T 12h 07

MẶT CẦU – KHỐI CẦU
I. KHÁI NIỆM

1. Mặt cầu
S(O,r) = {M/ OM = r}

2. Khối cầu
S(O,r) = {M/ OM r}
Mặt cầu (khối cầu) là mặt (khối) tròn xoay.
Trục, kinh tuyến, vĩ tuyến, cực.
II. GIAO CỦA MẶT CẦU S(O,R) VÀ MẶT PHẲNG (P)
Đặt h = d(O,(P))
h > r: (S)  (P) = Ø
h = r: (S)  (P) = {H}. (P) là tiếp diện, H là tiếp điểm
Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H là (P)
vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.
h < r: (S)  (P) = (C). (C) là đường tròn giao có bán kính r’: r2  r2  h2
III. GIAO CỦA MẶT CẦU S(O,R) VỚI ĐƯỜNG THẲNG . TIẾP TUYẾN
Đặt d = d(O,)
d > r: (S)   = Ø
d = r: (S)   = {H}.  là tiếp tuyến, H là tiếp điểm
Điều kiện cần và đủ để đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S(O;r) tại điểm H
là  vuông góc với bán kính OH tại điểm H đó.


d < r: (S)   = {M;N}. MN là dây cung

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định tâm và
bán kính của mặt cầu:
1) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương (mặt cầu ngoại tiếp)
2) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương

3) Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương (mặt cầu nội tiếp)
IV. DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH KHỐI CẦU

1. Diện tích mặt cầu: S  4 r 2
2. Thể tích khối cầu: V 

4 3
r
3

Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương
ứng của các mặt cầu:
1) Đi qua 8 đỉnh của hình lập phương
(mặt cầu ngoại tiếp)
2) Tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương
3) Tiếp xúc với 6 mặt của hình lập phương
(mặt cầu nội tiếp)
V. BÀI TẬP CỦNG CỐ

Bài tập 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c.
1) Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó
2) Tính bán kính của đường tròn giao của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b,
SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và
thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SB  a 3 ,
SA  (ABCD). Chứng minh rằng trung điểm K của cạnh SC là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu đó.