Bài giảng toán a1 chương 4 a1 2016

 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

§1. Tích phân đường loại 1
§2. Tích phân đường loại 2
§3. Tích phân mặt loại 1
§4. Tích phân mặt loại 2
………………………………………………………

§1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I
1.1. Định nghĩa
• Giả sử đường cong L trong mặt phẳng Oxy có phương
trình tham số x x(t ), y y(t ) với t [a; b ] và f (x , y )
là hàm số xác định trên L .
Chia L thành n cung không dẫm lên nhau bởi các điểm
chia ứng với a t0 t1 ... tn b .


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

• Gọi độ dài cung thứ i là si .
Trên cung thứ i lấy điểm
M i (x (ti ), y(ti )) tùy ý.

i 1

L

f (M i ) si

•

si •

•

n

Tổng I n

y

O x t0

•
•

xt

i 1

Mi

xt xt
i

x

n

được gọi là tổng tích phân đường loại 1 của hàm số
f (x , y ) trên đường cong L .

n

• Giới hạn

lim

max si

0

i 1

f (M i ) si tồn tại hữu hạn

được gọi là tích phân đường loại 1 của f (x , y ) trên L .


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

f (x , y )dl .

f (x , y )ds hay

Ký hiệu là

L

L

• Tích phân đường loại 1 của hàm số f (x, y, z ) trên đường

cong L trong không gian, ký hiệu là f (x , y, z )ds ,
L

được định nghĩa tương tự.

Nhận xét
 Tích phân đường loại 1 có tất cả các tính chất của tích
phân xác định.

 Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào chiều của
cung AB , nghĩa là:
fds
fds.
AB

BA


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

1.2. Sự tồn tại tích phân đường loại 1
a) Khái niệm đường cong trơn
Đường cong L có phương
trình x x(t ), y y(t ) được
gọi là trơn nếu các đạo hàm
x (t ), y (t ) tồn tại và không
đồng thời bằng 0.
Nói cách khác, đường cong L được gọi là trơn nếu tại
mọi điểm M L đều vẽ được tiếp tuyến với L .
b) Định lý

Nếu đường cong L trơn từng khúc (hay từng đoạn) và
hàm số f liên tục trên L thì tích phân fds tồn tại.
L


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

1.3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH
a) Đường cong L có phương trình tham số
• Nếu đường cong L trong mặt phẳng có phương trình
x x (t ), y y(t ), với a t b thì:
b

f (x , y )ds
L

f (x (t ), y(t )) xt
a

2

yt

2

dt.


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

• Nếu đường cong L trong không gian có phương trình
x x (t ), y y(t ), z z(t ) với a t b thì:
b

f (x , y, z )ds
L

f . xt

2

yt

2

zt

a

Trong đó, f

f (x (t ), y(t ), z (t )).

2

dt.


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

VD 1. Tính tích phân I

xds .
L

Trong đó, L là cung tròn có phương trình tham số:
x

cos t , y

sin t ,

t

6
3
Giải. Áp dụng trực tiếp công thức, ta có:
3

I
6

cos t. [(cos t ) ]2
3

cos tdt
6

.

[(sin t ) ]2 dt
3 1
.
2


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

VD 2. Tính tích phân I

(x

y )dl . Trong đó, L là

L

đoạn thẳng nối điểm A(0; 2) và điểm B( 2; 3).

Giải. Ta có: AB ( 2; 5).
Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
x
2t , y 2 5t .
Xác định cận t :
xA 0
2tA 0
tA 0
0 t 1.
xB
2
2tB

2
tB 1


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

Vậy
1

I

[ 2t

(2

5t )]. [( 2t ) ]2

0
1

(3t

29
0

2)dt

29
.
2

[(2

5t ) ]2 dt


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

VD 3. Tính tích phân I

(1

2

2x )2ydl . Trong đó, L

L

là đoạn thẳng nối điểm A(1; 3) và điểm B(1; 7).

Giải. Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
x 1, y t .

Xác định cận t :
yA
3
yB
7

tA

tB

3
7

7

t

3.

3

( 4t ). 02

Vậy I
7

12 dt

80 .


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

Chú ý
Phương trình tham số của đường thẳng AB là không duy
nhất, nhưng kết quả tính tích phân vẫn không thay đổi.

Chẳng hạn, trong VD 3, nếu viết phương trình tham số

của AB là x 1, y 4t thì:
3
4

I

2

( 16t ). 0
7
4

2

4 dt

80 .


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

VD 4. Tính tích phân I

(2xy

z )ds . Trong đó, L là

L

đường xoắn ốc trụ tròn xoay có phương trình tham số:

x a cos t , y a sin t , z bt , 0 t 2 .

Giải. Ta có:
2
2

I

(a sin 2t

2

2

bt ). a sin t

2

2

2

a cos t

b dt

0
2

a

2

2

2

b . (a sin 2t
0

bt )dt

2b

2

a

2

2

b .


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

yds

VD 5*. Tính tích phân I

.

2
4
1
4
x
4
x
L
Trong đó, L là phần giao tuyến giữa 2 mặt:
z 2 x 2 2y 2 , z x 2
và nằm trong góc phần 8 thứ nhất nối từ điểm A(0; 1; 0)

đến điểm B(1; 0; 1).

Giải. Ta có:

x

2

2

Chọn x

x

2

2y

2

y

1

2

x ,x

[0; 1].

t , ta được phương trình của giao tuyến:
x

t, y

1

2

t , z

2

t (0

t

1).


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

Suy ra vi phân cung:

ds

1

t

2

2

4t dt

t2

1

1

1

Vậy I

1

4x 2

4t
t

4

2

1

yds
L

4t

2

4x 4

dt
0

1.

dt .

 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

b) Đường cong L có phương trình tổng quát

• Nếu L có phương trình y

y(x ) với a

x

b

f (x , y )ds
L

f (x , y(x )). 1

2

dx .

a

• Nếu L có phương trình x

x(y ) với a

b

f (x , y )ds
L

yx

b thì:

f (x (y ), y ). x y
a

y
2

b thì:
1 dy.


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

Đặc biệt
• Nếu L có phương trình y

với a

x

b thì:

y

b thì:

b

f (x , y )ds
L

f (x , )dx .
a

• Nếu L có phương trình x

với a
b

f (x , y )ds
L

f ( , y )dy.
a


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

VD 6. Tính tích phân I

(x
L

y )ds với L là

có các đỉnh O(0; 0), A(1; 0), B(1; 2).

Giải. Ta có:
I
OA

.
OB

AB

Phương trình các cạnh của
OAB là:

(OA) : y
0

0,
xO

x

xA

1;

OAB

 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

(OB) : y
(AB) : x

2x , 0 xO x x B 1;
1, 0 yA y yB 2.

Suy ra:
1

(x

•

y )ds

OA

(x

0)dx

0

1
.
2

1

(x

•

y )ds

OB

(x

2x ) 1

(1

y )dy

2

[(2x ) ] dx

0
2

(x

•
AB

y )ds

0

4.

3 5
.
2


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

1
2

Vậy I

3 5
2

VD 7. Tính tích phân I
2

x
C là cung
9

y2

4

2x
C

9

3 5
.
2

81

9x 2

81

8x 2

ds . Trong đó,

1 nằm trong góc phần tư thứ ba.

Giải. Phương trình của cung C là:
1
y
9 x2, 3
3

x

0.

 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

Vi phân cung:

ds

1

(y )2 dx

81

8x 2

81

2

9x

0

Vậy I

2xdx
3

9.

dx .


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

c) Đường cong L trong tọa độ cực
• Nếu phương trình của đường cong L được cho trong tọa
độ cực r r ( ) với
thì ta xem là tham số.

Khi đó, phương trình của L là:

• Đặt f

x

r ( )cos , y

r ( )sin ,

.

f (r ( )cos , r( )sin ), ta có công thức:
f (x , y )ds
L

f. r

2

r

2

d .


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

VD 8. Tính tích phân I

x

2

2

y ds . Trong đó, L

L

là đường tròn có phương trình (C ) : x 2

Đặt x

r cos , y

r sin

và thay vào phương trình của (C ),
ta được: r 4 sin ,
[0; ].

Ta có: x 2

y2

r.

y2

4y

0.


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

r . (4 sin )2

Vậy I

[(4 sin ) ]2 d

0

4 sin . (4 sin )2
0

sin d

16
0

32 .

(4 cos )2 d


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

1.4. Ứng dụng của tích phân đường loại 1

a) Tính độ dài của cung
Độ dài l của cung L là l

ds.
L

VD 9. Tính độ dài l của cung

L:

x

t2

y

ln t

1
t2

1

,t

1; 3 .


 Chương 4. Tích phân đường – Tích phân mặt

Giải. Ta có:
3

l

2

ds

[x (t )]

L

[y (t )] dt

1

3

1

2

2

t
t

2

1

2

1
t

2

dt
1

2.