Bài tập xác suất thống kê và lời giải 2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (354.42 KB, 25 trang )
Câu 2.1
Cho biến
kx
f X ( x)
0
3
ngẫu
nhiên X có
hàm
mật
độ
là 2 đ
khi x 1
khi x 1.
a) Tìm hằng số k , hàm phân bố của X và P( X 2) .
b) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y 31X .
a) Ta có
1đ
f X x dx 1 kx 3dx 1 k 2.
1
1
x 3
2u du 1 2
FX x 1
x
0
1 1
P( X 2) 1 P( X 2) 1 F (2) 1 1
4 4
Hàm phân bố của X là
x 1
x 1.
.
b) Với y > 0 ta có
1
1
FY y P Y y P
y P X
3y
3X
1 y 1/ 3,
1
1 FX 2
0 y 1/ 3.
3 y 9 y
Với y 0 ta có F y 0.
Do đó hàm mật độ của Y là
1đ
Y
Câu 2.2
Cho hai biến ngẫu nhiên
thời là
X
18 y khi 0 y 1/ 3
fY y
0 khi y 0;1/ 3
và
Y
có hàm phân bố đồng 2 đ
(1 e2 x )(1 e y ) khi x 0, y 0
F( x, y)
nÕu tr¸ i l¹ i
0
a) Tìm hàm phân bố của X và của Y .
b) Chứng minh X và Y độc lập. Tính P( X 2, Y 2) .
a)
1 e2 x khi x 0
FX ( x)
nÕu tr¸ i l¹ i
0
b)
X ,Y
độc lập vì
1 e y khi y 0
FY ( y)
nÕu tr¸ i l¹ i
0
F ( x, y ) FX ( x).FY ( y )
,
x, y
1đ
1đ
.
P( X 2, Y 2) F (2, 2) (1 e 4 )(1 e 2 ) 0.849
Câu 2.3
Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
.
2đ
k cos2x khi x
f X ( x)
4
4
0
nÕu tr¸ i l¹ i
1
a) Tìm hằng số k và hàm phân bố của X .
b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
a) Ta có
f ( x)dx 1 k 1
khi x
0
4
sin 2 x 1
FX ( x)
khi x
2
4
4
khi x
1
4
.
b)
EX 0, DX EX 2
1đ
2 8
1đ
16
Câu 2.4
Cho hai biến ngẫu nhiên
thời là
X
và
Y
có hàm mật độ đồng 2 đ
k(1 x) y khi 0 x 1,0 y 2
f ( x, y)
nÕu ng- î c l¹ i
0
a) Tìm hằng số k và các hàm mật độ của
Y.
b) X và Y có độc lập hay không? Tính EX .
a) f ( x, y)dxdy 1 k 1 .
X
và của
1đ
Ta có
2(1 x) khi 0 x 1
f X ( x)
nÕu ng- î cl¹ i
0
b)
X ,Y
EX = xf X
độc
1
( x)dx .
3
lập
y
khi 0 y 2
fY ( y) 2
0 nÕu ng- î cl¹ i
vì
f ( x, y ) f X ( x ). fY ( y )
Câu 2.5
Cho biến ngẫu nhiên hai chiều
, ,
,
có hàm mật độ
x, y
. 1đ
2đ
x2
k xy khi 0 x 1;0 y 1
f , ( x) 2
nÕu tr¸ i l¹ i
0
a) Tìm hằng số k .
b) Tính xác suất P , 12 ; 12 12 ; 23 .
1 1
2
5k
12
a) 1 k x2 xy dxdy 12
k
5
0 0
1đ
2
b)
1
2 1
u2
3 11
1 1 1 3
1
P , ; ; k uv dudv k
2
2 2 2 2
96 64 80
0 1
1đ
2
Câu 2.6
Cho biến ngẫu nhiên
liên tục, có hàm mật độ 2 đ
k(1 x) x 2 khi 2 x 1
f ( x)
nÕutr¸ i l¹ i
0
a) Tìm hằng số k, tính P 4 0 .
b) Tính kỳ vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên
3 .
1đ
a) f x dx 1 k 92
0
2
20
P 4 0 1 x x 2 dx
9 2
27
b)
E
(3 x) f x dx
2
D E 2 E
Cách 2.
20
7
2
.
,
E 2
127
(3 x) f x dx 10 .
2
1đ
.
E E 3
1
7
3 ;
2
2
D D
9
20
Câu 2.7
Cho biến ngẫu nhiên liên tục, có hàm mật độ
f x k .x
0
5
2
2đ
khi x 1
khi x 1
a) Tìm hằng số k và hàm phân bố F x .
b) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên 1 và từ
đó tính xác suất
a)
f x dx 1 k
Hàm phân bố
.
1đ
3
2
x
F x
b) Tìm F y .
Khi y>0,
P 0,1 0, 2
0
f t dt 1 1
3
x2
x 1
x 1
1đ
3
1
1
1
F y P y P y P 1 F
y
y
y 1
1
3
2
0 y 1
y
Khi y < 0,
F y 0
y 0 y 1
0
f y 3
y
2
Và
3
0 y 1
3
P 0,1 0, 2 0, 2 2 0,12 0.058
Câu 2.8
Cho biến ngẫu nhiên liên tục, có hàm mật độ
kx2 x 12 khi 0 x 1
f x
nÕu tr¸ i l¹ i
0
1
1
P
2
2
a) Tìm hằng số k, tính
2đ
.
b) Tính kỳ vọng, phương sai của .
1
a)
f x dx 1 k 30
;
b)
E
xf x dx
1đ
2
1
1
2
1
P 30 x 2 x 1 dx
2
2
2
0
1
2
E 2 x 2 f x dx
2
7
,
;
2
D E 2 E
1đ
1
28
Câu 2.9
Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ
2đ
3
20 x (1 x) khi 0 x 1
f ( x)
khi x (0;1)
0
a) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
b) Tìm hàm phân bố của X, từ đó tính
a)
1
EX 20 x 4 (1 x)dx
0
b) Vậy
2
3
;
1
EX 2 20 x5 (1 x)dx
0
khi x 0
0
4
5
F ( x) 5 x 4 x khi 0 x 1
1
khi x 1
;
10
21
;
P 0.2 X 0.5
.
2
63
.
DX EX 2 ( EX )2
1đ
1đ
P(0, 2 X 0,5) F (0, 5) F (0, 2) 0, 0181
Câu 2.10
Một thiết bị điện tử có tuổi thọ (năm) là biến ngẫu 2 đ
nhiên X có hàm mật độ dạng
4
k .x3e x khi x 0
f ( x)
khi x 0
0
a) Tìm k, tính tuổi thọ trung bình của thiết bị đó và
xác suất thiết bị đó hỏng trong 2 năm đầu làm
việc.
b) Nếu biết rằng sau 2 năm đầu làm việc vẫn thấy
thiết bị đó hoạt động tốt thì xác suất thiết bị đó bị
hỏng trong 2 năm tiếp theo là bao nhiêu ?
1đ
a) k 16 , EX 4 , P( X 2) 0.1429
c) P( X 4 | X 2) P(2P(X X 2)4) 0.4237
0.4943
0.8571
Câu 2.11
Cho biến ngẫu nhiên hai chiều
1
f ( x, y ) 4
0
( X ,Y )
1đ
có hàm mật độ là
khi x 2 y 2 4
khi x 2 y 2 4
a) Tính R(X, Y) và P X Y 1 .
b) X và Y có độc lập không?
a) Do tính đối xứng giữa X và Y nên ta có
1
EX EY xf ( x, y )dxdy
4
R2
EXY xyf ( x, y )dxdy
R
2
1
4
x
2
2đ
1đ
xdxdy 0
x 2 y 2 1
2
xydxdy 0
. Do đó
( X ,Y ) 0 .
Từ đó
y 1
suy ra X và Y không tương quan.
Gọi D ( x, y) : x y 1 .
Ta có P X Y 1 f ( x, y)dxdy 4S 42 21
D
y
2
-2
0
D
1
2
x
-2
b) Do tính đối xứng của x và y nên hai biến ngẫu nhiên 1 đ
X và Y có cùng phân bố. Hàm mật độ của X là
4 x2
nÕu 2 x 2
.
f X ( x) f ( x, y)dy 2
0
nÕu ng- î c l¹i
5
Từ đó ta có f ( x, y) f ( x). f ( y) . Do vậy X và Y không độc
lập.
Câu 2.12
Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng 2
thời là
đ
X
Y
6 2
( x y) khi 0 x, y 1
f ( x, y) 5
0
nÕu tr¸ i l¹ i
a) Tìm hàm mật độ của X và Y kiểm tra tính độc
lập giữa X và Y.
b) Tính P( X Y 1) .
a)
ví i x (0;1) 0
0
ví i x (0;1)
1
.
f X (x) 6
6 2 1
2
5 (x y)dy ví i x (0;1) 5 (x 2 ) ví i x (0;1)
0
1
ví i y (0;1) 0
0
ví i y (0;1)
1
f Y (y) 6
6
1
2
(x
y)dx
ví
i
y
(0;1)
5
5 (y 3) ví i y (0;1)
0
Rõ ràng
b)
f (x,y) f X (x).f Y (y)
P(X Y 1)
nên
f (x,y)dxdy
{x y1}
X
và
Y
không độc lập.
6 1 1x 2
3
dx (x y)dxdy .
50 0
10
1
Câu 2.13
Biết rằng mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
k x e
f ( x)
0
x
khi
khi
2đ
x0
x0
a) Tìm hằng số k; Mod(X).
b) Tính EX , EX , DX .
2
a) 1
f ( x)dx kxe x dx ... k
1đ
k 1
0
Xét g ( x) xe , x 0 . g ( x) e x 1 0 x 1 , đổi
dấu.. Mod ( X ) 1
b) E ( X ) xf ( x)dx x e dx ... 2; E ( X ) x f ( x)dx x e
x
x
2 x
0
2
3 x
2
dx ... 6
1đ
0
D( X ) E ( X 2 ) ( E ( X ))2 6 4 2
Câu 2.14
Cho X là biến ngẫu nhiên có mật độ
2
6
k x e x
f ( x)
0
khi
khi
x0
x0
a) Tìm hằng số k và tính P( X e) .
b) Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X .
a) k 1 , P( X e) 0.2454
b) y 0 : F ( y) 0 ; y > 0: F ( y) P X y P X y F
2
Y
fY ( y )
Y
X
( y2 )
1đ
1đ
2
d
d
( FY ( y )) ( FX ( y 2 )) f ( y 2 ).2 y 2 y 3e y
dy
dy
Câu 2.15
Một cầu thủ ném bóng vào rổ với xác suất trúng là 0.6; 2 đ
kết quả các lần ném độc lập, cuộc chơi dừng lại khi anh
ta ném được một quả bóng vào rổ.
a) Lập bảng phân bố xác suất số lần ném. Tính xác
suất phải ném ít nhất 3 lần.
b) Tính kỳ vọng số lần ném.
a)
1đ
X 1
2
3 …
n
…
0,42.
P 0,6 0,4.0,6
… 0,4n-1. 0,6 …
0,6
P=1- (0,6 + 0,24) = 0,16
b) E ( X ) n(0, 4) 0, 6 0, 6 n(0, 4) . Chuỗi hàm f ( x) x 1 1 x , 1 đ
n 1
n 1
n 1
n
n 1
n0
bán kính hội tụ là r = 1.
f ( x) nx n 1
n 0
E ( x) 0,6. f (0, 4)
0, 6
1, 667
(0, 6)2
1
(1 x) 2
.
Câu 2.16
Véc tơ ngẫu nhiên (X, Y) có mật độ
( x y)
e
f ( x, y)
0
khi x 0, y 0;
nÕu tr¸ i l¹ i.
a) Tìm các mật độ biên f ( x);
2 biến ngẫu nhiên độc lập.
b) Tìm mật độ của Z X Y .
X
fY ( y )
2
đ
; suy ra rằng X, Y là
7
a ) x 0: f x ( x)
1
đ
f ( x, y )dy 0
x 0 : f x ( x)
f ( x, y )dy e ( x y ) dy ... e x
0
x0
0
f X ( x) x
e
x0
Tương
0
fY ( x ) y
e
tự,
f ( x, y ) f X ( x). fY ( y ) x, y
X
Y
* x 0:
f Z ( x) 0
y0
.
Do
đó
.
Vậy X, Y độc lập
b) f ( x) f ( x) f ( x) f
Z
y0
;
1
đ
X ( x t ) fY (t ) dt f X ( x t ) f Y (t ) dt
0
x
x 0 : f Z ( x) e ( x t ) e t dt xe x
.
0
0,
f Z ( x) x
xe ,
x 0;
x0
Câu 2.17
Cho X là biến ngẫu nhiên có
k x e x
f ( x)
0
x0
x0
khi
khi
.
2đ
a) Tìm hằng số k và mật độ của biến ngẫu nhiên
X .
b) Tính P( X 1) .
2
2
a)
1
k 1
y 0 : FY ( y ) 0
y > 0:
FY ( y ) P X 2 y P X
y FX ( y )
d
d
1
( FY ( y )) ( FX ( y )) f ( y ).
ye
dy
dy
2 y
khi y 0
0
fY ( y ) 1 y
khi y 0
2 e
fY ( y )
vậy
;
y
1
1
e
2 y 2
y
1
b) P( X 1) P( X 1) 0.264
Câu 2.18
Tầm bắn của một loại pháo là biến ngẫu nhiên có phân 2 đ
bố chuẩn với trung bình 16.7km và độ lệch chuẩn
0.3km.
a) Tính xác suất một phát bắn đạt xa hơn 16.7km
2
8
b) Tính xác suất một phát bắn đạt từ 15.8km đến
17.6km
Cho (0) 0, 5000; (3) 0,9987; (1.96) 0,9750
Z
X 16.7
N 0,1
0.3
1đ
a) P( X 16.7) P Z 0 12 50%
1đ
b) P 15.8 X 17.6 P 3 Z 3 0.997 99.7%
Câu 2.19
Tuổi thọ X của một loại thiết bị điện tử là biến ngẫu 2 đ
nhiên có phân bố với hàm mật độ
1 x 2
xe khi x 0
f x 4
0
khi x 0.
a) Tính P X 4 và P X 4 X 2 .
b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
a) P X 4 4x e
x 2
1đ
dx 3e 2 .
4
P X 4 X 2
P X 4 3e 2 3 1
e .
P X 2 2e 1 2
b) E (X) 4, EX 24, Var X 8.
Câu 2.20
Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
2
cx 2 .e2 x khi x 0
f x
khi x 0
0
1
P x
2
1đ
2đ
a Tìm c và tính
.
a) Tìm EX.
a)
c 4;
b)
3
EX .
2
1
P X 0.0803
2
1đ
1đ
Câu 2.21
Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ 2 đ
4 x(1 x 2 ) khi x (0;1)
f ( x)
khi x (0;1)
0
a) Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X.
9
b) Tìm medX và tính
a)
b)
1
8
EX 4 x (1 x )dx
15
0
2
2
;
1
P0 X
2
.
1
2
EX 4 x3 (1 x 2 )dx
0
1
3
;
DX
11
225
;
X
11
15
với a là nghiệm của 2a 4a 1 0 . Do đó
1/2
2 2
1
7
0.541 . P 0 X 4 x(1 x 2 )dx .
2
2
16
4
medX a (0;1)
medX
2
1đ
1đ
0
Câu 2.22
Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ
2đ
12 x3 (1 x 2 ) khi x (0;1)
f ( x)
khi x (0;1)
0
a) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
b) Tìm modX và tính P 0 X 12 .
1
1
24
a) EX 12 x (1 x )dx 35
;
4
2
EX 2 12 x 5 (1 x 2 )dx
0
3
0.775
5
b) modX
;
0
1
2
;
DX
73
2450
1/ 2
1đ
1đ
1
5
P 0 X 12 x3 (1 x 2 )dx
0.15625
2
32
0
Câu 2.23
Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ
2đ
12 x 2 (1 x) khi x (0;1)
f ( x)
khi x (0;1)
0
a) Tìm kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X.
b) Tiến hành quan sát giá trị của X. Tính xác suất
trong 5 lần quan sát có đúng hai lần X nhận giá trị
nhỏ hơn 12 .
1
a) EX 12 x (1 x)dx 35 ;
3
1
EX 2 12 x 4 (1 x )dx
0
0
1/2
b) P 0 X 12 12 x (1 x)dx 165 . Do đó
2
0
2
5
;
DX
5
p C52
16
Câu 2.24
Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ
3
kx (1 x )
f ( x)
0
1
25
2
;
X
3
1
5
11
. 0.3173
16
1đ
1đ
2đ
khi x [0;1]
khi x [0;1].
10
1) Tìm hằng số k, tính kỳ vọng và phương sai của
X.
2) Tìm hàm phân bố của X và tính P(0.5 < X< 1).
1đ
k 20
1
EX 20 x 4 (1 x)dx
0
F ( x)
x
2
3
DX EX 2 ( EX ) 2
2
63
.
P(0.5 X 1) F (1) F (0.5)
13
16
.
1
EX 2 20 x 5 (1 x)dx
0
khi x 0
0
4
f (t )dt 5 x 4 x 5 khi 0 x 1
1
khi x 1
và
10
21
1đ
Câu 2.25
Qua nghiên cứu ở một vùng trồng cam, người ta thấy 2 đ
số quả cam trên một cây là biến ngẫu nhiên có phân bố
chuẩn. Người ta đếm thử 600 cây thì thấy 15 cây có ít
hơn 20 quả, 30 cây có ít hơn 25 quả.
a) Hãy ước lượng số quả cam trung bình trên một
cây.
b) Ước lượng tỷ lệ cây cam có từ 60 quả trở lên.
Biết rằng: u (0.05) 1.65; u (0.302) 0.52; u (0.025) 1.96; u (0.10) 1.28 .
a) Gọi X là số quả cam trên một cây. Ta có X N ( , ) . 1 đ
2
20
P( X 20)
0.025 (1.96)
25
P( X 25)
0.05 (1.65)
. Do đó ta có hệ phương
trình
20
1.96
25 1.65
. Giải hệ ta có
51.61
và 16.13 . Do đó
trung bình một cây cam có 51.61 quả.
b) P( X 60) 1 60 1 (0.52) 0.302 . Do đó tỷ lệ cây có
1đ
từ 60 quả trở lên chiếm khoảng 30.2%.
Câu 2.26
Một cơ quan mua về 15 cái máy tính, trong đó có 4 cái 2đ
máy không đạt chất lượng. Phòng kinh doanh được
phân cho 6 chiếc và họ đã nhận một cách ngẫu nhiên 6
11
chiếc đem về. Gọi là số chiếc máy tính đạt chất
lượng mà phòng kinh doanh nhận được.
a) Lập bảng phân phối xác suất của
b) Tính xác suất để phòng kinh doanh nhận được 3 máy
không đạt chất lượng biết rằng có ít nhất 1 máy
không đạt chất lượng.
P( 2)
C112 .C44
0.011
C156
4
11
a) P( 4) CC.C
6
15
2
4
P( 3)
C113 .C43
0.132
C156
P( 5)
C115 .C41
0.369
C156
0.396
1đ
C116
P( 6) 6 0.092
C15
2
0.011
P
3
0.132
4
0.396
5
0.369
6
0.092
b) P( 3 | 5) P( P(3 5) 5) 0.132
0.145
0.908
1đ
Câu 2.27
Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
kx
f ( x) k
0
2đ
khi 0 x 1
khi 1 x 2
khi x [1;2]
a) Xác định giá trị của k. Tính
4
1
P X
3
2
.
b) Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên
Y 3X 2 .
a) k 23 , P 12 X 34 32
1đ
b)
1đ
11
5
EX EY 3EX 2
9
3
DX 0.228 DY 9 DX 2.052
Câu 2.28
Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm phân bố xác suất
0
0.25 x 0.5
F ( x)
0.5 x 0.25
1
a) Tính
2đ
khi x 2
khi 2 x 1
khi 1 x 1.5
khi 1.5 x
P({X 1} { X 1.6})
. Tìm hàm mật độ của X.
12
b) Tính kì vọng, phương sai của biến ngẫu nhiên Y | X | .
a) P( X 1 X 1, 6) P( X 1) P( X 1, 6) F (1) 1 F (1.6) 0.25
1đ
0.25, 2 x 1
f ( x) 0.5, 1 x 1.5
0,
x [-2;1.5]
b) EY 0.875, DY 0.38
Câu 2.29
Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác
suất
X 1
2
3
4
5
6
7 8
9 10
P 0.05 0.19 0.20 0.25 0.12 0.10 x 0.08 y 0.01
a) Tìm giá trị của x, y. Từ đó tính P( X 6) .
b) Quan sát biến ngẫu nhiên X 20 lần độc lập nhau
trong cùng một điều kiện. Tính xác suất để trong 20
lần có đúng 17 lần X 6 . Trung bình có bao nhiêu lần
X 6 ?
a) x y 0, P( X 6) 0.09
b) Gọi Y là số lần X 6 trong 20 lần quan sát.
1đ
2đ
1đ
1đ
P( X 6) 0.91
175
P(Y 17) C20
0.9117 0.093 0.167
;
EY 20 0.91 18.2
lần
Câu 2.30
Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với
2đ
nhau, xác suất trong khoảng thời gian t các bộ phận bị
hỏng tương ứng là 0.2; 0.3 và 0.25. Gọi là số bộ phận
bị hỏng trong khoảng thời gian t.
a) Tìm bảng phân phối xác suất của .
b) Tính kì vọng, phương sai của và xác suất để trong
khoảng thời gian t có đúng 2 bộ phận bị hỏng biết
rằng có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng.
a) Gọi Ai: bộ phận thứ i bị hỏng, i = 1, 2, 3.
1đ
13
P( 0) P( A1 A2 A3 ) 0.8 0.7 0.75 0.42
P( 1) P( A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ) 0.2 0.7 0.75 0.8 0.3 0.75 0.8 0.7 0.25 0.425
P( 2) P ( A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 ) 0.2 0.3 0.75 0.2 0.7 0.25 0.8 0.3 0.25 0.14
P( 3) P ( A1 A2 A3 ) 0.2 0.3 0.25 0.015
Bảng phân phối xác suất của
0
1
2
3
P
0.42
0.425
0.14
0.015
1đ
b) E 0.75, D 0.5575 ; P( 2 | 1) P( P(2 1) 1) 0.14
0.24
0.58
Câu 2.31
Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập , có bảng phân phối
xác suất
-1 0 2 4
-1 1 3 5 7
P 0,2 0,3 0,1 0,4
P 0,1 0,1 0,2 0,4 0,2
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho , .
b) Cho X 2 . Tính EX , DX và P( X 2) .
a) Bảng phân phối xác suất đồng thời của ,
-1
1
3
5
7
2đ
1đ
-1
0.02
0.02
0.04
0
0.03
0.03
0.06
2
0.01
0.01
0.02
4
0.04
0.04
0.08
E 2 E 1.6 2 4 6.4
b) EX
DX D 4 D 4.44 4 5.8 27.64
0.04
0.12
0.04
1.6
0.02
0.06
0.02
0.08
1đ
Câu 2.32
Câu hỏi: Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật động 2đ
0 x 3, x y x 2
đồng thời f ( x, y) c0( x y) khi
nÕu tr¸ i l¹ i
a) Tìm c. Tính các xác suất
b) Tính EX , DX .
c
a)
P X 1, Y 2 , P 1 X 2
.
1
,
24
1đ
1 2
P( X 1, Y 2)
0 x
2 x 2
1
( x y )dxdy 0.104; P(1 X 2)
24
1
x
1
( x y )dxdy 0.33
24
14
3 x2
b)
EX
x
x
0
3 x2
EX 2
0
1đ
1
( x y )dxdy 1.875
24
x2
x
1
( x y )dxdy 4.125 DX EX 2 (EX)2 0.609
24
Câu 2.33
Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật động
đồng thời f ( x, y) ce khi 0 x, x y
2đ
2 x 3 y
0
nÕu tr¸ i l¹ i
a) Tìm c. Tính các xác suất P X 2, Y 2 , P Y 3 .
b) Tính kì vọng, phương sai của X.
c 15
a)
1đ
2 2
3
5
P( X 2, Y 2) 15e 2 x 3 y dxdy 1 e 10 e6 0.994
2
2
0 x
2
P(Y 3) 15e 2 x 3 y dxdy 0.00012
1 3
EX
b)
x15e
2 x 3 y
dxdy
x
0
EX 2
2
x 15e
0
2 x 3 y
1đ
1
0.2
5
dxdy
x
2
0.08 DX=EX 2 (EX)2 0.04
25
Câu 2.34
Tuổi thọ (năm) của một bóng đèn là biến ngẫu nhiên X 2đ
có hàm mật độ
kx (4 x) khi x [0; 4]
.
f ( x)
0
khi x [0; 4]
2
a) Tìm hằng số k và tính tuổi thọ trung bình của bóng
đèn.
b) Tính xác suất tuổi thọ của bóng đèn không quá 1
năm.
a) Do f ( x)dx 1 nên 1 kx (4 x)dx k. 643 k 643 . Tuổi thọ 1đ
4
2
0
trung bình của bóng đèn
12
là EX xf ( x)dx 643 x (4 x)dx 643 . 256
=2,4 (năm).
5
5
4
3
0
b) Xác suất tuổi thọ của bóng đèn không quá 1 năm 1đ
13
0, 051 .
là P(0 X 1) f ( x)dx 643 x (4 x)dx 256
1
1
2
0
0
Câu 2.35 3 ý
15
Một thùng hàng có 5 sản phẩm cũ và 10 sản phẩm mới. 2đ
Lấy ngẫu nhiên đồng thời ra 2 sản phẩm. Gọi X là số
sản phẩm mới trong 2 sản phẩm được lấy ra.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Tính giá trị trung bình của X và xác suất có ít nhất
1 sản phẩm mới được lấy ra.
a) Ta có bảng phân bố
1đ
X 0 1 2
10
50
45
P 105 105 105
10
50
45 140 4
95 19
1đ
b) EX x p 0.105
.
1.
2.
; P( X 1)
105
105 105 3
105 21
2
i
i
i 0
Câu 2.36
Tuổi thọ (năm) của một thiết bị là biến ngẫu nhiên X có 2đ
hàm mật độ
kx (4 x) khi x [0; 4]
f ( x)
.
0
khi x [0; 4]
3
2
a) Tìm k. Tính tuổi thọ trung bình của thiết bị đó.
b) Nhà sản xuất bảo hành thiết bị đó trong vòng 1
năm. Tính tỷ lệ số thiết bị bị hỏng trong thời gian
còn được bảo hành.
15
a) Do f ( x)dx 1 nên 1 kx (4 x) 1024
. Tuổi thọ
.k k
15
1024
4
3
2
1đ
0
trung bình của thiết bị là
4
15
16
2, 286
EX xf ( x)dx
x 4 (4 x)2
7
1024 0
(năm).
b) Thiết bị bị hỏng trong thời gian còn được bảo hành 1đ
nghĩa là tuổi thọ không quá 1 năm. Ta có
15
77
P( X 1) f ( x)dx
x (4 x) dx
0, 0376 3, 76% .
1024
2048
1
1
3
0
2
0
Câu 2.37
Độ bền (vạn km) của một loại lốp ô tô là biến ngẫu
nhiên X có hàm mật độ
kx (6 x ) khi x [0;6]
.
f ( x)
0
khi x [0; 6]
3
2đ
2
16
a) Tìm k. Tính tỷ lệ số lốp có độ bền trên 4 vạn km.
b) Tính độ bền trung bình của loại lốp đó.
5
a) Do f ( x)dx 1 nên 1 kx (6 x) dx 3888
. Tỷ lệ
.k k
5
3888
6
3
1đ
2
0
lốp có độ bền trên 4 vạn km là
6
6
P( X 4) f ( x)dx
4
5
233
x 3 (6 x)2 dx
0,3196 31,96%
3888 4
729
.
b) Độ bền trung bình của lốp là
EX
5
6
xf ( x)dx 3888 x
4
(6 x) 2 dx
0
1đ
24
3, 43
7
(vạn km).
Câu 2.38
Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
ax (2 x) khi x [0; 2]
.
f ( x)
0
khi x [0; 2]
2đ
3
a) Tìm hằng số a và tính P(0 X 1) .
b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
a) Do f ( x)dx 1 nên 1 ax (2 x)dx 85 .a a 85 .
2
1đ
3
0
1
1
P(0 X 1) f ( x)dx
0
b)
5 3
3
x (2 x)dx
80
16
2
5
4
EX xf ( x)dx x 4 (2 x)dx
80
3
2
40 4
8
VX EX ( EX )
21 3
63
2
2
.
.
2
5
40
EX x f ( x)dx x 5 (2 x)dx
80
21
2
2
. 1đ
.
Câu 2.39
Khả năng chịu tải phân bố (tấn/m) của một loại dầm bê 2đ
tông đúc sẵn là biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
k( x 4)(8 x) khi x [4;8]
.
f ( x)
khi x [4;8]
0
a) Tìm hằng số k và tính khả năng chịu tải phân bố
trung bình của loại dầm bê tông kể trên.
b) Tính tỷ lệ số dầm bê tông có khả năng chịu tải
phân bố lớn hơn 5 tấn/m. Người ta mua 3 cái dầm
bê tông thuộc loại trên. Tính xác suất ít nhất 2 cái
17
có khả năng chịu tải phân bố lớn hơn 5 tấn/m.
8
4
1đ
a) Do f ( x)dx 1 nên 1 k( x 4)(8 x)dx k. 32 k 3 .
3
32
Khả năng chịu tải phân bố trung bình của loại dầm
bê tông đó là EX xf ( x)dx 3 x( x 4)(8 x)dx 6 (tấn/m).
8
32 4
b) Tỷ lệ dầm bê tông có khả năng chịu tải phân bố lớn 1đ
hơn 5 tấn/m là
3
27
P( X 5) f ( x)dx ( x 4)(8 x)dx
84.375% .
5
8
32 5
32
Xác suất ít nhất 2 dầm có khả năng chịu tải phân
bố lớn hơn 5 tấn/m là 3 27 1 27 27 0.9344 .
2
32
3
32 32
Câu 2.40
Tuổi thọ X của một loại đèn điện tử do nhà máy sản 2
xuất ra là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với đ
trung bình 1500 và 150 giờ. Nếu thời gian sử dụng
thực tế chỉ đạt dưới 1200 giờ thì nhà máy phải bảo
hành miễn phí.
a) Tính tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành miễn phí
b) Nếu muốn tỷ lệ bảo hành miễn phí chỉ còn 1% thì
nhà máy phải quy định thời gian bảo hành là bao
nhiêu giờ.
Cho biết:
a)
0 2 0, 4772; 0 2,33 0,49; 0 0,5
1đ
1200 1500
P ( X 1200) 0
0 0 2 0,5 0, 4772 0,5 0,0228
150
b)Gọi t là thời gian quy định bảo hành để tỷ lệ bảo 1
hành là 1%.
đ
t 1500
t 1500
P ( X t ) 0,01 0
0 0,01 0
0, 49
150
150
18
1500 t
2,33 t 1150,5
150
giờ.
Câu 2.41
Thời gian hoạt động tốt X (không phải sửa chữa) của 2
một loại tivi là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn đ
với trung bình là 4000 giờ và độ lệch chuẩn 350 giờ. Giả
thiết mỗi ngày người ta sử dụng trung bình là 10 giờ và
thời gian bảo hành là 1 năm (365 ngày).
a) Tính tỷ lệ tivi phải bảo hành trong thời hạn trên.
b)Phải nâng chất lượng tivi bằng cách tăng thời gian
hoạt động tốt trung bình của nó lên bao nhiêu giờ để
tỷ lệ tivi phải bảo hành vẫn như trên song thời gian
bảo
hành
là
2
năm.
Cho
biết:
0 11,42 0,3413; 0 0,5; 0 1 0,3413
a) Thời
gian
X 10 x365 3650
hoạt động
(giờ)
được
bảo
hành
là: 1
đ
Tỷ lệ phải bảo hành loại tivi trên là:
3650 4000
P ( X 3650) 0
0 0 1 0,5 0,3413 0,5 0,1587
350
b)Thời gian hoạt động trung bình là a
7300 a
7300 a
P ( X 7300) 0
0 0
0,5 0,1587
350
350
7300 a
7300 a
0
1 a 7650
0,3413 0 (1)
350
350
1
đ
.
Câu 2.42
Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất 2
có phân phối chuẩn, kỳ vọng 20mm, phương sai (0,2 đ
mm)2. Lấy ngẫu nhiên một chi tiết máy. Tính xác suất
để:
1. a) Có đường kính trong khoảng từ 19,9mm đến
19
20,3mm.
2. b) Có đường kính sai khác kỳ vọng không quá 0,3mm.
Cho biết: 0 (1,5) 0, 4332; 0 (0,5) 0,1915
1. a) Gọi X là đường kính chi tiết lấy ra thì X N(20; 0, 22 ) . 1
đ
Ta có
19, 9 20 X 20 20, 3 20
P P(19, 9 X 20, 3) P
0, 2
0, 2
0, 2
20, 3 20
19, 9 20
0 (
) 0 (
) 0 (1,5) 0 ( 0,5) 0, 4332 0,1915 0, 6247.
0, 2
0, 2
2. b)
P P X 20 0,3 P 0,3 X 20 0,3
0,3 X 20 0,3
P
0 (1,5) 0 (1,5) 2 0 (1,5) 2.0, 4332 0,8664
0, 2
0, 2
0, 2
Câu 2.43
Một nữ công nhân phụ trách 3 máy dệt tự động. Xác
suất để các máy 1, 2, 3 cần đến sự điều chỉnh của chị
trong khoảng thời gian T tương ứng là 0,1; 0,2; 0,2. Gọi
X là số máy cần sự điều chỉnh trong khoảng thời gian
T. Tìm phân bố xác suất của X
Đặt Ai là biến cố máy thứ i cần sự điều chỉnh trong
khoảng thời gian T, i = 1, 2, 3
X là số máy cần sự điều chỉnh trong khoảng thời gian
T, X là BNN rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2, 3
1
đ
2
đ
2
đ
P(X 0) P(A1 A 2 A3 ) P(A1 )P(A 2 )P(A3 ) 0,9.0,8.0,8 0,576
P(X 1) P(A1 A 2 A3 A1A 2 A3 A1 A 2 A3 ) 0,352
P(X 2) P(A1A 2 A3 A1 A 2A 3 A1A 2 A3 ) 0,068
P(X 3) P(A1A 2 A3 ) 0,004
Bảng phân bố xác suất của X
X
0
1
2
3
P
0,576
0,352
0.068
0,004
Câu 2.44
Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ
2đ
20
k x 2 xy ,
f x, y
0,
x, y D 0,3 0,1
x, y D 0,3 0,1
a) Tính hàm phân bố đồng thời của (X,Y).
b) Hỏi X và Y có độc lập hay không.
a) Ta có 1 f x, y dxdy k x 2 xy dy dx 9 dẫn đến
3
R2
0
x
1
0
k
1
9
1đ
y
Hàm phân bố F x, y f u, v dudv
- Nếu x 0 hoặc y 0 thì F x, y 0
0 x 3
- Nếu
thì
-
y 1
x 1
1
x
1
1
x2
F x, y u 2uv dv du 1 2v dv udu
9 00
90
9
0
Nếu x 3 thì
0 y 1
F x, y
-
b)
Nếu
y
3 y
3
1
1
1
u
2
uv
dv
du
1
2
v
dv
udu y y 2
9 00
90
2
0
x 3
y 1
thì F x, y 1
Hàm mật độ thành phần
Nếu 0 x 3 , f x 1 x 2 xy dy 1 x 1 2 y dy 2 x
1
X
90
9
9
0
Nếu
x 0
x 3 , fX x 0
Nếu
0 y 1, fY y
1
1
1 2y
x 2 xy dx 1 2 y xdx
90
9
2
0
Nếu
y 0
y 3 , fY y 0
Do đó X, Y độc lập.
3
3
Câu 2.45
Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ
k x 2 3xy 2 ,
f x, y
0,
1đ
1
2đ
x, y D 0,2 0,1
x, y D 0,2 0,1
Tìm hệ số tương quan của X, Y.
21
-
Tính k
2
2đ
1
2
14
1 k x 2 3xy 2 dy dx k x 2 x dx k
3
00
0
-
dẫn đến
k
3
14
Tính EX
2 1
2
3
3
3 20 10
3
2 2
EX x 3x y dy dx x3 x 2 dx .
14 0 0
14 0
14 3
7
-
Tính
EX 2
2 1
2
3
3
3 52 78
4
3 2
EX x 3x y dy dx x 4 x3 dx .
14 0 0
14 0
14 5 35
2
-
Tính EY
EY
-
Tính
2 1
2
3
3 x 2 3x
3 17 17
2
3
x
y
3
xy
dy
dx
dx .
14 0 0
14 0 2
4
14 6 28
EX 2
2 1
2
3
3 x 2 3x
3 43 129
2 2
3
EX x y 3xy dy dx dx .
14 0 0
14 0 3
4
14 18 252
2
-
-
Tính EXY
2 1
2
3
3 x3 3x 2
3
3
3
2 3
EY x y 3x y dy dx
dx .7
14 0 0
14 0 2
4
14
2
3 10 17
.
2 7 28
X ,Y
0,667
2
2
78 10 129 17
35 7 252 28
Câu 2.46
Véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ đồng thời
k x 2 y ,
f x, y
0,
x, y D x, y |
2đ
x, y D x, y | x 1, 0 y 1 x
x 1,0 y 1 x 2
2
a) Xác định hằng số k . Tính kỳ của X .
b) Tính xác suất P 0 X 1 .
-
2
Tính k
1đ
2
1
1 x 2
2
1
4
1 k x y dy dx k x 2 1 x 2 1 x 2 dx k
2
5
1 0
1
1
dẫn đến
k
5
4
22
Tính kỳ vọng
-
EX
2
1 1 x
5
f x, y dxdy x x 2 y dy dx
4 1 0
2
1 x2
5 3
2
dx
x 1 x x
4 1
2
1
dẫn đến EX=0 (hàm
lẻ).
1
2
2 1 x
1 5
P0 X
2 4 0
1
0
1
2
5 2
1
x 2 y dy dx x 2 1 x 2 1 x 2
4 0
2
1đ
2
dx
5 1
79
. 1 x 4 dx
4 20
256
Câu 2.47
Cho biến ngẫu nhiên liên tục
X
có hàm mật độ
2đ
2
a cos x, x 2 , 2
f x
0,
x ,
2 2
a) Tìm hệ số a , và tính xác suất để trong 3 phép thử
độc lập, có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng 0; .
4
b) Tìm hàm phân bố F x của X .
2
a)
Tính hệ số a:1 a cos
2
xdx a
dẫn đến
a
2
1đ
2
H: “X nhận giá trị trong
0; ”
4
,
PH
2
4
cos
0
2
xdx
2
4
Xác suất trong 3 phép thử độc lập, có 2 lần H xảy
ra là
23
2
PC
4
2
2
3
2
2
2 3 2
1
3
4
4 4
x
b)
1đ
Hàm phân bố F x f t dt
-
Nếu
x
,
2
Nếu
x
:
2
2
x
x
2
2 1 cos 2t
1
1
F x cos 2 tdt
dt x sin 2 x
2
2 2
2
-
F x 0 ;
Nếu
x
2
2
,
F x 1
Câu 2.48
Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn với kỳ 2đ
vọng 10 và độ lệch tiểu chuẩn 2 .
a) Tính kỳ vọng, phương sai của đại lượng ngẫu nhiên
Y 2 X 10 .
b) Tính xác suất P 1 Z 1 với Z 1 .
2 X 1
21
23
Cho biết 0, 25 0, 0987 .
1đ
EY 2 EX 10 10 , DY 4 DX 16
0
b)
1
1
1
1
23
1
21
P Z P
P X 1
23 2 X 1 21
21
2
23
2
21
19
21
19
21
19
P X P X P X
2
2
2
2
2
2
1 X 10 1
0 P
2 0 0, 25 0,1974
2
4
4
1đ
Câu 2.49
Trong một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 6 chính 2
phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2 sản phẩm. Gọi X là đ
số chính phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra.
1. a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
2. b) Tìm phân bố xác suất và tính kỳ vọng của X.
24
0
a) X
P
C24
2
C10
b)
0
2 / 5
F(X)
10 / 5
1
2
15
1
C16C14
2
C10
8
15
2
C62
2
C10
5
15
khi x 0
khi 0 x 1
khi 1 x 2
khi x 2
Kỳ vọng
EX 0.
1đ
2
8
5 6
1. 2.
15
15
15 3
1
đ
25
