skkn một số sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán giải tích 12

MỤC LỤC
Phần I. PHẦN MỞ ĐẦU………………………………………………….Trang 2
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích của đề tài
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
4. Phương pháp nghiên cứu đề tài
Phần II. PHẦN NỘI DUNG…………………………………………… .Trang 3
I .THỰC TRẠNG NHỮNG SAI LẦM VÀ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT…......Trang 3
Chương I: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI ỨNG
DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN……… …………………………………….Trang 3
Chương II: SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN
LOGARIT…………………………………………………………………………Trang 11
Chương III: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN……………………………………………….Trang 14
II. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG ..................................................................................Trang 15
Phần III. PHẦN KẾT LUẬN............................................................................Trang 16
TÀI LIỆU THAM KHẢO..................................................................................Trang 17

1


Phần I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong các môn học, toán học giữ một vai trò quan trọng, là chìa khóa cho
mọi môn học khác. Toán học giữ vai trò chủ chốt trong mọi khoa học công nghệ,
kinh tế, thông tin và nhiều lĩnh vực khác của xã hội. Giải toán giúp cho học sinh
nhiều trong công việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận,
phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề, giúp cho học sinh rèn luyện
trí thông minh sáng tạo. Nó còn giúp cho học sinh cần cù nhẫn nại, tự lực cánh
sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, chuộng chân lý.
Vì tầm quan trọng của toán học đối với mỗi học sinh nên nếu học sinh suy

nghĩ sai lệch để giải bài toán sai lầm nhưng không biết sai từ đâu, sai vì nguyên
nhân gì là những vấn đề mà mỗi người giáo viên đứng trên bục giảng đều phải trăn
trở. Giáo viên là những người huấn luyện viên, học sinh là những cầu thủ, cầu thủ
thực hiện sai thì huấn luyện viên phải suy nghĩ tìm ra nguyên nhân mà các em
không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của thầy.
Những biện pháp hạn chế giải sai, sửa chữa lỗi sai kịp thời nhằm rèn luyện
năng lực giải toán cho học sinh đồng thời nâng cao hiệu quả dạy toán trong các
trường phổ thông.
Chính những lý do trên nên tôi chọn đề tài : “Một số sai lầm thường gặp
của học sinh khi giải toán giải tích 12”.
2. Mục đích của đề tài
- Chỉ ra những sai lầm mà học sinh thường gặp. Qua đó học sinh hiểu đúng
bản chất của vấn đề để có hướng giải quyết bài toán đi theo hướng đúng.
- Bồi dưỡng học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo trong học toán.
3. Phạm vi nghiên cứu đề tài
Đề tài này chỉ nghiên cứu những sai lầm thường gặp khi giải toán giải tích
của học sinh lớp 12 của trường Trung học phổ thông.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận: nghiên cứu các tài liệu về phương pháp giảng dạy môn
toán, để làm cơ sở cho các hạn chế và sửa chữa sai lầm.
- Quan sát thực tiễn hoạt động sư phạm của bản thân trong những năm giảng
dạy tại các lớp trung học phổ thông.

2


Phần II. PHẦN NỘI DUNG
I. THỰC TRẠNG NHỮNG SAI LẦM VÀ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT:
Chương I: NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI ỨNG

DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN
1.1. Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y =

x

3

x+2

trên đoạn [-1 ; 0]

2 x 2 ( x + 3)
( x + 2) 2
x = 0
y' = 0 ⇔ 
 x = −3

Học sinh giải như sau: y ' =

Học sinh tính: y(-3) = 27
y(0) = 0
y(-1)=-1
⇒ maxy = y (−3) = 27; miny = y (−1) = −1
[ −1;0]

[ −1;0]

Sai lầm: Học sinh không loại nghiệm x=-3 vì x = −3 ∉ [ −1;0]
Lời giải đúng:

2 x 2 ( x + 3)
y' =
( x + 2) 2
x = 0
y'= 0 ⇔ 
 x = −3 ∉ [ −1; 0]

Ta có:
y(0) = 0
y(-1)=-1
⇒ maxy = y (0) = 0; miny = y (−1) = −1
[ −1;0]

[ −1;0]

• Nhiều học sinh không hiểu đúng đắn định nghĩa nên dẫn đến kết luận sai
chẳng hạn như:
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) = x − 3 − x − 6
Học sinh giải như sau:
x ≥ 3
⇔ x≥6

x ≥ 6

3


1
1
−

2 x −3 2 x−6
lim f ( x) = 0
f ′( x) =

x →+∞

Bảng biến thiên:
6

x
f’(x
)

+∞

-

f(x)

3
0

⇒ max f ( x) = 3; min f ( x) = 0
[ 6;+∞ )

[ 6; +∞ )

f ( x) , thì phải ∃x0 ∈ K sao cho f ( x0 ) = m
Sai lầm: Học sinh quên khái niệm min
K

dẫn đến kết luận sai.
Lời giải đúng:
max f ( x) = f (6) = 3; min f ( x) không tồn tại.
Giải như trên nhưng kết luận [6;
+∞ )
[6; +∞ )

• Một số học sinh nhầm lẫn giữa khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và
giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số:
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
4
y = f ( x) = − x3 + 2 x 2 − 1 trên đoạn [-2 ; 2]
3

Học sinh giải như sau:
Bảng biến thiên:
x
y’
y

-∞

-2

-

0

0
-1

+

1

0

-

2

+∞

-1/3

1
max f ( x ) = − ; min f ( x ) = −1
[-2;2]
3 [-2;2]

Sai lầm: Học sinh đã nhầm lẫn giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất với bài toán tìm
cực đại, cực tiểu, học sinh quên tính y(-2), y(2) để so sánh.
Lời giải đúng:
53
11
y (−2) = ; y (2) = −
3
3
53
11

max y = y (−2) = ; min y = y (2) = −
[ − 2;2]
3 [ −2;2]
3

4


• Một số sai lầm khi học sinh chuyển đổi từ biến này sang biến khác mà không
tìm miền giá trị của biến mới.
sin x − 1
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) =
2sin x + 3
Một số học sinh giải như sau:
5
3
t −1
g '(t ) =
> 0; ∀t ≠ −
đặt t = sinx; hàm số viết lại g (t ) =
,
2
(2t + 3)
2
2t + 3
Bảng biến thiên:
t

3
−

2

-∞

g’(t
)

+
1
2

g(t)

+∞

+
+∞

-∞

1
2

Dựa vào bảng biến thiên ⇒ không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số.
Sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không tương đương cho rằng giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x) trùng với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
g(t), ∀t ∈ ¡ nên sau khi đổi biến đã không tìm miền xác định của g(t).
Lời giải đúng:
t −1

; t ∈ [ − 1;1]
2t + 3
5
g '(t ) =
> 0; g (1) = 0; g ( −1) = 2
(2t + 3) 2
⇒ max f ( x) = 0; min f ( x ) = −2
g (t ) =

¡

¡

Qua một số ví dụ và phân tích sai lầm ở trên chúng ta nhận thấy học sinh chưa nắm
rõ bản chất của định nghĩa dẫn đến không nắm vững kiến thức cơ bản liên quan đến
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
1.2. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm
chứng minh các bất đẳng thức:
* Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để
vận dụng.
 π
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: tanx > x, ∀x ∈  0; ÷
 2
Một số học sinh giải như sau:

5


Xét hàm số :

f ′( x) =

π



f(x) = tanx – x với x ∈  0; ÷
 2

1
 π
− 1 = tan 2 x > 0; ∀x ∈  0; ÷ => hàm số đồng biến trên
2
cos x
 2

 π
 0; ÷
 2

 π
Từ x > 0 ⇒ f ( x) > f (0) ⇔ tan x − x > tan 0 − 0 ⇔ tan x > x; ∀x ∈  0; ÷


2

π




Phân tích: Lời giải trên sai ở chỗ x > 0 => f(x) > f(0) ?? Sai lầm vì 0 ∉  0; ÷
 2
Hàm số f(x) đồng biến trên [a;b] (tức là f(x) liên tục trên [a;b] và
f ′( x) > 0; ∀x ∈ ( a; b) thì ∀x1 , x2 ∈ [a; b]; x1 > x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )
Lời giải đúng:
 π
f(t) = tant – t với ∀t ∈ 0; ÷


f ′(t ) =

2

1
 π
− 1 = tan 2 t ≥ 0; ∀t ∈ 0; ÷
2
cos t
 2

⇒ Hàm số đồng biến

 π
0; 2 ÷


 π
Từ x > 0 ⇒ f ( x) > f (0) ⇔ tan x > x; ∀x ∈  0; ÷
2




Học sinh thường mắc sai lầm là vận dụng sai tính chất của hàm đồng biến và
nghịch biến.
1
x
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ∀x > −1 thì xe > −
e
Một số học sinh giải như sau:
Xét f ( x) = x; g ( x) = e x là các hàm số đồng biến trên ¡ ⇒ h( x) = xe x là tích của
2 hàm số đồng biến nên cũng đồng biến trên ¡
Từ x > −1 ⇒ f ( x) > f (−1) ⇔ xe x > −

1
e

Phân tích: sai lầm của học sinh là nhầm lẫn tích của hai hàm số đồng biến là một
hàm số đồng biến điều đó nó chỉ đúng khi 2 hàm số đó cùng dương.
Lời giải đúng:
Xét f ( x) = xe x ; f ′( x) = e x ( x + 1) ≥ 0 ∀x ≥ −1
Dấu “=” xảy ra tại x = -1 ⇒ Hàm số đồng biến trên [ −1; +∞ )
1
e
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: Nếu x ≥ y > 1 thì x + y ≥ y + x
x
Từ x > −1 ⇒ f ( x) > f (−1) ⇔ xe > −

Một số học sinh giải như sau:
6

Xét x > y > 1 ta có: x ≥ y và

x≥ y

Trừ vế theo vế: x − x ≥ x − y ⇔ x + y ≥ y + x
Sai lầm: Học sinh mắc sai lầm khi trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
Lời giải đúng:
Xét f (t ) = t − t với t > 1
f ′(t ) = 1 −

1

=

2 t −1
> 0 => f(t) đồng biến ∀t > 1
2 t

2 t
Mà x ≥ y > 1 nên f ( x) ≥ f ( y ) ⇒ x − x ≥ y − y ⇒ x + y ≥ y + x

Ngoài những sai lầm trên học sinh còn mắc phải sai lầm ở bước tính đạo hàm, giải
phương trình và thực hiện các phép biến đổi.
1.3. Những sai lầm thường gặp phải khi giải các bài toán liên quan đến tính
đơn điệu, cực trị của hàm số:
Khi sử dụng qui tắc I để xét tính đơn điệu học sinh quên rằng đó là điều kiện đủ
chứ không phải điều kiện cần.
Quy tắc: y’ > 0, ∀x ∈ (a; b) ⇒ Hàm số đồng biến trên (a;b)

y’ < 0, ∀x ∈ (a; b) ⇒ Hàm số nghịch biến trên (a;b)
Điều ngược lại không đúng trong một số trường hợp.
Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x3 + mx2 – x + 2 nghịch biến trên trên ¡ .
Một số học sinh giải như sau:
Tập xác định: D = ¡
y′ = −3 x + 2mx − 1

Hàm số nghịch biến trên ¡

 −3 < 0
a < 0
⇔ y′ < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 
⇔ 2
⇔− 3 ∆′ < 0  m − 3 < 0

Phân tích: Chẳng hạn y = -x3 nghịch biến trên ¡ vậy y′ = −3x 2 ≤ 0, ∀x ∈ ¡
Dấu “=” xảy ra tại x = 0.
Học sinh quên định lý mở rộng: Hàm số y = f(x) xác định trên (a;b),
f ′ ≤ 0 , ∀x ∈ ( a; b) và dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a;b) thì hàm số f(x)
nghịch biến trên (a;b).
Lời giải đúng:
a > 0

Hàm số nghịch biến trên ¡ ⇔ y ′ ≤ 0 , ∀x ∈ ¡ ⇔  ′ ⇔ − 3 ≤ m ≤ 3
∆ ≤ 0
• Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số học sinh thường quên
đó chỉ là điều kiện đủ chứ chưa phải điều kiện cần.
Quy tắc:
 f ′( x0 ) = 0

⇒ x = x0 là điểm cực tiểu.

′′
f
(
x
)
>
0
o


7


 f ′( x0 ) = 0
⇒ x = x0 là điểm cực đại.

 f ′′( xo ) < 0

Điều ngược lại trong một số trường hợp không đúng.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = mx4. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại
x=0
Một số học sinh giải như sau:
f ′( x) = 4mx 3 ; f ′′( x ) = 12mx 2
 y′(0) = 0

4m.0 = 0

⇔

⇔ m∈∅
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇔  ′′
 y (0) < 0
12m.0 < 0
Vậy không có giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Phân tích: Giả sử khi m=-1, ta có:
y = −x4 ,
y ′ = −4 x 3 ;
y′ = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên
x -∞
y’
y

0

+

0

+∞

-

Vậy hàm đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu?
 f ′( x0 ) = 0
⇒ x0 là điểm cực đại của hàm số.
Ta có 

 f ′′( xo ) < 0

Còn điều ngược lại chưa chắc đúng vì x = x0 là điểm cực đại thì cũng có thể
f ′′( x0 ) = 0 .
Lời giải đúng:
Xét (m = 0, m > 0, m < 0)
+ m = 0 ; y = 0 ⇒ Hàm số không có cực trị
+ m > 0; y ′ = 4mx 3 ; y ′ = 0 ⇔ x = 0 , lập bảng biến thiên ⇒ x = 0 là điểm
cực tiểu của hàm số.
+ m < 0; y ′ = 4mx 3 ; y ′ = 0 ⇔ x = 0 , lập bảng biến thiên ⇒ x = 0 là điểm cực
đại của hàm số.
Vậy m < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Ví dụ 3: Cho y = x4 + mx3 + 3. Tìm tất cả giá trị m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Một số học sinh giải như sau:

8


y′ = 4 x3 + 3mx 2
y′′ = 12 x 2 + 6mx
 y′(0) = 0
0 = 0
⇔
⇒ không tồn tại m
′′
y
(0)
>
0
0

>
0



Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ 

Vậy không tồn tại m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Phân tích: Với m=0, ta có:
y = x4 + 1

y′ = 4 x 3 = 0 ⇔ x = 0
Bảng biến thiên:
x -∞
y’
+∞
y

0

-

0

+∞

+

+∞

3

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x= 0
Lời giải đúng:
Xét:m = 0, m < 0, m > 0
+ m = 0; y = x4 +1; y’= 4x3; y’= 0 ⇔ x = 0
Lập bảng biến thiên ⇒ x = 0 là điểm cực tiểu của hàm số

x = 0
+ m>0; y’= x (4x+3m); y’=0 ⇔ 
3m
x=−

4
Ta có x = 0 là nghiệm kép ⇒ y’ không đổi dấu qua x=0 ⇒ hàm số không đạt
2

cực trị tại x = 0
+ m <0 lý giải tương tự:
Vậy m = 0 hàm số đạt cực tiểu tại x =0
1.4. Những sai lầm trong các bài toán dùng phương pháp hàm số.
1
 1
 x − x = y − y (1)
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 
2 y = x 3 + 1(2)


Một số hàm số giải như sau:
1

t

Xét hàm số f(t) = t- ( t ≠ 0)
f’(t)= 1+

1
>0 ⇒ f(t) là hàm số tăng ∀ t ≠ 0
t2

9


(1) ⇔ f(x)=f(y) ⇔ x=y thế x=y vào (2)…
Nguyên nhân sai lầm:
Vì hàm số f(t) gián đoạn tại t = 0 nên không dùng tính đơn điệu.
x ≠ 0
Lời giải đúng: Điều kiện 
y ≠ 0
 x = y
1


3
( x − y )(1 + ) = 0
2 y = x + 1

xy
⇔
Hệ phương trình ⇔ 
xy = −1

2 y = x3 + 1
 

  2 y = x3 + 1

10


Chương II: SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN
LOGARIT.
1
x −1
2
2
+ log 3 x − 3 (1)
Ví dụ 1: Giải phương trình: log 9 ( x − 5 x + 6) = log 3
2
2
Một số học sinh giải như sau:
 x2 − 5x + 6 > 0

x > 1
 x −1
>0
⇔
⇔ x>3
Điều kiện: 
x > 3
 2
 x − 3 > 0

x −1
+ log 3 x − 3
2
x −1
⇔ log 3 ( x 2 − 5 x + 6) = log 3 (
x −3)
2
x −1
x −1
x2 − 5x + 6 =
x − 3 ⇔ ( x − 2)( x − 3) =
x−3
2
2
x −1
⇔ x−2 =
⇔ x = 3 (loại)
2

(1) ⇔ log 3 ( x 2 − 5 x + 6) = log 3

Vây phương trình vô nghiệm.
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm 1: Điều kiện không đúng
Sai lầm 2: Sử dụng công thức không đúng

Α2n > 0 ⇔ Α ≠ 0

Α >0⇔Α≠0


log n ( f ( x)) k = k log a f ( x) nếu k chẵn
n
 a
x −1
(1) ⇔ x 2 − 5 x + 6 =
x −3
2
x −1
⇔ x −2 x −3 =
x−3
2
x −1
⇔ x−2 =
2
x = 3
⇔
x = 5
3

5
3

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm phương trình x= .

11


Ví dụ 2: Giải phương trình :

3
log 1 ( x + 2) 2 − 3 = log 1 (4 − x) 3 + log 1 ( x + 6) 3 (1)
2
4
4
4

Một số học sinh có lời giải như sau:
( x + 2) 2 > 0

 x ≠ −2
3
Điều kiện: (4 − x) > 0 ⇔ 
 −6 < x < 4
( x + 6)3 > 0


(1) ⇔ log 1 ( x + 2)3 − 3 = log 1 (4 − x) 3 + log 1 ( x + 6) 3
4

4

4

⇔ ( x + 2) 4 = (4 − 3) ( x + 6) ⇔ ( x + 2)4 = (4 − x)( x + 6)
3

3

3

3

 x = −8(l )
⇔
⇔ x=2
 x = 2(n)

Nguyên nhân sai lầm:
m log a x = log a x m không đúng trong trường hợp này là: điều kiện hai vế không
giống nhau khi m chẵn.
Lời giải đúng:
 x ≠ −2
Điều kiện: 
−6 < x < 4
(1) ⇔ 3log 1 x + 2 − 3 = 3log 1 (4 − x) + 3log 1 ( x + 6) ⇔ x + 2 4 = (4 − x)( x + 6)
4

4

4

 x = 2

 4( x + 2) − (4 − x)( x + 6)
  x = −8
⇔
⇔

 4( x + 2) = −(4 − x)( x + 6)

  x = 1 − 33
  x = 1 + 33


Vậy nghiệm của pt là x=2; x=1- 33
2
2
Ví dụ 3: log 2 ( x + 2) − 3log 2 ( x + 2) − 1 = 0 (1)
Một số học sinh giải như sau:
Điều kiện: x + 2 > 0 ⇔ x > −2
(1) ⇔ 2 log 22 ( x + 2) − 3log 2 ( x + 2) − 1 = 0
Đặt t = log 2 ( x + 2)
Phương trình trở thành : 2t 2 − 3t − 1 = 0
n m
n
n
Phân tích: log a b = m log a b
Lời giải đúng:
Điều kiện: x> -2

12


x = 0
log 2 ( x + 2) = 1
(1) ⇔ 4 log ( x + 2) − 3log 2 ( x + 2) − 1 = 0 ⇔ 
⇔
x = 1 − 2
log 2 ( x + 2) = − 1
4

2

4

2
2

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 , x =

1
−2
2

4

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình log( x 2 + 2mx) − log( x − 1) = 0 (1) có nghiệm duy
nhất.
Một số học sinh giải như sau:
(1) ⇔ log( x 2 + 2mx) = log( x − 1) ⇔ x 2 + (2m − 1) x + 1 = 0 (*)
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình (*) có nghiệm duy nhất.
1

m = − 2
⇔∆=0⇔
m = 3

2
Phân tích: Học sinh mắc sai lầm là chưa tìm điều kiện của phương trình:
Lời giải đúng:
x > 1

(1) ⇔  2
 x + 2mx = x − 1(*)
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất ⇔ phương trình (*) có nghiệm duy nhất x > 1
− x2 + x − 1
(*) ⇔ 2m =
x
− x2 + x −1
Đặt f ( x) =
x

− x2 + 1
f ′( x ) =
; f ′( x) = 0 ⇔ x = ±1
x2
Bảng biến thiên:
x
f’(x
)
f(x)

-∞

-1

Yêu cầu bài toán ⇔ 2m > −1 ⇔ m > −

0

1

+∞

-1

-∞

1
2

13


Chương III: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI NHỮNG BÀI
TOÁN NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: F ( x) = −(1 + x)e x là nguyên hàm của f ( x ) = x e x
Từ đó tìm nguyên hàm : g ( x) = ( x − 1)e − x
Một số học sinh giải như sau:
F ′( x) = −e − x + (1 + x )e − x = xe − x = f ( x )
=> F ( x) là một nguyên hàm f(x)

Ta có: ∫ g ( x )dx = ∫ ( x − 1)e dx = ∫ xe dx − ∫ e dx = [−(1 + x )e + c ] − [−e + c ] = − xe
Phân tích sai lầm của học sinh là: viết hằng số C cho mọi nguyên hàm, phân tích
nguyên hàm nên dẫn đến sai lầm
Lời giải đúng:
−x

∫ g ( x)dx = ∫ ( x − 1)e

−x

(Với C = C1 − C2 )

−x

−x

−x

−x

−x

dx − ∫ e − x dx = (−(1 + x)e − x + C1 ) − (−e − x + C2 ) = − xe x + C

3

dx
2
− 3 (x + 2)
Một số học sinh giải như sau:

Ví dụ 2: Tính I= ∫
I= −

1 3
1
6
= − −1 = −
x + 2 −3
5

5

Phân tích:
1

Hàm số y= ( x + 2) 2 không xác định tại x=-2 ∈ [−3;3]
=> hàm số không liên tục trên [-3;3].
Lời giải đúng:
1

Hàm số y= ( x + 2) 2 không xác định tại x= -2 ∈ [−3;3] suy ra hàm số không liên tục
trên [-3;3], do đó tích phân không tồn tại.
b

Chú ý cho học sinh : khi tính

∫ f ( x)dx

cần chú ý tính liên tục của hàm số trên

a

[a;b] nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì áp dụng phương pháp đã học tính tích phân đã
cho, ngược lại kết luận tích phân này không tồn tại.
0

2
Ví dụ 3: I = −∫π cos x − cos 2 x dx
2

Một số học sinh giải như sau:

14


0

I=

0
1 − cos 2 xdx = ∫ sin xdx = − cos x −π = −1
π
−
2
2

0

∫π

cos 2 x − cos 2 xdx =

0

∫

−π
2

−

2

Phân tích: Lời giải trên sai lầm khi biến đổi
Lời giải đúng :
−

0
sin x dx = − ∫ sin xdx = cos x −π = 1
−π
2
2
0

0

I =∫

1 − cos 2 x = sin x ( A 2 = A )

π
2

Ví dụ 4: Tính I = I = ∫

4

0

x 2 − 6 x + 9dx

Một số học sinh giải như sau:
4

4

( x − 3) 2 dx = ∫0 ( x − 3) dx = (

I =∫
0

Nguyên nhân sai lầm:
Lời giải đúng:

∫

( x − 3) 2 = x − 3 với x ∈ [0;4] là không đúng.

4

4

I=

4
x2
− 3x) = -4
0
2

x − 6 x + 9dx =

2

0

∫
0

( x − 3) dx =
2

4

3

4

0

0

3

∫ x − 3 dx = ∫ −( x − 3)dx + ∫ ( x − 3)dx = 5

Chú ý đối với hàm số: 2 n ( f ( x)) 2 n = f ( x)
b

I =∫
a

, ∀n ∈ ¥ *

b

2n

( f ( x)) = ∫ f ( x ) dx trước tiên ta phải xét dấu của f(x) trên [a;b] sau đó dùng
a

tính chất của tích phân tách I thành tổng các phần không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
II. HIỆU QUẢ ÁP DỤNG
Đề tài này có thể làm tài liệu giảng dạy của giáo viên cũng như làm bài tập tham
khảo cho học sinh khối 12.

15


Phần III. PHẦN KẾT LUẬN
I. Ý nghĩa của đề tài đối với việc giảng dạy môn toán giải tích 12
- Đề tài đã làm sáng tỏ nhiều sai lầm của học sinh khi giải toán giải tích lớp 12.
- Đề tài đã phân tích được nguyên nhân của những sai lầm đó và tìm cách khắc
phục cho học sinh.
II. Bài học kinh nghiệm, và hướng phát triển của đề tài
Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi giải toán tích lớp 12
có ý nghĩa rất quan trọng trong quá trình dạy học, hi vọng khi áp dụng sáng kiến
này sẽ giúp học sinh nhìn thấy được việc nắm không chắc kiến thức toán học thì
gặp phải những sai lầm không đáng có trong khi giải toán. Từ đó học sinh rút ra
những kinh nghiệm trong học tập đặc biệt là môn toán và có những biện pháp khắc
phục hữu hiệu nhằm phát huy tính tư duy độc lập, năng lực suy nghĩ, tích cực chủ
động củng cố trau dồi kiến thức để có kết quả học tập cao hơn.

III. Kiến nghị
Sở giáo dục tổ chức các hội thảo chuyên đề về phương pháp dạy học môn
toán cho giáo viên, trong đó đưa ra các tình huống sai lầm của học sinh và nêu các
biện pháp xử lí.
Trong quá trình viết đề tài này, tôi xin chân thành cám ơn quý đồng nghiệp,
đặc biệt là các giáo viên trong tổ đã động viên và đóng góp nhiều ý kiến quý báu để
đề tài được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cám ơn!
Vinh xuân, tháng 3 năm 2016
Người thực hiện

Phan Thị Minh Tâm

16


1.
2.
3.
4.
5.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giải tích 12. Nhà xuất bản giáo dục 2008
Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 2008
Phương pháp giải toán giải tích cua Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê
Bích Ngọc, Nhà xuất bản giáo dục
Bài tập giải tích 12 cơ bản, Nhà xuất bản giáo dục 2008
Bài tập giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 2008

17