T 10d 09

PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
I. ÔN TẬP PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng ax + by = c.
Nghiệm của phương trình là cặp số (x 0, y 0) thỏa ax 0 + by 0 = c
Ghi chú: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm
Biểu diễn hình học: Tập nghiệm của phương trình ax + by = c là đường thẳng (d)
có phương trình ax + by = c
Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0 thì đường thẳng (d) chính là đồ thị của hàm số y = Nếu a ≠ 0 và b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x =

a
c
x+
b
b

c
, và đường thẳng
a

(d) song song hoặc trùng với trục tung
Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y =

c
, và đường thẳng
b

(d) song song hoặc trùng với trục hoành

Ví dụ 1: Giải và biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình: 2x – y = 2
II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẤC NHẤT HAI ẨN


a x  b1 y  c1 (1)
Dạng tổng quát là:  1

a2 x  b2 y  c 2 (2)

D

a1

b1

a2

b2

Dx 
Dy 

c1

b1

c2

b2

a1

c1

a2

c2

(a12  b12  0)
(a22  b22  0)

I

 a1b2  a2b1

D0

 c1b2  c2b1
 a1c2  a2c1

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) với: x =

Dy
Dx
, y=
D
D

Dx  0 hoặc Dy  0: Hệ phương trình vô nghiệm
D=0

Dx = Dy = 0: Hệ có vô số nghiệm (x; y) thỏa: ax 0 + by 0 = c

Biểu diễn hình học: Nghiệm (x; y) của hệ (I) là tọa độ của điểm M(x; y) thuộc cả 2
đường thẳng (d1): a1x + b1y = c1 và a2x + b2y = c2
Hệ (I) có nghiệm duy nhất  (d1) và (d2) cắt nhau
Hệ (I) vô nghiệm  (d1) và (d2) song song với nhau
Hệ (I) có vô số nghiệm  (d1) và (d2) trùng nhau
 3x  2y
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 

 1

2 2x  3y  0

mx  y  2m  1
 x  my  3m

Ví dụ 3: Giải và biện luận hệ phương trình: 

mx  y  m  1  0
 x  my  2  0

Ví dụ 4: Định m để phương trình sau vô nghiệm: 

(a  2)x  3y  3a  9
 x  (a  4)y  2

Ví dụ 5: Cho hệ phương trình 

a) Định a để hệ có vô số nghiệm
b) Định a để hệ phương trình có nghiệm
mx  2y  2m

2x  my  m  2

Ví dụ 6: Cho hệ phương trình 

a) Định m để hệ có nghiệm duy nhất và tìm hệ thức giữa nghiệm x, y
độc lập với m
b) Định m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên
 2 2
5x  y  9

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: 
 3  4x 2  2
 y

III. Hệ phƣơng trình bậc nhất 3 ẩn
a1 x  b1 y  c1z  d1

Dạng tổng quát là: a2 x  b2 y  c 2 z  d2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

Cách giải: Khử bớt ẩn số rồi dùng phương pháp thế để tính
 x  3y  2z  8

Ví dụ 8: Giải hệ phương trình : 2x  2y  z  6
3x  y  z  6
