chu kỳ lấy mẫu ( giảm trong tốc độ lấy
mẫu), còn nếu M < L, thì điều ngợc lại là đúng. Bởi vì các mạch lọc nội suy và
các mạch lọc giảm tốc độ lấy mẫu trong hình 4.28(a) nối tiếp với nhau, nên
chúng có thể đợc phối hợp lại với nhau nh đã chỉ trong hình 4.28(b) vào trong
một mạch lọc thông thấp có hệ số khuyếch đại L và tần số cắt bằng cực tiểu của
/L và /M . Nếu M > L, thì khi đó /M tần số cắt ngự trị , và có sự giảm bớt
trong tốc độ lấy mẫu. Nh đã đợc phát biểu trong phần 4.6.1, nếu x[n] đã thu đợc
x d [ n] sẽ là một phiên bản đã đợc
bằng sự lấy mẫu với tốc độ Nyquist, thì dãy ~
lọc thông thấp của tín hiệu giới hạn dải cơ sở gốc nếu chúng ta tránh sự chồng
phổ. Mặt khác, nếu M < L , thì khi đó /L là tần số cắt ngự trị , và sẽ không cần
giới hạn độ rộng dải của tín hiệu ở dới tần số Nyquist gốc nữa.
Bộ nội suy

x[n]

L

Bộ giảm tốc độ lấy mẫu

Mạch lọc
Mạch lọc
thông thấp
thông thấp
x i [ n]
xe[n] HSKĐ=L xi[n] HSKĐ=1 ~

tần số cắt
tần số cắt

226

M

~
x d [ n]


=/L
Chu kỳ T
lấy mẫu

=/M

T/L

T/L

T/L

TM/L

(a)

L
x[n]

chu kỳ T

xe[n]

Mạch lọc
thông thấp
HSKĐ=L
tần số cắt =
min( /L,/M)

~
x i [ n]

T/L

T/L

M

~
x d [ n]
TM/L

(b)
Hình 4.28 (a) Hệ thống thay đổi tốc độ lấy mẫu bởi thừa số không
nguyên. (b) Hệ thống đơn giản hoá với mạch lọc nội suy và giảm tốc độ
lấy mẫu kết hợp với nhau một thừa số tỉ lệ không nguyên.
Ví dụ 4.11 Sự chuyển đổi tốc độ lấy mẫu bởi thừa số tỉ lệ không nguyên
Hình 4.29 minh họa sự chuyển đổi tốc độ lấy mẫu bởi một thừa số hữu
tỉ. Giả thiết rằng một tín hiệu giới hạn dải với X c(j) nh đã cho trong hình

4.29(a) đợc lấy mẫu tại tốc độ Nyquist ; tức là 2/ =2N. Biến đổi Fourier thời
gian-rời rạc thu đợc
1
2 k
j
X c j(
)
X(e ) =

T k = T
T
đợc vẽ trong hình 4.29(b). Nếu chúng ta muốn thay đổi chu kỳ lấy mẫu tới T' =
(3/2)T, thì trớc tiên chúng ta phải nội suy bởi thừa số L = 2 và sau đó giảm tốc
độ lấy mẫu đi một thừa số M = 3. Điều này bao hàm sự giảm tốc độ lấy mẫu
tổng thể, và tín hiệu gốc đã đợc lấy mẫu tại tốc độ Nyquist, nên chúng ta phải
kết hợp việc lọc thông thấp bổ sung để tránh sự chồng phổ.
Hình 4.29(c) chỉ ra biến đổi Fourier của lối ra của bộ lấy mẫu tăng L
=2. Nếu chúng ta chỉ quan tâm đến sự nội suy với thừa số bằng 2, thì có thể
chọn mạch lọc thông thấp có tần số cắt bằng c= /2 và hệ số khuyếch đại L= 2
Xc(j)
1
(a)
N

-
1/T

X(ej)

227

(b)




-2

0



2

=

Xe(ej)
1/T
4/L

-2/L

L=2
0
Hd(ej)

L
-2

2/L
M=3

4/L =/L
(d)

0

2 =/L
~ j
j
X i ( e ) = H d ( e ) X e ( e j )
1/T

-2

(c)

(e)



0



2 =/L

~
X d ( e j )

L/MT
-2



(f)
0



=/L

Hình 4.29 Minh họa sự thay đổi tốc độ lấy mẫu bởi thừa số không nguyên

Tuy nhiên, bởi vì lối ra của mạch lọc sẽ bị giảm tốc độ lấy mẫu bởi thừa
số M = 3 , nên chúng ta phải sử dụng tần số cắt c = /3, nhng hệ số khuyếch
~
đại của mạch lọc vẫn bằng 2 nh trong hình 4.29(d). Biến đổi Fourier X c (e j )
của lối ra của mạch lọc thông thấp chỉ ra trên hình 4.29(e). Các miền phủ bóng
chỉ thị phần phổ tín hiệu bị bỏ đi do tần số cắt thấp hơn đối với mạch lọc nôị
suy. Cuối cùng, hình 4.29(f) chỉ ra biến đổi Fourier thời gian - rời rạc của lối ra
của bộ lấy mẫu giảm bởi M = 3. Lu ý rằng các miền phủ bóng chỉ ra sự chồng
phổ có thể xảy ra nếu tần số cắt của mạch lọc thông thấp nội suy là /2 thay vì
bằng /3.
4.7 Xử lý tín hiệu đa tốc độ
Nh chúng ta đã thấy, có thể thay đổi tốc độ lấy mẫu của một tín hiệu thời
gian- rời rạc bằng một tổ hợp của sự nội suy và sự giảm tốc độ lấy mẫu. Chẳng

228

hạn, nếu chúng ta muốn có chu kỳ lấy mẫu mới T' =1,01T, thì đầu tiên chúng ta
có thể nộ suy bởi thừa số L = 100 bằng cách sử dụng mạch lọc thông thấp có
tần số cắt tại c = / 101 và sau đó giảm tốc độ lấy mẫu bởi M = 101. Sự thay
đổi trung gian rộng lớn này trong tốc độ lấy mẫu đòi hỏi một lợng tính toán rất
lớn cho mỗi mẫu lối ra nếu chúng ta thực hiện việc lọc trực tiếp ở tốc độ lấy
mẫu trung gian cao mà nó đã yêu cầu . May mắn thay, có thể rút bớt một lợng
tính toán rất lớn nh mong muốn nhờ sự nắm bắt đợc những u việt của một số
các kỹ thuật cơ bản trong lĩnh vực xử lý tín hiệu đa tốc độ. Nói chung kỹ thuật
xử lý đa tốc độ gắn liền với việc sử dụng sự lấy mẫu tăng, sự lấy mẫu giảm , các
bộ nén, các bộ giãn nở theo rất nhiều cách để tăng hiệu năng của các hệ thống
xử lý tín hiệu . Bên cạnh sự sử dụng của chúng trong sự chuyển đổi tốc độ lấy
mẫu , chúng còn cực kỳ hữu ích trong các hệ thống D/C và C/D trong đó sử
dụng sự lấy mẫu quá và định dạng - tạp âm.
Một lớp quan trọng khác của của các thuật toán xử lý tín hiệu liên quan mạnh
mẽ tới các kỹ thuật đa tốc độ là các dàn mạch lọc để phân tích hoặc xử lý các
tín hiệu. Do khả năng áp dụng rộng rãi của chúng, nên có một khối lợng rất lớn
các kết quả trên xử lý tín hiệu đa tốc độ . Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung
trên hai kết quả cơ bản và chỉ ra làm thế nào để phối hợp các kết quả đó lại với
nhau để có thể cải thiện đáng kể các hiệu quả của sự chuyển đổi tốc độ lấy
mẫu. Kết quả đầu tiên liên quan tới sự trao đổi của việc lọc và các hoạt động lấy
mẫu giảm hoặc lấy mẫu tăng. Thứ hai là sự khai triển đa pha.
4.7.1 Sự trao đổi của việc lọc và lấy mẫu tăng/ lấy mẫu giảm
Trớc hết, chúng ta sẽ đa ra hai đồng nhất thức giúp chúng ta thao tác và
hiểu biết hoạt động của các hệ thống đa tốc độ. Có thể chỉ ra ngay rằng hai hệ
thống trong hình 4.30 là tơng đơng với nhau. Để thấy đợc sự tơng đơng, cần lu
ý trong hình 4.30(b)
Xb(ej) = H(ej) X(ej)
(4.97)
và từ 4.78,

1 M 1
j
X b (e j( / M 2 i / M ) )
Y(e ) =
(4.98)

M i =0
Thay phơng trình (4.97) vào trong (4.98) cho ta
1 M 1
j
X(e j( / M 2 i / M ) )H(e j( 2 i ) )
Y(e ) =
(4.99)

M i =0
Vì H(ej(2i)) = H(ej), nên phơng trình (4.99) rút gọn thành
1 M 1
j
j
X(e j( / M 2 i / M ) )
Y(e ) = H(e )

M i =0
j
= H(e )Xa(ej)
(4.100)
tơng ứng với hình vẽ 4.30(a).
M
x[n]

H(z)
xa[n]
(a)

229

y[n]


H(zM)
x[n]

M
xb[n]

y[n]

(b)
Hình 4.30 Hai hệ thống tơng đơng dựa trên
các đồng nhất thức lấy mẫu giảm

H(z)
x[n]

L
xa[n]

y[n]

(a)

x[n]

L

xb[n]

H(zL)

y[n]

(b)
Hình 4.31 Hai hệ thống tơng đơng dựa trên
các đồng nhất thức lấy mẫu tăng
Một đồng nhất thức tơng tự áp dụng cho sự lấy mẫu tăng. Đặc biệt, nếu sử dụng
phơng trình (4.86) trong phần 4.6.2, thì cũng thấy ngay đợc sự tơng đơng của
hai hệ thống trong hình 4.31. Từ phơng trình 4.86 và hình 4.31(a), chúng ta có
H(ej) = Xa(ejL)
= X(ejL)H(ejL)
(4.101)
Từ phơng trình 4.86 và do
Xb(ej) = X(ejL)
nên suy ra rằng phơng trình (4.101) tơng đơng với
Y(ej) = Xb(ej)H(ejL)
tơng ứng với hình 4.31(b).
Khi đó , tổng kết lại, chúng ta đã chỉ ra rằng các hoạt động lọc tuyến tính
và lấy mẫu tăng hoặc lấy mẫu giảm có thể chuyển vị cho nhau nếu chúng ta
biến điệu bộ lọc tuyến tính.
4.7.2 Các phép khai triển đa pha
Sự khai triển đa pha của một dãy thu đợc bằng sự biểu diễn nó nh một
chồng chất của M dãy con, mỗi dãy chứa mỗi giá trị thứ M của các phiên bản

đã bị trễ liên tiếp của dãy. Khi khai triển này đợc áp dụng cho đáp ứng xung
của mạch lọc, thì nó có thể dẫn đến các cấu trúc thực thi hiệu dụng cho các
mạch lọc tuyến tính trong nhiều hoàn cảnh. Đặc biệt, hãy xét đáp ứng xung h[n]
mà chúng ta khai triển thành M dãy con hk[n] nh sau

230


h[ n + k ], n = b ằ ng số nguy ê n lần M
hk[n] =
(4.102)
0
,
c
á
c
gía
trị
kh
á
c

Nếu làm trễ liên tiếp các dãy con này, chúng ta có thể khôi phục lại đáp ứng
xung gốc h[n]; tức là
M 1

h k [n k]

h[n] =

h[n]
z h[n+1]

(4.103)

k =0

M e0[n]
M e1[n]

M

h0[n]

M h1[n]

z-1
+

z 2 h[n+2]

h[n]

.
.

M e2[n]
.
.

M h2[n]

z-2

.
.

zM-1 h[n+M-1] M eM-1[n]

h[n]

.
.

M hM-1[n] z--(M-1)

Hình 4.32 Khai triển đa pha của mạch lọc h[n]
sử dụng các thành phần ek[n]
Phép khai triển này có thể đợc biểu diễn nhờ giản đồ khối cho trên hình 4.32.
Nếu chúng ta muốn tạo ra một dãy các phần tử sớm tại lối vào và một dãy các
phần tử trễ ở lối ra, thì giản đồ khối trong hình 4.33 tơng đơng với giản đồ khối
trong hình 4.32. Trong phép khai triển trên hình 4.32 và 4.33, thì dãy e k[n] là
ek[n] = h[nM + k] = hk[nM]
(4.104)
và trong trờng hợp tổng quát đợc gán cho cái tên là các thành phần đa pha của
h[n]. Còn có nhiều cách khác để dẫn ra các thành phần đa pha, và cũng còn
nhều cách khác để đánh chỉ số chúng cho tiện lợi trong ký hiệu( Vaidyanathan,
1993), , tuy nhiên, định nghĩa trong phơng trình (4.104) là thích hợp với mục
tiêu của chúng ta ở trong phần này.
M

h[n]

h[n]

M
e0[n]

+
h0[n]

h[n]
z-1

z
M

M

231

+


h[n+1]

e1[n]

h1[n]
z-1

z
h[n+2]

M

e2[n]

M

h2[n]

+
z-1

z
M

M

h[n+M-1]

eM-1[n]

hM-1[n]

Hình 4.33 Khai triển đa pha của mạch lọc h[n] sử dụng
các thành phần ek[n] với độ trễ liên tiếp

E0(zM)

x[n]
z

-1

E1(zM)
z-1
+
E2(zM)
z

w[n]

-1

E(M-1)(zM)
Hình 4.34 Cấu trúc thực hiện dựa trên sự khai triển đa pha của h[n]

Hình 4.32 không thực hiện trên các mạch lọc, nhng chúng cho thấy làm
thế nào để mạch lọc có thể đợc khai triển thành M mạch lọc song song. Chúng
ta thấy đợc điều này nhờ sự lu ý rằng các hình 4.32 và 4.33 cho thấy , trong lĩnh
vực tần số hoặc trong biến đổi -z , biểu diễn đa pha tơng ứng với việc biểu thị
H(z) nh sau
M 1

H(z) =

E k ( z M )z k

(4.105)

k =0

Phơng trình 4.105 biểu thị hàm hệ H(z) nh là một tổng của các mạch lọc thành
phần trễ. Chẳng hạn , từ phơng trình (4.105), chúng ta thu đợc cấu trúc mạch
lọc chỉ ra trên hình 4.34.
4.7.3 Sự thực thi đa pha của các mạch lọc giảm tốc độ lấy mẫu
Một trong những ứng dụng quan trọng của phép khai triển đa pha là việc thực
thi các mạch lọc mà lối ra của chúng sau đó sẽ đợc lấy mẫu giảm nh đã chỉ trên
hình 4.35.

232


Trong sự thực thi trực tiếp hình 4.35, thì mạch lọc tính một mẫu lối ra tại
mỗi một giá trị của n, nhng sau đó chỉ có một trong mỗi M điểm lối ra là đợc
giữ lại . Về mặt trực giác , chúng ta có thể hy vọng rằng có thể thu đợc sự thực
thi hiệu dụng hơn mà không cần tính các mẫu đã bị bỏ đi.
Để thu đợc sự thực thi hiệu quả hơn, chúng ta phải khai thác phép khai
triển đa pha của mạch lọc. Đặc biệt, giả thiết là chúng ta biểu thị h[n] dới dạng
đa pha với các thành phần đa pha là
ek[n] = h[nM + k]
(4.106)
Từ phơng trình (4.105)
M 1

H(z) =

E k ( z M )z k

H(z)
x[n]

(4.107)

k =0

M
y[n]

w[n]=y[nM]

Hình 4.35 Hệ thống giảm tốc độ lấy mẫu.

Với sự khai triển này và với sự thực là sự lấy mẫu giảm giao hoán với phép cộng
, nên hình 4.35 có thể đợc vẽ lại nh đã chỉ ra trên hình 4.36. Nếu áp dụng đồng
nhất thức trong hình 4.30 cho hệ thống trong hình 4.36, thì khi đó chúng ta thấy
rằng hệ thống sau trở thành hệ thống chỉ ra trên hình 4.37.
Để minh họa sự u việt của hình 4.37 so với hình 4.35, hãy giả thiết rằng
lối vào x[n] đợc tạo nhịp tại tốc độ một mẫu trên một đơn vị thời gian và rằng
H(z) là một mạch lọc FIR N điểm. Trong sự thực thi trực tiếp hình 4.35, chúng
ta đòi hỏi N phép nhân và (N- 1) phép cộng trên một đơn vị thời gian. Trong hệ
thống trên hình 4.37, mỗi một mạch lọc E k(z) có chiều dài N/M, và các lối vào
của chúng đều có xung nhịp với tốc độ 1 trên M đơn vị thời gian. Vì vậy, mỗi
1 N
1 N
( ) phép nhân trên một đơn vị thời gian và
( 1)
mạch lọc yêu cầu
M M

M M
phép cộng trên một đơn vị thời gian, và toàn bộ hệ thống khi đó đòi hỏi (N/M)
N
phép nhân và ( 1) + ( M 1) phép cộng trên đơn vị thời gian. Vì thế, chúng
M
ta có thể tiết kiệm đáng kể các phép tính đối với một giá trị nào đó của M và N .

E0(zM)

x[n]
z

M

-1

E1(zM)

M

E2(zM)

M

z-1

+

z-1

233

w[n]


E(M-1)(zM)

M

Hình 4.36 Sự thực thi mạch lọc giảm tốc độ lấy mẫu
dùng khai triển đa pha

x[n]

z-1
z-1
z-1

M

E0(z)

M

E1(z)

M

E2(z)
.

.

M

E(M-1)(z)

.
.

+
w[n]

Hình 4.37 Sự thực thi các mạch lọc giảm tốc độ lấy mẫu sau khi áp dụng
đồng nhất thức lấy mẫu giảm cho phép khai triển đa pha

4.7.4 Sự thực thi đa pha của các mạch lọc nội suy
Những sự tiết kiệm giống nh cái mà chúng ta đã thảo luận cho việc giảm
tốc độ lấy mẫu có thể đạt đợc bằng cách áp dụng phép khai triển đa pha cho các
hệ thống mà trong đó bộ lấy mẫu tăng đợc đặt trớc mạch lọc nh đã chỉ trên
hình 4.38. Bởi vì chỉ mỗi mẫu thứ L của w[n] là khác không , nên sự thực thi
đúng đắn nhất của hình 4.38 phải gắn các hệ số của mạch lọc với các giá trị của
dãy mà các giá trị này đã đợc biết là bằng không. Một cách trực giác, ở đây
chúng ta lại có thể hy vọng rằng sự thực thi hiệu quả hơn là khả dĩ.

L

H(z)

x[n]

w[n]

y[n]

Hình 4.38 Các hệ thống nội suy

E0(zL)

L

+
z-1

x[n]
L

L

E1(z )

+
z-1

L

L

E2(z )
.
.

.
.

234

+
z-1

y[n]


E(M-1)(zL)

L

Hình 4.39 Sự thực thi mạch lọc nội suy dùng khai triển đa pha
+
x[n]

E0(z)

L

E1(z)

L

E2(z)

L

-1

z

y[n]

+
+

z-1
z-1

E(L-1)(z)

L

Hình 4.40 Sự thực thi mạch lọc nội suy sau khi áp dụng
đồng nhất thức lấy mẫu tăng cho khai triển đa pha

Để thực thi hệ thống trong hình 4.38 một cách có hiệu quả hơn, chúng ta lại sử
dụng phép khai triển đa pha cho H(z). Chẳng hạn, chúng ta có thể biểu thị H(z)
nh trong dạng của phơng trình (4.107) và biểu diễn hình 4.38 nh đã chỉ trong
hình 4.39. áp dụng đồng nhất thức trong hình 4.31, chúng ta có thể sắp xếp lại
hình 4.39 nh đã chỉ trên hình 4.40.
Để minh họa những u điểm của hình 4.40 so với hình 4.38 , chúng ta cần
lu ý rằng trong hình 4.38 nếu x[n] đợc tạo nhịp ở tốc độ một mẫu trên một đơn
vị thời gian, thì khi đó w[n] sẽ đợc tạo nhịp ở tốc độ L mẫu trên một đơn vị thời
gian. Nếu H(z) là một mạch lọc FIR có độ dài N, thì khi đó chúng ta yêu cầu

NL phép nhân và (NL - 1) phép cộng trên một đơn vị thời gian. Mặt khác, hình
4.40 yêu cầu L(N/L) phép nhân và L[(N/L) - 1] phép cộng trên một đơn vị thời
gian cho tất cả các mạch lọc đa pha , cộng với (L- 1) phép cộng để nhận đợc
y[n]. Vì thế chúng ta lại có khả năng tiết kiệm đáng kể trong tính toán đối với
một số giá trị của L và N.
Đối với cả sự giảm tốc độ lấy mẫu lẫn sự nội suy, lợi ích trong hiệu suất
tính toán là kết quả từ sự sắp xếp lại các hoạt động để sao cho qua trình lọc đợc
thực hiện ở tốc độ lấy mẫu giảm . Các tổ hợp của các hệ thống nội suy và các hệ
thống giảm tốc độ lấy mẫu đối với những tốc độ không nguyên đa đến sự tiết
kiệm đáng kể đòi hỏi phải tăng cao tốc độ trung gian .
4.8.Xử lý số của các tín hiệu tơng tự
Cho đến bây giờ, những thảo luận của chúng ta về biểu diễn các tín hiệu
thời gian- liên tục bởi các tín hiệu thời gian- rời rạc tập trung trên các mô hình
lý tởng hoá của sự lấy mẫu tuần hoàn và phép nội suy giới hạn dải. Chúng ta
cũng đã công thức hoá những thảo luận đó trong các dạng của một hệ thống lấy
mẫu đã đợc lý tởng hoá mà chúng ta đã gọi là bộ chuyển đổi liên tục thành rời
rạc (C/D) lý tởng và một hệ thống nội suy giới hạn dải đợc gọi là bộ chuyển đổi

235


rời rạc thành liên tục lý tởng (D/C). Các hệ thống chuyển đổi đợc lý tởng hóa
này cho phép chúng ta tập trung trên các chi tiết toán học cốt yếu của mối quan
hệ giữa một tín hiệu giới hạn dải và các mẫu của nó. Chẳng hạn, trong phần 4.4,
các hệ thống chuyển đổi D/C và C/D đợc lý tởng hoá để chỉ ra rằng các hệ
thống thời gian-rời rạc tuyến tính và bất biến với thời gian có thể đợc sử dụng
trong cấu hình của hình 4.41(a) để thực thi các hệ thống thời gian- liên tục
tuyến tính và bất biến với thời gian nếu lối vào đợc giới hạn dải và tốc độ lấy
mẫu vợt quá tốc độ Nyquist . Trong thực tế , các tín hiệu thời gian-liên tục
không bị giới hạn dải một cách hoàn toàn chính xác , nên các mạch lọc lý t ởng

không thể đợc thực hiện, còn các bộ chuyển đổi D/C và C/D lý tởng chỉ có thể
đợc thực hiện một cách gần đúng bởi các thiết bị đợc gọi là các bộ chuyển đổi tơng tự-số (A/D) và số-tơng tự (D/A), một cách tơng ứng . Giản đồ khối của
hình 4,41(b) chỉ ra một mô hình hiện thực hơn cho việc xử lý số các tín hiệu
thời gian- liên tục (tơng tự). Trong phần này chúng ta sẽ kiểm tra một số sự
khảo sát đã đợc đa vào bởi mỗi một thành phần của hệ thống trong hình 4.41(b)

Hệ thống
rời rạc

C/D
xc(t)

x[n]

D/C
y[n]

T

yr(t)
T

(a)
Mạch lọc
chống
xc(t) chồng phổ

Lấy mẫu
và
duy trì

Han(j) xa(t)

A/D

~
x[ n]

x0(t)
T

Hệ thống
thời gian
rời rạc

D/A

~
y[ n]

T

Mạch lọc
khôi phục
cân bằng

~
y r (t )

yDA(t)

T

(b)
Hình 4.41 (a) Việc lọc thời gian- rời rạc các tín hiệu thời gian-liên tục.
(b) Xử lý số các tín hiệu tơng tự.

4.8.1 Lọc trớc để tránh chồng phổ
Trong xử lý các tín hiệu tơng tự mà sử dụng các hệ thống thời gian-rời
rạc, thì nói chung là cần phải cực tiểu hoá tốc độ lấy mẫu. Chính là vì số lợng
các phép tính xử lý số học đã đòi hỏi thực thi hệ thống tỉ lệ với số các mẫu đợc
xử lý . Nếu lối vào không bị giới hạn dải hoặc nếu tần số Nyquist của lối vào
quá cao, thì sự lọc trớc là cần thiết. Một ví dụ của tình trạng này xảy ra trong
việc xử lý các tín hiệu tiếng nói , ở đấy thờng chỉ có dải tần thấp vào khoảng
trên 3 - 4 KHz là đợc yêu cầu , thậm chí tín hiệu tiếng nói có thể có nội dung tần
số có nghĩa trong vùng từ 4 kHz đến 20 kHz. Cũng thế, thậm chí nếu tín hiệu đã
bị giới hạn dải một cách tự nhiên, thì tạp âm bổ sung băng rộng có thể chiếm
vùng tần số cao hơn, và do kết quả của sự lấy mẫu, các thành phần tạp âm này

236


sẽ xen phủ vào trong dải tần số thấp . Nếu chúng ta muốn tránh sự chồng phổ
này , thì tín hiệu lối vào phải bị đẩy vào dải hạn chế bởi các tần số thấp hơn một
nửa tốc độ lấy mẫu mong muốn. Điều đó có thể đợc thực hiện bởi việc lọc
thông thấp các tín hiệu thời gian -liên tục trớc khi đi đến sự chuyển đổi C/D,
nh đã chỉ ra trên hình 4.42. Trong bối cảnh này, mạch lọc đặt trớc bộ chuyển
đổi C/D đợc gọi là mạch lọc chống chồng phổ . Một cách lý tởng, đáp ứng tần
số của mạch lọc chống chồng phổ sẽ là
1, | |< c < / T
H an ( j) =

(4.108)
| |> c
0,
Từ sự thảo luận trong phần 4.4.1, suy ra rằng hệ thống tổng thể, từ lối ra của
mach lọc chống chồng phổ xa(t) đến lối ra yr(t) , sẽ luôn luôn có tính chất nh
một hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian, bởi vì lối vào tới bộ chuyển đổi
C/D , xa(t), phải đợc đẩy vào trong một dải tần số giới hạn thấp hơn /T
radians/s nhờ mạch lọc chống chồng phổ. Vì thế, đáp ứng tần số hiệu dụng tổng
thể của hình 4.42 sẽ là tích của Han(j) và đáp ứng tần số hiệu dụng từ x a(t) đến
yr(t). Tổ hợp các phơng trình (4.108) và (4.38) cho ta
H(e jT ), | |< c
H eff ( j) =
(4.109)
| |>
0,
Mạch lọc
chống
C/D
xc(t) chồng phổ xa(t)

Hệ thống
thời gian
x[n] rời rạc

D/C
y[n]

yr(t)

Han(j)

T

T

Hình 4.42 Dùng sự lọc trớc để tránh chồng phổ
Vì thế, đối với mạch lọc chống chồng phổ lý tởng , thì hệ thống của hình 4.42
có tính chất nh một hệ thống tuyến tính bất biến với thời gian với đáp ứng tần
số cho bởi phơng trình (4.109) , ngay cả khi X c(j) không đợc giới hạn giải.
Trong thực tế, đáp ứng tần số Han(j) không thể đợc giới hạn dải một cách lý tởng, nhng Han(j) có thể đợc làm nhỏ với || > / T để sao cho sự chồng phổ là
nhỏ nhất. Trong trờng hợp này, đáp ứng tần số tổng thể của hệ thống trong hình
4.42 gần đúng bằng
Heff(j) = Han(j) H(ej)
(4.110)
Để đạt đợc đáp ứng tần số có giá trị rất bé có thể loại trừ trong vùng phía trên
/T, thì cần phải cho Han(j) bắt đầu "uốn xuống"; có nghĩa là bắt đầu sự suy
giảm, tại các tần số dới / T. Phơng trình 4.110 gợi ý rằng sự suy giảm của
mạch lọc chống chồng phổ ( và những biến dạng tuyến tính và bất biến với thời
gian khác sẽ đợc thảo luận sau này) có thể sẽ đợc bù trừ ít nhất là từng phần để
lấy nó đa vào trong tính toán thiết kế hệ thống thời gian- rời rạc. Điều này đợc
minh họa trong bài toán 4.56.

237


Sự thảo luận trên đây yêu cầu đến các mạch lọc chống chồng phổ "cắt
-sắc" (có sờn dốc đứng - ND). Các mạch lọc tơng tự cắt -sắc nh vậy có thể đợc thực hiện khi sử dụng các mạng tích cực và các vi mạch . Tuy nhiên, trong
các ứng dụng gắn liền với các bộ xử lý số công suất lớn , nhng không đắt tiền, ,
thì các mạch lọc thời gian -liên tục này có thể chiếm phần lớn giá thành của
một hệ thống xử lý thời gian - rời rạc các tín hiệu tơng tự. Các mạch lọc cắtsắc rất khó khăn trong việc thực thi và cũng rất đắt, và nếu hệ thống hoạt động
với tốc độ lấy mẫu có thể thay đổi , thì phải yêu cầu các mạch lọc có thể điều

chỉnh đợc. Hơn nữa, các mạch lọc tơng tự cắt- sắc nói chung có đáp ứng pha
không tuyến tính rất cao, đặc biệt ở mép dải thông. Vì thế, do nhiều lý do ngời
ta muốn loại bỏ các mạch lọc thời gian -liên tục hoặc đơn giản hoá các yêu cầu
trên nó.
Sự giảm tốc độ lấy mẫu M lần

xc(t)

Mạch lọc
chống
chồng phổ
đơn giản
xa(t)

C/D

T=

~
x[ n]

Mạch lọc
chống
chồng phổ
cắt sắc

M
xd[n]

1

(
)
M N

Hình 4.43 Sử dụng sự chuyển đổi A/D đợc lấy mẫu quá để
đơn giản hoá mạch lọc chống chồng phổ thời gian-liên tục.

Một phơng pháp tiếp cận đợc vẽ trên hình 4.43. Với N là thành phần tần số cao
nhất có thể thu đợc sau khi lọc chống chồng phổ đợc hoàn tất, trớc hết chúng ta
áp dụng một mạch lọc chống chồng phổ rất đơn giản có tần số cắt giảm từ từ
với độ suy giảm đáng kể tại MN,. Tiếp theo là thực thi sự chuyển đổi C/D tại
một tốc độ lấy mẫu cao hơn nhiều 2N, chẳng hạn tại MN. Sau đó, sự giảm tốc
độ lấy mẫu bởi thừa số M bao gồm việc lọc chống chồng phổ cắt sắc đợc thực
thi trong lĩnh vực thời gian- rời rạc. Sau đó, sự xử lý thời gian- rời rạc tiếp theo
có thể đợc thực hiện ở tốc độ lấy mẫu thấp để giảm tới mức cực tiểu sự tính
toán.
Việc sử dụng sự lấy mẫu quá này đợc cho phép bởi sự chuyển đổi tốc độ
lấy mẫu đợc minh họa trong hình 4.44. Hình 4.44(a) chỉ ra biến đổi Fourier của
một tín hiệu mà tín hiệu này chiếm dải tần || < N, cộng với biến đổi Fourier
của tín hiệu tơng ứng với tạp âm tần số cao hoặc các thành phần không mong
muốn mà chúng ta muốn loại bỏ nhờ mạch lọc chống chồng phổ.
Xc(j)
mạch lọc
chống chồng phổ

tín hiệu
1

238

đơn giản

tạp âm tần số cao
-c

0
N
(a)
Xa(j)

-N

c



1 tín hiệu
tạp âm đã bị lọc
- c



0
(b)

N

c

~
X(e j )
mạch lọc giảm
1/T 1

T=/

(MN)
tốc độ lấy
mấu cắt sắc

tạp âm chồng
phổ

N

-2

0
(c)

N

2 =

Xd(ej)
1/T
-2

T'= MT


2

=T'

Hình 4.44 Sử dụng sự lấy mẫu quá trớc khi giảm tốc độ lấy mẫu
trong bộ chuyển đổi C/D.
ở đây cũng chỉ ra đáp ứng tần số của một mạch lọc chống chồng phổ không
dốc đứng (đờng chấm chấm), mà giảm từ từ đến không tại các tần số phía trên
tần số c. Hình 4.44(b) chỉ ra biến đổi Fourier của lối ra của mạch lọc này. Nếu
tín hiệu xa(t) đợc lấy mẫu với chu kỳ T sao cho ( 2/ c) > N, thì khi đó
x[ n] sẽ đợc chỉ ra nh trên hình
biến đổi Fourier thời gian - rời rạc của dãy ~
4.44(c). Chú ý rằng "tạp âm" sẽ bị chồng phổ , nhng sự chồng phổ không tác
động đến dải tần của tín hiệu || < N = NT. Bây giờ nếu T và T' đợc chọn nh
~
thế nào để T' = TM và / T' = N, thì khi đó x[ n] có thể đợc lọc bởi một mạch
lọc thời gian - rơì rạc cắt -sắc( đợc chỉ ra một cách lý tởng hoá trong hình
4.44(c)) với hệ số khuyếch đại đơn vị và tần số cắt /M.

239


xa(t

lấy mẫu
và
duy trì

x0(t)

chuyển đổi
A/D

~
x B (t )

Hình 4.45 Cấu hình vật lý của bộ chuyển đổi tơng tự - số.
Lối ra của mạch lọc thời gian- rời rạc có thể đợc lấy mẫu giảm bởi thừa số M để
thu đợc dãy mẫu xd[n] mà biến đổi Fourier của nó cho trên hình 4.44(d). Nh
vậy, tất cả các việc lọc cắt sắc đã đợc thực hiện bởi một hệ thống thời gian-rời
rạc và chỉ có sự lọc thời gian- liên tục danh nghĩa là đợc yêu cầu. Bởi vì các
mạch lọc FIR thời gian -rời rạc có thể có pha tuyến tính một cách chính xác,
nên có thể sử dụng phơng pháp lấy mẫu quá này để thực thi việc lọc chống
chồng phổ hầu nh không có biến dạng về pha . Điều này có thể là một u điểm
nổi bật trong các tình huống mà ở đấy phải bảo toàn một cách nghiêm khắc
không chỉ phổ tần số mà cả dạng sóng nữa.
4.8.2 Sự chuyển đổi tơng tự- số (A/D)
Bộ chuyển đổi C/D lý tởng chuyển đổi một tín hiệu thời gian -liên tục
thành một tín hiệu thời gian - rời rạc , ở đấy mỗi mẫu đợc biết với độ chính xác
vô cùng lớn. Gần giống nh vậy, đối với sự xử lý tín hiệu số , hệ thống của hình
4.45 chuyển đổi một tín hiệu thời gian -liên tục ( tơng tự) thành một tín hiệu
số , tức là một dãy với độ chính xác hữu hạn hoặc các mẫu đã đợc lợng tử hoá.
Hai hệ thống trong hình 4.45 đợc sử dụng nh các thiết bị vật lý. Bộ chuyển đổi
A/D là một thiết bị vật lý chuyển đổi một biên độ thế hoặc biên độ dòng tại lối

vào của nó thành một mã nhị phân biểu diễn giá trị biên độ đã đợc lợng tử hoá
gần nhất với biên độ của lối vào. Dới sự điều khiển của một đồng hồ bên ngoài,
bộ chuyển đổi A/D có thể khởi động và hoàn chỉnh sự chuyển đổi A/D cứ mỗi
T giây. Tuy nhiên, sự chuyển đổi là không tức thời, nên vì lý do đó, mà một hệ
thống A/D chất lợng cao tiêu biểu luôn luôn bao gồm một bộ lấy mẫu và duy
trì, nh đã chỉ trong hình 4.45. Hệ thống lấy mẫu và duy trì lý tởng là một hệ
thống mà lối ra của nó là


x0(t) =

x[ n]h 0 (t nT )

n =

(4.111)

ở đây x[n] = xa(nT) là các mẫu lý tởng của xa(t) và h0(t) là đáp ứng xung của hệ
thống duy trì - bậc không, tức là
0 1,
h0(t) =
(4.112)
0, cá c gía trị kh á c
Nếu chúng ta lu ý rằng phơng trình (4.111) có dạng tơng đơng với


x0(t) = h0(t) *

x a (nT )(t nT )

n =

(4.113)

Chúng ta thấy rằng bộ lấy mẫu và duy trì tơng đơng với sự điều chế dãy xung
tiếp theo sau là lọc tuyến tính với hệ thống duy trì - bậc không, nh đã đợc vẽ
trong hình 4.46(a). Quan hệ giữa biến đổi Fourier của x 0(t) và biến đổi Fourier
của xa(t) có thể đợc đa ra theo kiểu phân tích nh trong phần 4.2 và chúng ta sẽ
làm kiểu phân tích giống nh thế khi chúng ta thảo luận bộ chuyển đổi D/A. Tuy
nhiên, ở điểm này thì sự phân tích là không cần thiết , bởi vì mọi thứ mà chúng

240


ta cần biết về các tính chất của hệ thống có thể thấy đợc từ các biểu thức trên
lĩnh vực thời gian. Đặc biệt, lối ra của bộ duy trì - bậc không có dạng sóng nhẩy
bậc theo cấp, ở đấy các giá trị lấy mẫu đợc giữ không thay đổi trong suốt chu
kỳ lấy mẫu T giây. Điều này đã đợc minh họa trên hình 4.46(b).
Lấy mẫu và duy trì


s(t)=

(t nT )

n =

X
xa(t)

xs(t)

Bộ duy trì
bậc không
h0(t)

x0(t)

(a)
x0(t)
xa(t)
T
-3T

-2T

-T

0

T

2T
t

Hình 4.46 (a) Biểu diễn của một bộ lấy mẫu và duy trì lý tởng.
(b) Biểu diễn tín hiệu lối vào và lối ra của của bộ lấy mẫu và duy trì
Các mạch lấy mẫu và duy trì đợc thiết kế để lấy mẫu xa(t) gần nh tức thời để
giữ cho giá trị lấy mẫu gần nh là hằng số cho đến tận mẫu tiếp theo đợc lấy.

Mục đích của điều này là cung cấp thế (hoặc dòng) lối vào không đổi do bộ
chuyển đổi A/D yêu cầu. Các chi tiết của rất nhiều quá trình chuyển đổi A/D và
các chi tiết về các bộ lấy mẫu và duy trì và sự thực thi các mạch A/D vợt ra
ngoài phạm vi của sách này.
Nhiều lối thoát thực tế xuất hiện để thu đợc sự lấy mẫu và duy trì trong đó
các mẫu rất nhanh và duy trì giá trị lấy mẫu hằng số không có sự suy giảm hoặc
" thăng giáng". Cũng nh vậy , nhiều thiết bị thực tế yêu cầu bức thiết tốc độ và
độ chính xác của sự chuyển đổi của các mạch chuyển đổi A/D. Các vấn đề nh
vậy đã đợc xét đến trong các sách của Hnatek (1988) và Schmid (1976), và các
chi tiết về hiệu quả của các sản phẩm riêng biệt đã đợc sử dụng theo quy định
công nghệ và ngân hàng dữ liệu. Sự quan tâm của chúng ta trong phần này là
phân tích các hiệu ứng lợng tử trong sự chuyển đổi A/D.

241