Bài giảng toán a1 chương 3 a1 2016

Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội
§1. Tích phân bội hai (tích phân kép)
§2. Tích phân bội ba
§3. Ứng dụng của tích phân bội
…………………………..

§1. TÍCH PHÂN BỘI HAI
1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong)
• Xét hàm số z f (x , y )
liên tục, không âm và
một mặt trụ có các
đường sinh song song
với Oz , đáy là miền
phẳng đóng D trong
mpOxy .


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

• Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần
không dẫm lên nhau Si , i 1; n . Diện tích mỗi phần
cũng ký hiệu là Si . Khi đó, khối trụ cong được chia
thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần Si ta lấy điểm
M i (xi ; yi ) tùy ý và thể tích V của khối trụ là:
n

V
i 1

• Gọi di

f (xi ; yi ) Si .

max d(A, B ) A, B

Si là đường kính của

n

Si . Ta có: V

lim

max di

0

i 1

f (xi ; yi ) Si .


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

1.2. Tích phân bội hai
a) Định nghĩa
• Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền D đóng và bị
chặn trong mặt phẳng Oxy .
Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm
lên nhau, diện tích mỗi phần là Si , i 1; n .

Lấy n điểm tùy ý M i (xi ; yi )

Si , i

1; n . Khi đó,

n

In

i 1

f (xi ; yi ) Si được gọi là tổng tích phân của

f (x , y ) trên D (ứng với phân hoạch
chọn Mi ).

Si và các điểm


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội
n

• Nếu giới hạn I

lim

max di

0

i 1

f (xi , yi ) Si tồn tại hữu

hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch Si và cách chọn
điểm Mi thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của
hàm số f (x , y ) trên miền D .

Ký hiệu là: I

f (x , y )dS .
D

• Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox ,
Oy ta được Si
xi . yi hay dS dxdy .

Vậy I

f (x , y )dS
D

f (x , y )dxdy.
D


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

f (x, y )dxdy , ta nói hàm số

• Nếu tồn tại tích phân
D

f (x , y ) khả tích trên miền D ; f (x , y ) là hàm dưới dấu
tích phân; x và y là các biến tích phân.

Nhận xét
 S (D )

dxdy (diện tích của miền D ).
D

 Nếu f (x, y )

0 , liên tục trên D thì thể tích hình trụ có

các đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn bởi
f (x , y )dxdy .
các mặt z 0 , z f (x , y ) là V
D


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

b) Định lý
Hàm f (x , y ) liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì
khả tích trong D .

1.3. Tính chất của tích phân bội hai

Giả thiết rằng các tích phân dưới đây đều tồn tại.

f (x, y )dxdy

• Tính chất 1.

• Tính chất 2
[ f (x , y )

D

D

g(x , y )]dxdy

fdxdy

D

D

kf (x , y )dxdy
D

f (u, v )dudv .

k

f (x , y )dxdy, k
D

gdxdy ;
D

.


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

• Tính chất 3
Nếu chia miền D thành D1, D2 bởi đường cong có diện
tích bằng 0 thì:
f (x , y )dxdy
D

f (x , y )dxdy
D1

f (x , y )dxdy .
D2


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

1.4. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
1.4.1. Đưa về tích phân lặp
a) Định lý (Fubini)
Giả sử tích phân I
f (x , y )dxdy tồn tại, trong đó
D

D

{(x , y ) : a

x

b, y1(x )

y

y2 (x )},

y2 (x )

và với mỗi x

f (x , y )dy tồn tại.

[a; b ] cố định,
y1 (x )
y2 (x )

b

Khi đó:

I

dx

a

f (x , y )dy.
y1 (x )


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

Tương tự, nếu miền D là:
D {(x, y ) : x1(y ) x

I

dy
c

x1 (y )

b

D

d

dx
a

d}

f (x , y )dx .

Chú ý
1) Nếu miền D là hình chữ nhật,
D {(x, y ) : a x b, c y d }

f (x , y )dxdy

y

x 2 (y )

d

thì

x 2(y ), c

[a; b ] [c; d ] thì:
d

b

f (x , y )dy = dy
c

c

f (x , y )dx .
a

Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

2) Nếu D {(x, y ) : a x b, y1(x )
và f (x, y ) u(x ).v(y ) thì:

D

3) Nếu D

u(x )dx
a

{(x , y ) : x1(y )

và f (x, y )

v(y )dy.
y1 (x )

x

x 2 (y ), c

y

d}

u(x ).v(y ) thì:
x 2 (y )

d

f (x , y )dxdy
D

y2(x )}

y2 (x )

b

f (x , y )dxdy

y

v(y )dy
c

u(x )dx .
x1 (y )

4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những
miền đơn giản.


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

VD 1. Cho I

f (x , y )dxdy . Xác định cận tích phân
D

lặp với miền D giới hạn bởi y

0, y

Giải. Tọa độ giao điểm của y 2x, x
• Trường hợp 1. Chiếu miền D
lên Ox (hình a) ta được:
0 x a.

Xét về chiều cao thì D được
giới hạn bởi Ox và y 2x nên
D {0 x a, 0 y 2x }.
a

Vậy I

2x

dx
0

f (x , y )dy .
0

2x, x

a

0.

a là A(a; 2a ).


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

• Trường hợp 2. Tương tự,
chiếu miền D lên Oy (hình b)
ta được 0 y 2a . Suy ra:
y
D
x a, 0 y 2a .
2
2a

Vậy I

a

dy
0

f (x , y )dx .
y
2


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

2

VD 2. Tính tích phân I

6xy dxdy .
D

Trong đó, D

[0; 2] [ 1; 1].

Giải. Ta có:
2

I

1

3y 2dy

2xdx
0

x2

1
2
0

y3

1
1

8.


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

VD 3. Tính tích phân I
Trong đó, D

(2x

{y

D

x

0

(1
2

y

2

2y )dy

y )dxdy .

y,

1

4
.
3

2

y

0}.


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

ydxdy , trong đó miền D

VD 4. Tính tích phân I
D

giới hạn bởi các đường y

Giải. Hoành độ giao điểm:
x
1

2
x 2 x
.
x 2
Suy ra miền D là:
1 x 2, x 2 y

x

2 .

x

2, y

2

x .


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội
x 2

2

Vậy I

dx
x2

1

1
2

ydy

2

(x
1

2

4x

4

4

x )dx

36
.
5


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

VD 5. Tính tích phân I

ydxdy , trong đó miền D
D

giới hạn bởi các đường y

Giải. Tung độ giao điểm:
2
y
y 4
y
2, y
2

Miền D

y2
2

4.

x

y

4,

2

y

4 .

x

4, y

2

2x .


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội
y 4

4

Vậy I

ydy

dx
y2
2

2

4

2

y y

4

2

4

y
8

y
dy
2
4

3

y
3

2y

2

18.
2

Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

b) Đổi thứ tự lấy tích phân

I

dx
a

f (x , y )dy
y1 (x )

x 2 (y )

d

y2 (x )

b

I

dy
c

f (x , y )dx
x1 (y )


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

VD 6. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:
2y

3

I

dy
1

Giải. Ta có D

0

x

f (x , y )dx .
0

2y, 1

Chiếu miền D lên Ox thì
D D1 D2 .
Ta có:
D1
0

D2

2

x

2, 1

x

x
6,
2

y

y

3 ,

3 .

y

3 .


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội
2

Vậy I

3

dx
0

6

f (x , y )dy
1

3

dx
2

f (x , y )dy .
x
2


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

VD 7. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:
2 x2

1

I

dx

f (x , y )dy .
x

0

Giải. Ta có miền D :

0

x

1, x

y

2

x

2

.

Chiếu miền D lên Oy thì
D D1 D2 , trong đó:

D1
D2 = 0

x

0
x

y, 0
2

y
2

y ,1

1 ,
y

2 .


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội
y

1

Vậy I

dy
0

f (x , y )dx

0

2 y2

2

dy
1

f (x , y )dx .
0


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

VD 8. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau:
x

1

I

dx
0

Giải. Ta có D
D1

D2

0

1

3

f (x , y )dy
x2
9

D1

dx
1

D2 ,

x

x2
1,
9

y

x

x

x2

3,
9

y

1 .

1

f (x , y )dy .
x2
9


Chương 3. Hàm nhiều biến - Tích phân bội

Chiếu miền D lên Oy ta được:
D

y

x

3 y, 0

dy
0

1 .

3 y

1

Vậy I

y

f (x , y )dx .
y