5 toan 8 HSG 3 da in

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;

b) ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6

Câu 2: (2,5 điểm)
Cho biểu thức : A =(

2 +x
4 x2
2 −x
x 2 −3 x
− 2
−
):(
)
2 −x
x −4 2 + x
2 x 2 −x 3

a)

Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?

b)

Tìm giá trị của x để A > 0?

c)

Tính giá trị của A trong trường hợp : |x – 7| = 4.

Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z – 6y + 20 = 0.
b) Cho

a b c
x y z
x2 y 2 z 2
+ + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
x y z
a b c
a
b
c

Câu 4: (3 điểm)
Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F,
G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC.
Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao?
Câu 5: (1 điểm)
Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

x
y
z
+
+
y+z z+x x+ y
--------------Hết ----------------

Câu
Câu 1

Đáp án
2

a) 3x – 7x + 2

Điểm


(1.5 điểm)

= 3x2 – 6x – x + 2 = 3x(x – 2) – (x – 2)

0,25

= (x – 2)(3x – 1).
b) Đặt a = x2 – 2x

0.25
0.25

Thì x2 – 2x – 1 = a – 1

0.25

Do đó:( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 = a2 – a – 6 = (a + 2) (a – 3)

0.25

Vậy: ( x2 – 2x)(x2 – 2x – 1) – 6 = (x + 1)(x – 3)(x2 – 2x + 2)

0.25

x ≠ 0

a) ĐKXĐ :  x ≠ ±2
x ≠ 3


0,25

A=

(2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x)
4 x2 + 8x
x(2 − x )
.
=

.
(2 − x)(2 + x)
x( x − 3)
(2 − x)(2 + x) x − 3
=

Câu 2
(2.5 điểm)

Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thì A =
b)Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔

4 x( x + 2) x(2 − x)
4x2
=
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3
4x 2
.
x−3
2

4x
>0
x−3

⇔ x −3>0

0,25

0,25

0,25
0,25

⇔ x > 3(TMDKXD )

0,25

Vậy với x > 3 thì A > 0.

0,25
0,5

x − 7 = 4
 x = 11(TMDKXD)
⇔
 x − 7 = −4
 x = 3( KTMDKXD )

c) x − 7 = 4 ⇔ 

Với x = 11 thì A =

121
2

0,25

a) 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0

0,25

⇔ 9(x – 1)2 + (y – 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)

0,25

Do : ( x − 1) 2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1) 2 ≥ 0 Nên:(*) ⇔ x = 1; y = 3;

0,25

z = -1
Câu 3
(2.0 điểm)

Vậy (x,y,z) = (1; 3; -1).
b)Từ:

a b c
ayz+bxz+cxy
+ + =0 ⇔
= 0 ⇔ ayz + bxz + cxy
x y z
xyz

=0
x y z
x y z
+ + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1
Ta có :
a b c

a b c
2
2
2
x
y
z
cxy + bxz + ayz
⇔ 2 + 2 + 2 +2
=1
abc
a
b
c
x2 y 2 z 2
⇔ 2 + 2 + 2 = 1(dpcm)
a
b
c

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25


- Hình vẽ

A

E
//
O

và ·
·
⇒ ·ACD = BDC
ACD = 600

=

tuyến

C

⇒ ∆BFC vuông tại F

0,25

1
BC
2

0,25

- Xét ∆AOD có: AE = EO và DF = FO (gt)

⇒ EF là đường trung bình của ∆AOD ⇒ EF =
- Suy ra EF = EG = FG nên ∆EFG đều
Đặt y + z = a ; z + x = b ; x + y = c

Câu 5
(1.0 điểm)

1
1
AD = BC
2
2

⇒x + y + z =

−a+b+c
a−b+c
a+b−c
;y=
;z=
2
2
2

−a+b+c a−b+c a+b−c
+
+
P=
=
2a
2b
2c

a+b+c
2

0,25
0,25

1
b c
a c
a b
( −1 + + − 1 + + − 1 + + )
2
a a
b b
c c
1
b a
c a
b c
3
= (−3 + ( + ) + ( + ) + ( + )) ≥
2
a b
a c
c b
2
3
Min P = Khi và chỉ khi a = b = c ⇔ x = y = z
2

Tổng

0,25
0,25
0,25

- Xét ∆BFC vuông tại F có:

⇒ x=

0,25

X

D

- Chứng minh tương tự: EG =

0,25

G

F

-Trong ∆OCD cân tại C có CF là trung

1
BC
2

0,25

=

X

⇒ ∆OCD là các tam giác đều.

BG = GC ⇒ FG =

0, 5

//

- Chứng minh: ∆ACD = ∆BDC (c.g.c)

Câu 4
(3.0 điểm)

0, 5

B

0,25
0,25

10,0