Chuyên đề 3: Nguyên hàmTích phânỨng dụng Full 2016

ÔN THI THPT QUỐC GIA

Chuyên đề

3

NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂNỨNG DỤNG

BÀI TOÁN 1:
TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP BẢNG NGUYÊN HÀM
A. PHƯƠNG PHÁP
 PHƯƠNG PHÁP DỰA VÀO BẢNG NGUYÊN HÀM
Bước 1: Biến đổi hàm số đã cho thành tổng, hiệu của các hàm số đơn giản có công thức
trong
bảng nguyên hàm cơ bản.
Bước 2: Áp dụng các công thức có trong bảng nguyên hàm để tính nguyên hàm của hàm
số
 BẢNG NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm cơ bản
f ( ax + b )
Nguyên hàm của hàm

∫ 1.dx = x +C
∫ a .dx =ax +C
α
∫ x dx =

x α +1
+C
α +1

( α ≠ −1 )
,

1 ( ax + b )
ax
+
b
dx
=
.
(
)
∫
a
α +1

α +1

α

∫

1
dx =2 x + C
x

∫

1
2

dx =
ax + b + C
a
ax + b
1

∫ x dx = ln x
1

+C

+C
1

∫ ax + b dx = a ln ax + b +C
1

∫x

2

dx = −
1

∫ ( ax + b )
THPT MONG THỌ

2

1

+C
x

1 1
dx = − .
+C
a ax + b Page 1


ÔN THI THPT QUỐC GIA

 MỘT SỐ CÔNG THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG:
 Hằng đẳng thức đáng nhớ

(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a 2 − 2ab + b2





(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3


(a + b)(a − b) = a 2 − b2


A (B + C ) = A B + A C

 Nhân phân phối:

 Tách lấy mẫu chung:

A +B A B
= +
C
C C

,

(Lưu ý:

A
A A
≠ +
B +C B C

)

B. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
f (x ) =
a/

f (x ) =
d/

f (x ) =
g/

2x 4 + 3
x2

f (x ) = x ( x + 2 )

2

b/

−3x − 1
x −1

c/

f (x ) = e − x (e x − 1)2

f (t ) = (1 + 2 sin t ) cos t

e/

cos 2x
sin x . cos 2 x

f/

f (x ) = cos2 x

f (x ) = 2 sin 3x cos 2x

2


e −x 
f (x ) = e x  2 +
÷
cos2 x 


h/

i/

Bài giải

∫ f (x )dx =∫
a/

2x 4 + 3
2x 4 3
3
2
3
dx
=
(
+ 2 )dx = ∫ (2x 2 + 2 )dx = x 3 − + C
2
2
∫

x
x
x
x
3
x

(

)

2
3
2
∫ f (x )dx = ∫ x ( x + 2 ) dx = ∫ x x + 4x + 4 dx = ∫ (x + 4x + 4x )dx =
2

b/

c/

e −x
x 
f
(
x
)
dx
=
e

2
+
∫
∫  cos2 x

x4 4 3
+ x + 2x 2 + C
4 3


1
x
)dx = 2e x + t an x + C
÷dx = ∫ (2e +
2
cos x


Page 2

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
−3x − 1
−3x + 3 − 4
4
∫ f (x )dx = ∫ x − 1 dx = ∫ x − 1 dx = ∫ ( −3 − x − 1)dx = −3x − 4 ln x − 1 + C
d/
e/

∫ f (x )dx = ∫e

−x

(e x − 1)2dx = ∫ e −x (e 2x − 2e x + 1)dx = ∫ (e x − 2 + e −x )dx = e x − 2x − e −x + C

1

f/

g/

∫ f (t )dt = ∫ (1 + 2 sin t ) cos t dt = ∫ (cos t + sin 2t )dt = sin t − 2 cos 2t + C
cos2 x − sin 2 x
1
 1
∫ f (x )dx = ∫ sin 2 x .cos2 x dx = ∫  sin 2 x − cos2 x


÷dx = − cot x − t an x + C


1

h/

1

1

∫ f (x )dx = ∫ 2 sin 3x cos 2xdx = 2 ∫ (sin x + sin 5x )dx = 2 ( − cos x − 5 cos 5x ) +C
∫ f (x )dx = ∫ cos

2

x dx = ∫

i/

1 + cos 2x
1
1
1
dx = ∫ (1 + cos 2x )dx = (x + sin 2x ) + C
2
2
2
2

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm
I = ∫ x (2x − 1) dx

I =∫

2

a/

I =∫

1
dx
x ( x − 1)

d/

g/

b/

x
I =∫ 2
dx
x + 3x + 2

e/
1
I =∫ 2
dx
x − 6x + 9

1 + te t − t
dt
t

h/

1 + 3x
I = ∫ x dx

e

I = ∫(
c/

f/

i/

1
x +1

2x 3 − 3x
I =∫
dx
x +2
I = ∫ t an 2 xdx

Bài giải

a/

4
1
I = ∫ x (2x − 1)2 dx = ∫ x (4x 2 − 4x + 1)dx = ∫ (4x 3 − 4x 2 + x )dx = x 4 − x 3 + x 2 +C
3
2
I =∫

b/

1 + te t − t
1
dt = ∫ ( + e t − 1)dt = ln t + e t − t + C
t
t

I = ∫(
c/
I =∫

1
2 3
2
+ x )dx = 2 x + 1 + x 2 + C = 2 x + 1 + x x + C
3
3
x +1

1
x − (x − 1)
1
1
dx = ∫
dx = ∫ (
− )dx = ln x − 1 − ln x +C
x ( x − 1)
x (x − 1)
x −1 x

d/

THPT MONG THỌ

Page 3

+ x )dx


ÔN THI THPT QUỐC GIA
I =∫

x
x
2
−1
dx = ∫
dx = ∫ (
+
)dx = 2 ln x + 2 − ln x + 1 + C
x + 3x + 2
( x + 1)(x + 2)
x + 2 x +1

I =∫

2x 3 − 3x
10
2x 3
dx = ∫ (2x 2 − 4x + 5 −

)dx =
− 2x 2 + 5x − 10 ln x + 2 + C
x +2
x +2
3

I =∫

1
1
−1
dx = ∫
dx =
+C
2
x − 6x + 9
(x − 3)
x −3

2

e/

f/

2

g/
x

 − x  3 x 
1 + 3x
1 3x
I = ∫ x dx = ∫ ( x + x )dx = ∫ e +  x ÷ ÷dx = −e − x

e
e e
e  ÷


h/

i/

x

3
3
e ÷
e ÷
1
+   +C = − x +   +C
e
ln 3 − 1
3
ln  ÷
e 

 1


I = ∫ t an 2 xdx = ∫ 
− 1 ÷dx = t an x − x + C
2
 cos x

F (x)

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm

f (x ) = x 3 − 4x + 5;

f (x)
của hàm số

thỏa điều kiện cho trước

F (1) = 3

a/

f (x ) = 3 − 5 cos x ;

F (π ) = 2

x
f (x ) = sin 2 ;
2

π  π
F  ÷=

2 4

b/
f (x ) = sin 2x .cos x ;

c/

π 
F  ÷= 0
3

d/

Bài giải
F (x ) = ∫ f (x )dx = ∫ (x 3 − 4x + 5)dx =
a/
F (1) = 3 ⇔
 Theo đề có

 Vậy
b/

x4
− 2x 2 + 5x + C
4

1
−1
− 2 + 5 +C = 3 ⇔ C =
4

4

x4
1
F (x ) =
− 2x 2 + 5x −
4
4

F (x ) = ∫ f (x ) = dx = ∫ (3 − 5 cos x )dx = 3x − 5 sin x + C
F (π ) = 2 ⇔ 3π − 5 sin π + C = 2 ⇔ C = 2 − 3π

 Theo đề có
F (x ) = 3x − 5 sin x + 2 − 3π

 Vậy

Page 4

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA

c/

1
F (x ) = ∫ f (x )dx = ∫ sin 2x .cos xdx = (sin x + sin 3x ) + C
2

 Theo đề ta có:

 Vậy

d/

π 
1
π
1 3
3
F  ÷ = 0 ⇔ (sin + sin π ) + C = 0 ⇔ .
+C = 0 ⇔ C = −
3
2
3
2 2
4

1
3
F (x ) = (sin x + sin 3x ) −
2
4

x
1 − cos x
x − sin x
F (x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ sin 2 dx = ∫
dx =

+C
2
2
2

π
π
− sin
π  π
2 +C = π ⇔ C = 1
F  ÷= ⇔ 2
2 4
2
4
2

 Ta có

F (x ) =
 Vậy

x − sin x 1
+
2
2

BÀI TOÁN 2:
TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
A. PHƯƠNG PHÁP
 BÀI TOÁN: Tính

Bước 1: Biến đổi

J = ∫ f ( x ) dx

∫ f ( x ) dx = ∫ g u ( x )  .u ' ( x ) dx

t = u (x ) ⇒ dt = u '(x )dx

Bước 2: Đặt

(tính vi phân của u)

Bước 3: Thay vào ta được
được
t = u ( x)

∫ g [ u (x )] u '(x )dx = ∫ g(t )dt

, trong đó
Dạng tích phân

Cách đặt
g ( t)
Đặc điểm nhận dạng
vào nguyên hàm của hàm số
.

∫ g ( t ) dt

Bước 4 : Thế

t '(x )
 LƯU Ý: Sử
dxtrong trường hợp tích phân có một trong các dạng sau:
∫ tdụng
(x )
t = t (x )

tử chứa đạo hàm của mẫu

∫ f ( e ) .t '(x )dx
t (x )

THPT MONG THỌ
t = t (x )

Page 5

dễ dàng tính


ÔN THI THPT QUỐC GIA

dx

∫ f (t an x ). cos

2

x

t = t an x
1
dx
cos2 x

đi kèm biểu thức theo

t an x

dx

∫ f (cot x ). sin

2

x

B. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính nguyên hàm

a/

d/

x
J =∫ 2
.dx
x +1
J = ∫ x 3. 1 − x 2

b/

e/

J =∫

J = ∫ e cos x .sin x .dx

J = ∫ cos3x .dx

c/
J =∫

x2
x3 +2

.dx

x
dx
(1 − x )5

f/

Bài giải
J =∫
a/

x
.dx

x +1
2

u = x +1
2




Đặt

Khi đó : I =

⇒ du = 2x .dx ⇒ x .dx =

∫x

du
2

x
1 du 1 1
1
1
.dx = ∫ .
= ∫ .du = ln u + C = ln x 2 + 1 + C
+1
u 2 2 u
2
2

2

Page 6

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
J = ∫ e cos x .sin x .dx

b/

t = cos x ⇒ dt = − sin x .dx ⇒ sin x .dx = −dt



Đặt



Khi đó:
J =∫
c/

J = ∫ e cos x .sin x .dx = ∫ e u . ( −dt ) = − ∫ e t .dt = −e t +C = −e cos x + C

x2
x3 +2

.dx

t = x 3 + 2 ⇒ t 2 = x 3 + 2 ⇒ 2t .dt = 3x 2 .dx ⇒ x 2 .dx =


Đặt

1 2tdt 2
2
2 x +2
.dx = ∫ .
= ∫ 1dt = .t +C =
+C =
t 3
3
3
3
x3 +2
x

J =∫


2t .dt
3

Khi đó:

2

3

(

2 x3 +2

)

1
2

3

+C

J = ∫ x 3 . 1 − x 2dx = ∫ x 2 . 1 − x 2 .x .dx

d/

t = 1 − x 2 ⇒ t 2 = 1 − x 2 ⇒ 2t .dt = −2x .dx ⇒ x .dx = −t .dt




Đặt
Mà

t 2 = 1 −x 2 ⇒ x 2 = 1 −t 2

Khi đó:

J = ∫ x 2 . 1 − x 2 .x .dx

= ∫ ( 1 − t 2 ) . t ( −t .dt ) = ∫ ( t 4 − t 2 ) .dt =

e/



t t
− +C =
5 3

(

)

J = ∫ cos3x .dx = ∫ cos2 x . cos x .dx = ∫ 1 − sin 2 x .cos x .dx

Ta có
t = sin x ⇒ dt = cos xdx
Đặt

Khi đó:
J =∫

(

t3
sin 3 x

1 − t .dt = t − + C = sin x −
+C
3
3
2

)

x
dx
(1 − x )5

f/


3

J = ∫ cos3x .dx

J =∫


5

Đặt

t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt

THPT MONG THỌ

và

x = 1 −t

Page 7

(

1−x2
5

) −(
5

1−x2
3

)

3

+C


ÔN THI THPT QUỐC GIA
1 −t
1 1
−1
1
−1

1
J = ∫ 5 ( −dt ) = ∫ ( 4 − 5 )dt = 3 + 4 + C =
+
+C
3
t
t
t
3t
4t
3(1 − x ) 4(1 − x )4


Khi đó:
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm

∫ (x

a/

3

2

b/

∫

4
2

∫ (1 + sin x ) cos xdx

d/

∫ x .(1 + e

g/

x 2 +1

∫

∫ (3 − e ) e dx
x 2 x

+ 5) x dx
4

e/

1 + sin x
dx
cos2 x

c/

∫
f/

e 1+ x

∫ x dx

)dx
h/

e 2x
ex − 3

dx

2 − t an x
dx
cos2 x
ln x

∫ x (1 + ln x )dx
i/

Bài giải
a/

∫ (x

3

+ 5)4 x 2dx

t = x 3 + 5 ⇒ dt = 3x 2dx ⇒ x 2dx =


Đặt
3
4 2
4
∫ (x + 5) x dx = ∫ t .



Khi đó:
b/



∫ (3 − e

Đặt

dt
3

dt t 5
(x 3 + 5)5
= +C =
+C
3 15
15

x 2 x

) e dx

t = 3 − e x ⇒ dt = −e x dx ⇒ e xdx = −dt
x 2 x
2
2
∫ (3 − e ) e dx = ∫ t ( −dt ) = − ∫ t dt = −



Khi đó:

∫
c/

e 2x
ex − 3

dx = ∫

e x .e x
ex − 3

t3
(3 − e x )3
+C = −
+C
3
3

dx

t = e x − 3 ⇒ t 2 = e x − 3 ⇒ 2tdt = e xdx




Đặt
t 2 = ex − 3 ⇒ ex = t 2 + 3

Mà
Khi đó:

∫

3

2 (e x − 3)
(t 2 + 3)
2t 3
dx = ∫
2tdt = 2∫ (t 2 + 3)dt =
+ 6t + C =
+ 6 ex − 3 +C
x
t
3
3
e −3
e 2x

Page 8

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
d/


∫ (1 + sin

4

x )2 cos xdx

t = sin x ⇒ dt = cos xdx

Đặt

4
2
4 2
4
8
∫ (1 + sin x ) cos xdx = ∫ (1 + t ) dt = ∫ (1 + 2t + t )dt = t +



Khi đó:
= sin x +

∫
e/

2sin 5 x sin 9 x
+
+C
5
9

1 + sin x
sin x
 1
dx = ∫ 
+
2
2
2
cos x
 cos x cos x

B =∫


t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ sin xdx = −dt

B =∫

Vậy

∫
f/

sin x
−1
1
1
dx = ∫ 2 dt = + C 2 =
+C 2
2
cos x
t
t
cos x

+ Khi đó:
1 + sin x
1
1
∫ cos2 x dx = t an x +C 1 + cos x + C 2 = t an x + cos x +C

2 − t an x
1
dx = ∫ (2 − t an x )
dx
2
cos x
cos2 x
t = 2 − t an x ⇒ dt = −





Đặt

Khi đó:
g/

1
sin x

÷dx = ∫ cos 2 x dx + ∫ cos 2 xdx = t an x +C 1 + B


sin x
dx
cos2 x

+ Đặt



1
1
dx ⇒
dx = −dt
2
cos x
cos 2 x

2 − t an x
t2
(2 − t an x )2
dx
=
−
tdt
=
−
+
C
=
−
+C
∫ cos2 x
∫
2
2

∫ x .(1 + e

x 2 +1

A = ∫ xdx =


)dx = ∫ (x + xe x

2

+1

)dx = ∫ xdx + ∫ xe x +1dx = A + B
2

x2
+C 1
2

B = ∫ xe x +1dx
2



2t 5 t 9
+ +C
5
9

t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx =
+ Đặt

THPT MONG THỌ

dt
2

Page 9

ÔN THI THPT QUỐC GIA

B = ∫ xe x +1dx = ∫ e t .
2

+ Khi đó:

dt 1 t
1 2
= .e + C = .e x +1 + C 2
2 2
2

2

∫ x .(1 + e


x 2 +1

Vậy

∫

e 1+
x

x 2 e x +1
)dx = +

+C
2
2

x

dx

h/
t = 1 + x ⇒ dt =


1
2 x

dx ⇒

1
dx = 2dt
x

Đặt
e 1+ x
t
t
1+
∫ x dx = ∫ e .2dt = 2e +C = 2e



x

+C

Khi đó:
ln x

ln x

1

∫ x (1 + ln x )dx = ∫ 1 + ln x . x dx
i/




1
t = 1 + ln x ⇒ dt = dx
x

Đặt
Khi đó:
ln x
t −1
 1
∫ x (1 + ln x )dx = ∫ t .dt = ∫  1 − t ÷dt = t − ln t +C = 1 + ln x − ln 1 + ln x +C

BÀI TOÁN 3:
TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2

A. PHƯƠNG PHÁP
 BÀI TOÁN: Tính

J = ∫ f (x )dx

x = ϕ ( t ) ⇒ dx = ϕ ' ( t ) dt t ∈ [ α ; β ]
Bước 1: Đặt

,

[ α; β ]

sao cho

có đạo hàm liên tục trên

f (x )

Bước 2: Thay vào ta được

J
Bước 3: Tính

ϕ(t )

có chứa
J = ∫ f (xCách
)dx =đổi
ϕ ( t )  ϕ ' ( t ) dt = ∫ g(t )dt
∫ f biến

= ∫ g(t )dt = F (t ) + C∫

a 2 − x 2 dx
x =ϕ(t)
mà ở đó

π
π
x =nguyên
a sin t ,hàm−có một
≤ t ≤trong các dạng
 LƯU Ý: Thường sử dụng khi
2
2

hoặc

x = a cos t ,
Page 10

∫

a 2 + x 2 dx

0≤t ≤π
THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA

B. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ: Tính các nguyên hàm

a/

∫

1

4 − x 2 .dx
b/

∫ 1+x

2

dx

Bài giải
J = ∫ 4 − x 2 .dx

a/




π
 π
− 2 ≤t ≤ 2 ÷

x = 2 sin t 
 ⇒ dx = 2 cos tdt
Đặt
,
Khi đó:

J = ∫ 4 − 4 sin 2 t .2 cos tdt = 4 ∫ cos2 tdt = 2 ∫ (1 + cos 2t )dt = 2t + sin 2t + C

Trong đó
J =∫
b/




t

thỏa mãn

x = 2 sin t

dx
1+x2

π
 π
1
dt
 − 2 ≤ t ≤ 2 ÷ ⇒ dx =


x = t an t 
cos2 t
Đặt
,
1
1
1
J =∫
.
dt = ∫ cos2 t .
dt = ∫ 1dt = t + C
2
2
t
x = t an t
1 + t an t cos t
cos2 t
Khi đó:
.Trong đó thỏa mãn

THPT MONG THỌ

Page 11


ÔN THI THPT QUỐC GIA

BÀI TOÁN 4:
TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
A. PHƯƠNG PHÁP

 BÀI TOÁN: Tính nguyên hàm có dạng

∫ u ( x ) v ' ( x ) dx

u = u (x )
du = u '(x )dx
⇒

dv = v '(x )dx
v = v(x )

Bước 1: Đặt

∫ udv = u .v − ∫ vdu
Bước 2: Thay vào công thức nguyên hàm từng phần :

∫ vdu
Bước 3: Tính
 LƯU Ý: Thường áp dụng khi gặp một trong các dạng sau
P (x )

Với





là đa thức ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây

∫ P (x ).sin axdx

∫ P (x ). cos axdx





∫ P (x ).e

∫x

n

, ta đặt

dx

∫ P (x ).ln
ln x



ax

, ta đặt

, ta đặt
n

du = P '(x )dx

u = P (x )

⇒

1
dv = sin axdx
v = ∫ sin axdx = − a cos x
du = P '(x )dx
u = P (x )

⇒

1
dv = cos axdx
v = ∫ cos axdx = a sin x

du = P '(x )dx
u = P (x )

⇒

1 ax
ax
ax
dv = e dx
v = ∫ e dx = a e

xdx
, ta đặt

u = ln n x
du = ...
⇒

v = ...
dv = P (x )dx

dx (n ≠ 1)
, ta đặt

u = ln x
du = ...

⇒

1
v = ...
dv = x n dx

B. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ: Tính các nguyên hàm

Page 12

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
a/

A = ∫ x .e x dx

c/

b/

C = ∫ (1 + x ) cos 2xdx

d/

B = ∫ (3 − x ).sin xdx
D = ∫ x 2 ln x .dx

Bài giải
a/




Đặt:





u = 3 − x
du = −dx
⇒

dv = sin xdx

v = − cos x

Khi đó

B = ∫ (3 − x ).sin xdx = ( x − 3) cos x − ∫ cos xdx = (x − 3) cos x − sin x + C

C = ∫ (1 + x )cos 2xdx

Đặt:

du = dx
u = 1 + x

⇒

1
dv = cos 2xdx
v = 2 sin 2x

1
1
1
1
C = ∫ (1 + x ) cos 2xdx = (1 + x ) sin 2x − ∫ sin 2xdx = (1 + x ) sin 2x + cos 2x +C
2
2
2
4

d/



A = ∫ x .e x dx = x .e x − ∫ e xdx = x .e x − e x + C

B = ∫ (3 − x ).sin xdx

Đặt:

c/



u = x
du = dx
⇒

x
x
dv = e dx
v = e

Khi đó
b/



A = ∫ x .e xdx

D = ∫ x 2 ln x .dx

Đặt:

1

du = x dx
u = ln x
⇒

2
3
dv
=
x
dx

v = x

3

x3
x3 1
x3
x2
x3
x3
D = ∫ x ln x .dx = .ln x − ∫ . dx = .ln x − ∫ dx = .ln x − +C
3
3 x
3

3
3
9
2



THPT MONG THỌ

Page 13


ÔN THI THPT QUỐC GIA

BÀI TOÁN 5:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP BẢNG NGUYÊN HÀM
A. PHƯƠNG PHÁP
 SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
b

∫ f (x )dx = [ F (x )]

b
a

=F (x)

a

b

a

= F (b) − F (a )
( Công thức NewTon - Leipniz)

 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
b

a

a

b

∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx
 Tính chất 1:
f (x )

 Tính chất 2: Nếu hai hàm số

[ a;b]

g(x )

và

liên tục trên

b

b

b

a

a

a

thì

∫ [ f (x ) ± g(x )] dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx
[ a;b]

f (x )

 Tính chất 3: Nếu hàm số

liên tục trên

b

b

a

a

và k là một hằng số thì

∫ k .f (x )dx = k .∫ f (x )dx
[ a;b]

f (x )

 Tính chất 4: Nếu hàm số

liên tục trên

b

c

b

a

a

c

và c là một hằng số thì

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
[ a;b]
 Tính chất 5: Tích phân của hàm số trên
b

b

b

a

a

a

cho trước không phụ thuộc vào biến

∫ f (x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du = ...
số nghĩa là :

B. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau

Page 14

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
1

1

a/ A = ∫ (2x + e )dx

x

0

0

)

x

c / C = ∫ ( sin x + cos x ) dx
0

π

 x + 2x + 3 
d/ D = ∫ 
÷dx
3
x


1
4

(

π

b/ B = ∫ 2 e + 3 dx

x

2

1

e/ E = ∫ ( x − sin 2x ) dx

f / F = ∫ x ( x + 2 ) dx

0

2

0

Bài giải
1

(

)

1

1

0

0

1

1

0

0

a/ A = ∫ 2x + e x dx = ∫ 2xdx + ∫ e xdx = x 2 + e x = 1 − 0 + e − 1 = e
0

1

(

1

)

1

b/ B = ∫ 2 e + 3 dx = ∫ ( 2e ) dx + 3 ∫
x

0

x

x

0

( 2e )
2x dx =

x

ln 2e

0

π

π

π

0

0

0

1

0

1

2x
 2e − 1  3
+ 3
=
+
ln 2 0  ln 2e ÷
 ln 2

c/ C = ∫ ( sin x + cos x ) dx = ∫ sin xdx + ∫ cos xdx = − cos x 0 + sin x
4

1 2 3 
d / D = ∫  + 2 + 3 ÷dx = ln x
x x
x 
1
π

π

4
1

π

4

−

1

0

=2

4

2
3
93
− 2 = ln 4 +
x 1 2x 1
32
π

π

1
1
e/ E = ∫ ( x − sin 2x ) dx = ∫ xdx − ∫ sin 2xdx = x 2 + cos 2x
2 0 2
0
0
0
1

π

1

π

=
0

π2
2
1

2
1
4
43
f/ F = ∫ x ( x + 2 ) dx = ∫ x x 2 + 4x + 4 dx = ∫ x 3 + 4x 2 + 4x dx =  x 4 + x 3 + 2x 2  =
3
4
 0 12
0
0
0

(

)

(

)

Ví dụ 2: Tính cách tích phân

ln 2

a/ A =

x
−x
∫ e (2 + 3e )dx
0

d/ D =

π/ 2

∫

sin 2 x dx

0

2

(1 + x )e x − x
dx
x
xe
1

b/ B = ∫
e/ E =

π/ 6

∫

4x 2 + 4x + 3
dx
2
x
+
1
0
3

sin 3x .cos xdx

0

Bài giải

THPT MONG THỌ

1

c/C =∫

Page 15

f / F = ∫ x 2 − 2x dx
1

ÔN THI THPT QUỐC GIA
ln 2

∫e

a/ A =

x

ln 2

∫ (2e

(2 + 3e −x )dx =

0

0

2

x

ln 2

+ 3)dx = 2e x + 3x  = (2e ln 2 + 3 ln 2) − (2e 0 + 3.0) = 2 + 3 ln 2
0

2

2

(1 + x )e x − x
e x + xe x − x
1
dx
=
dx = ∫ ( + 1 − e −x )dx = ln x + x + e − x
x
x
∫
xe
xe
x
1
1
1

b/ B = ∫
1

(

)

2
1

=

1 1
− + 1 + ln 2
e2 e

1

1
4x 2 + 4x + 3
2
c/C = ∫
dx = ∫ (2x + 1 +
)dx = ( x 2 + x + 2 ln 2x + 1 ) = 2 + 2 ln 3
0
2x + 1
2x + 1
0
0

π/2

∫

d/ D =

sin 2 x dx =

0

e/ E =

π/ 6

∫
0

1
2

π/ 2

∫
0

π/ 2

1
π
1

(1 − cos 2x )dx =  (x − sin 2x )  =
2
4
2
0

1
sin 3x .cos xdx =
2

π/ 6

∫
0

π/ 6

1
5
1 1

(sin 2x + sin 4x )dx =  ( − cos 2x − cos 4x )  =
4
16
2 2
0

3

f / F = ∫ x 2 − 2x dx
1

x 2 − 2x = 0 ⇔ x = 0, x = 2
Cho
3

2

3

2

3

1

1

2

1

2

F = ∫ x 2 − 2x dx = ∫ x 2 − 2x dx + ∫ x 2 − 2x dx = ∫ (x 2 − 2x )dx + ∫ (x 2 − 2x )dx
Khi đó:
2

3

x 3

x 3

=  −x2 +  −x2 = 2
3
1
3
2

BÀI TOÁN 6:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
A. PHƯƠNG PHÁP
b

∫ f u ( x )  .u ' ( x ) dx

t = u (x )

a

DẠNG 1: Tính I =

bằng cách đặt

Cách thực hiện:
t = u (x ) ⇒ dt = u '(x )dx

Bước 1: Đặt
x = b ⇒ t = u (b)
x = a ⇒ t = u (a )
Bước 2: Đổi cận :
Page 16

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
b

I = ∫ f [ u (x )] .u '(x )dx =
a

u (b)

∫

f (t )dt

u (a )

(tiếp tục tính tích phân mới)

B. CÁC VÍ DỤ
ln 2

I =

∫ (e

x

0

)

2

− 1 e x dx

Ví dụ 1: Tính tích phân

.

Bài giải
 Đặt

t = e x − 1 ⇒ dt = e xdx
x = ln 2 ⇒ t = 1;

x =0⇒t = 0

 Đổi cận:
1

1

t3
1
I = ∫ t dt =
=
30 3
0
2

 Thay vào ta được
I =
 Vậy

1
3

.r
1

I = ∫ x 2 − x 2 dx
0

Ví dụ 2: Tính tích phân

.

Bài giải
t = 2 − x 2 ⇔ t 2 = 2 − x 2 ⇒ 2tdt = −2xdx ⇒ xdx = −tdt
 Đặt
x = 1 ⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 2
 Đổi cận:
2

2

t3
I = ∫ t dt =
3
1

=

2

1

2 2 −1
3

 Thay vào ta được:
I =
 Vậy

2 2 −1
3

.r
e

I =∫
Ví dụ 3: Tính tích phân

1

4 + 5 ln x
dx
x
.

Bài giải

THPT MONG THỌ

Page 17


ÔN THI THPT QUỐC GIA
5
1
2
t = 4 + 5 ln x ⇔ t 2 = 4 + 5 ln x ⇒ 2tdt = dx ⇒ dx = tdt
x
x
5

 Đặt

x = e ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 2

 Đổi cận:
3

3

2
2
2 3 3
38
I = ∫ t 2dt = t 3 =
3 −2 =
52
15 2 15
15

 Thay vào ta được
I =
 Vậy

38
15

(

)

.r
2

x 2 + 2 ln x
dx
x
1

I =∫
Ví dụ 4: Tính tích phân

.

Bài giải
2

2

ln x
dx = A + 2B
x
1

I = ∫ xdx + 2 ∫
1

Ta có:

2

2



x2
3
A = ∫ xdx =
=
2 1 2
0
2

ln x
dx
x
1

B =∫



 Đặt

1
t = ln x ⇒ dt = dx
x

 Đổi cận:

x = 2 ⇒ t = ln 2
x =1⇒t = 0
2

ln x
B =∫
dx =
x
1

ln 2

t2
tdt
=
∫0
2

 Suy ra:
I = A + 2B =

 Vậy

3
+ ln 2 2
2

I =

π/ 2

∫
0

ln 2

=
0

ln 2 2
2

.r
sin x
dx
8 cos x + 1

Ví dụ 5: Tính tích phân

.

Bài giải
Page 18

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA

 Đặt

1
t = 8 cos x + 1 ⇔ t 2 = 8 cos x + 1 ⇒ 2tdt = −8 sin xdx ⇒ sin xdx = − tdt
4
x = 0 ⇒ t = 3; x =

 Đổi cận:
I =

π/ 2

π
⇒t =1
2
1

sin x

3

3

1
1
1
t
1
dx = ∫ .( − t )dt = ∫ dt =
=
t
4
41
41 2
8 cos x + 1
3

∫
0

 Ta được

r
ln 3

∫

I =

0

1

dx
1 + e −x

Ví dụ 6: Tính tích phân

.

Bài giải
I =

ln3

∫
0

1
dx =
1 + e −x

ln 3

∫
0

ex
dx
1 +ex


 Đặt

t = e x + 1 ⇔ dt = e x dx

x = 0 ⇒ t = 2; x = ln 3 ⇒ t = 4
 Đổi cận:
I =

ln3

∫
0

4

4
ex
1
dx = ∫ dt = ln t  2 = ln 2
x
1 +e
t
2

 Ta được

r
3

I =∫
0

x
dx
x +1

Ví dụ 7: Tính tích phân

.

Bài giải
 Đặt

t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx

. Mà

t 2 = x +1 ⇒ x = t 2 −1

x = 0 ⇒ t = 1; x = 3 ⇒ t = 2
 Đổi cận:
3

I =∫
0

 Ta được

2

2

2
 2t 3
 8
1 2
dx = ∫ (t − 1).2tdt = ∫ 2(t 2 − 1)dt = 
− 2t  =
t
x +1
 3
1 3
1
1

x

3

I = ∫ x (3x + x 2 + 16)dx
0

Ví dụ 8: Tính tích phân

.

Bài giải

THPT MONG THỌ

Page 19

r


ÔN THI THPT QUỐC GIA
3

3

3

0

0

0

I = ∫ x (3x + x 2 + 16)dx = ∫ 3x 2dx + ∫ x x 2 + 16dx = A + B

 Ta có:
3

3

A = ∫ 3x 2dx = x 3 = 27
0

0



3

B = ∫ x x 2 + 16dx
0


t = x 2 + 16 ⇒ t 2 = x 2 + 16 ⇒ tdt = xdt
 Đặt
x = 0 ⇒ t = 4; x = 3 ⇒ t = 5
 Đổi cận:
3

5

5

t3
61
B = ∫ x x + 16dx = ∫ t .tdt =
=
34 3
0
4
2

 Ta được

I = A + B = 27 +
 Vậy

61 142
=
3
3

r

π
2

I = ∫ (sin 3 x + cos x ) cos xdx
0

Ví dụ 9: Tính tích phân

.

Bài giải
π
2

π
2

π
2

0

0

0

I = ∫ (sin 3 x + cos x )cos xdx = ∫ sin 3 x cos xdx + ∫ cos2 xdx = A + B
 Ta có:
π
2

A = ∫ sin 3 x cos xdx
0


 Đặt

t = sin x ⇒ dt = cos xdx

x = 0 ⇒ t = 0; x =
 Đổi cận:
π/ 2

A=

∫
0

 Ta được

π
⇒t =1
2

1

1

t4
1
sin x cos xdx = ∫ t dt =
=
4 0 4
0
3

3

Page 20

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA
π
2

π

π

12
1
π π

1
2 1 π 1
B = ∫ cos2 xdx = ∫ (1 + cos 2x )dx =  (x + sin 2x )  = ( + sin ) =
20
2
2
4
2
0 2 2 2
0

1 π 1+π
+ =
4 4
4

I =A +B =
 Vậy

I =

ln 5

∫e

ln 3

x

r

1
dx
+ 2e −x − 3

Ví dụ 10: Tính tích phân

.

Bài giải
I =

ln 5

ln 5

1
ex
dx
=
∫ e x + 2e −x − 3
∫ e 2x − 3e x + 2 dx
ln 3
ln 3

 Ta có
 Đặt

t = e x ⇒ dt = e x dx
x = ln 3 ⇒ t = 3;

x = ln 5 ⇒ t = 5

 Đổi cận:
I =

ln 5

∫e

5

2x

ln 3

5

5

ex
1
1
1 
 1
dx = ∫ 2
dt = ∫
dt = ∫ 
−
dt

x
− 3e + 2
t − 3t + 2
(t − 1)(t − 2)
t − 2 t −1 ÷

3
3
3

 Ta được
5

3
t −2
= ln 
= ln
÷
2
 t −1  3

r

1

x 2 − e x + 2x 2e x
dx
x
1
+

2
e
0

I =∫

Ví dụ 11: Tính tích phân

.

Bài giải
1

1

1

1

x 2 − e x + 2x 2e x
x 2 (1 + 2e x ) − e x
ex
2
I =∫
dx
=
dx
=
x
dx

−
∫0 1 + 2e x
∫0
∫0 1 + 2e x dx = A − B
1 + 2e x
0

 Ta có
1

1

x3
1
A = ∫ x dx =
=
3 0 3
0
2



1

ex
dx
1 + 2e x
0

B =∫



 Đặt
THPT MONG THỌ

1
t = 2e x + 1 ⇔ dt = e xdx
2

Page 21


ÔN THI THPT QUỐC GIA
x = 0 ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 1 + 2e
 Đổi cận:
1

ex
I =∫
dx =
1 + 2e x
0

1+2e

∫
3

1+ 2e

1
1

dt =  ln t 
2t
2
3

1 1 + 2e
= ln
2
3

 Ta được
1 1 1 + 2e
− ln
3 2
3

I = A −B =
 Vậy

.r

BÀI TOÁN 7:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
A. PHƯƠNG PHÁP
b

∫ f (x )dx

ϕ(t )

a

DẠNG 2: Tính I =

bằng cách đặt x =
b

β

a

α

I = ∫ f (x )dx = ∫ f [ ϕ(t )] ϕ '(t )dt
Công thức đổi biến số dạng 2
Cách thực hiện

x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ '(t )dt
Bước 1: Đặt

Bước 2: Đổi cận :

x =b ⇒t = β
x =a ⇒t =α

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
b

β

a

α

I = ∫ f (x )dx = ∫ f [ ϕ(t )] ϕ '(t )dt
(tiếp tục tính tích phân mới)

B. CÁC VÍ DỤ
2

I = ∫ 4 − x 2 dx
0

Ví dụ 1: Tính tích phân
Bài giải
x = 2 sin t ;
 Đặt

 π π
t ∈ − ; 
 2 2  ⇒ dx = 2 cos tdt

 Đổi cận:
x = 0 ⇒ 2 sin t = 0 ⇒ t = 0

Page 22

THPT MONG THỌ


ÔN THI THPT QUỐC GIA

π
2

x = 2 ⇒ 2 sin t = 2 ⇒ t =

π
2

2

I = ∫ 4 − x 2 dx

∫

0

 Ta được :
π
2

∫

=

=4

 Vậy

0

1 − sin 2 t .cot dt

0

=4
π
2

π
2

0

∫

4 − 4 sin 2 t .2 cos tdt

=
cos 2 t .cost dt

π
2

4 ∫ cos 2 tdt

π

 1
2
t
+
s
in2
t
 2
÷

0

2 ∫ (1 + cos 2t )dt

0

0

=

=2

=

π

I =π

3

1
dx
2
9
+
x
0

I =∫
Ví dụ 2: Tính tích phân
Bài giải

 π π
t ∈  − ; ÷ dx = 3. 1 dt = 3(1 + t an 2 t )dt
 2 2 ⇒
cos 2 t

x = 3 t an t ;
 Đặt
 Đổi cận:

x = 0 ⇒ 3 t an t = 0 ⇒ t = 0

 Vậy

π
4

3(1 + t an 2 t )

∫0 9 + 9 t an 2 t dt

1
I =∫
dx
9+x2
0
=
I=

;

π
4

3



x = 3 ⇒ 3 t an t = 3 ⇒ t =

π
4

π
4

3(1 + t an 2 t )
∫0 9(1 + t an 2 t ) dt

=

=

1 dt
∫
3 0

=

1
3t

π
4
0

1 π
3 4
= .

π
12

BÀI TOÁN 8:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A. PHƯƠNG PHÁP
 CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
b

b

∫ u (x ).v '(x )dx = [ u (x ).v(x )] − ∫ v(x ).u '(x )dx
b

a

a

THPT MONG THỌ

a

Page 23


ễN THI THPT QUC GIA
b

b

udv = [ u .v ] vdu
b

a

a

a

hay:
CCH THC HIN
ùỡù u = u (x )
ùỡ du = u '(x )dx
ị ùớ
ớ
ùù dv = v '(x )dx
ùù v = v (x )
ợ
ợ

Bc 1: t

(ủaùo haứ
m)
(nguyeõ
n haứ
m)
b

b

udv = [ u .v ] a vdu
a

b

a

Bc 2: Thay vo cụng thc tớch phõn tng tng phn :

b

vdu

[ u .v ] a
b

a

Bc 3: Tớnh

v

B. CC V D
1

I = xe x dx
0

Vớ d 1:Tớnh tớch phõn

.

Bi gii

t

u = x
du = dx

x
x
dv = e dx
v = e
1

I = xe dx = xe
x

0

x 1
0

1

1

e x dx = (x 1)e x = 1
0

0



.r
1

(2e

x2

0

Vớ d 2: Tinh tich phõn I =

+ e x )xdx
.

Bi gii



1

0

Ta cú: I =
1

2xe
1

2

0

x2

0

I1 =

1

2xe x dx + xe x dx = I 1 + I 2
1

dx = e x d (x 2 )

1

e x = e 1
0
2

2

0

=

xe dx
x

0

I2 =

t

u = x du = dx

;

dv = e xdx v = e x

Page 24

THPT MONG TH


ÔN THI THPT QUỐC GIA
1

1

xe x  − ∫ e x dx
0
0

 Suy ra: I2 =
I = e −1 +1 = e

 Vậy

e − e x 
=

1
0

= 1.

.r
1

I = ∫ (x 2 + x )e 2x dx
0

Ví dụ 3: Tính tích phân:
Bài giải

u = x + x

2x
dv = e dx

du = ( 2x + 1) dx


1 2x
v = 2 e

2

 Đặt

1
I = e 2 x (x 2 + x )
2

⇒
1

0

−

.

1 1
(2x + 1)e 2xdx = e 2 − I 1
∫
0
2


1

I 1 = ∫ (2x + 1)e 2x dx
0

 Tính

 Đặt

u = 2x + 1


2x
dv = e dx

1
I 1 = e 2x (2x + 1)
2

du = 2dx


1 2x
v = 2 e

⇒
1

1
1
− ∫ e dx = (3e 2 − 1) − e 2 x
0
2
2
0
1



 Vậy

1
e2
e2 − e2 =
2
2

1

2x

0

=

1 2
1
3e − 1 − (e 2 − 1) = e 2
2
2

(

)

r
π
4

I = ∫ ( x + 1) sin 2xdx
0

Ví dụ 4: Tính tích phân

.

Bài giải

 Đặt

du = dx
u = x + 1

⇒

1
dv = sin 2xdx
v = − 2 cos 2x
1
I = − ( x + 1) cos 2x
2

π
4
0

1
+ sin 2x
4

π

4
0

1
= − ( x + 1) cos 2x
2

 Suy ra:

THPT MONG THỌ

Page 25

π
4
0

1
+ sin 2x
4

π
4
0

=

3
4