Chuyên đề chuyên sâu Toán 8 "Phân tích đa thức thành nhân tử"

B¸o c¸o viªn: Hoµng ThÞ £m
®¬n vÞ: Tr­êng T H C S V¹n H­¬ng

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp đặt nhân tử chung
Chủ đề 1:
I/ Mục tiêu:
-
Học sinh hiểu được thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
-
Tim được nhân tử chung và biết cách đặt nhân tử chung

II/ Kĩ nang cần đạt:
- Cách tim nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên
+ Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương
của các hạng tử
+ Các lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong mọi hạng tử
lấy với số mũ nhỏ nhất của nó
III/ Bài tập lí thuyết + ví dụ:
Bài tập : điền vào chỗ trống
a. A.B + A.C = A( .. + .. )
b. x + 5x
2
= x( .. + )
c. 5x(x + 1) 3(x +1) = (x+1)(5x - ..)

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp đặt nhân tử chung
Chủ đề 1:
IV/ Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. 5x 20y
b. x
2
+ x
2
y + x
2
y
2
c. x(x + y) (5x + 5y)
d. 5(x - y) y(x - y)
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. x(y -1) + y(1 -y)
b. 4x(2y - z) + 7y(z 2y)
c. y(x - z) +7(z -x)
d. 27x
2
( y -1) 9x
3
(1 - y)

Bµi tËp 3: TÝnh nhanh
a. 20, 03 . 45 + 20, 03 . 47 + 20, 03 . 48
b. 15, 75 . 175 – 15, 75 . 55 – 15, 75 . 20
Bµi tËp 4: Tim x biÕt:
a. 5(x + 3) – 2x(3 + x) = 0
b. 4x(x - 2004) – x + 2004 = 0
Bµi tËp 5: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n thi
a. n

2
(n + 1) + 2n (n +1) chia hÕt cho 6
b. (2n - 1)
3
– (2n - 1) chia hÕt cho 8
V/ H­íng dÉn:

V/ Hướng dẫn:
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a. 5x 20y
b. x
2
+ x
2
y + x
2
y
2
c. x(x + y) (5x + 5y)
d. 5(x - y) y(x - y)
a. Cả hai hạng tử đều chứa nhân tử chung 5, ta có: 5x 20y = 5(x
4y)
b. Tương tự: x
2
+ x
2
y + x
2
y
2

= x
2
(1 + y + y
2
)
c. x(x + y) (5x + 5y) = (x + y)(x - 5)
d. 5(x - y) y(x - y) =(x - y)(5 - y)

V/ H­íng dÉn:
Bµi tËp 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a. x(y -1) + y(1 -y)
b. 4x(2y - z) + 7y(z – 2y)
c. y(x - z) +7(z -x)
d. 27x
2
( y -1) –9x
3
(1 - y)
a. Ta nhËn thÊy (y -1) vµ (1 - y) lµ hai ®a thøc ®èi nhau . Ta ®æi dÊu h¹ng
tö y(1 – y) thµnh –y( y – 1), ta cã: x(y -1) + y(1 - y) = x(y - 1) – y(y
- 1)
= (y - 1)(x - y)
b. T­¬ng tù: 4x(2y - z) + 7y(z – 2y) = 4x(2y - z) – 7y( 2y - z)
= (2y - z)(y - 7)
c. y(x - z) +7(z -x) = y(x - z) – 7(x - z) = (x - z)(y - 7)
d. 27x
2
( y -1) –9x
3
(1 - y) = 27x

2
(y -1) + 9x
3
(y - 1) = 9x
2
(y -1)(3 +x)

V/ Hướng dẫn:
Bài tập3: Tính nhanh
a. 20, 03 . 45 + 20, 03 . 47 + 20, 03 . 48
b. 15, 75 . 175 15, 75 . 55 15, 75 .
20
a. 20, 03 . 45 + 20, 03 . 47 + 20, 03 . 48 = 20, 03 (45 + 47 +48)
= 20, 03 . 100 = 2003
b. 15, 75 . 175 15, 75 . 55 15, 75 . 20 = 15,75 (175 55 - 20)
= 15, 75 . 100 = 1575
Vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách
đặt nhân tử chung rồi tính tích tim được

V/ H­íng dÉn:
Bµi tËp 4: Tim x biÕt:
a. 5(x + 3) – 2x(3 + x) = 0
b. 4x(x - 2004) – x + 2004 = 0
a. 5(x + 3) – 2x(3 + x) = 0
=> (x + 3)(5 – 2x) = 0
=> x + 3 = 0 hoÆc 5 – 2x = 0
=> x = -3 hoÆc x = 5/ 2
b. 4x(x - 2004) – x + 2004 = 0
=> (x - 2004)(4x - 1) = 0
=> x – 2004 = 0 hoÆc 4x – 1 = 0

=> x = 2004 hoÆc x = 1/ 4
Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö ®Ó ®­a bµi to¸n vÒ d¹ng A . B = 0

Bµi tËp 5: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n thi
a. n
2
(n + 1) + 2n (n +1) chia hÕt cho 6
b. (2n - 1)
3
– (2n - 1) chia hÕt cho 8
V/ H­íng dÉn:
a. Ta cã n
2
(n + 1) + 2n (n +1) = (n +1)(n
2
+ 2n) = n(n +1)(n + 2) lµ tÝch
cña 3 sè nguyªn liªn tiÕp nªn chia hÕt cho 6
b. (2n - 1)
3
– (2n - 1) = (2n - 1)[(2n - 1)
2
– 1]
= (2n -1)(2n – 1 + 1)(2n -1 -1) = 4n(n -1)(2n -1)
NÕu n ch½n => n chia hÕt cho 2 => 4n chia hÕt cho 8 => (2n -1)
3
– (2n
-1) chia hÕt cho 8
NÕu n lÎ => (n -1) ch½n => (n -1) chia hÕt cho 2
=> 4(n -1) chia hÕt cho 8 => (2n -1)
3

– (2n -1) chia hÕt cho 8

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp dùng hằng đẳng thức
Chủ đề 2:
I/ Mục tiêu:
-
Biết cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng
hằng đẳng thức.
-
Biết vận dụng các hằng đẳng thức đã học vào việc phân tích đa thức
thành nhân tử
II/ Kĩ nang cần đạt:
- Vận dụng các hằng đẳng thức vào việc phân tích đa thức thành nhân tử
III/ Bài tập lý thuyết:
Bài tập: Hoàn thiện các hằng đẳng thức:

Bµi tËp: Hoµn thiÖn c¸c h»ng ®¼ng thøc:
1. A
2
+ 2AB + B
2
= (..... + .....)
2
2. A
2
– 2AB + B
2
= (...... - ......)
2

3. A
2
- B
2
= (a + b)(...... - .......)
4. A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
= (A + .....)
....
5. A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
= (A......B)
....
6. A
3
+ B
3
= (A + B)(............................)

7. A
3
– B
3
= (A -B)(............................)
IV/ Bµi tËp vËn dông:
Bµi tËp 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a, 36 – 12x + x
2
b, 4x
2
+ 12x + 9
c, -25x
6
– y
8
+ 10x
3
y
4
d, 1/ 4x
2
– 5xy + 25y
2

Bµi tËp 3: TÝnh nhanh
a. 75
2
– 25
2

c, 31, 8
2
– 2 . 31, 8 . 21, 8 + 21, 8
2
b. 53
2
– 47
2
d, 58, 2
2
+ 2 . 58, 2 . 41, 8 + 41, 8
2
Bµi tËp 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a, (x - 5)
2
– 16 b, 25 – (3 - x)
2
c, (7x - 4)
2
– (2x +1)
2
d, 49(y - 4)
2
-9(y + 2)
2
e, 8x
3
+ 1/ 27 f, 125 – x
6
Bµi tËp 4: Chøng tá r»ng víi mäi sè nguyªn n, thi:

a, (n + 2)
2
– (n - 2)
2
chia hÕt cho 8
b, (n +7)
2
– (n - 5)
2
chia hÕt cho 24
V/ H­íng dÉn:

V/ Hướng dẫn:
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a, 36 12x + x
2
b, 4x
2
+ 12x + 9
c, -25x
6
y
8
+ 10x
3
y
4
d, 1/ 4x
2
5xy + 25y

2
a, 36 12x + x
2
= 6
2
2 . 6 . x + x
2
= (6 - x)
2

b, 4x
2
+ 12x + 9 = (2x)
2
+ 2 . 2x . 3 + 3
2
= (2x + 3)
2
c, -25x
6
y
8
+ 10x
3
y
4
= - [ (5x
3
)
2

2 . 5x
3
y
4
+ (y
4
)
8
] = - (5x
3
y
4
)
d, 1/ 4x
2
5xy + 25y
2
= (1/2 x)
2
2 . 1/ 2 x. 5y + (5y)
2
= (1/
2 x 5y)
2
Nhận dạng hằng đẳng thức cần áp dụng rồi phân tích

Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
a, (x - 5)
2
16 b, 25 (3 - x)

2
c, (7x - 4)
2
(2x +1)
2
d, 49(y - 4)
2
- 9(y + 2)
2
e, 8x
3
+ 1/ 27 f, 125 x
6
V/ Hướng dẫn:
a, (x 5)
2
16 = (x 5)
2
4
2
= (x 5 4)(x 5 + 4) = (x
9)(x 1)
b, 25 (3 x)
2
= 5
2
(3 x)
2
= (5 3 + x)(5 + 3 x) = (2 + x)(8
x)

c, (7x - 4)
2
(2x +1)
2
= (7x 4 -2x 1)(7x 4 + 2x + 1)
= (5x 5)(9x 3) = 5(x 1). 3(3x -1) = 15 (x 1)(3x
1)
d, 49(y - 4)
2
- 9(y + 2)
2
= [7(y 4)]
2
[3(y + 2)]
2

= (7y 28 + 3y + 6)(7y 28 3y 6) = (10y 22)(4y
34)
= 4(5y 11)(2y 34)
e, 8x
3
+ 1/ 27 = (2x)
3
+ (1/ 3)
3
= (2x + 1/ 3)[(2x)
2
2x . 1/ 3 + (1/ 3)
2
]

= (2x + 1/ 3)(4x
2
2/ 3 x + 1/ 9 )
f, 125 x
6
= 5
3
- (x
2
)
3
= (5 x
2
)(5
2
+ 5 . x
2
+ x
4
)
= (5 x
2
)(25 + 5x
2
+ x
4
)
Nhận dạng hằng đẳng thức cần áp dụng rồi phân tích đa thức thành nhân tử