Phương trình Lượng giác chứa tham số Phần 1

Phương trình lượng giác chứa tham số
Phần 1
Một số lưu ý


Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác.



Tài liệu không nhắc lại cách giải các phương trình lượng giác cơ bản

 sin x / cos x / tan x / cot x  m

và các phương trình lượng giác thường gặp (bậc nhất

đối với sin x và cos x ; bậc hai/ bậc cao với một ẩn lượng giác; đối xứng sin x và
cos x ; đẳng cấp bậc hai và bậc ba).



Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm và Lược đồ Horner; Khảo sát hàm
bậc hai f  x   ax 2  bx  c và các dạng hàm liên quan (hàm số chứa căn, chứa trị
tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…).



Tài liệu không sử dụng phương pháp hàm số có sử dụng đạo hàm (Toán 12).



Mọi góp ý, thắc mắc vui lòng liên hệ địa chỉ email

1


Câu 1. Cho phương trình cos x  m sin x  2 .
1) Giải phương trình khi m  3 .
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn
1) Với m  3 thì pt  cos x  3 sin x  2

1



12 

 3

2

3

cos x 
12 

 3

2

2

sin x 
12 

 3

2

1
3


cos x 
sin x  1  sin cos x  cos sin x  1
2
2
6
6








 sin   x   1  sin   x   sin   x   k 2  x   k 2 , k  Z
2
6
2

3
6

6



Vậy phương trình có nghiệm x 


3

 k 2 , k  Z .

m   3
2) Phương trình có nghiệm khi 12  m2  22  m2  3  
.
 m  3

1
3 sin 2 x  sin 2 x  m .
2

Câu 2. Cho phương trình

1) Giải phương trình khi m  3 .
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn

1

1) Với m  3 thì pt  3 sin 2 x  sin 2 x  3
2

3 1  cos 2 x 

sin 2 x
 3  3  3 cos 2 x  sin 2 x  2 3
2
2
1
3
3
 sin 2 x  3 cos 2 x  3  sin 2 x 
cos 2 x 
2
2
2
 



2 x    k 2
x   k



3


3 3

3
 sin  2 x   


,k  Z
3 2

 2 x    2  k 2
 x    k


3
3
2


2) pt 



3 1  cos 2 x 
2



sin 2 x
m
2

 3  3 cos 2 x  sin 2 x  2m  sin 2 x  3 cos 2 x  2m  3 .

2


Phương trình có nghiệm khi 12 

 2  3  2m  2  3 

 3    2m  3 
2

2

2  3
2 3
m
.
2
2

Câu 3. Cho phương trình 2sin 2 x  6cos 2

x
 5  2k .
2

1) Tìm k nguyên dương để phương trình có nghiệm.
2) Tìm nghiệm của phương trình khi k  1 .
Đáp án: 1) k  1; k  2 ;

2) x  

2
 l 2 , l  Z .
3

Câu 4. Cho phương trình sin 2 x   2m  2  sin x cos x   m  1 cos 2 x  m .
1) Tìm m để phương trình có nghiệm.
2) Giải phương trình khi m  2 .
Hướng dẫn
1) pt 

1  cos 2 x
1  cos 2 x
  m  1 sin 2 x   m  1
m
2
2

 1  cos 2 x  2  m  1 sin 2 x   m  1   m  1 cos 2 x  2m
 2  m  1 sin 2 x   m  2  cos 2 x  3m
Phương trình có nghiệm khi 2  m  1   m  2    3m 
2

2

2

 4m2  8m  4  m2  4m  4  9m2
m  1

 5m2  4m  8  9m2  4m2  4m  8  0  
 m  2
2) Với m  2 thì pt  2  m  1 sin 2 x   m  2  cos 2 x  3m

 6sin 2 x  6  sin 2 x  1  2 x 


2

 k 2  x 


4

 k , k  Z .

Câu 5. Tìm m để phương trình  m  1 sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  0 có nghiệm.
Đáp án: m  1 .
Câu 6. Cho phương trình

2sin x  cos x  1
 a.
sin x  2cos x  3

1) Giải phương trình khi a 

1
.
3

2) Tìm a để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn
1) Với a 

1
2sin x  cos x  1 1

thì pt 
3
sin x  2cos x  3 3

3


 6sin x  3cos x  3  sin x  2 cos x  3  5sin x  5cos x  0
 sin x  cos x  0  x  


4

 k , k  Z

2) Nhận xét thấy  5  sin x  2cos x 5 sin x 2cos x 3 0  x .
(Mẫu số khác 0 với mọi x – Điều này rất quan trọng khi biện luận phương trình dạng
T

a sin x  b cos x  c
).
m sin x  n cos x  p

Do đó, pt  2sin x  cos x  1  a sin x  2a cos x  3a

  a  2 sin x   2a  1 cos x  1  3a
Phương trình có nghiệm khi  a  2    2a  1  1  3a 
2

2

2

 a 2  4a  4  4a 2  4a  1  9a 2  6a  1  5a 2  5  9a 2  6a  1
1
 4a 2  6a  4  0  2a 2  3a  2  0    a  2
2
Câu 7. Cho phương trình 2a sin x   a  1 cos x 

a
.
cos x

1) Giải phương trình khi a  1 .
2) Tìm a để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn

pt  2a sin x cos x   a  1 cos 2 x  a, cos x  0

 a  1 cos 2 x  1
a
a sin 2 x 
2a sin 2 x   a  1 cos 2 x  a  1 1



2
cos x  0
cos x  0

1) Với a  1 thì



2 x    k

2sin 2 x  2 cos 2 x  0



4
pt  

 x   k , kZ
8
2
cos x  0
 x    k

2
2) Phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (1) có ít nhất một nghiệm thỏa mãn

cos x  0 .
 a  1

2
2
2
Trước hết, (1) có nghiệm khi  2a    a  1   a  1  
.
a  0

sin 2 x  2sin x cos x  0
Xét cos x  0 thì 
, được 1  a  1  a  1  a  0 .
2
cos 2 x  2cos x  1  1
Thử lại, với a  0 thì 1  cos 2 x  1  2cos 2 x  0  cos x  0 , hay phương
trình có nghiệm duy nhất là cos x  0 bị loại.

4


Do đó giá trị a  0 không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 a  1
 a  1
Như vậy, phương trình có nghiệm khi  a  0  
.
a0

 a  0
Câu 8. Cho phương trình sin 2 x  4  cos x  sin x   m .
1) Giải phương trình khi m  4 .
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn

pt  2sin x cos x  4  cos x  sin x   m ; Đặt t  cos x  sin x , t 

2  sin x cosx 

1 t2
.
2

pt  1  t 2  4t  m  m  t 2  4t  1 .
1) Với m  4 thì pt  4  t 2  4t  1  t 2  4t  3  0
t  3  loai 

 x  k 2

t  1 tm   cos x  sin x  1  
,k  Z
 x     k 2

2



2) Ta có m  f  t   t 2  4t  1 với  2  t  2 .
Dễ thấy f  t   t 2  4t  1 là hàm liên tục trên   2; 2  nên phương trình

m  f  t  có nghiệm khi min f  t   m  max f  t  .
f  t   t 2  4t  1  t 2  4t  4  5  5   t  2 

2

Mà  2  t  2   2  2  t  2  2  2



 2 2



2



 t  2  2  2
2



2

 6  4 2  t  2  6  4 2
2

 1  4 2  5   t  2   1  4 2  1  4 2  f  t   1  4 2
2

Như vậy phương trình có nghiệm khi 1  4 2  m  1  4 2 .
Lưu ý: Bạn cũng có thể sử dụng phương pháp hàm số: Lập bảng biến thiên cho hàm
số bậc hai f  t   t 2  4t  1 với  2  t  2 để tìm min f  t  , max f  t  .

Câu 9. Tìm m để phương trình sin x  cos x  2sin 2 x  m có nghiệm.
Hướng dẫn
Đặt t  sin x  cos x , t 

2 thì sin x cos x 

1 t2
.
2

5


2

2t  t  2, 0  t  2
pt  t  2 1  t 2   m  m  f  t   2t 2  t  2  
2

2t  t  2,  2  t  0

Hàm số f  t  liên tục nên phương trình m  f  t  có nghiệm khi min f  t   m  max f  t 
với  2  t  2 .





Lập bảng biến thiên cho hàm lắp ghép trên, ta được min f  t   f  2  f

 2 

2 2

 1
 1  17
và max f  t   f     f    .
 4
4 8

2 2 m

Như vậy phương trình có nghiệm khi

17
.
8

Câu 10. Cho phương trình sin 4 x  cos4 x  m .
1) Tìm m để phương trình có nghiệm.
2) Giải phương trình khi m 

3
.
4

Hướng dẫn



1) pt  m  sin 4 x  1  sin 2 x



2

 2sin 4 x  2sin 2 x  1

Đặt t  sin2 x , 0  t  1 thì pt  m  f  t   2t 2  2t  1.
Dễ thấy hàm f  t   2t 2  2t  1 liên tục trên D  R nên phương trình m  f  t  có
nghiệm khi min f  t   m  max f  t  với 0  t  1 .
Xét hàm

f  t   2t 2  2t  1 trên

0;1

và lập bảng biến thiên, ta được

1 1
min f  t   f    và max f  t   f  0   f 1  1 .
2 2
Do đó phương trình có nghiệm khi
2) Khi m 

1
 m  1.
2

3

3
thì  2t 2  2t  1  8t 2  8t  1  0 .
4
4

6



1  cos 2 x 2  2
42 2 2 2
2


t  sin x 

8
4
2
4





1  cos 2 x 2  2
42 2 2 2
2



t  sin x 

8
4
2
4


1

cos
2
x



1
1
2

 cos 2 x  
 cos 2 2 x 
1
2

2
cos 2 x  2

1  cos 4 x 1




  cos 4 x  0  x   k , k  Z
2
2
8
4
Câu 11. Cho phương trình sin 4 x  1  sin x   m .
4

1
1) Giải phương trình khi m  .
8
2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn
Phương trình đã cho có dạng

t  x

 x  a

4

  x  b   m với cách phương pháp ẩn phụ
4

ab
và đưa về phương trình trùng phương.
2

1
3
1
2
pt  sin 4 x   sin x  1  m ; Đặt t  sin x  , với 1  sin x  1    t 
2
2
2
4

4

1
 1  1
pt   t     t    m  m  f  t   2t 4  3t 2 
8
 2  2

1) Với m 

1
1 1
thì pt  2t 4  3t 2    t  0
8 8
8



x   k 2


1
1
6
 sin x   0  sin x   
,k  Z
2
2
 x  5  k 2

6
2) Đặt u  t 2 với 

3
1
9
t  0u .
2
2
4

pt  m  2t 4  3t 2 
f  u   2u 2  3u 

1
1
9
 f  u   2u 2  3u  , với 0  u  .
8
8
4

1
là hàm liên tục trên D  R nên phương trình m  f  u  có
8

nghiệm khi min f  u   m  max f  u  , với 0  u 

7

9
.
4


Xét hàm số f  u   2u 2  3u 

1
1
và lập bảng biến thiên, được min f  u   f  0  
8
8

9
và max f  u   f    17 .
4
Do đó, phương trình có nghiệm khi

1
 m  17 .
8

Câu 12. Tìm m để phương trình sau có nghiệm.



 



4 sin 4 x  cos4 x  4 sin 6 x  cos6 x  sin 2 4 x  m

.

Hướng dẫn
 1

 3

pt  m  4 1  sin 2 2 x   4 1  sin 2 2 x   sin 2 4 x
 2

 4

2
2
2
 m  4  2sin 2 x  4  3sin 2 x  sin 4 x  sin 2 2 x  sin 2 4 x
1  cos 4 x
m
 1  cos 2 4 x  2m  2 cos 2 4 x  cos 4 x  1

2

Đặt cos 4x  t    1;1 thì pt  2m  f  t   2t 2  t  1
Dễ thấy f  t   2t 2  t  1 là hàm liên tục và là hàm bậc hai, dễ dàng tìm được

9
1
min f  t   f     và max f  t   f  1  2 .
8
4
9
9
Do đó, để phương trình có nghiệm thì   2m  2    m  1 .
8
16
Câu 13. Cho phương trình cos 2 x   m  1 sin x  m  0 . Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn

pt  1  2sin 2 x   m  1 sin x  m  0  2sin 2 x   m  1 sin x   m  1  0
Đặt t  sin x,  1  t  1 thì pt  f  t   2t 2   m  1 t   m  1  0 .
Do f  t   2t 2   m  1 t   m  1 là hàm liên tục trên R nên phương trình f  t   0
có nghiệm khi min f  t   0  max f  t  với 1  t  1 .

m 1

Hàm số f  t   2t 2   m  1 t   m  1 nghịch biến trên  ;
 và nghịch biến
4 

2

 m 1

 m  1  m  10m  9
;   , với f  1  2 ; f 1  2m và f 
trên 
.

8
 4

 4 

1) TH 1: Với

m 1
 1  m  5
4

8


Từ bảng biến thiên nhận thấy min f t   f  1   2 và max f  t   f 1  2m .

m  5
Do đó phương trình có nghiệm khi 
VN  .
2  0  2m
2) TH 2: Với 1 

m 1

 1   5  m 3
4

Từ bảng biến thiên, ta lại có 2 TH:


TH 2a. Với f  1  f 1  2  2 m  m   1 .

 m 1
Khi đó, min f  t   f 
 và max f  t   f 1 nên phương trình có
 4 

5  m  3
5  m  1


 m 2  10m  9  0  m  1 .
nghiệm khi m  1
 m 2  10m  9
m  0


 0  2m

8


TH 2b. Với f  1  f 1  2  2 m  m   1 .

 m 1
Khi đó, min f  t   f 
 và max f  t   f  1 nên phương trình có
 4 

5  m  3

1  m  3
 2
 1  m  3 .
nghiệm khi m  1

m

10
m

9

0

 m 2  10m  9

02

8

9

3) TH 3: Với

m 1
1 m  3
4

Từ bảng biến thiên nhận thấy min f t   f 1  và max f  t   f  1 .

m  1
Do đó phương trình có nghiệm khi 
 m  0.
2m  0  2

 m  1
Từ tất cả các TH trên, ta được phương trình có nghiệm khi  1  m  3  m  1 .
 m  0
Câu 14. Cho phương trình

cos6 x  sin 6 x
 2m tan 2 x . Tìm m để phương trình có nghiệm.
cos 2 x  sin 2 x

Hướng dẫn

3
1  sin 2 2 x
3
4
pt 
 2m tan 2 x  1  sin 2 2 x  2m sin 2 x, cos 2 x  0

cos 2 x
4
2
 3sin 2 x  8m sin 2 x  4  0
Đặt sin 2x  t với cos2 x  0 sin2 x  1  1  t  sin2 x 1 .

pt  f  t   3t 2  8mt  4  0 .
Hàm f  t  liên tục nên phương trình f  t   0 có nghiệm khi min f  t   0  max f  t  với

1  t  1 .
4m 

Hàm f  t  nghịch biến trên  ; 
 ; đồng biến trên
3 


 4m

;   với f  1  1  8 m ;

 3


16m
 4m 
4.
f 1  1  8m và f  

3

 3 
2

1) TH 1: Với 

4m
3
 1  m  , ta có bảng biến thiên:
3
4

10


Từ bảng biến thiên nhận thấy f  1  f t   f 1   1 8m  f t   1 8m .

3

3
m 
Do đó, phương trình có nghiệm khi 
m .
4
4
1  8m  0  1  8m
2) TH 2: Với 1  

4m
3
3

 1    m  , ta có bảng biến thiên:
3
4
4

Ta có 2 trường hợp nhỏ.


2a: Nếu f  1  f 1  1  8m  1  8m  m  0 thì:

16m
 4m 
f 
 4  f  t   1  8m
  f  t   f 1  
3
 3 
2

Do đó, phương trình có nghiệm khi:

 3
3
3

 4  m  4
0  m  4

1
3


 m
m  0
8
4
 16m2
m  1


8

 4  0  1  8m

3


2b: Nếu f  1  f 1  1  8m  1  8m  m  0 thì:

16m
 4m 
f 
 4  f  t   1  8m
  f  t   f  1  
3
 3 
2

Do đó, phương trình có nghiệm khi:

11

 3
3
 3
 4  m  4
 m0

3
1
 4

 m
m  0
4
8
 16m 2
m   1

8

 4  0  1  8m

3
3) TH 3: Với 

4m
3
 1  m   , ta có bảng biến thiên:
3

4

Từ bảng biến thiên nhận thấy f 1  f t   f 1   1 8m  f t   1 8m .

3

3
m  
Do đó, phương trình có nghiệm khi 
m .
4
4
1  8m  0  1  8m
Từ tất cả các trường hợp trên, suy ra phương trình có nghiệm khi:
3

m  4

1

 1  m  3
m

 8
1
4
8

 m  .


8
m   1
 3  m   1

8
8
 4


3
m  

4

Câu 15. Cho phương trình sin 6 x  cos6 x  m sin 2 x .
1) Giải phương trình khi m 

1
.
4

2) Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn

3
pt  1  sin 2 2 x  m sin 2 x  3sin 2 2 x  4m sin 2 x  4  0 .
4
1) Với m 

1

thì
4

sin 2 x  1

pt  3sin 2 x  sin 2 x  4  0  
 x   k , k  Z .
sin 2 x   4 VN 
4
3

2

12


2) Đặt t  sin 2x ,  1  t  1 thì pt  f  t   3t 2  4mt  4  0 .
Hàm số f  t   3t 2  4mt  4 liên tục nên phương trình f  t   0 có nghiệm khi

min f  t   0  max f  t  với 1  t  1 .
2m 

Hàm nghịch biến trên  ; 
 , đồng biến trên
3 


 2m

;   với f  1  1  4 m


 3


4m
 2m 
 4.
; f 1  1  4 m và f  

3
 3 
2

a) TH 1: Với 

2m
3
 1  m  , ta có bảng biến thiên
3
2

Nhận thấy TH này, min f  t   f  1  1  4m và max f  t   1  4m .

3

3
m 
Do đó phương trình có nghiệm khi 
m .
2

2
1  4m  0  1  4m
b) TH 2: Với 1  

2m
3
3
 1    m  , ta có bảng biến thiên:
3
2
2

Ta có 2 TH nhỏ:


TH 2a: Với f  1  f 1  1 4 m   1 4 m  m 0 thì

4m
 2m 
min f  t   f  
 4 và max f  t   f 1  1  4m .

3
 3 
2

Khi đó phương trình có nghiệm khi

13

 3
3
3

 2  m  2
0  m  2

1
3

 m .
m  0
4
2
 4m 2
m  1


4
 4  0  1  4m
 3


TH 2b: Với f  1  f 1  1 4 m   1 4 m  m 0 thì

4m
 2m 
min f  t   f  
 4 và max f  t   f  1  1  4m .


3
 3 
2

Khi đó phương trình có nghiệm khi

 3
3
 3
 2  m  2
 2  m  0

3
1
m

0

 m .


2
4
 4m 2
m   1


4
 4  0  1  4m

 3
c) TH 3: Với 

2m
3
 1  m   , ta có bảng biến thiên:
3
2

Nhận thấy TH này thì min f  t   f 1  1  4m và max f  t   f  1  1  4m .

3

3
m


m


3


2

m .
Do đó, phương trình có nghiệm khi 
2
2
1  4m  0  1  4m

m   1

4
Tổng hợp tất cả các TH trên, ta được phương trình có nghiệm khi:
3

m  2

1

1  m  3
m

4
1
2
4

 m  .
 3
4
m   1
  m   1

4
4
 2

3
m  


2

Câu 16. Tìm m để phương trình  m2  3m  2  cos2 x  m  m  1 có nghiệm.
14


Hướng dẫn

pt   m  1 m  2  cos2 x  m  m  1 .


Với m  1 , pt  0  0 luôn đúng với mọi x .



Với m  2 , phương trình pt  0  2 vô nghiệm.



Với m  1; m  2 thì pt  cos 2 x 

Để có nghiệm x thì 0 

m  m  1

 m  1 m  2 



m
.
m2

m
1 m  0.
m2

Như vậy, phương trình có nghiệm khi m  0; m  1 .
Câu 17. Tìm m để phương trình m cos 2 x  2  2m  3 cos2 x  2m  2  0 có nghiệm.
Hướng dẫn

pt  2m cos 2 x  m   4m  6  cos 2 x  2m  2  0
 2  m  3 cos 2 x  m  2  0
 2  m  3 cos 2 x  m  2


Với m  3 , pt  0  1 vô nghiệm.



Với m  3 , pt  2 cos2 x 

Phương trình có nghiệm khi 0 

m2
.
m3

 m  4

m2
.
2
m3
 m  2

Vậy phương trình có nghiệm khi m  4; m  2 .
Câu 18. Cho hàm số f  x   3cos6 2 x  sin 4 2 x  cos 4 x  m .
1) Giải phương trình f  x   0 khi m  0 .
2) Cho hàm số g  x   2cos2 2 x 3cos 2 2 x  1 . Tìm m để phương trình f  x   g  x  có
nghiệm.
Hướng dẫn
f  x   3cos6 2 x  sin 4 2 x  cos 4 x  m  3cos 6 2 x  1  cos 2 2 x   2cos 2 2 x  1  m
2

 3cos6 2 x  1  2cos 2 2 x  cos 4 2 x  2cos 2 2 x  1  m  3cos 6 2 x  cos 4 2 x  m

1) Khi m  0 thì f  x   0  3cos6 2 x  cos4 2 x  0  cos 4 2 x  3cos 2 2 x  1  0

cos 2 x  0




 2 x   k  x   k , k  Z
2
2
4
2
3cos 2 x  1  0 VN 

2)

f  x   g  x   3cos6 2 x  cos4 2 x  m  2cos2 2 x 3cos 2 2 x  1

15


 m  3cos6 2 x  cos 4 2 x  2cos 2 2 x 3cos 2 2 x  1
 m  cos 4 2 x  3cos 2 2 x  1  2cos 2 2 x 3cos 2 2 x  1

cos 2 2 x  0  t  0
Đặt t  cos2 2 x 3cos2 2 x  1 , với  2
thì pt  m  t 2  2t .
cos 2 x 1  t  2
f t 
Dễ thấy f t   t 2  2t là hàm liên tục trên R nên phương trình m  f  t  có nghiệm
khi min f  t   m  max f  t  với 0  t  2 .
Ta có f  t   t 2  2t   t  1  1
2

Do 0  t  2  1  t  1  1  0   t  1  1  1  f  t   0
2

Như vậy, phương trình có nghiệm khi 1  m  0 .

16