Giáo trình toán sơ cấp: Chương 4: Đường, mặt, khối trong không gian Ơclit

CHƯƠNG V. ĐƯỜNG – MẶT – KHỐI TRONG KHÔNG GIAN ƠCLIT
I. KHÁI NIỆM HÌNH
1.1. Khái niệm. Hình là trường hợp các điểm trong mặt phẳng hoặc trong không gian có cùng
một tính chất nào đó.
1.2. Sự xác định hình. Hình H = {M/ M có t/c P}
Xác định hình H thực chất là bài toán quỹ tích bao gồm hai phần:
- Phần thuận: M có tính chất P chứng minh M thuộc hình H
- Phần đảo: M thuộc hình H chứng minh M có tính chất P
Ví dụ.Cho góc xOy bằng một vuông; gọi M,N lần lượt là hai điểm chuyển động trên hai tia
Ox, Oy sao cho độ dài MN = a (a cho trước). Tìm tập hợp trung điểm của MN.
Chứng minh. Cần chứng minh:
y

a


H  I / IM  IN  ;xOy  1v M  Ox, N  Oy 
2


- Phần thuận: điểm I có tính chất IM  IN 

N1

a
2

N
I

M  Ox; N  Oy, góc xOy bằng 1 vuông.

- Nếu M  O  N  M1  Ox sao cho OM1 = a

x
O

a
Khi đó, trung điểm I của MN  I2 sao cho OI 2 
2
Ta chứng tỏ tập hợp điểm 𝐼 ∈ 𝐼̂
1 𝐼2 , tâm O, bán kính

M

M1

a
2

Thật vậy: Lấy M, N thì lần lượt  Ox, Oy sao cho MN = a; IM = IN
Xét

MON

có

OI

là

trung

tuyến

nên

1
a
OI  IN  IM  MN   I có cùng tâm O, bán kính
2
2

a
a
. Suy ra I  cung I1, I2, tâm O, bán kính
2
2
Đảo: Xác định trên Ox, Oy lần lượt 2 điểm I1, I2 sao cho

a
OI1  OI 2  . Lấy 𝐼 ∈ 𝐼̂
1 𝐼2
2
thẳng MN = a và IM = IN=

y

I1
N
I

chứng minh tồn tại đường

a
. Với M  Ox; N  Oy.
2

x
O

I2

M


Thật vậy nối OI vẽ đường tròn tâm I, bán kính IO cắt Ox tại M, cắt Oy tại N. Dễ thấy MON
là vuông và IO = IM = IN  I là trung điểm MN. Vậy tập hợp điểm I là trung điểm 𝐼̂
1 𝐼2 , tâm
O, bán kính 𝑎⁄2.
II. ĐA GIÁC
2.1. Đường gấp khúc
Trong mặt phẳng hoặc không gian cho n điểm A1, A2,

A2

A3, …, An. Tập hợp các đường thẳng A1A2, A2A3, …, An-1An

A3

được sắp xếp theo thứ tự nhất định, đã xác định hướng thì
được gọi là đường gấp khúc (n – 1) đoạn.

A1
An

- Các điểm: đỉnh
- Các đường thẳng: cạnh

A
A2

A5

- A1A2 + A2A3 + … + An-1 độ dài đường gấp khúc
- Nếu An  A1  đường gấp khúc A1A2… An: đường gấp
khúc khép kín
+ Đường gấp khúc mà mỗi điểm của nó hoặc là điểm
hoặc thuộc một và chỉ một cạnh

A4
A1

+ Đường gấp khúc không đơn: kép

A3

An

2.2. Đa giác
Đa giác là đường gấp khúc đơn, khép kín trong
mặt phẳng

- Đa giác phân mặt phẳng thành hai miền: miền
trong và miền ngoài.

B

Trong: Không chứa được hoàn toàn một đường thẳng

A

nào.
Ngoài: Có thể chứa được hoàn toàn một đường thẳng
nào.
Đa giác cùng với miền trong của nó: hình đa giác
Ví dụ: Tam giác, tứ giác


III. HÌNH ĐA DIỆN
3.1. Góc đa diện
y

+ Góc nhị diện: hai nửa mặt phẳng chung bờ tạo
thành góc nhị diện
- Hai mặt phẳng: mặt của góc nhị diện

O

x



- Đường thẳng bờ: cạnh của góc
Trong mặt phẳng () lấy tia Ox  bờ a
Trong mặt phẳng () lấy tia Oy  bờ a
Suy ra góc xOy là góc phẳng nhị diện
+ Góc đa diện: Trong không gian, tập hợp x góc

S

phẳng đỉnh S là x1Sx2, x2Sx3,… xnSx1 được sắp xếp
theo thứ tự cạnh cuối của góc này là cạnh đầu của góc
kề sau nó. Cạnh cuối của góc cuối cùng bằng cạnh
đầu của góc đầu tiên. Tạo thành góc đa diện đỉnh S
Các góc phẳng được gọi là mặt của góc đa diện.

x5

x1

Cạnh góc phẳng được gọi là cạnh của góc đa diện.

x4

+ Góc đa diện của đường thẳng đơn nếu mỗi điểm
của nó (trừ đỉnh S) hoặc là thuộc cạnh hoặc thuộc

x5
A2

A1

một và chỉ một mặt.
A3
An

A4
3.2. Mặt đa diện đơn
thành bởi các đa giác phẳng sao cho mỗi điểm của

A6

A5

- Mặt đa diện đơn là hình không gian tạo
A8

A7

nó thuộc một trong ba loại sau:
+ Thuộc một và chỉ một đa giác phẳng
+ Thuộc cạnh chung của hai và chỉ hai đa giác phẳng
+ Nếu nó là đỉnh chung của các đa giác thì các đa giác đó tạo thành một góc nhị diện
hoặc một góc đa diện đơn.
+ Trong mặt đa diện đơn có hai loại cạnh:
Cạnh chung của hai mặt: cạnh trong;
Cạnh chung của một mặt: cạnh bên

3.3. Hình đa diện đơn
Mặt đa diện đơn là tất cả các cạnh đều là cạnh trong
 hình đa diện đơn

- Hình đa diện phân hoạch không gian thành hai miền
- Hình đa diện cùng với khối trong: khối đa diện




- Khối đa diện n mặt: khối n đa diện
Ví dụ: Khối tứ diện, khối lục diện, …
* Khối phỏng lăng trụ là khối có hai mặt đáy là
hai đa giác nằm trong hai mặt phẳng song song các mặt
bên là các hình thang, hình bình hành,…
* Khối lăng trụ: Khối lăng trụ tứ giác hình chữ
nhật  hai mặt đáy là hai tứ giác bằng nhau.
* Khối chóp
* Khối chóp cụt
III. KHỐI TRÒN XOAY
4.1. Khối cầu. Hình cầu là tập hợp các đỉnh trong
M

không gian cách đều điểm O cho trước, một khoảng
cách r không đổi.Kí hiệu: (0, r).
Hình cầu cùng miền trong của nó được gọi khối cầu.

O

4.2. Khối trụ. Hình trụ là tập hợp các điểm trong không gian cách đều đường thẳng OO’ cho
trước một khoảng cách một điểm r không đổi.

O

Hình trụ + miền trong = khối trụ.
r

4.3. Khối nón
Trong không gian cho mf()

M
O’