SKKN sáng kiến kinh nghiệm vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 2
I. Lý do chọn đề tài ................................................................................................... 2
II. Mục tiêu đề tài ....................................................................................................... 3
III. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................. 3
IV. Phƣơng pháp nghiên cứu ..................................................................................... 3
V. Bố cục đề tài .......................................................................................................... 3
B. NỘI DUNG ..................................................................................................................... 4
Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp ảnh điện................................................... 4
1.1. Ý tƣởng phƣơng pháp ảnh điện .......................................................................... 4
1.2. Nội dung của phƣơng pháp ảnh điện .................................................................. 5
Chƣơng II: Áp dụng phƣơng pháp ảnh điện để giải các bài toán tĩnh điện...................6
2.1. Trƣờng gây bởi các điện tích phân bố trên mặt giới hạn là mặt phẳng...............6
2.2. Trƣờng gây bởi các điện tích phân bố trên mặt giới hạn là mặt cầu...................19
2.3 Trƣờng gây bởi các điện tích phân bố trên mặt giới hạn là mặt trụ.....................29
C. KẾT LUẬN................................................................................................................... .34
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................................ .35

1


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Để nâng cao hiệu quả và chất lƣợng giảng dạy, các nhà giáo dục ln tìm cách nghiên
cứu, áp dụng, đổi mới phƣơng pháp giảng dạy. Hiện nay, nhiều phƣơng pháp dạy học nói
chung và vật lý nói riêng mang lại hiệu quả cao nhƣ: phƣơng pháp thực nghiệm, phƣơng
pháp tƣơng tự hóa, phƣơng pháp mơ phỏng, phƣơng pháp đồ thị...

Phƣơng pháp mơ hình là một trong những phƣơng pháp nhận thức khoa học đƣợc vận
dụng vào trong dạy học ở hầu hết các môn học, đặc biệt là trong giảng dạy và nghiên cứu vật
lý. Nó thể hiện trƣớc hết ở tính sâu sắc, tính hệ thống của các kiến thức, tạo điều kiện cho
học sinh phát hiện những mối liên hệ giữa các hệ thống khác nhau ở các phần khác nhau của
vật lí. Nội dung cơ bản của phƣơng pháp mơ hình là dựa trên các tính chất khác nhau liên
quan đến tính đồng dạng vật lí của các hiện tƣợng. Ta có thể thay thế những bài tốn khó,
phức tạp bằng các bài tốn gắn với những hiện tƣợng đơn giản hơn, đã biết dựa vào tính
đồng dạng của chúng. Ảnh điện là một ví dụ cụ thể của phương pháp mơ hình áp dụng trong
vật lý nhằm giải quyết một số bài toán về tĩnh điện phức tạp.
Trong một số bài toán về tĩnh điện, chẳng hạn nhƣ những vấn đề liên quan đến tƣơng
tác giữa điện tích với mặt phẳng dẫn điện, giữa điện tích với quả cầu..., nếu giải bằng phƣơng
pháp thơng thƣờng là rất phức tạp. Tuy nhiên, nếu sử dụng phƣơng pháp ảnh điện sẽ giải
quyết bài toán đơn giản hơn.
Đối với các bài tốn khó về tĩnh điện trong phạm vi bồi dƣỡng học sinh giỏi, phƣơng
pháp ảnh điện là cần thiết và không thể thiếu. Phƣơng pháp ảnh điện đƣợc vận dụng để giải
cả một hệ thống các bài tập liên quan chứ không riêng một hay hai bài tập đơn lẽ. Vì tính
chất quan trọng của phƣơng pháp ảnh điện, tôi quyết định chọn đề tài “Sử dụng phương pháp
ảnh điện để giải một số bài toán tĩnh điện trong chương trình bồi dưỡng HSG”. Đề tài có thể
giúp tơi hồn thiện chun đề bồi dƣỡng của mình, nâng cao năng lực tƣ duy giải toán cho
học sinh, là tài liệu hữu ích cho học sinh và các giáo viên đồng nghiệp tham khảo.

2


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

II. Mục tiêu đề tài
+ Giới thiệu nội dung, cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp ảnh điện.
+ Ứng dụng phƣơng pháp ảnh điện để giải các bài tập tĩnh điện.
+ Xây dựng, phân loại hệ thống bài tập theo các chuyên đề riêng từ cơ bản đến chuyên

sâu giúp cho quá trình dạy cũng nhƣ học đƣợc thuận lợi.
III. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung khảo sát các tính chất điện của điện tích điểm và của vật dẫn, các vấn
đề liên quan nhƣ: điện trƣờng, mật độ điện tích, lƣỡng cực điện...
IV. Phƣơng pháp nghiên cứu
+ Phƣơng pháp mơ hình
+ Phƣơng pháp hệ thống, khái quát
V. Bố cục đề tài
Bố cục đề tài ngoài ba phần chính là phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận cịn
có mục lục và tài liệu tham khảo.
Phần nội dung có hai chƣơng:
+ Chƣơng I: Cơ sở lý thuyết của phƣơng pháp ảnh điện.
+ Chƣơng II: Áp dụng phƣơng pháp ảnh điện để giải các bài toán tĩnh điện.

3


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

B. NỘI DUNG
CHƢƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƢƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN
1.1. Ý tƣởng phƣơng pháp ảnh điện
Trƣớc khi tìm hiểu nội dung cơ bản của phƣơng pháp ảnh điện, ta xét ví dụ đơn giản
sau: Xét lực tƣơng tác của hai điện tích q1 , q2 lên điện tích q0 nhƣ hình vẽ:
q0

q0
F2

F1

q1

F3

q2

F 12

q3

Lực tƣơng tác của hai điện tích q1 , q2 lên điện tích q0 hợp lực F 12 của hai lực F 1 và F 2 .
Xét về phƣơng diện tác dụng lực, nếu ta thay hai điện tích q1 , q2 bằng q3 sao cho F 12  F 3
thì tính chất bài tốn khơng thay đổi. Việc thay thế hai điện tích bằng một điện tích sao cho
yêu cầu bài tốn khơng bị thay đổi, giúp cho việc giải quyết bài tốn đơn giãn hơn chính là ý
tƣởng cơ bản ban đầu của phƣơng pháp ảnh điện.
Bây giờ, nếu xét tƣơng tác điện tích điểm + q và mặt phẳng dẫn rộng vô hạn nối đất: Do
hiện tƣợng nhiễm điện hƣởng ứng, trên bề mặt vật dẫn xuất hiện các điện tích âm. Vậy,
tƣơng tác + q và vật dẫn chính là tƣơng tác + q và các điện tích xuất hiện trên vật dẫn. Việc
xác định tƣơng tác + q và các điện tích đơn lẽ trên vật dẫn thì q phức tạp. Do đó, ta có thể
thay hệ các điện tích trên mặt phẳng dẫn bởi điện tích ảnh - q sao cho các tính chất điện
khơng thay đổi.
+q
-

- - - - - - - - - - - - - - - - -

-

4

Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

1.2. Nội dung của phƣơng pháp ảnh điện.
1. Vấn đề tính tốn trực tiếp trƣờng sinh ra bởi hệ thống các điện tích và các vật dẫn
(hoặc các điện mơi) là rất khó khăn vì khi có mặt thêm các điện tích hƣởng ứng (hoặc các
điện tích liên kết) làm cho sự phân bố điện tích mặt trở nên phức tạp.
2. Để khắc phục khó khăn này ta cần chú ý đặc điểm của trƣờng tĩnh điện hoàn toàn
đƣợc xác định bởi các giá trị điện thế mơ tả tính chất của trƣờng tại biên giữa các vật dẫn và
điện môi khác nhau, lẫn điện trƣờng trên bề mặt. Nhƣ vậy nếu ở về một phía của mặt biên, ta
làm biến đổi các thông số của môi trƣờng (chẳng hạn thay vật dẫn này bằng vật dẫn khác
hoặc điện môi, thay điện môi này bằng điện môi khác hoặc vật dẫn). Rồi ta thiết lập sự phân
bố các điện tích mới đơn giản hơn, sao cho các điều kiện biên hoàn toàn đƣợc giữ nguyên
nhƣ trƣớc.
+ Điện trƣờng của hệ điện tích cho trƣớc sẽ khơng bị thay đổi nếu ta lấp đầy thể tích
đƣợc giới hạn bởi một mặt đẳng thế nào đó, chứa trong nó một điện tích tổng cộng Q bằng
một vẫn dẫn điện cũng chứa điện tích Q.
+ Một mặt đẳng thế bất kỳ có thể đƣợc thay thế bằng một bản dẫn mỏng vơ hạn có điện
thế tƣơng ứng, trƣờng ở cả hai phía của bản khi đó khơng thay đổi.
3. Khi đó ta dễ dàng tiến hành mọi tính tốn và giải các bài tập tĩnh điện đối với hệ điện
tích điểm này. Điện tích vừa đƣợc đƣa vào nhƣ vậy đƣợc gọi là điện tích ảnh của các điện
tích đã cho.
4. Nội dung chủ yếu của phƣơng pháp ảnh điện là xác định đƣợc các điện tích ảnh, sau
đó ta bƣớc vào giải bài toán tĩnh điện trên hệ điện tích ảnh đã tìm và hệ điện tích điểm ban
đầu đã biết. Nghiệm của bài toán cũng là nghiệm duy nhất phải tìm. Nhƣ vậy ta đã chuyển
bài tốn phức tạp có những điện tích phân bố liên tục về bài tốn đơn giản chỉ gồm các điện
tích điểm.

5

Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

CHƢƠNG II. ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN GIẢI CÁC BÀI TOÁN
TĨNH ĐIỆN
2.1. TRƢỜNG GÂY BỞI CÁC ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ TRÊN MẶT GIỚI HẠN
LÀ MẶT PHẲNG
Bài tốn mở đầu: Một điện tích điểm q = 20,0 nC đặt trong chân không cách một
thành phẳng bằng kim loại đã nối đất một khoảng a = 50 mm.
a. Tìm lực F trong tƣơng tác giữa điện tích q và thành phẳng.
b. Mật độ điện tích hƣởng ứng trên mặt kim loại.
Bài giải:
a. Bài tốn này ta cũng có thể giải bằng phƣơng pháp thông thƣờng nhƣ sau:
Trƣớc hết chúng ta tính điện trƣờng E1( x) tạo bởi các điện tích cảm ứng trên thành tại
điểm Mx (x > 0). Do tính đối xứng (thành rộng vơ hạn nên E1( x) có hƣớng dọc theo trục Ox.
Ta hãy tính điện thế V1(x) tại M(x) gây bởi các điện tích
cảm ứng của thành.
Xét điểm M’(x) nằm trong kim loại. Vì thành rộng vơ
hạn, có thể xem các điện tích cảm ứng chỉ phân bố trên mặt
phẳng trung trực của MM’, do đó:

x
q
a

M x
O

Vt(x) = Vt(-x)

(1)

Điện thế tại M’ là V(-x) = 0 vì thành nối đất . Hơn nữa
Vt(-x) là kết quả của sự chồng chất Vt(-x) và Vq(-x) nên:

M’ -x

V(-x) = Vt(-x) + Vq(-x) = 0
 Vt(-x) +

kq
=0
ax

(2)

Từ (1) và (2), ta đƣợc:
6


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

Vt(x) = 

kq
(a  x) 2

(3)

Do đó:
E  x 

dtV( x )

 E a  

dx



kq
( a  x) 2

kq
4a 2

Độ lớn của lực tƣơng tác giữa điện tích q và thành phẳng xác định bởi:
F = E(a)q = -

kq 2
kq 2


4a 2
(2a ) 2

Dấu (-) chứng tỏ F hƣớng theo chiều âm của Ox, tức là thành hút điện tích.
Ta nhận thấy E (x ) giống nhƣ một điện trƣờng gây bởi một điện tích điểm - q đặt đối
xứng với q qua mặt phẳng. Điều đó cho phép ta áp dụng phƣơng pháp ảnh điện, nghĩa là thay

tồn bộ điện tích cảm ứng trên thành bằng một điện tích điểm ảnh - q đặt đối xứng với q.
Sử dụng phƣơng pháp ảnh điện:
Vì thành phẳng kim loại nối đất nên điện thế của thành
phẳng bằng 0. Ta xét phổ đƣờng sức và mặt đẳng thế của một
hệ hai điện tích điểm bằng nhau, trái dấu (hình vẽ). Ta thấy mặt
phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điện tích + q và - q là
một mặt đẳng thế, mọi điểm trên mặt phẳng có điện thế bằng 0.

q
a

-q

Nhƣ vậy nếu ta thay mặt đẳng thế này bằng một mặt kim loại phẳng vô hạn (nối đất, lúc
đầu khơng mang điện) thì theo kết quả trên: điện trƣờng giữa + q và mặt phẳng sẽ không bị
thay đổi, nghĩa là điện trƣờng đã đƣợc gây ra bởi mật độ điện tích mặt  trong kim loại trùng
với điện trƣờng gây bởi điện tích - q đặt đối xứng với q qua bản kim loại. Điện tích ảo - q gọi
là ảnh của điện tích q qua bản kim loại.
Vậy độ lớn của lực tƣơng tác giữa q và bản kim loại là:

7


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

kq 2
q2
F

 3,6.104 N

2
2
(2a) 16  a

Như vậy: ta có thể thay thế tấm phẳng nối đật đặt cách một điện tích q một khoảng a
bằng một điện tích q /  q đặt ở khoảng cách 2a so với điện tích q.
b. Xét trƣờng gây ra tại điểm M nằm trên mặt vật dẫn, cách q một khoảng r. Cƣờng độ
điện trƣờng do các điện tích q và - q gây ra tại M có phƣơng, chiều nhƣ hình vẽ và có độ lớn:
E1  E2 

q
40 r 2

Cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp do hệ hai điện
tích q và - q gây ra tại M có phƣơng, chiều nhƣ hình
vẽ có độ lớn:

q


Mật độ điện tích hƣởng ứng trên mặt vật dẫn:
  0 E 

- - -M- - -

- - - -

qa
E  2 E1cos 
20 r 3

r

H0
E2

E1

 -q
E

qa
.
2r 3

Bài toán vận dụng 1.1: Tính điện dung của một dây dẫn hình trụ bán kính R dài vơ
hạn, mang điện dƣơng, đặt song song với mặt đất và cách mặt đất một khoảng h ( h >> R).
Bài giải:
Điện phổ của điện trƣờng giữa dây dẫn và mặt đất đƣợc biểu
diễn nhƣ hình vẽ.
Áp dụng phƣơng pháp ảnh điện, ta có thể coi điện trƣờng này
là do dây dẫn và ảnh của nó qua mặt đất gây nên. Đó là điện
trƣờng tổng hợp của hai mặt trụ dẫn điện dài vơ hạn tích điện trái
dấu gây ra.

+q
h

-q

Có thể sử dụng định lý Ostrograski – Gaox để tính cƣờng độ điện trƣờng do một dây
8


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

dẫn hình trụ gây ra tại điểm cách trục của dây khoảng r là:
E0 


R

20r 0r

trong đó: ,  là mật độ điện dài và mật độ điện mặt, R là bán kính hình trụ.
Cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp tại một điểm cách dây mang điện dƣơng một khoảng x
là:
E

q
q

20lx 20l (2h  x)

trong đó: q là độ lớn điện tích trên đoạn dây l.
Hiệu điện thế giữa hai dây dẫn:
2 h R

V1  V2 



2hR

Edx 

R

 V1  V2 



R

 q

q


 dx
2

lx
2

l
(2
h

x

)
0
0



q
2h
ln
0l R

Vì hiệu điện thế giữa dây dẫn và ảnh của nó lớn gấp đôi hiệu điện thế giữa hai dây dẫn
và mặt đất. Nên hiệu điện thế giữa dây dẫn và mặt đất sẽ là:
U 

V1  V2
q
2h

ln
2
20l R

Coi hệ thống dây dẫn và mặt đất nhƣ một tụ điện đơn giản, ta sẽ tính đƣợc điện dung
của một đơn vị dài của dây dẫn:
C

q 20l
.


2h
U
ln
R

9


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

Bài toán vận dụng 1.2: Một quả cầu nhỏ khối lƣợng m, điện tích q ban đầu đƣợc giữ ở
vị trí thẳng đứng, cách một mặt phẳng kim loại rộng vơ hạn, có mật độ điện mặt  một
khoảng h. Thả quả cầu cho nó chuyển động, hãy nghiên cứu chuyển động của quả cầu.
Bài giải:
Vì bản rộng vơ hạn nên có thể xem điện trƣờng do bản gây ra là điện trƣờng đều, có
phƣơng vng góc với bản, có cƣờng độ:
E=


20

Lực điện do bản kim loại tác dụng lên điện tích q là tổng hợp của lực do điện trƣờng E
tác dụng lên q và do điện tích hƣởng ứng tác dụng lên.
+ Lực do điện trƣờng E tác dụng lên q là lực đẩy, hƣớng ra xa bản và có độ lớn:
F1  qE 

q
20

+ Lực do điện tích hƣởng ứng tác dụng lên q bằng lực tác dụng giữa điện tích q và điện

tích - q là ảnh của q qua mặt phẳng vô hạn. Lực này là lực hút, nó có hƣớng ra xa bản và có
độ lớn:
kq 2
F2 
4d 2

trong đó: d là khoảng cách từ q đến bản kim loại.
Cuối cùng lực điện tổng hợp tác dụng lên bản kim loại
.q kq 2
F  F1  F2 

20 4d 2

Tại vị trí cân bằng:
P=F

10


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

.q kq 2
 mg =

2 0 4d 02

 d0 

k 0 q 2
2  q  40 mg

+ Nếu h < d0 quả cầu chuyển động xuống và bị hút vào bản kim loại.
+ Nếu h = d0 quả cầu ở vị trí cân bằng.
+ Nếu h > d0 quả cầu chuyển động ra xa bản kim loại.
Bài toán vận dụng 1.3
9

a. Xác định lực tƣơng tác giữa điện tích điểm q  2.10 C
và tấm dẫn phẳng, biết q cách tấm phẳng đoạn h  5cm .

h

q

A

b. Xác định vectơ cƣờng độ điện trƣờng tại A biết l  h (hình vẽ).
Bài giải:
a. Theo phƣơng pháp ảnh điện, có thể xem tƣơng tác giữa q và
tấm phẳng tƣơng đƣơng với tƣơng tác q và - q đặt đối diện qua tấm
phẳng. Vậy, theo định luật Culông dễ dàng ta có:
F k



q2
 3, 6.10 6 N
2
(2h)

q

h

q

A

E2

b. Điện trƣờng tại A là tổng hợp điện trƣờng do q và - q tại A
E1

Ta có:
tan  
 cos 

2h 2h

2
l
h
1
tan   1
2



1
5

Vậy:
11


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

E  E12  E12  2E1 E2 cos  6.54.103V / m.

Bài toán vận dụng 1.4: Cho điện tích q  108 C, m  0, 01 g cách tấm dẫn phằng vô hạn
đoạn h  4 cm . Xác định:
a. Gia tốc của điện tích khi nó bắt đầu chuyển động.
b. Thế năng của hệ điện tích và tấm dẫn phẳng vơ hạn.

q

h

q
F

c. Thời gian để điện tích bay đến tấm phẳng.

()

Bài giải:
a. Gia tốc của điện tích đƣợc xác định:
a

F

q2
k
 14, 0625 ( m / s 2 )
2
m
m(2h)

b. Xét điện tích q đi từ vô cùng đến mặt phẳng dẫn và cách tấm phẳng đoạn h. Chọn
gốc thế năng ở vơ cùng, khi đó công của điện trƣờng đƣợc xác định:
h

h

h

q2
A   Fdx   Fdx   k
dx
(2 x) 2





kq 2 1
( )
4
x

h





kq 2
4h

Lực điện là lực thế nên công của lực điện bằng độ giảm thế năng:
A  Wto  Wt 

kq 2
4h

kq 2
 Wt  
4h

q

h

q

Nhƣ vậy, thế năng tƣơng tác giữa điện tích q và tấm phẳng
chỉ bằng ½ so với thế năng tƣơng tác giữa q và - q (học sinh
thƣờng cho rằng thế năng tƣơng tác này là 

kq 2
theo công thức
2h

A

M

O

12


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

của thế năng tƣơng tác giữa hai điện tích).
c. Nhận thấy rằng chuyển động của điện tích là chuyển động nhanh dần biến đổi không
đều (lực tác dụng thay đổi). Chọn chiều dƣơng nhƣ hình vẽ. Áp dung định luật bảo toàn cơ
năng tại A và M (vị trí có tọa độ x):


kq 2
kq 2 1 2

 mv
4h
4x 2
k
1 1
(  )
2m h x

 v  q

Ta có: v 

dx
dx
 dt 
, tích phân hai vế:
dt
v

to

0

0

h

 dt  

1
k
1 1
(  )
2m
h x

q

dx 

2m
kq 2

h


0

1
dx
1 1
(  )
h x

Đặt x  h cos2   dx  2hcos sin  d , khi đó:


x  0   
2


x  h    0

Vậy:
to

 dt 
0

2m
kq 2

0



2

2h cos  sin 
d 
1
tan 
h

8mh3
kq 2

0

  cos

2

 d

2



 t0 

8mh
kq 2

3

2

2
 cos  d 
0

m 2 h3
.
2kq 2

Nhận xét: Nếu có hai mặt phẳng dẫn, góc nhị diện giữa hai mặt phẳng dẫn điện nối đất
bằng . Bên trong góc có một điện tích điểm q. Khi đó trƣờng bên trong góc nhị diện trong
các trƣờng hợp  = 900;  = 600;  = 450 có thể đƣợc xem tạo bởi hệ điện tích nhƣ hình
vẽ:

13


+q 

-q 

+q 

Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

-q 

+q 

-q 

+q 

-q 
600

450

-q 

-q 

+q 

-q 

+q 

900
+q 

+q 

-q 

-q 

+q 

Bài tốn vận dụng 1.5: Một lị xo nhẹ, cách điện, một đầu
gắn chặt vào giá cố định, đầu còn lại treo quả cầu kim loại nhỏ
khối lƣợng m, tích điện q. Hệ đƣợc đặt trong khơng khí và khi
cân bằng quả cách một thành phẳng bằng kim loại đã nối đất một
khoảng a (hình vẽ).
a. Từ vị trí cân bằng ngƣời ta kéo quả cầu xuống dƣới, cách

K

m,q
a

VTCB một đoạn x0 ( x0  2a ) rồi thả nhẹ. Chứng minh quả cầu
dao động điều hòa. Lập biểu thức tính chu kì và viết phƣơng trình
dao động của quả cầu.
b. Nghiên cứu sự biến đổi mật độ điện tích hƣởng ứng trên mặt vật dẫn tại điển M cách
vị trí cân bằng của quả cầu khoảng 2a.
Bài giải:
a. Khi quả cầu cách mặt phẳng khoảng r, lực tƣơng tác giữa điện
tích q và bản kim loại là:
F

K

q2
16 0 r 2

Fdh
m,q
O

Chọn trục Ox thẳng đứng hƣớng xuống, gốc O tại vị trí cân bằng
của quả cầu.
+ Tại vị trí cân bằng:

F
P

2a

-q

P  F  Fdh  0
 mg 

q2
 k l  0
16 0 a 2

(1)

14

Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

trong đó: l là độ biến dạng của lị xo.
+ Tại vị trí có li độ x, phƣơng trình động lực học:

mg 

q2
4 0  2a  x 

 mg 

2

 k  l  x   mx "

q2
2

x 
16 0 a 1  
 2a 

2

 k  l  x   mx "

(2)

Ta chỉ xét dao động nhỏ (x << 2a). Khi đó:
x 

1  
 2a 

2

 1

x
a

thay vào (2) đƣợc:
mg 

q2
16 0 a 2

 x
1    k  l  x   mx "
 a



q2
q2
  mg 

k


l

x  kx  mx " (3)

2
3
16

a
16

a
0
0



Từ (1) và (3), ta có:
 k
q2
q2
x

kx

mx
"

x

"



3
16 0 a 3
 m 16 m0 a

Đặt  


 x  0


k
q2
, ta đƣợc phƣơng trình dao động:

m 16 m0a3

x " 2 x  0

Quả cầu dao động điều hịa với chu kì:

15


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

T

2
k
 2


m

1
1

q2
16 k 0 a3

T0


1

q2
16 k 0 a 3

trong đó T0 là chu kì dao động khi quả cầu khơng tích điện.
Nghiệm của phƣơng trình dao động điều hịa có dạng:
x  A cos  t    .

Từ điều kiện ban đầu, ta đƣợc:

 A  x0
 x  0   x0



 0

v  0   0
 x  x0 cos t .

b. Xét trƣờng gây ra tại điểm M nằm trên mặt vật dẫn cách quả cầu khoảng r. Cƣờng độ
điện trƣờng do các điện tích q và - q gây ra tại M có phƣơng, chiều nhƣ hình vẽ và có độ lớn:
E1  E2  k

q
r2

Theo kết quả câu a, mật độ điện tích hƣởng ứng trên
mặt vật dẫn:
  0 E 

1
2kqa
qa
 3 
4k
r
2r 3

+ Khi quả cầu ở vị trí cân bằng thì:
r  a  0 

và

HM 

q
16a 2

 2a 2  a2  a

q


r

- - -M- - -

- - - H0

E2

E1

 -q
E

3

+ Khi quả cầu có li độ x thì:
16

Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

r





2

a 3   a  x   4a 2  2ax  x 2  2a 1 
2

x
2a

Khi đó:
q 
x 

1 
2
16a  2a 

3/2

 3x 
 0  1 
.
 4a 

Từ kết quả trên ta thấy mật độ điện tích tại M cũng biến đổi tuần hoàn.
 3x 
+ x  x0  max  0 1  0 
4a 


khi này, quả cầu ở vị trí thấp nhất.

 3x 
+ x   x0  min  0 1  0  khi này, quả cầu ở vị trí cao nhất.
4a 


Bài tốn vận dụng 1.6: Một lƣỡng cực điện có mơ-men lƣỡng cực Pe nằm cách mặt
phẳng dẫn điện một khoảng h và vng góc với mặt phẳng đó. Hãy tính độ lớn của lực tác
dụng lên lƣỡng cực, biết rằng mặt phẳng đƣợc nối đất.
Bài giải:
Áp dụng phƣơng pháp ảnh điện: coi tƣơng tác giữa lƣỡng cực điện với mặt phẳng nhƣ
tƣơng tác giữa 2 lƣỡng cực điện với nhau và cách nhau một khoảng 2  .

O/

O
-q

l

- q/

+q

l

+ q/

r

Ta có, thế năng do lƣỡng cực điện Pe sinh ra tại O/ là
V

Pe

4  0 r 2

17


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

Điện trƣờng do lƣỡng cực điện Pe sinh ra tại O/
Er 

Pe
dV

dr 2  0 r 3

Lực tƣơng tác giữa hai mô-men lƣỡng cực
F  pe

3Pe2
E

r 32  0

4

.

18


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

2.2. TRƢỜNG GÂY BỞI CÁC ĐIỆN TÍCH PHÂN BỐ TRÊN MẶT GIỚI HẠN
LÀ MẶT CẦU
Bài toán mở đầu: Một điện tích điểm q cách tâm quả cầu kim loại bán kính R nối đất
một khoảng a. Hãy xác định:
a. Xác định lực tƣơng tác giữa điện tích q và quả cầu.
b. Cƣờng độ điện trƣờng do hệ gồm điện tích q và điện tích hƣởng ứng trên bề mặt quả
cầu gây ra trong không gian xung quanh và trên mặt cầu.
Bài giải:
a. Vì quả cầu nối đất nên điện thế trên mặt quả cầu bằng 0. Trên quả cầu chỉ có các
điện tích hƣởng ứng âm.
Ta có thể thay điện tích hƣởng ứng trên mặt quả cầu bằng điện tích - q' sao cho điện thế
do q và - q' gây ra trên mặt cầu phải bằng 0, tức là mặt đẳng thế có điện thế bằng 0 sẽ trùng
với mặt cầu nối đất.
B

Vì trƣờng có tính chất đối xứng qua trục Ox nên cần
phải đặt điện tích - q' ở trên trục này.
Đặt OC = b. Điện thế tại một điểm N bất kỳ trên mặt
cầu là:

0
b

kq
kq '
R
q'

0  1 
R2
R1
R2
q

- q’ C
R 1 E1

N

A

+ Khi N trùng B thì R1 = R + b ; R2 = R + a
R  b q'

Ra q

E2

R1 E

(1)

R2

a

+ Khi N trùng A thì R1 = R - b ; R2 = a – R
R  b q'

aR q

(2)

q M
x

19


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

Từ (1) và (2) suy ra:
b

R2

qR
; q' 
a
a

(3)

Vậy lực tƣơng tác giữa quả cầu và điện tích điểm có độ lớn là:
Rq 2
Raq 2
F

40 a(a  b) 2 40 (a 2  R 2 ) 2

(4)

b. Cƣờng độ điện trƣờng do điện tích q và điện tích hƣởng ứng trên bề mặt quả cầu gây
ra trong không gian xung quanh là:
E

q
q
R

R'
40 R 3
40 R '3

trong đó: R, R’ khoảng cách từ điện tích q và q’ đến điểm quan sát.
Cƣờng độ điện trƣờng do q và - q’ gây ra tại N trên mặt cầu có phƣơng, chiều nhƣ hình

vẽ. Độ lớn:
E1 

q'
q
; E2 
2
40 R1
40 R22

(5)

Cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp do các điện tích gây ra tại N trên mặt cầu có phƣơng
vng góc với mặt cầu, chiều hƣớng vào tâm, độ lớn:
E  E12  E22  2E1E2cos

(6)

trong đó   EE1N  CNM .
Từ phƣơng trình (3) và (5) ta có:
E1 q ' R22 R2
R


 E1  2 E2
2
E2 qR1
R1
R1

(7)

Trong tam giác CNM có:
20


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

 a  b 

R12  R22  2R1R2cos

Từ (6), (7), (8) và để ý

E

(8)

q' R
R1
ta đƣợc:


R2
q
a
(a 

R2
)

a

a b
kq
E2  2 
R
R1
R2
R2
a

kq (a 2  R 2 )
 E
.
RR23

Nhận xét:
+ Nếu quả cầu không nối đất và khơng mang điện thì điện tích trên nó phải đảm bảo
ln ln bằng 0 và mặt cầu phải có điện thế không đổi. Nhƣ vậy điều kiện biên của bài toán
sẽ là
 (mặt cầu) = hằng số
và

Q (mặt cầu) = 0.

(9)

+ Dựa vào kết quả bài toán trên, để thoả mãn điều kiện biên ta có thể thay thế quả cầu
bằng điện tích q' = 

qR
qR
đặt ở C và thêm điện tích q'' = - q' =
đặt ở tâm quả cầu. Nhƣ
a
a

vậy điện tích q'' đảm bảo cho điện thế trên mặt quả cầu  (mặt cầu) = hằng số và khác 0. Cịn
điện tích trong mặt cầu bằng nhau và trái dấu.
Bài toán vận dụng 2.1: Một hạt khối lƣợng m, tích điện q quay quanh quả cầu dẫn điện
bán kính r, tích điện Q. Qũy đạo của hạt là đƣờng trịn bán kính R và tâm trùng với tâm quả
cầu. Tính tốc độ góc quay của hạt.
Bài giải
Ta có thể coi trƣờng tạo bởi điện tích q, điện tích Q và các điện tích hƣởng ứng nhƣ là

21


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

trƣờng tạo bởi hệ của 3 điện tích: q, điện tích q '  

qr
qr 

đặt ở C và điện tích  Q   đặt ở
R
R


tâm hình cầu.

Theo kết quả bài tốn trên, điện tích q ' đặt tại C, cách tâm O một đoạn d  r 2 / R .
Lực tác dụng lên điện tích q có độ lớn:
F

q q'
40  R  d 

F 

2



q (Q  q ' )
40 R 2

2

q rR



40 R 2  r 2



2



O, Q 

q(QR  qr )
.
40 R3

qr
R

d
q’ C

Lực F đóng vai trị của lực hƣớng tâm nên:


q 2 rR



40 R 2  r 2





2



q(QR  qr )
 m2 R
3
40 R
R


q 
qr
40 m  R 2  r 2






2


(QR  qr ) 

.
40 R 4 


q M

Bài toán vận dụng 2.2: Một mặt phẳng dẫn điện nối đất có một chỗ lồi lên hình bán
cầu bán kính a. Tâm bán cầu nằm trên mặt phẳng. điện tích điểm q nằm trên trục đối xứng

của hệ và cách mặt phẳng một khoảng b (b > a). Xác định điện thế  và điện tích hƣởng ứng
ở chỗ lồi lên.
r1
+q

Bài giải:
a. Ta có thể coi trƣờng tạo bởi điện tích q và các
điện tích hƣởng ứng trên bề mặt kim loại nhƣ là trƣờng
tạo bởi hệ của 4 điện tích.
+ Điện tích q

M

r2
r3

b
a -q2

+q’2

r4

-q1

22


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

+ Điện tích - q1 là ảnh của điện tích q qua mặt phẳng dẫn điện, cách mặt phẳng dẫn
điện một khoảng b.
+ Điện tích - q2 là ảnh của điện tích q qua mặt cầu bán kính a, cách tâm mặt cầu một
a2
qa
khoảng b' =
, độ lớn điện tích q2 
.
b
b

+ Điện tích + q'2 là ảnh của điện tích - q2 qua mặt phẳng dẫn điện. Với q'2 = q2 =

qa
,
b

a2
cách mặt phẳng dẫn điện một khoảng b' =
.
b

Điện thế  của trƣờng:
( M )  k

q
q
q'
q
 k 2 k 2  .

r1
r2
r3 r4

Vậy:
1 1 a 1 1  
( M )  kq        .
 r1 r4 b  r2 r3  

b. Các véc tơ cƣờng độ điện trƣờng do các điện
tích q, - q2, q’2, - q1 gây ra tại điểm N (x,0,0) trên mặt
phẳng của vật dẫn có phƣơng, chiều nhƣ hình vẽ và
có độ lớn:
kq
kq
E1  E2  2 ; E3  E4  2
r1
r2

Z
+q


r1

b
a -q2
+q’2

E23

r2 E2


r3
r4

E3
X

N
E1

E4
E14

-q1

Cƣờng độ điện trƣờng tổng hợp có phƣơng vng góc với mặt vật dẫn, có chiều nhƣ
hình vẽ, có độ lớn:
E  2  E1cos  E2cos  ,

trong đó:
23


Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

b

cos 

x2  b2

b'

; cos 

x 2  b '2

Vậy:
E



2kqb



3/2

b2  x 2





2kq ' b '
b '2  x 2



3/2

qa
a2
trong đó q '  ; b '  .
b
b

+ Điện tích hƣởng ứng trên mặt vật dẫn:




a

a

Q   ds   0 Eds

Ta có ds = 2xdx ; 4k0 = 1 nên:


Q
a

b

qbx
2

x

2





3/2

dx  
a

b '

q 'b ' x

2

x

2



3/2

dx

Lấy tích phân trên, ta đƣợc:
Qq

b2  a 2
b a 2  b2

Điện tích hƣởng ứng ở những chỗ lồi lên:
Q '  (q  Q)  q (1 

b2  a 2
b a b
2

2

).

Bài toán vận dụng 2.3: Một quả cầu dẫn
điện bán kính r = 2cm đƣợc nối đất. Có 1 điện
tử ban đầu từ xa chuyển động với vận tốc v0
theo hƣớng thẳng cách tâm quả cầu một khoảng
bằng 2r. Hãy xác định giá trị vận tốc của điện tử

O
2r
v0

24

Vận dụng phương pháp ảnh điện để giải một số bài tập tĩnh điện

khi bay tới gần quả cầu nhất, nếu biết rằng tại vị trí gần nhất điện tử cách tâm quả cầu một
khoảng 3r/2.
Bài giải:
Theo phƣơng pháp ảnh điện thì ảnh của điện tích p là ở p’.
r2
r
Với OP '  x '  ; e '  e , ta có:
x
x
F( x ) 

P


1
e.e '
e 2
rx
.

2
4π ε 0  x  x '
4π ε 0 x 2  r 2





x

P’


x’

O

2

Thế năng ở P là:
AP   F( x ) dx 

e2 r



8π ε 0 x 2  r 2



C

Chọn gốc thế năng ở  ta có Wt  0 . Áp dụng tính chất cơng của lực thế:
Wt  WtP  A
 WtP  

e2r



8π ε 0 x 2  r 2



Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có:
mv02 mv 2
e2 r


.
2
2
8π ε 0  x 2  r 2 

Thay x 

3r
, ta đƣợc:
2

mv02 mv 2
e2


2
2 10π ε 0 r

(1)

Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lƣợng:

25