tieu luan “Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài toán tổ hợp, xác suất”.

Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất

MỤC LỤC
Trang
A. PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài…………………………………………………………………...…2
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I. Cơ sở lý luận của đề tài………………………………………………………....4
II. Thực trạng của đề tài…………………………………………………………...4
2.1. Thực trạng chung……………………………………………………………....4
2.2. Thực trạng đối với giáo viên…………………………………………………..5
2.3. Thực trạng đối với học sinh…………………………………………………....5
III. Các giải pháp thực hiện………………………………………………………...6
3.1. Một số sai lầm thường gặp trong giải toán tổ hợp, xác suất của học sinh
THPT……………………………………………………………………………… 6
3.2. Biện pháp giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán tổ hợp, xác
suất……………………………………………………………………………… 22
C. KẾT LUẬN………………………………………………………………… 24

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-1-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có

thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán là
phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm
vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo [1] . Trong quá trình
giải toán học sinh thường gặp không ít khó khăn, có nhiều yếu tố dẫn đến những
sai lầm thường gặp của học sinh. Vì lẽ đó việc nghiên cứu những sai lầm thường
gặp của học sinh trong quá trình giải toán từ đó đưa ra biện pháp khắc phục đó là
việc làm vô cùng quan trọng và cần thiết của người giáo viên.
Trong chương trình Toán ở Trung học phổ thông (THPT), Tổ hợp – xác suất
là một chủ đề mới được đưa vào giảng dạy trong những năm gần đây, trong đó xuất
hiện nhiều thuật ngữ, ký hiệu, khái niệm mới, vì vậy chứa đựng những khó khăn
nhất định khi giải toán chủ đề này. Học sinh (HS) thường mắc phải một số sai lầm
khi giải những bài toán liên quan đến chủ đề Tổ hợp – xác suất nên giáo viên (GV)
cần tìm biện pháp để giúp HS phát hiện và sửa chữa kịp thời góp phần nâng cao
chất lượng dạy học môn toán ở trường THPT.
Thực tế cho thấy rằng việc giảng dạy toán tổ hợp, xác suất luôn là một dạng
toán khó đối với học sinh. Chẳng hạn các em thường lúng túng không biết khi nào
dùng quy tắc nhân xác suất, khi nào dùng quy tắc cộng hoặc khi nào dùng chỉnh
hợp, khi nào tổ hợp để tìm số kết quả đồng khả năng và kết quả thuận lợi của một
biến cố, …
Là một giáo viên Toán, tôi thiết nghĩ mình cần phải trang bị đầy đủ lí thuyết
và kĩ thuật về tổ hợp, xác suất và giúp học sinh tránh những sai lầm khi giải bài
toán xác suất.
Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là:
“Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất”.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-2-

Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
II. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài toán
tổ hợp, xác suất từ đó nêu ra biện pháp khắc phục.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu một số quan điểm lí luận về sai lầm thường gặp trong giải toán
tổ hợp, xác suất của học sinh.
- Nghiên cứu những biện pháp khắc phục sai lầm cho học sinh khi giải toán tổ
hợp, xác suất.
IV: Giới hạn của đề tài:
Đề tài tập trung vào nghiên cứu những sai lầm thường gặp của học sinh THPT
khi giải toán tổ hợp, xác suất.
V. Phương pháp nghiên cứu:
Để hoàn thành đề tài người viết ngoài việc tích cực học tập, trau dồi các kiến
thức đã học ở chuyên đề, tích cực nghiên cứu các tài liệu liên quan còn sử dụng
nhiều phương pháp phân tích, tổng hợp, đúc rút kinh nghiệm từ thực tiễn dạy học
để áp dụng thực hiện đề tài.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-3-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất

B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I.

Cơ sở lý luận của đề tài.

Toán học đóng vai trò vô cùng to lớn đối với sự phát triển nói chung của xã hội
loài người. Vì lẽ đó cần thiết phải tăng cường đưa những lĩnh vực toán học có
nhiều tính ứng dụng trong thực tiễn vào chương trình phổ thông. Lí thuyết xác suất
là một trong những môn của Toán học ứng dụng đã được đưa vào chương trình
toán THPT từ khi đổi mới SGK năm 2007. Tổ hợp, xác suất là bộ môn toán học có
rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn như:
- Trong vật lí phân tử để nghiên cứu các hệ rất nhiều phân tử; trong động lực
học, cơ học lượng tử… cần thiết phải sử dụng tổ hợp, xác suất.
- Lí thuyết xác suất được sử dụng rộng rãi trong sinh vật học và hiện nay di
truyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rãi các phương pháp Thống kê xác
suất.
- Sự vận dụng các phương pháp Thống kê xác suất trong việc tổ chức và điều
khiển nền sản xuất đã mang lại cho nền kinh tế quốc dân nhiều lợi ích rất to lớn.
Vì vậy việc dạy học tổ hợp, xác suất phải tạo điều kiện cho học sinh vượt ra
ngoài khuôn khổ của quyết định luận cơ học, hình thành cho các em những tư
tưởng về biến cố ngẫu nhiên và xác suất, về mối quan hệ biện chứng giữa tất nhiên
và ngẫu nhiên; chẳng hạn: “Khi một hiện tượng xảy ra một cách ngẫu nhiên thì ta
có thể coi đó là tín hiệu của một hay nhiều quy luật mà hiện nay khoa học chưa
biết đến, hoặc mới biết nửa vời. Cho nên người ta thường nói “cái tất nhiên bộc lộ
ra bên ngoài cái ngẫu nhiên””.
II.
2.1.

Thực trạng của vấn đề.
Thực trạng chung.

Xuất phát từ mục tiêu đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là: Coi trọng
thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung của chương trình tinh giản,
giảm tính hàn lâm, tập trung vào các kiến thức, kĩ năng cơ bản và thiết thực, tích

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-4-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
hợp được nhiều mặt giáo dục. Do vậy, hệ thống kiến thức và kĩ năng tương ứng
cần truyền thụ cho học sinh trong chương trình phổ thông là hoàn toàn mới.
2.2.

Thực trạng đối với giáo viên.

Đối với đa số giáo viên không quen và không hào hứng khi dạy phần này, bởi
vì: Nội dung tổ hợp, xác suất mới được đưa vào chương trình phổ thông, cách suy
luận không hoàn toàn giống suy luận toán học thuần túy, hơn nữa các kiến thức về
Lí thuyết xác suất mặc dù giáo viên đã học ở chương trình đại học nhưng lâu
không dùng đến những kiến thức này đã ít nhiều bị mai một. Bên cạnh đó không
nhiều giáo viên ý thức được sự cần thiết phải dạy xác suất ở chương trình phổ
thông. Dường như đối với họ sự tuân thủ chương trình của bộ đề ra là vấn đề quan
trọng, còn vì sao chương trình phải có phần này thì họ không quan tâm lắm.
2.3.

Thực trạng đối với học sinh.

Đối với học sinh, hầu hết các em đều không hứng thú đối với việc học xác suất
vì những kiến thức này khó và mới lạ. Những điều đó là: Học sinh phải làm quen
với các khái niệm phép thử, không gian mẫu, các biến cố liên quan đến phép thử,
các phép toán trên biến cố, các định nghĩa xác suất và các công thức tính xác suất,
các vấn đề khó như: Các suy luận có lí có tính không đơn trị: Chúng có thể được
hiểu khác nhau đối với những bộ óc khác nhau và đối với những hoàn cảnh cụ thể

khác nhau. Học sinh thường lúng túng khi xác định biến cố đối của một biến cố,
các em thường nhầm lẫn khi sử dụng các quy tắc tính xác suất, nhầm lẫn khi sử
dụng hai quy tắc đếm hoặc lúng túng không biết khi nào sử dụng chỉnh hợp và khi
nào sử dụng tổ hợp, để tính số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi
cho biến cố. Khi giải toán xác suất đa số học sinh không dám lập luận bằng ngôn
ngữ logic chặt chẽ mà chỉ đưa ra công thức và kết quả.
Vì vậy, trong quá trình dạy học tổ hợp, xác suất giáo viên không chỉ dạy cho
học sinh nắm vững các khái niệm, định lí; các quy tắc, công thức mà chủ yếu là
phải dạy cho học sinh biết vận dụng các khái niệm, các định lí; các quy tắc, các

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-5-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
công thức vào giải các bài toán cụ thể và các bài toán có nội dung thực tiễn. Nhằm
khắc phục những khó khăn và sai lầm của học sinh.
III. CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.
3.1. Một số sai lầm thường gặp trong giải trong tổ hợp, xác suất của học
sinh THPT.
3.1.1 Sai lầm do HS chưa có khả năng trực giác xác suất.
Nếu các yếu tố của Đại số và hình học có được chỗ dựa là trực giác số và trực
giác không gian tương ứng của HS thì đối với các yếu tố của lí thuyết xác suất cơ
sở tương tự là không có. Trực giác xác suất là trực giác toán học được thể hiện
trong nghiên cứu các tình huống xác suất (được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cả
những tình huống trong các mô hình toán học - xác suất, lẫn những tình huống
thực tiễn mang đặc trưng xác suất).Chính điều này dẫn đến những khó khăn ở HS
khi học các yếu tố của lí thuyết xác suất.
Ví dụ 1: Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng. Hãy tìm xác suất của các

biến cố ngẫu nhiên sau đây :
Biến cố A1 : Không có mặt sấp nào xuất hiện
Biến cố A2 : Có một mặt sấp xuất hiện
Biến cố A3 : Có hai mặt sấp xuất hiện
Biến cố A4 : Có ba mặt sấp xuất hiện
Giải : HS giải như sau :
Ở kết quả của phép thử T : « Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng », có thể
xảy ra một và chỉ một biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố ngẫu nhiên sau đây :
A1 ; A2 ; A3 ; A4 và các biến cố này là đồng khả năng. Từ đó vận dụng định nghĩa cổ
1
điển của xác xuất sẽ tính được : P( A1) = P( A2 ) = P( A3 ) = P( A4 ) =
4
Sai lầm: Do HS ngộ nhận rằng các biến cố A 1; A2 ; A3 ; A4 là đồng khả năng.
Nhưng thực tế thì khi thực hiện phép thử T, biến cố A 1 chỉ có thể xảy ra một
trường hợp là trong kết quả của phép thử T, cả 3 đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa.
Còn biến cố A2 có thể xảy ra trong 3 trường hợp:

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-6-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
- Trường hợp 1: Trong kết quả của phép thử T, đồng xu thứ nhất xuất hiện
mặt sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa.
- Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T, đồng xu thứ hai xuất hiện
mặt sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa.
- Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T, đồng xu thứ ba xuất hiện mặt
sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa.
Vậy khi thực hiện phép thử T, biến cố A 2 có khả năng xảy ra nhiều hơn biến

cố A1. Bởi vậy các biến cố A 1; A2 ; A3 ; A4 là không đồng khả năng. Như vậy, việc
phân tích này bước đầu cho ta thấy “trực giác” trên của HS là sai.
Ví dụ 2: Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng. Hãy tìm xác suất của các biến
cố ngẫu nhiên sau đây:
a) Biến cố A1 : “Không có mặt sấp nào xuất hiện”.
b) Biến cố A2 : “Có một mặt sấp xuất hiện”.
c) Biến cố A3 : “Có hai mặt sấp xuất hiện”.
d) Biến cố A4 : “Có ba mặt sấp xuất hiện”.
Một học sinh giải như sau:
Ở kết quả của phép thử T : “Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng”, có thể xảy
ra một và chỉ một biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố ngẫu nhiên sau đây:
A1 , A2 , A3 , A4 và các biến cố này là đồng khả năng. Từ đó vận dụng định nghĩa cổ

điển của xác suất sẽ tính được:
1
4
Lời giải trên là sai vì ngộ nhận rằng các biến cố A1 , A2 , A3 , A4 là đồng khả
P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) = P ( A4 ) =

năng.
Thật vậy, ta có thể phân tích cho học sinh hiểu như sau:
Khi thực hiện phép thử T , biến cố A1 chỉ có thể xảy ra một trường hợp:
Trong kết quả của phép thử T , ở cả 3 đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa; còn
biến cố A2 có thể xảy ra trong 3 trường hợp sau đây:
- Trường hợp 1: Trong kết quả của phép thử T , ở đồng xu thứ nhất xuất hiện
mặt sấp và ở hai đồng xu khác xuất hiện mặt ngửa.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-7-

Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
- Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T , ở đồng xu thứ 2 xuất hiện mặt
sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện mặt ngửa.
- Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T , ở đồng xu thứ 3 xuất hiện mặt
sấp, còn hai đồng xu khác xuất hiện mặt ngửa.
Vậy biến cố A2 có khả năng xảy ra nhiều hơn biến cố A1 , khi phép thử T thực
hiện. Bởi vậy các biến cố A1 , A2 , A3 , A4 là không đồng khả năng. Như vậy việc phân
tích này bước đầu cho ta thấy “trực giác” trên của học sinh là sai.
Lời giải đúng
a) Gọi Bi là biến cố “Đồng xu thứ i sấp” ( i = 1,2,3) , ta có:
1
A1 = B1 B2 B3 , P Bi =
2
Các biến cố B1 , B2 , B3 độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có
1
P ( A1 ) = P B1 P B2 P B3 = .
8
b) Ta có A2 = B1 B2 B3 ∪ B1B2 B3 ∪ B1 B2 B3
Theo quy tắc cộng xác suất, ta có
P ( A2 ) = P B1 B2 B3 + P B1B2 B3 + P B1 B2 B3

( )

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

(

)

Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được

(

)

( ) ( )
1
Tương tự P ( B B B ) = P ( B B B ) =
8

P B1 B2 B3 = P ( B1 ) P B2 P B3 =
1

2

3

1

2

1
8

3

3
Vậy P ( A2 ) = .
8
c) Ta có A3 = B1B2 B3 ∪ B1 B2 B3 ∪ B1B2 B3
1
Lập luận tương tự câu b) ta được P ( A3 ) = .
8
d) Ta có A4 = B1B2 B3 , các biến cố B1 , B2 , B3 độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất,
ta có:
1
P ( A4 ) = P ( B1B2 B3 ) = P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) = .
8

3.1.2 Sai lầm khi nhận dạng và thể hiện khái niệm tổ hợp, xác suất

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-8-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
Trong nhiều trường hợp, HS không hiểu rõ bản chất của các khái niệm tổ
hợp, xác suất do đó dẫn đến sai lầm khi giải toán.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa khác màu vào 5 lọ hoa khác
nhau ( mỗi lọ cắm không quá một bông )

Giải : HS giải như sau:
Cắm 3 bông hoa vào 5 lọ hoa (mỗi lọ cắm không quá một bông) như vậy có
3
3 lọ được cắm hoa và 2 lọ không được cắm hoa. Vậy số cách cắm hoa là : C5 = 10

( cách )
Sai lầm : Ở đây HS đã không tính đến thứ tự cắm các bông hoa khác màu
vào các lọ hoa khác nhau. Do các bông hoa khác màu và các lọ hoa khác nhau nên
cách lựa chọn có liên quan đến thứ tự. Trong khi đó lời giải đúng phải là: Do các
bông hoa khác màu được cắm vào các lọ hoa khác nhau nên số cách cắm là :
A53 = 60 ( cách )

3.1.3 Sai lầm trong việc lựa chọn các khái niệm, quy tắc, định lý để vận
dụng vào giải toán
Điển hình nhất là việc nhầm lần giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất,
HS không chú ý đến điều kiện để áp dụng công thức cộng là các biến cố phải xung
khắc, còn điều kiện để áp dụng công thức nhân là các biến cố phải độc lập.
Ví dụ 4: Có một giỏ đựng 6 quả táo và 4 quả lê. Hai HS lấy ngẫu nhiên mỗi
người một quả từ giỏ hoa quả. Tính xác suất của biến cố “ Hai người lấy được hai
loại quả khác nhau ” ?
Giải : HS giải như sau
Gọi A là biến cố HS thứ nhất lấy được quả táo, P( A) =

1
6

1

Thì A là biến cố HS thứ nhất lấy được quả lê, P( A) = 4
Gọi B là biến cố HS thứ hai lấy được quả táo, P( B) =

1
6

1

Thì B là biến cố HS thứ hai lấy được quả lê, P( B) = 4
Gọi C là biến cố hai người lấy được hai loại quả khác nhau. Khi đó :
C = A.B + A.B . Áp dụng công thức cộng và nhân xác suất ta có :

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
-9-


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
1 1 1 1 1
P (C ) = P ( A).P ( B ) + P ( A).P ( B) = . + . =
6 4 4 6 12

Sai lầm: HS đã cho rằng các biến cố A và B là độc lập nên đã áp dụng sai
công thức nhân xác suất. Thực tế ở đây các biến cố không độc lập với nhau nên
không được sử dụng công thức nhân xác suất.
Nhưng lời giải đúng phải được trình bày như sau:
n(Ω) = A102 = 90

Gọi A là biến cố hai người lấy được hai loại quả khác nhau.
TH1: HS thứ nhất chọn được quả táo thì HS thứ hai chọn được quả lê
Có : 6 x 4 = 24 ( cách chọn )
TH2: HS thứ nhất chọn được quả lê thì HS thứ hai chọn được quả táo

Có : 4 x 6 = 24 ( cách chọn )
Khi đó n(A) = 24 + 24 = 48
48 8
=
Vậy P(A) = 90 15

3.1.4 Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt:
HS thường mắc phải một số kiểu sai lầm ngôn ngữ do chưa nắm rõ được bản
chất vấn đề.
Ví dụ 5: HS thường hay nói "Tổ hợp chập k của n là Cnk ", hoặc "chỉnh hợp
chập k của n là Ank "
Sai lầm: Do lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để
chỉ đối tượng ấy. Chính xác phải là "số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk ", hoặc
"số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ank ".
3.1.5 Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các
trường hợp riêng
Do HS không chú ý đến điều kiện rằng buộc của một vài yếu tố nào đó ẩn
chứa trong bài toán nên dẫn đến phân chia thiếu trường hợp.
Ví dụ 6: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau được thành
lập từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
Giải: HS đã giải như sau:
Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau có dạng : abcd
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 10 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
Do đây là số tự nhiên chẵn nên d có thể là 0,2,4,6
do đó: d có 4 cách chọn

c có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
a có 4 cách chọn
Áp dụng quy tắc nhân thì số các số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau cần
tìm là : 4.6.5.4 = 480 số
Sai lầm: Ở đây HS đã quên mất điều kiện rằng buộc để abcd trở thành số tự
nhiên có 4 chữ số là a ≠ 0 , vì thế trong lời giải trên đã không xét đến trường hợp
trong 480 số có trường hợp có a = 0 và do đó nó không còn là số tự nhiên có 4 chữ
số nữa.
Lời giải đúng phải là:
Gọi số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau có dạng : abcd
TH1: d = 0, Khi đó : a có 6 cách chọn
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
Áp dụng quy tắc nhân ta có tất cả : 6.5.4 = 120 số
TH2: d ≠ 0 khi đó : d có thể là 2,4,6 nên d có 3 cách chọn
a có 5 cách chọn ( do a ≠ 0 )
b có 5 cách chọn
c có 4 cách chọn
Áp dụng quy tắc nhân có tất cả : 3.5.5.4 = 300 số
3.1.6. Sai lầm trong việc nhận thức các suy luận hợp lý trong sự phân biệt
với các suy luận diễn dịch.
Trong mối liên hệ logic của Toán học ứng dụng, khi học Lí thuyết xác suất
học sinh buộc phải làm việc với cả suy luận diễn dịch lẫn suy luận hợp lí; thêm vào
đó cũng tại thời điểm này, các em đã và đang phải rèn luyện sử dụng các suy luận
diễn dịch. Do đó, làm thế nào để học sinh nhận thức được các suy luận hợp lí trong
sự phân biệt với các suy luận diễn dịch? Đồng thời, làm thế nào để giúp các em sử
dụng kết hợp hai suy luận này trong quá trình học Xác suất?
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 11 -

Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
Ví dụ 7: Bài tập 40, SGK tr.83 ĐS-GT 11 nâng cao.
Trong một trò chơi điện tử, xác xuất để An thắng trong một trận là 0,4 (không
có hoà). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một
trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95.
Bài giải học sinh: Gọi A là biến cố: “An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi
n trận”. Xác suất An thắng một trận là: 0,4.
n
Suy ra P ( A ) = 0, 4
n
Ta có P ( A ) ≥ 0,95 hay ( 0, 4 ) ≥ 0,95 . Suy ra n = 3 .
Bài giải của học sinh đã sai do suy luận toán học. Ta sẽ lập luận để đi đến
kết quả của bài toán như sau: Gọi n là số trận mà An chơi, A là biến cố: “An
thắng ít nhất một trận trong loạt chơi n trận”. Biến cố đối của biến cố A là A :
n
“An thua cả n trận”. Ta có P A = ( 0,6 )
n
Vậy P ( A ) = 1 − ( 0,6 ) .
Để An thắng một trận thì P ( A ) ≥ 0,95 . Vậy bài toán quy về tìm số nguyên
dương n thoả mãn:
P ( A ) ≥ 0,95 hay 1 − ( 0,6 ) n ≥ 0,95
n
⇔ ( 0,6 ) ≥ 0,05 (*)
Ta có ( 0,6 ) 5 ≈ 0,078 , ( 0,6 ) 6 ≈ 0,047.
Vậy n nhỏ nhất là 6. Do đó An phải chơi ít nhất 6 trận để thắng được một loạt
chơi.
Chú ý: Do học sinh chưa học phương trình và bất phương trình mũ nên để giải

( )

phương trình (*), giáo viên nên hướng dẫn học sinh thử bằng máy tính bỏ túi.
Ví dụ 8: Bài tập 42, SGK tr85 ĐS-GT11 nâng cao.
Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm
trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 9.
Bài giải của học sinh: Các kết quả của phép thử Ω = 63 = 216.
Kết quả của phép thử là bộ 3 số (x,y,z) trong đó x,y,z tương ứng là kết quả của
việc gieo con súc sắc thứ nhất, thứ 2, thứ 3. Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm trên
mặt xuất hiện của 3 con súc sắc là 9”.
Ta có: 9=1+2+6=1+3+5=2+3+4=1+4+4=2+2+5=3+3+3.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là Ω A = 6.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 12 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
6
1
Vậy P ( A ) = 3 = .
36
6
Bài giải trên của học sinh đã sai khi tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố A .

Kết quả mà học sinh tìm được là cái trực quan mà không suy luận lôgic.
Lời giải đúng
Ta có:

Ω

{

}

= ( x, y , z ) | x + y + z = 9,1 ≤ x ≤ 6,1 ≤ y ≤ 6,1 ≤ z ≤ 6, x, y, z ∈ ¥ *

A
Tập {1,2,6} cho ta 6 kết quả cho A là:

(1,2,6); (1,6,2); (6,1,2); (6,2,1); (2,1,6); (2,6,1)
Tương tự từ các tập {1,3,5}, {2,3,4} mỗi tập cho ta 6 kết quả thuận lợi cho A .
Các tập {1,4,4}; {2,2,5} mỗi tập cho ta 3 kết quả thuận lợi cho

A.

Tập {3,3,3} cho ta duy nhất một kết quả thuận lợi cho A.
Vậy Ω A = 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1 = 25.
25
.
216
Khi giải các bài toán Xác suất có nội dung thực tiễn, học sinh buộc phải sử

Suy ra xác suất của biến cố A là: P ( A ) =

dụng kết hợp các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch trong trình bày và
chứng minh các kết quả đã thu được. Ta biết rằng kĩ năng này là hoàn toàn mới
đối với học sinh, vì thế học sinh không tránh khỏi những khó khăn nhất định.
3.1.7. Sai lầm trong việc sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất.

Ví dụ 9: Bài tập 26, tr 75 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để
a) Số được chọn là số nguyên tố.
b) Số được chọn chia hết cho 3.
 Sai lầm thường gặp
Số các phần tử của không gian mẫu là: Ω = 8
a) Gọi A là biến cố: “Số được chọn là số nguyên tố”.
Tập các số nguyên tố nhỏ hơn 9 là {2, 3, 5, 7}.
Do đó ta có Ω A = 4
Ω
4 1
Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A ) = A = = .
Ω 8 2
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 13 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
b) Gọi B là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 3”.
Tương tự, ta có Ω B = 2
Ω
2 1
Vậy P ( B ) = B = = .
Ω 8 4
 Nguyên nhân sai lầm
Học sinh đã nhầm lẫn giữa tập hợp các kết quả đồng khả năng và tập hợp các
kết quả thuận lợi với số kết quả đồng khả năng và số kết quả thuận lợi của một
biến cố. Học sinh mới tiếp cận với khái niệm xác suất, nên các em chưa hiểu được
bản chất của định nghĩa cổ điển của xác suất.

 Biện pháp khắc phục
Theo định nghĩa cổ điển của xác suất, xác suất của biến cố A là:
P ( A) =

ΩA
,
Ω

trong đó Ω A : Là số kết quả thuận lợi cho biến cố A .
Ω : Số các phần tử của không gian mẫu.
Do đó khi dạy giáo viên cần phân tích rõ định nghĩa và chỉ rõ cho học sinh thấy
định nghĩa của xác suất thông qua số các phần tử của một tập hợp chú ý về kí hiệu
cho đúng.
 Lời giải đúng
Số các kết quả có thể xảy ra của phép thử (hay còn gọi số các phần tử của
không gian mẫu): Ω = 8.
a) Gọi A là biến cố: “Số được chọn là số nguyên tố”.
Tập các số nguyên tố nhỏ hơn 9 là {2, 3, 5, 7}
Do đó ta có Ω A = 4
4 1
Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A ) = = .
8 2
b) Gọi B là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 3”.
ΩB 2 1
= = .
Lập luận tương tự ta có P ( B ) =
Ω
8 4
3.1.8. Sai lầm từ việc ứng dụng hai quy tắc đếm cơ bản.
Quy tắc cộng:

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 14 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
Giả sử một công việc X có thể thực hiện theo một trong k phương án A 1, A2, …,
Ak. Phương án Ai có ni cách thực hiện (i=1…k). Khi đó số cách thực hiện công việc
X là n1+n2+…+nk.
Quy tắc nhân:
Giả sử để hoàn thành công việc X cần phải thực hiên theo thứ tự k công đoạn
A1, A2,…, Ak. Công đoạn Ai có ni cách thực hiện (i=1…k). Khi đó số cách thực hiện
công việc X là n1.n2…nk.
Ví dụ 10: Bài tập 32, tr.76 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Chiếc kim của bánh xe trong trò chơi “Chiếc nón kì diệu” có thể dừng lại ở một
trong 7 vị trí với khả năng như nhau. Tính xác suất để trong ba lần quay, chiếc kim
của bánh xe đó lần lượt dừng lại ở ba vị trí khác nhau.
 Sai lầm thường gặp
Ba lần quay, mỗi lần quay có thể trúng 1 trong 7 vị trí, nên các kết quả có thể
xảy ra của phép thử là: Ω = 3.C17 .
Gọi A là biến cố: “Trong 3 lần quay chiếc kim của bánh xe đó lần lượt dừng lại
ở ba vị trí khác nhau”.
1 1 1
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = C7 .C6 .C5
C17 .C1 .C51
A
6
=
.

Vậy xác suất biến cố A : P ( A ) =
Ω
3.C17
 Nguyên nhân sai lầm
Ω

Học sinh vận dụng quy tắc cộng là sai, mà phải sử dụng quy tắc nhân mới tìm
số kết quả đồng khả năng được đúng.
 Biện pháp khắc phục
Giáo viên kiểm tra lại bài toán áp dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân. Bài giải
trên học sinh đã vận dụng quy tắc cộng. Đối chiếu hai quy tắc cộng và nhân cho
học sinh thấy nên dùng quy tắc gì?
 Lời giải đúng

Số kết quả đồng khả năng: Ω = C17 .C17 .C17
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 15 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
Gọi A là biến cố: “Trong ba lần quay chiếc kim lần lượt dừng lại ở ba vị trí
khác nhau”.
1 1 1
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = C7 .C6 .C5
C17 .C1 .C51 7.6.5 30
= .
Vậy P ( A ) = 1 16 1 =
7.7.7
49

C7 .C7 .C7
Ví dụ 11: Bài tập 31, tr.76 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.

Một túi đựng 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính
xác suất để trong 4 quả đó có cả quả màu đỏ và màu xanh.
 Sai lầm thường gặp
4 = 210.
Các kết quả có thể xảy ra của phép thử: Ω = C10
Gọi A là biến cố: “Trong 4 quả được chọn có cả quả màu đỏ và màu xanh”.
Tìm kết quả thuận lợi cho biến cố A
Trường hợp 1: Trong 4 quả được chọn có 1 quả màu đỏ và 3 quả màu xanh. Có
C1 + C 3 cách chọn.
4
6

Trường hợp 2: Số cách chọn được 2 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh là:
C 2 + C 2 cách.
4
6
Trường hợp 3: Số cách chọn được 3 quả đỏ và 1 quả xanh: C43 + C16 cách.
Áp dụng quy tắc cộng, ta có số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
Ω = C1 + C 3 + C 2 + C 2 + C 3 + C1 = 55
A
4
6
4
6
4
6
Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A ) =

55
= 0, 262.
210

 Nguyên nhân sai lầm
Lời giải trên là sai. Thật vậy trong trường hợp 1 số cách chọn được 4 quả trong
đó có 1 quả màu đỏ rồi mới chọn 3 quả màu xanh là hai hành động liên tiếp. Do đó
có C14 .C63 cách chọn. Tương tự lí luận cho trường hợp 2 và 3.
 Biện pháp khắc phục
Đây là bài toán vừa áp dụng quy tắc cộng vừa áp dụng quy tắc nhân. Trong mỗi
trường hợp, số cách chọn ta áp dụng quy tắc nhân. Khi tìm số kết quả thuận lợi cho
biến cố A ta áp dụng quy tắc cộng. Vì vậy khi dạy giáo viên cần phân tích rõ để
học sinh thấy được dấu hiệu dùng quy tắc nào là đúng.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 16 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
 Lời giải đúng

Số cách chọn 1 quả đỏ và 3 quả xanh là: C14 .C63.
Số cách chọn 2 quả đỏ và 3 quả xanh là: C42 .C62 .
Số cách chọn 3 quả đỏ và 1 quả xanh là: C43.C16 .
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A
Ω = C1 .C 3 + C 2 .C 2 + C 3.C1 = 194.
A
4 6
4 6

4 6
Vậy xác suất của biến cố A là:
194
P ( A) =
= 0,924.
210
3.1.9. Sai lầm trong việc vận dụng công thức tính hoán vị - chỉnh hợp và tổ
hợp.
Ví dụ 12: Bài tập 29, tr.76 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Chọn ngẫu nhiên 5 người có tên trong một danh sách 20 người được đánh số từ
1 đến 20. Tính xác suất để 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 (tính
chính xác đến hàng phần nghìn).
 Sai lầm thường gặp
Việc chọn 5 người có tên trong danh sách 20 người được đánh số thứ tự từ 1
5 .
đến 20 là tổ hợp chập 5 của 20. Do đó Ω = A20
Gọi A là biến cố: “Trong 5 người được chọn có số thứ tự không lớn hơn 10”.
5
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = A10
A 5
10
Vậy xác suất của biến cố A : P ( A ) = 5 = 0,016.
A
20
 Nguyên nhân sai lầm

Học sinh vận dụng được lí thuyết để tìm ra số phần tử của không gian mẫu hay
số kết quả thuận lợi cho A là một số tổ hợp. Nhưng khi tính toán lại viết công thức
tính chỉnh hợp.
 Biện pháp khắc phục

Khi dạy giáo viên tìm những ngôn từ để cho học sinh nhớ và vận dụng đúng
công thức. Chẳng hạn “chỉnh mà không C ”.
 Lời giải đúng
5 .
Lập luận như trên ta có số kết quả đồng khả năng là: Ω = C20

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 17 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
5
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A : Ω A = C 10
Vậy xác suất của biến cố A là:
C 5
P ( A ) = 10 = 0,016.
C5
20
Ví dụ 13: Bài tập 62, tr.94 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Tính xác

suất để trong 5 quân bài này có quân 2 rô, quân 3 pích, quân 6 cơ, quân 10 nhép và
quân K cơ.
 Sai lầm thường gặp

5
Số kết quả đồng khả năng: Ω = C52
Gọi A là biến cố: “Trong 5 quân bài có quân 2 rô, quân 3 bích, quân 6 cơ, quân
10 nhép và quân K cơ”.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
5
Do đó xác suất của biến cố A : P ( A ) = 5 .
C
52
 Nguyên nhân sai lầm
Học sinh đã vận dụng quy tắc đếm sai để tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố
A . Thực ra để tìm số kết quả thuận lợi cho biến cố A ta áp dụng quy tắc nhân mới
đúng.
 Biện pháp khắc phục
Nhắc lại hai quy tắc đếm cơ bản sau đó cho học sinh nhận xét nên dùng quy tắc
nào là đúng.
 Lời giải đúng
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: Ω A = 1
1
Vậy xác suất của biến cố A là: P ( A ) = 5 .
C
52

3.1.10. Khó khăn, sai lầm trong khi vận dụng các qui tắc tính xác suất
Quy tắc cộng xác suất:
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B )
Một cách tổng quát
Nếu k biến cố A1 , A2 , ..., Ak đôi một xung khắc thì:

(

) ( ) ( )

P A ∪ A ∪ ... ∪ A = P A + P A + ... + P ( An ) .

1
2
1
2
k
Quy tắc nhân xác suất:
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 18 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) .
Một cách tổng quát
Nếu k biến cố A1 , A2 , ..., Ak độc lập với nhau thì:
P ( A1 A2 ... Ak ) = P ( A1 ) P ( A2 ) ...P ( Ak ) .
Ví dụ 14: Trong cuộc thi chọn học sinh giỏi toán quốc gia gồm có 3 vòng.
Vòng 1 lấy 80% thí sinh dự thi. Vòng 2 lấy 70% thí sinh dự thi của vòng 1. Vòng 3
lấy 80% thí sinh vòng 2. Tính xác suất để 1 thí sinh lọt qua 3 vòng thi.
 Sai lầm thường gặp
Gọi A1 là: “Thí sinh lọt qua vòng 1”. Xác suất của A1 là: P ( A1 ) = 0,8
Gọi A2 là: “Thí sinh lọt qua vòng 2”. Xác suất của A2 là: P ( A2 ) = 0,7
Gọi A3 là: “Thí sinh lọt qua vòng 3”. Xác suất của A3 là: P ( A3 ) = 0,8
Gọi A là: “Số học sinh lọt qua cả 3 vòng”
P ( A ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) = 0,8 + 0,7 + 0,8 = 2,3.
 Nguyên nhân sai lầm
Học sinh đã vận dụng quy tắc cộng xác suất nên dẫn tới kết quả sai. Ta biết xác
suất p của một biến cố thoả điều kiện: 0 ≤ p ≤ 1 . Trong khi kết quả tìm được ở trên
lớn hơn 1.
 Biện pháp khắc phục

Nhắc lại cho học sinh quy tắc nhân xác suất và quy tắc cộng xác suất. Yêu cầu
học sinh nhắc lại giá trị xác suất của một biến cố luôn nằm trong đoạn nào?
 Lời giải đúng
Gọi A1 là biến cố: “ Thí sinh vượt qua vòng 1”. Ta có P ( A1 ) = 0,8.
Gọi A2 là biến cố: “ Thí sinh vượt qua vòng 2”. Ta có P ( A2 ) = 0,7.
Gọi A3 là biến cố: “ Thí sinh vượt qua vòng 3”. Ta có P ( A3 ) = 0,8.
Gọi A là biến cố: “Thí vượt qua 3 vòng thi”.
Áp dụng quy tắc nhân xác suất. Ta có xác suất biến cố A là:
P ( A ) = P ( A1 ) .P ( A2 ) .P ( A3 ) = 0,8.0,7.0,8 = 0,448 .
Ví dụ 15: Hai xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập mỗi người
bắn một viên đạn, biết rằng trong đó có một viên trúng đích. Tìm xác suất để chỉ có
một người bắn trúng đích. Biết xác suất bắn trúng đích của từng người tương ứng
là 0,5; 0,7.
 Sai lầm thường gặp
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 19 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
Gọi A1 là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng đích”. Ta có P ( A1 ) = 0,5.
Gọi A2 là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng đích”. Ta có P ( A2 ) = 0,7.
Gọi A là biến cố: “Một người bắn trúng đích”.
P ( A ) = P ( A1 ) .P ( A2 ) = 0,5.0,7 = 0,35.
 Nguyên nhân sai lầm
Đây bài toán tổng hợp, vận dụng cả quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất và tính
xác suất của biến cố đối. Do học sinh đã không đọc kỹ đề bài nên chỉ vận dụng quy
tắc nhân xác suất vào bài toán nên dẫn tới kết quả sai.
 Lời giải đúng
Ta có A = A1 A2 ∪ A1A2

P( A) = P ( A A ) + P( A A ) = P( A ) P ( A ) + P ( A ) P( A )
1 2
1 2
1
2
1
2
= 0,5.0,3 + 0,5.0,7 = 0,5
Vậy xác suất của biến cố A là: P( A) = 0,5.
3.1.11. Sai lầm khi không đọc kỹ giả thiết của bài toán dẫn tới kết quả sai
Ví dụ 16: Bài tập 36, tr.83 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng

xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất
hiện mặt ngửa. Tính xác suất để khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đồng xu
đều ngửa.
 Sai lầm thường gặp
Xác suất để mỗi đồng xu sấp hoặc ngửa là: 0,5.0,5=0,25.
 Nguyên nhân sai lầm
Học sinh đã không đọc kỹ giả thiết của bài toán nên dẫn tới kết quả sai. Bởi vì
theo giả thiết xác suất đồng xu B xuất hiện mặt sấp hay ngửa không phải là 0,5.
 Lời giải đúng
Gọi A1 là biến cố: “Đồng xu A sấp”.
A2 là biến cố: “Đồng xu A ngửa”.
B1 là biến cố: “Đồng xu B sấp”.
B2 là biến cố: “Đồng xu B ngửa”.
Theo bài ra ta có P ( A1 ) = P ( A2 ) = 0,5.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 20 -

Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
P ( B1 ) = 0,75 ; P ( B2 ) = 0, 25 (do đồng xu B có xác suất xuất hiện mặt sấp gấp 3
lần xác suất xuất hiện mặt ngửa và P ( B1 ) + P ( B2 ) = 1 ).
Gọi G là biến cố: “Khi gieo hai đồng xu một lần thì cả hai đồng xu đều ngửa”.
Ta có xác suất của biến cố G là
P ( G ) = P ( A2 B2 ) = P ( A2 ) P ( B2 ) = 0,5.0, 25 = 0,125 .

3.1.12. Sai lầm khi xác định biến cố đối và tính xác suất của biến cố đối.
Biến cố đối:
Cho A là biến cố đối. Khi đó biến cố “không xảy ra A”, kí hiệu A , được gọi là
biến cố đối của A.
Định lí
Cho A là một biến cố. Xác suất của biến cố đối A là
P A = 1 − P ( A) .

( )

Ví dụ 17: Bài tập 35, tr.83 SGK ĐS-GT 11 nâng cao.
Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để
trong ba lần bắn độc lập:
a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần.
b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.
 Sai lầm thường gặp
a) Gọi H là biến cố: “Trong 3 lần bắn người đó bắn trúng hồng tâm đúng một
lần”.
Vậy xác suất của biến cố H là: P ( H ) = 0, 2.
b) Ta có 3 trường hợp

Trường hợp 1: Người đó bắn trúng hồng tâm đúng 1 lần.
Trường hợp 2: Người đó bắn trúng hồng tâm đúng 2 lần.
Trường hợp 3: Người đó bắn trúng hồng tâm đúng 3 lần.
Vậy xác suất cần tìm là: 1.0,2+2.0,2+3.0,2=1,2.
 Nguyên nhân sai lầm
a) Cách suy nghĩ của học sinh là quá đơn giản. Học sinh đã vô tình công nhận
rằng tính xác suất người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần chính là xác suất
người đó bắn trúng hồng tâm.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 21 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
b) Cách phân tích các trường hợp như vậy là đúng song cách tính xác suất mỗi
trường hợp là sai. Có thể học sinh suy luận theo trực giác chứ không phải là suy
luận lôgíc.
 Biện pháp khắc phục
Yêu cầu học sinh đọc kỹ bài ra. Nhắc lại biến cố đối và công thức tính xác suất
của biến cố đối.
 Lời giải đúng
a) Gọi Ai là biến cố: “Người đó bắn trúng hồng tâm ở lần thứ i ” với i = 1, 2,3 .
Ta có P ( Ai ) = 0, 2
Gọi K là biến cố: “Trong 3 lần bắn độc lập người đó bắn trúng hồng tâm đúng
1 lần”. Khi đó K = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3

(

)

(

)

(

)

Ta có P ( K ) = P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3
Mặt khác
P A1 A2 A3 = P ( A1 ) P A2 P A3 = 0, 2.(1 − 0, 2).(1 − 0, 2) = 0,128

(

)

( ) ( )
Tương tự ta có: P ( A A A ) = P ( A A A ) = 0,128
1

2

3

1

2

3

Vậy P ( K ) = 3.0,128 = 0,384.

b) Gọi H là biến cố: “Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần”.
Biến cố đối của H là : “Cả 3 lần bắn đều bắn không trúng hồng tâm”.
Ta có H = A1 A2 A3

( )

( ) ( ) ( )
Vậy P ( H ) = 1 − P ( H ) = 1 − 0,512 = 0, 488.

Do đó P H = P A1 P A2 P A3 = 0,8.0,8.0,8 = 0,512.

3.2. Biện pháp giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán tổ
hợp, xác suất.
Từ những sai lầm mà HS thường gặp trong quá trình giải toán tổ hợp, xác
suất ”, để giúp cho HS phát hiện và sửa chữa những sai lầm thường mắc phải thì
trong quá trình giảng dạy GV cần chú ý đến những vấn đề sau:

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 22 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất
- Cần trang bị cho HS một cách đầy đủ, có hệ thống các kiến thức cơ bản
của nội dung tổ hợp, xác suất. Giúp HS nắm vững và phân biệt được các khái
niệm, công thức trong nội dung này.
- Trang bị cho HS kiến thức về phương pháp giải toán tổ hợp, xác suất. Theo

G.Polya thì phương pháp chung để giải một bài toán có thể tiến hành theo 4 bước
như sau: Tìm hiểu nội dung bài toán; tìm cách giải; trình bày lời giải; kiểm tra và
nghiên cứu lời giải
GV có thể lưu ý thêm cho HS sơ đồ tìm kiếm lời giải bài toán như sau: Khi
tìm hiểu nội dung bài toán thì cố gắng xác định bài toán thuộc dạng nào? Nếu bài
toán thuộc dạng chuẩn quen thuộc đã có thuật giải cụ thể thì chỉ việc áp dụng để
giải. Nếu bài toán là chưa thuộc dạng chuẩn quen thuộc thì cần phân tích theo hai
hướng: một là tách bài toán ra thành các bài toán nhỏ có dạng chuẩn (thủ pháp chia
nhỏ), hai là diễn đạt bài toán theo một cách khác dẫn đến bài toán có dạng chuẩn
(thủ pháp mô hình hoá).
Với mục đích hạn chế và sửa chữa những sai lầm cho HS thì GV cần nhắc
HS chú trọng đến bước thứ 3 và 4 trong quá trình giải toán mà G.Polya đề xuất:
+ Hãy thực hiện lời giải bài toán với các gợi ý nhằm tránh sai lầm. Hãy kiểm
tra lại từng bước làm và xem có thể chứng minh được tính đúng đắn của từng bước
làm hay không ?
+ Sau khi giải xong hãy xem xét lại lời giải với các gợi ý của đề bài để kiểm
tra. Hãy thử xem kết quả tìm được có phù hợp với bài toán không, có đúng trong
trường hợp riêng hay trường hợp tổng quát không …
- HS được thử thách thường xuyên với những bài toán dễ dẫn đến sai lầm
trong lời giải. GV chú trọng hướng dẫn cho HS tự phát hiện ra những sai lầm của
mình, HS biết được nguyên nhân của những sai lầm đó là gì, cách khắc phục
những sai lầm đó như thế nào và cuối cùng là sau khi khắc phục những sai lầm đó
HS rút ra được những kinh nghiệm gì để không mắc phải những sai lầm tương tự.
Một cách học hiệu quả đối với HS là học từ chính những sai lầm của mình
để từ đó rút ra những kinh nghiệm để tránh những sai lầm có thể mắc phải. Vì thế
việc giúp cho HS phát hiện và sửa chữa những sai lầm trong quá trình giải toán là
rất quan trọng trong quá trình dạy học của GV.
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 23 -

Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất

C. KẾT LUẬN.
I. Kết luận.
Đề tài đã thu được một số kết luận như sau:
- Đề tài đã làm sáng tỏ được vai trò, ý nghĩa của việc học tổ hợp, xác suất
trong trường phổ thông hiện nay.
- Bước đầu nghiên cứu một số cơ sở lí luận về tổ hợp, xác suất.
- Tìm được khá nhiều những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải bài
tập tổ hợp, xác suất.
- Sau khi tìm ra những khó khăn và sai lầm đề tài đã chỉ ra được những
nguyên nhân cơ bản dẫn đến những khó khăn, sai lầm từ đó nêu cụ thể các biện
pháp khắc phục.
- Đề ra những biện pháp sư phạm chung nhất để giúp giáo viên dạy tốt phần
tổ hợp xác suất, những biện pháp để khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh
khi giải toán tổ hợp, xác suất.
Với những kết quả đạt được như đã nêu đề tài có thể là tư liệu bổ ích cho
giáo viên và học sinh THPT, học viên cao học chuyên ngành “Lí luận và phương
pháp dạy hoc bộ môn Toán”.
Để hoàn thành đề tài này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S. Nguyễn
Văn Thuận, người thầy đã cung cấp tài liệu, tận tình dạy dỗ, hướng dẫn tôi trong
quá trình thực hiện đề tài này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song thiếu xót của đề tài là không thể tránh khỏi
tôi rất mong được các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý. Sự hướng dẫn, dạy
bảo của các thầy cô, sự góp ý của các bạn đồng nghiệp sẽ giúp tôi rất nhiều để
hoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu này!
Tháng 3/ 2013
Người thực hiện đề tài

Trịnh Trọng Trung
Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 24 -


Một số khó khăn và sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải các bài
toán tổ hợp, xác suất

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu (2011), Phát hiện và sửa chữa sai
lầm cho học sinh trong dạy học Đại số - Giải tích ở trường phổ thông, NXB Đại
học sư phạm.
2. Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trong dạy
học môn Toán ở trường Trung học phổ thông, NXB Đại học sư phạm.
3. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học
sư phạm.
4.G. Pôlya(1995), Toán học và những suy luận có lý. Nxb Giáo dục.
5.G. Pôlya (1997), Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục.
6.Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê
Văn Tiến, Vũ Viết Yên( 2007), Đại số và giải tích 11 nâng cao. Nxb Giáo dục.
7.Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đào Ngọc Nam, Lê
Văn Tiến, Vũ Viết Yên( 2007), Đại số và giải tích 11 nâng cao (Sách giáo viên).
Nxb Giáo dục.
8.Đào Tam (2008), Tiếp cận các phương pháp dạy học không truyền
thống trong dạy học Toán ở trường đại học và trường phổ thông. Nxb Đại học sư
phạm.

Trịnh Trọng Trung – Lớp CH K19A1 – Chuyên ngành LL và PP dạy học toán
- 25 -