Bài tập Phép biến đổi Laplace
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (79.1 KB, 5 trang )
Câu 3.1
0 < t <1
t ,
Câu hỏi: Tìm hàm ảnh của hàm gốc: f (t ) = 2 − t , 1 < t < 2
0,
t>2
f (t ) = t − 2η (t − 1)(t − 1) + η (t − 2)(t − 2)
F ( p) =
1 − 2 e − p + e −2 p
2,5 điểm
1,5 điểm
1,0 điểm
p2
Câu 3.2
1≤ t < 2
t + 1,
Câu hỏi: Tìm hàm ảnh của hàm gốc: f (t) =
t ≥ 2 va t < 1.
0,
f (t ) = [ (t − 1) + 2 ] η (t − 1) − [ (t − 2) + 3] η (t − 2)
e− p − e−2 p 2e− p − 3e−2 p
F ( p) =
+
p
p2
2,5 điểm
1,5 điểm
1,0 điểm
Câu 3.3
t − 1,
Câu hỏi: Tìm hàm ảnh của hàm gốc: f (t ) = 1 − 3t ,
0,
0≤t <3
3≤t <5
t ≥5
f (t ) = t − 1 + [ 4(t − 3) + 10] η (t − 3) + [ 3(t − 5) + 14 ] η (t − 5)
F ( p) =
1 + 4e−3 p + 3e−5 p
p2
1 − 10e −3 p − 14e −5 p
−
p
2,5 điểm
1,5 điểm
1,0 điểm
Câu 3.4
0 ≤ t <1
t ,
1≤ t < 3
Câu hỏi: Tìm hàm ảnh của hàm gốc: f (t ) = 2t − 1,
0,
t ≥3
f (t ) = t + (t − 1)η (t − 1) − 3(t − 3)η (t − 3) − 8η (t − 3)
1 + e− p − 3e−3 p 8e−3 p
F ( p) =
−
p
p2
2,5 điểm
1,5 điểm
1,0 điểm
Câu 3.5
3t,
Câu hỏi: Tìm hàm ảnh của hàm gốc: f (t) = 2t − 3,
0,
0≤t<4
4≤t<6
t≥6
f (t ) = 3t − [ (t − 4) + 7 ] η (t − 4) − [ 2(t − 6) + 9] η (t − 6)
F ( p) =
3 − e−4 p − 2e −6 p
p2
7e−4 p + 9e−6 p
−
p
2,5 điểm
1,5 điểm
1,0 điểm
Câu 3.6
Câu hỏi: Tìm hàm gốc của hàm ảnh: F(p) =
pe−2p
p 2 + 4p − 5
2,5 điểm
1,5 điểm
1 1
5 −2p
F(p) =
+
e
6 p −1 p + 5 ÷
f (t) ¤ F(p) ⇒ η(t − a)f (t − a) ¤ e −apF(p), a > 0.
1
f (t) = η(t − 2) e t − 2 + 5e −5(t − 2)
6
1 t −2
−5(t − 2)
t>2
e + 5e
,
= 6
0,
t<2
1,0 điểm
Câu 3.7
(3p 2 + 5)e − p
Câu hỏi: Tìm hàm gốc của hàm ảnh: F(p) = 4
p + 4p 2 + 3
2
1 −p
F(p) = 2
+ 2
÷e
p + 3 p +1
f (t) ¤ F(p) ⇒ η(t − a)f (t − a) ¤ e − apF(p) với
2,5 điểm
1,5 điểm
a>0
2 3
f (t) = η(t − 1)
sin 3(t − 1) − sin(t − 1)
3
2 3
sin 3(t − 1) − sin(t − 1) , t > 1
= 3
0,
t <1
1,0 điểm
Câu 3.8
∞
2 −2t
Câu hỏi: ứng dụng biến đổi Laplace tính: I = ∫ t e cos 2tdt
2,5 điểm
0
∞
2 − pt
I = ∫t e
0
′
″
p 4 − p 2 2 p3 − 24 p
cos 2tdt = 2
=
÷ = 2
2÷
÷ ( p 2 + 4)3
p
+
4
(
p
+
4)
I=
1.5 điểm
1,0 điểm
2p3 − 24p
1
=
−
32
(p 2 + 4)3 p = 2
Câu 3.9
∞ −2t
Câu hỏi: ứng dụng biến đổi Laplace tính: I = ∫
0
∞ − pt
I=∫
e
0
sin 3t
dt
t
∞
2,5 điểm
1.5 điểm
sin 3t
dt
t
sin 3t
Do
¤
t
I=
e
∞
p
9π
s
∫ p2 + 9 = 9arctg 3 s = 2 − 9arctg 3
s
3dp
9π
s
9π
2
− 9arctg
=
− 9arctg
2
3 s=2 2
3
1,0 điểm
∞
2,5 điểm
Câu 3.10
cos 2t − cos 4t
dt
t
0
Câu hỏi: ứng dụng biến đổi Laplace tính: I = ∫
cos 2t − cos 4t
¤
t
∞
1 s 2 + 16
I = ln 2
÷ = ln 2
2 s + 4 ÷
s =0
Câu 3.11
∞
p
p
1 p2 + 4
∫ p2 + 4 − p2 + 16 ÷ dp = 2 ln p2 + 16 ÷÷
s
s
1.5 điểm
1,0 điểm
∞
−t
Câu hỏi: Ứng dụng biến đổi Laplace tính: I = ∫ (t + 2)e sin 2tdt
2,0 điểm
0
′
2
4
4p
4
(t + 2)sin 2t ¤ − 2
= 2
+
÷+ 2
2
p2 + 4
p + 4 p + 4 (p + 4)
4p
4
24
I= 2
+
=
(p + 4) 2 p 2 + 4 p =1 25
1.5 điểm
1,0 điểm
Câu 3.12
Câu hỏi: Tìm x(t) từ phương trình:
x′′ + 9 x = cos 2t , x(0) = 1, x′(0) =
2,5 điểm
3
2
x ¤ X → x′ ¤ pX − 1 ⇒ x′′ ¤ p 2 X − p −
⇒ (p 2 + 9)X = p +
X(p) =
3
2
1.5 điểm
3
5p
+
2 2(p 2 + 4)
p
3
1
+
+
2(p 2 + 9) 2(p 2 + 4) 2(p 2 + 4)
1
x(t ) = (cos3t + 3sin 2t + cos 2t )
2
1.0 điểm
Câu 3.13
Câu hỏi: Tìm x(t) từ phương trình:
x′′ + 2 x′ + x = 2(cos t − sin t ),
x(π / 2) = 1 = − x′(π / 2)
π
t = v − → y′′ + 2y′ + y = 2(cos v + sin v)
2
→ x(π / 2) = y(0); x′( π / 2) = y′(0)
2,5 điểm
1.5 điểm
Với y ¤ Y → y′ ¤ pY − 1 và y′′ ¤ p 2Y − p + 1
2(p + 1)
p
1
⇒
Y
=
+
p2 + 1
p2 + 1 p2 + 1
y = cos v + sin v = cos t − sin t
(p 2 + 2p + 1)Y = p + 1 +
Câu 3.14
1,0 điểm
Câu hỏi: Tìm y(x) từ phương trình:
x
4 y′′ − 2 y′ + y = sin ,
2
2,5 điểm
y (−π ) = 0, y′(−π ) =
1
2
x
t
Thay x = t − π → y( −π) = φ(0); y′(−π) = φ′(0);sin = − cos
2
2
φ ¤ Φ → φ′ ¤ pΦ nên φ′ ¤ p 2Φ −
⇔Φ=
1.5 điểm
1 ⇒ (4p 2 − 2p + 1)Φ = 2 − 4p
4p 2 + 1
2
2
t
x
≅ sin y(x) = cos
2
2
4p + 1
2
Nghiệm y ( x) = cos
1,0 điểm
x
2
Câu 3.15
Câu hỏi : Tìm y(x) từ phương trình:
x
2,5 điểm
y′′ + 4y = 7sin x + 8 ∫ sin 2(x − t)y(t)dt,
y(0) = 0, y′(0) = 1
0
1.5 điểm
x
Do ∫ sin 2(x − t)y(t)dt = y ∗ sin 2x ¤
0
2Y
; y′′ ¤ p 2Y − 1
2
p +4
16Y
7
16
p2 + 8
2
⇒ (p + 4)Y = 1 + 2
+
⇔ (p + 4 − 2
)Y = 2
p + 4 p2 + 1
p +4
p +1
1
1
1
⇔Y= 2 2
= 2− 2
p (p + 1) p
p +1
y ( x) = x − sin x
2
1,0 điểm
