SKKN sáng kiến kinh nghiệm cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài:
Trong cuộc sống việc vận dụng các yếu tố có liên quan đến toán học là một
vấn đề không thể thiếu, không thể không đề cập tới. Vậy có thể khẳng định rằng: “
Toán học có một tầm quan trọng rất lớn và chiếm một vị trí hết sức đặc biệt trong
đời sống thực tế của con ngƣời ”.
Chính vì thế mà trong chƣơng trình giáo dục phổ thông, Toán học luôn luôn
đƣợc chú trọng và đƣợc dành một thời lƣợng rất lớn cho chƣơng trình dạy - học
môn toán ở trong các nhà trƣờng.
Với vai trò là những ngƣời giáo viên, ngƣời làm công tác giáo dục thì việc
thấm nhuần và thực hiện tốt phƣơng châm giáo dục của Đảng là hết sức cần thiết “
Đào tạo nhân lực, bồi dƣỡng nhân tài ”. Nên việc nêu lên những định hƣớng và giải
pháp phù hợp với yêu cầu giáo dục ở phổ thông nói chung và ở Tiểu học nói riêng,
nhằm giúp học sinh hình thành, rèn luyện những kĩ năng cần thiết và phát triển
năng lực tƣ duy toán học là một công việc thƣờng xuyên, cập nhật và luôn phải
đƣợc coi trọng không thể xem nhẹ đƣợc.
Hiện nay trong các cấp học phổ thông nói chung và cấp Tiểu học nói riêng,
việc dạy - học môn toán đã có nhiều tiến bộ, đã có nhiều đổi mới theo hƣớng tích
cực hơn. Hoạt động giảng dạy của giáo viên hay hoạt động học tập của học sinh
đều đƣợc chú trọng và đạt hiệu quả khá tốt. Việc áp dụng phƣơng pháp dạy học
mới nhằm phát huy tối ƣu tính tích cực, sáng tạo của học sinh, dạy - học lấy học
sinh làm nhân vật trung tâm đã đƣợc nhiều đồng chí giáo viên khai thác, áp dụng
hết sức thành công.
Song bên cạnh đó cũng còn không ít tồn tại, thiếu sót, việc dạy - học thụ
động, đối phó vẫn còn xảy ra. Việc chú trọng tìm ra cách dạy – cách học hợp lý
nhằm để phát triển đúng năng lực tƣ duy học toán cho học sinh và điều đặc biệt hơn
việc xác định rõ vai trò thiết yếu, tầm quan trọng đặc biệt của mỗi dạng toán lại
chƣa đƣợc giáo viên chú trọng, ngay ở chƣơng trình chính khóa cũng nhƣ việc phát
hiện và bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi.
Mặt khác, ngoài yếu tố giáo viên và học sinh thì chúng ta cũng không thể
không đề cập tới vấn đề về sách giáo khoa và các tƣ liệu tham khảo. Vẫn biết rằng,

theo sự phát triển chung trong nền giáo dục của đất nƣớc thì hệ thống cấu trúc
chƣơng trình cũng đƣợc điều chỉnh một cách khá hợp lí. Nhiều tƣ liệu tham khảo
dành cho môn toán cũng đƣợc chỉnh sửa, tái bản, đầu tƣ có chiều sâu và hết sức có
hiệu quả. Nhiều tài liệu đã đáp ứng đƣợc các yêu cầu thiết yếu cho quá trình nghiên
cứu và học tập của các độc giả, đặc biệt là cho giáo viên, học sinh và các bậc phụ
1


huynh. Tuy vậy, ngoài tính ƣu việt của sách giáo khoa và sách tham khảo thì vẫn
còn không ít những vấn đề về toán học mà tƣ liệu tham khảo chƣa đáp ứng đƣợc,
thậm chí còn thiếu hụt trong quá trình dạy - học.
Trong quá trình dạy học, bản thân nhận thấy cách tìm số chữ số 0 tận cùng
trong một tích các số tự nhiên từ trƣớc tới nay vẫn còn chƣa khoa học, kết quả bài
toán sau khi tìm đƣợc đôi khi còn bị nhầm lẫn, sai kết quả. Chính từ những cơ sở lí
luận và thực tiễn ở trên mà bản thân tôi đã chọn việc nghiên cứu về tìm ra "Cách
tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên".
2. Mục đích nghiên cứu:
Qua quá trình bồi dƣỡng học sinh khá giỏi nhiều năm trong nhà trƣờng tiểu
học, bản thân thấy việc học sinh tìm ra chữ số tận cùng và số lƣợng chữ số giống
nhau tận cùng trong một tích các số tự nhiên còn gặp nhiều khó khăn. Vì vậy mục
đích nghiên cứu về vấn đề này là bản thân muốn tìm ra cách thức và phƣơng pháp
giúp học sinh khá giỏi nắm vững cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các
số tự nhiên.
3. Bản chất của sự vật nghiên cứu:
Đƣa ra cách thức tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên một
cách chính xác nhất đó là: tìm được các cặp thừa số 2 x 5 để khẳng định số chữ số
0 tận cùng trong tích đó.
4. Đối tượng, nội dung nghiên cứu:
Nghiên cứu "Cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên"
5. Phương pháp nghiên cứu:

- Phƣơng pháp vấn đáp
- Phƣơng pháp thực hành
- Phƣơng pháp quan sát
- Phƣơng pháp điều tra, thống kê.
6. Khách thể nghiên cứu:
Học sinh khá, giỏi khối 4+5 trƣờng tiểu học Cẩm Long 1, xã Cẩm Long,
huyện Cẩm Thủy, tỉnh Thanh Hóa.
7. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:
Do thời gian và năng lực có hạn nên bản thân chỉ nghiên cứu về cách tìm số
chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên trong thời gian từ tháng 8 năm
2012 đến hết tháng 3 năm 2013.
Kế hoạch cụ thể:
2


- Từ 15/08/2012 đến 05/09/2012 tìm nội dung nghiên cứu.
- Từ 06/09/2012 đến 30/09/2012 điều tra thực trạng giáo viên và học sinh.
- Từ 01/10/2012 đến 15/11/2012 nghiên cứu tìm ra phƣơng pháp, hƣớng dẫn
học sinh thực hành theo phƣơng pháp mới. Đánh giá và so sánh kết quả trƣớc và
sau khi thực hiện phƣơng pháp mới.
- Từ 16/11/2012 đến 15/03/2013 hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trong toán học, dạng toán tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự
nhiện là một dạng toán điển hình, khó không chỉ riêng với học sinh tiểu học mà còn
với một bộ phận không nhỏ giáo viên. Cách tìm ra chính xác kết quả của bài toán ở
dạng này đôi khi vẫn còn bị nhầm lẫn, sai kết quả. Do đó, việc cần thiết cho chúng
ta là phải tìm ra cách giải quyết cho dạng toán này có kết quả chính xác nhất, duy
nhất.

II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Qua quá trình dạy học và đƣợc phân công nhiệm vụ tham gia bồi dƣỡng học
sinh khá giỏi để nâng cao chất lƣợng mũi nhọn cho học sinh, bản thân tôi nhận
thấy:
1. Về học sinh:
Với đặc điểm tâm sinh lý của học sinh Tiểu học thì tính tƣ duy trừu tƣợng
chƣa cao, mới chỉ ở trong giai đoạn hình thành và phát triển. Do vậy việc tiếp nhận
tri thức của các em trong quá trình học tập chủ yếu vẫn đang thiên về tính cụ thể.
Do đó, khi thực hành giải các dạng toán nói chung và dạng bài toán có liên quan
đến tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên nói riêng. Các em vẫn
chƣa tƣ duy để tìm ra cách giải mà vẫn còn dựa vào sự hƣớng dẫn của giáo viên.
2. Về giáo viên:
Hiện nay đội ngũ giáo viên các nhà trƣờng nói chung cũng nhƣ trƣờng Tiểu
học Cẩm Long 1 nói riêng đều đạt chuẩn và trên chuẩn; trẻ, khỏe, năng nổ, nhiệt
tình và năng lực tƣ duy khá tốt. Song do tuổi đời còn trẻ, tuổi nghề còn non vì thế
mà kinh nghiệm dạy học còn ít, vốn tích lũy kiến thức và hệ thống chƣơng trình
môn học của từng khối lớp chƣa sâu, dẫn đến việc cố gắng dạy - học cho học sinh
trên lớp đúng, đủ, chính xác và đạt chuẩn đã là hết sức khó khăn, chứ nói gì đến
công tác phát hiện và bồi dƣỡng học sinh năng khiếu đạt hiệu quả cao.
Bên cạnh đó có nhiều giáo viên chƣa nắm vững cách tìm số chữ số 0 tận
cùng trong một tích các số tự nhiên với lý do: Nhầm lẫn khi chỉ xét số các thừa số 5
hoặc số các thừa số 2 trong 1 tích để đƣa ra kết quả số chữ số 0 tận cùng trong tích
3


mà không xét đến số cặp thừa số (2 x 5) trong tích đó. Vì vậy kết quả của bài toán
không chính xác. Để tìm đƣợc số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên
thật chính xác chúng ta cần phải phân tích và tìm đƣợc tất cả các cặp thừa số 2 x 5
trong tích đó.

Cụ thể nhƣ các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho tích : 1 x 8 x 7 x 5 x 10 x 15 x 25 x 27 x 29 x 31 x 33 x 37.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Nếu không chú ý đến số thừa số 2 mà chỉ dựa vào số thừa số là 5 thì bài toán
này sẽ tính đƣợc 5 chữ số tận cùng của tích giống nhau và đều là chữ số 0 (trƣờng
hợp này sai với kết quả thực của tích ). Vì số thừa số 5 nhiều hơn số thừa số 2 sau
khi phân tích.
Kết quả đúng phải là:
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
1 x 8 x 7 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 99 x 41 x 43 x 47
= 8 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 7 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
= 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x ( 1 x 7 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47).
Nhƣ vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn và số thừa số là 5 ( có 4 thừa số là
2 và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng giống nhau và đều bằng 0.
Bài này số lượng các thừa số là 5( bằng 5 ) nhiều hơn số thừa số là 2 (bằng
4 ) nên có 4 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
Ví dụ 2 : Cho tích C = 1 x 8 x 7 x 5 x 10 x 15 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Trƣờng hợp này nếu chỉ căn cứ vào số thừa số 2 mà không căn cứ vào sô
thừa số 5 thì kết quả bài toán cũng không chính xác. Vì số thừa số 2 sau khi phân
tích là 4.
Vậy kết quả đúng phải là
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
C = 1 x 8 x 7 x 5 x 10 x 15 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
C = 8 x 5 x 10 x 15 x (1 x 3 x 27 x 29 x 31 x 33 x37)
C = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x5 x ( 1 x 7 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47).
Nhƣ vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5 ( có 4
thừa số là số chẵn ( là 2 ) và 3 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 3 chữ số tận cùng

giống nhau và đều là chữ số 0.

4


Bài này số lượng các thừa số là 5( bằng 3 ) ít hơn số thừa số là 2 (bằng 4 )
nên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
3. Về tài liệu tham khảo:
Tài liệu tham khảo là một tƣ liệu cơ bản không thể thiếu trong quá trình dạy
học của ngƣời giáo viên, đặc biệt là các đồng chí giáo viên tham gia làm công tác
nâng cao chất lƣợng mũi nhọn trong các nhà trƣờng. Về cơ bản, các tƣ liệu có tính
ƣu việt hết sức cao. Song bên cạnh đó, trong nhiều tài liệu còn có một số hạn chế
nhất định và chƣa đáp ứng hết đƣợc lòng đam mê khám phá toán học của nhiều
giáo viên và học sinh. Nhiều dạng toán ở tài liệu tham khảo đƣa ra hƣớng giải
quyết chƣa có tính thuyết phục cao, vì kiến thức mỗi ngƣời có hạn, lĩnh vực toán
học thì rất rộng lớn.
Dạng toán : Tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên cũng
không phải là trƣờng hợp ngoại lệ, trong cách trình bày còn có rất nhiều hạn chế,
cách viết còn phiến diện, chung chung, không cụ thể. Các bài tập đƣa ra phƣơng
pháp giải chƣa gãy gọn, mới xét đến trƣờng hợp số thừa số là 5 ít hơn số thừa số
là 2 có trong tích để tìm số chữ số tận cùng bằng 0, chứ chƣa chú trọng hết tất cả
các trƣờng hợp có thể xảy ra trong dạng toán này liên quan đến kết quả của tích.
(Chẳng hạn : Nhiều bài tập cụ thể ở dạng toán này thì không chỉ căn cứ vào số
thừa số 5 trong tích để xét số chữ số 0 tận cùng là được như tài liệu đề cập, mà
phải xét đến số thừa số là 2 tham gia trong tích khi trường hợp số thừa số chẵn
là 2 ít hơn số thừa số là 5 ).
Để kiểm chứng tính thuyết phục và triết lí đƣa ra của sáng kiến, trƣớc khi
triển khai thực nghiệm, bản thân tôi đã tổ chức khảo sát chất lƣợng học sinh khá
giỏi ở khối 4 + 5 của nhà trƣờng
* KẾT QUẢ KIỂM TRA HỌC SINH ĐẦU NĂM :

TT

1
2

KHỐI LỚP

Khối 4
Khối 5

KẾT QUẢ

SỐ
LƢỢNG
HS KHÁ
GIỎI

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

15
20

0
0

0
0

2
3

13,3
15,0

8
11

53,4
55,0

5
6

33,3
30,0

G

K

TB

Y

Từ những thực trạng và nguyên nhân cơ bản đó đã làm cho nhiều giáo viên
lúng túng trong cách dạy, nhiều học sinh lúng túng trong cách giải. Với trách
nhiệm là ngƣời trực tiếp làm công tác bồi dƣỡng học sinh năng khiếu, tôi phải suy
nghĩ, tìm tòi, chắt lọc và lựa chọn phƣơng pháp dạy học phù hợp, với mục đích

5


khắc phục những hạn chế trong quá trình dạy – học của giáo viên và học sinh;
nhằm hoàn thiện về dạng toán này một cách cụ thể và chi tiết hơn.
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

Qua quá trình nghiên cứu, tìm tòi và trao đổi với một số đồng nghiệp để tìm
ra cách giải tốt dạng bài toán mà sáng kiến kinh nghiệm đã đƣa ra, bản thân tôi đã
lựa chọn và đƣa ra hƣớng giải quyết các tồn tại của dạng bài toán trên bằng những
biện pháp cụ thể nhƣ sau :
1. Cung cấp cho học sinh một số kiến thức có liên quan đến dạng toán.
- Tích một số chẵn với một số có tận cùng là 5 thì kết quả của tích có tận
cùng là chữ số 0.
- Tích các thừa số trong đó có ít nhất một thừa số có tận cùng bằng 0 thì tích
đó có tận cùng là chữ số 0.

- Một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 thì số đó chia hết cho 5.
- Một số tự nhiên có tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 2 và 5.
- Một số chẵn có thể phân tích thành tích của một hay nhiều thừa số 2 với
thừa số khác.
- Trong một tích có chứa thừa số 2 và có chứa thừa số 5, thì cứ một cặp thừa
số ( 2 x 5 ) cho ta một chữ số 0 tận cùng.
2. Xác định rõ từng dạng bài cụ thể trong dạng toán tìm số chữ số 0 tận
cùng trong một tích các số tự nhiên.
Đối với dạng toán này chúng ta cần xác định đƣợc từng dạng bài nhƣ sau:
a. Dạng bài thứ nhất: Tích chứa các thừa số đều là số lẻ trong đó có chứa
thừa số là 5 hoặc không có chứa thừa số 5.
Ví dụ : Tích: 1 x 3 x 5 x 7 x 11 x 15 x 19 x 21 x 99.
hoặc 3 x 7 x 9 x 11 x 13 x 17 x 33 x 39 x 41 x 49
b. Dạng bài thứ hai: Tích có chứa các thừa số chẵn và các thừa số lẻ nhƣng
không chứa thừa số là 5 hoặc khi phân tích các thừa số khác trong tích cũng không
có thừa số là 5.
Ví dụ: 2 x 4 x 7 x 12 x 13 x 17 x 22 x 23 x 24 x 26 x 27 x 29
c. Dạng bài thứ ba: Tích có các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ, trong đó
có chứa thừa số 5 ( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 ) .
Ví dụ: Tích: 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
hoặc ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )
hoặc 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
hoặc 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009.

6


3. Xây dựng kỹ năng giải toán trong từng dạng bài cụ thể.
a. Dạng bài thứ nhất: Tích chứa các thừa số đều là số lẻ trong đó có chứa
thừa số là 5 hoặc không có chứa thừa số 5.

Đối với dạng bài này không có chữ số 0 tận cùng. Vì vậy cần hƣớng dẫn học
sinh quan sát kỹ, nhận xét đúng về dạng bài toán đã cho để xác định cho đúng kết
quả.
Ví dụ 1: Cho tích các thừa số:
3 x 5 x 13 x 15 x 17 x 29.
Hỏi tích trên có chữ số tận cùng là chữ số 0 hay không?
Giải
Tích trên không có chữ số 0 tận cùng vì tích đó chỉ toàn số lẻ.
Ví dụ 2: Tích của dãy số lẻ tự nhiên liên tiếp từ 11 đến 2001 có mấy chữ số 0
tận cùng ?
Giải
Tích của dãy số trên không có chữ số 0 tận cùng vì tích của các số lẻ sẽ
không cho ta số chẵn tận cùng bằng 0.
b. Dạng bài thứ hai: Tích có chứa các thừa số chẵn và các thừa số lẻ nhƣng
không chứa thừa số là 5 hoặc khi phân tích các thừa số khác trong tích cũng không
có thừa số là 5.
Dạng này cũng không có chữ số 0 tận cùng. Vì vậy cần hƣớng dẫn học sinh
nhƣ dạng thứ nhất.
Ví dụ: Tích sau có tận cùng là chữ số 0 đƣợc không?
2 x 4 x 9 x 13 x 14 x 17 x 33
Giải
Tích trên không có chữ số 0 tận cùng vì tích đó không có chứa thừa số là 5
kể cả khi phân tích các thừa số trong tích.
c. Dạng bài thứ ba: Tích có các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ, trong đó
có chứa thừa số 5 ( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 ).
Đối với dạng bài này chúng ta cần xét ba trƣờng hợp:
* Trường hợp 1: Số các thừa số 2 và các thừa số 5 trong một tích sau khi
phân tích mà bằng nhau thì số chữ số 0 tận cùng bằng chính số lƣợng của các thừa
số 2 hoặc thừa số 5 trong tích đó.
Ví dụ 1: Cho tích:

A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào?
Chúng ta phân tích nhƣ sau:
7


- Trong tích A có bao nhiêu thừa số chẵn? ( 2 thừa số là 16 và 10 ).
- Trong tích A có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 3 thừa số là 5; 15;
25 ).
- Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ
nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành
tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác.
- Đếm các thừa số là 2 hoặc các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận cùng giống
nhau và là chữ số nào.
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
A = 16 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
A = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x (1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47).
Nhƣ vậy căn cứ vào số thừa số là số là 2 hoặc số thừa số là 5 (có 5 thừa số là
số 2 và 5 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 5 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ
số 0.
Ví dụ 2: Cho tích
B = ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ).
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Chúng ta phân tích nhƣ sau:
- Trong tích B có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 4 thừa số là 4; 6; 8 và 12 ).
- Trong tích B có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 7 thừa số là 5; 15;
25; 35; 45; 55; 65 ).
- Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵn khác 0 nhỏ

nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành
tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác.
- Đếm các thừa số là 2 hoặc các thừa số là 5 để tìm số chữ số tận cùng giống
nhau và là chữ số nào.
Giải :
Ta thấy tích B có thể viết :
B = ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )
B=(2x2x2x3x2x2x2x2x3x2)x(5x3x5x5x5x7x5x9x5x
11 x 5 x 13 x 5 ).
Nhƣ vậy căn cứ vào số thừa số là 2 hoặc số thừa số là 5 ( có 8 thừa số là 2 và
8 thừa số là 5 ). Vậy tích trên có 8 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
* Trường hợp 2: Nếu số thừa số là 2 ít hơn số thừa số 5 tham gia trong tích
(sau khi phân tích) thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng số chữ số 2 trong
tích.
Ví dụ: Cho tích: C = 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
8


Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
C = 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
C = 4 x 5 x 10 x 15 x 25 x ( 1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
C = 2 x 2 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47).
Nhƣ vậy căn cứ vào số thừa số là 2 ( có 3 thừa số là 2 ). Vậy tích trên có 3
chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.
Bài này phải căn cứ vào số lượng các thừa số là số chẵn chứ không căn cứ
theo các thừa số là 5 được, vì thừa số chẵn ít hơn thừa số 5.
* Trường hợp 3: Nếu số thừa số 5 tham gia trong tích ít hơn số thừa số 2
(sau khi phân tích) thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng số thừa số 5 tham

gia trong tích
Ví dụ: Cho tích P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009.
Hỏi P có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng bên phải ?
Giải
Ta thấy tích P có thể viết :
P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009
P = 2000 x 2002 x2004 x 2005 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x 2009
P = 16 x 5 x 5 x 5 x 2002 x 2004 x 401 x 5 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007
x 2009.
Ta thấy tích này có số thừa số 2 nhiều hơn số thừa số 5 (sau khi phân tích)
nên số chữ số 0 tận cùng của tích phụ thuộc vào số thừa số 5 tham gia trong tích.
(Tích có 4 thừa số là 5) vậy tích trên có 4 chữ số 0 tận cùng.
** Nhận xét: Qua quá trình phân tích 3 trƣờng hợp của dạng bài "Tích có
chứa các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ, trong đó có chứa thừa số 5 ( hoặc khi
khai triển có chứa thừa số là 5 )" ta nhận thấy rằng nếu chỉ căn cứ vào số thừa số 2
hoặc số thừa số 5 tham gia trong tích (sau khi phân tích) thì rất dễ bị nhầm lẫn và
dẫn đến kết quả sai lệch nhƣ đã phân tích ở phần thực trạng. Chính vì thế bản thân
tôi đã nghiên cứu và đƣa ra cách tìm Số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự
nhiên một cách chính xác, tránh sự nhầm lẫn đó là phải xét đến số lƣợng các cặp
thừa số 2 x 5 tham gia trong tích ( sau khi phân tích).
Cụ thể cách giải cho dạng toán này nhƣ sau:
Bƣớc 1: Viết các thừa chẵn và các thừa số có tận cùng bằng 5 về một phía,
các thừa số lẻ còn lại về một phía.
Bƣớc 2:
9


+ Phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành các thừa số 5 và các thừa
số lẻ khác.
+ Phân tích các thừa số chẵn thành các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất (bằng

2) và các thừa số khác.
Bƣớc 3:
+ Ghép các thừa số 2 và các thừa số 5 có trong tích ( sau khi phân tích) để
tìm số cặp thừa số 2 x 5 rồi kết luận tích có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng.
+ Trong tích có bao nhiêu cặp thừa số 2 x 5 thì có bấy nhiêu chữ số 0 tận
cùng.
Ví dụ 1 : Cho tích
B = ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 ).
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Giải :
Ta thấy tích B có thể viết :
Bƣớc 1: B = ( 4 x 6 x8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )
Bƣớc 2: B = ( 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x2 x2 x3 x2 ) x ( 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x 7 x 5 x
9 x 5 x 11 x 5 x 13 x 5 ).
Bƣớc 3: B = ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x
( 2 x 5 ) x ( 2 x 5 ) x 3 x 3 x 3 x 7 x 9 x 11 x 13
Trong tích này có chứa 8 cặp thừa số 2 x 5 mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì
cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích trên có 8 chữ số tận cùng bên phải
giống nhau và là chữ số 0.
Ví dụ 2 : Cho tích : 1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.
Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ số nào ?
Giải :
Ta thấy tích trên có thể viết :
1 x 8 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47
Bƣớc 1: = 8 x 5 x 10 x 15 x 25 x (1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47 )
Bƣớc 2: = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x5 x 3 x 5 x 5 x 5 x ( 1 x 3 x 37 x 39 x 41 x 43 x
47).
Bƣớc 3: = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x 3 x 5 x ( 1 x 3 x 37 x 39 x 41 x
43 x 47).
Trong tích này có chứa 4 cặp thừa số 2 x 5 mà cứ một cặp thừa số 2 x 5 thì

cho ta kết quả tận cùng là một chữ số 0. Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng bên phải
giống nhau và là chữ số 0.
Ví dụ 3 : Cho tích P = 2000 x 2001 x 2002 x… x 2008 x 2009.
Hỏi P có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng bên phải ?

10


Giải
Ta thấy tích P có thể viết :
P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009
Bƣớc 1: P = 2000 x 2002 x 2004 x 2005 x 2006 x 2008 x 2001 x 2003 x 2007 x
2009
Bƣớc 2: P = 2 x 2 x 2 x 2 x 5 x 5 x 5 x 2002 x2004 x 401 x 5 x 2006 x 2008 x
2001 x 2003 x 2007 x 2009. (còn phân tích đƣợc nhiều thừa số 2
nữa nhƣng không thể phân tích thành thừa số 5 đƣợc nữa)
Bƣớc 3: P = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) x 2002 x2004 x 401 x 2006 x
2008 x 2001 x 2003 x 2007 x 2009.
Ta thấy tích này có số thừa số chẵn nhiều hơn số thừa số là 5 và các thừa số
chẵn đó có thể phân tích đƣợc rất nhiều thừa số là 2, nên số cặp thừa số 2 x 5 của
tích phụ thuộc vào số thừa số là 5 tham gia trong tích. Trong tích này có chứa 4
thừa số là 5 nên chỉ thành lập đƣợc 4 cặp thừa số 2 x 5. Vậy tích trên có 4 chữ số
tận cùng bên phải là chữ số 0.
Kết luận: Đối với dạng toán tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các
số tự nhiên. Điểm mấu chốt cuối cùng là tìm được các cặp thừa số 2 x 5 để
khẳng định số chữ số 0 tận cùng trong tích đó. Đây là nội dung chính của đề tài.
IV. KIỂM NGHIỆM:

Với những biện pháp cụ thể đƣợc thể nghiệm trong quá trình nghiên cứu
sáng kiến kinh nghiệm, cũng nhƣ việc thực nghiệm công tác giảng dạy theo hƣớng

nghiên cứu tôi nhận thấy các biện pháp đƣa ra có tính hiệu quả cao và tƣơng đối rõ
rệt, cụ thể
* Kết quả kiểm tra học sinh đến trung tuần tháng 12 năm 2012 sau khi đã
thực nghiệm cách giải trên :

TT

1
2

KHỐI LỚP

Khối 4
Khối 5

KẾT QUẢ

SỐ
LƢỢNG
HS KHÁ
GIỎI

SL

TL

SL

TL

SL

TL

SL

TL

15
20

2
3

13,3
15,0

4
7

26,6
35,0

8
8

53,5
40,0

1

2

6,6
10,0

G

K

TB

Y

*** Nhận xét về kết quả đạt đƣợc :
* Về học sinh:
- Hiệu quả học tập đƣợc nâng lên rõ rệt, phản ánh rõ nét qua thực nghiệm
cách giải trên. Tỉ lệ học sinh khá, giỏi các lớp dạy thực nghiệm chuyển biến một
cách khá rõ ràng, chất lƣợng cao hơn hẳn so với đầu năm và so với lớp đối chứng.
11


- Giúp các em có một hệ thống về phƣơng pháp làm bài cũng nhƣ vốn hiểu
biết hết sức phong phú về dạng toán "Tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các
số tự nhiên".
* Về giáo viên:
- Khi nắm bắt các biện pháp đƣa ra của sáng kiến kinh nghiệm, nhiều đồng
chí đã rất tâm đắc và truyền thụ tốt hơn, cụ thể hơn cho học sinh trong dạng toán
này.
- Mỗi một thành viên đều rút ra cho mình một cách nhìn rõ nét hơn, chính
xác hơn về cách dạy của bản thân, điều này hết sức thuận lợi trong việc tổ chức

hoạt động dạy - học cho học sinh khá, giỏi rèn luyện để thi tuyến trên.
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Nhƣ vậy với quá trình nghiên cứu và viết sáng kiến kinh nghiệm tôi đã rút ra
một số kinh nghiệm hết sức quý báu trong quá trình tham gia công tác dạy - học
của bản thân là:
- Để giúp học sinh học tốt dạng toán Tìm số chữ số 0 tận cùng trong một
tích các số tự nhiên bản thân giáo viên cần nắm vững bản chất của dạng toán này
là "Tìm chính xác các cặp thừa số 2 x 5 trong tích đó" thì mới đƣa ra đƣợc kết quả
bài toán đúng nhất. Bởi lẽ có những bài số thừa số 2 ít hơn số thừa số 5 và ngƣợc
lại. Do đó mà ta cần phải dựa vào số cặp thừa số 2 x 5 trong tích. Vì mỗi một cặp
thừa số 2 x 5 đều cho ta 1 chữ số 0 tận cùng. Vậy tích đó có bao nhiêu cặp thừa số
2 x 5 thì có bấy nhiêu chữ số 0 tận cùng.
Mặt khác, cùng một dạng bài nhƣng ngƣời giáo viên phải biết biến tấu,
chuyển dạng dƣới nhiều hình thức hỏi khác nhau, nhằm phát huy tốt các năng lực
tƣ duy của học sinh và gây đƣợc hứng thú cho các em trong học tập. Quan điểm
dạy học sinh một bài cụ thể chặt chẽ, chính xác để học sinh làm đƣợc những bài
tƣơng tự còn lại.
Chính vì vậy, khi giáo viên hƣớng dẫn học sinh giải dạng toán tìm số chữ số
0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên chúng ta cần thực hiện theo các bƣớc:
Bƣớc 1: Viết các thừa chẵn và các thừa số có tận cùng bằng 5 về một phía,
các thừa số lẻ còn lại về một phía.
Bƣớc 2:
+ Phân tích các thừa số có tận cùng bằng 5 thành các thừa số 5 và các thừa
số lẻ khác.
+ Phân tích các thừa số chẵn thành các thừa số chẵn khác 0 nhỏ nhất (bằng
2) và các thừa số khác.
Bƣớc 3:

12

+ Ghép các thừa số 2 và các thừa số 5 có trong tích ( sau khi phân tích) để
tìm số cặp thừa số 2 x 5 rồi kết luận tích có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng.
+ Trong tích có bao nhiêu cặp thừa số 2 x 5 thì có bấy nhiêu chữ số 0 tận
cùng.
Trên đây là toàn bộ nội dung của sáng kiến kinh nghiệm mà bản thân tôi đã
nghiên cứu và thử nghiệm ở học sinh khối lớp 4 + 5 trƣờng Tiểu học Cẩm Long 1
đạt kết quả cao. Tuy thế cũng không tránh khỏi nhiều thiếu sót, chƣa thỏa mãn
đƣợc hết những mong muốn của mọi ngƣời, vì vậy tôi rất mong muốn hội đồng
khoa học nhà trƣờng và cấp trên cùng các độc giả góp ý, bổ sung để sáng kiến kinh
nghiệm này có hiệu quả thiết thực hơn, đóng góp đƣợc nhiều tác dụng hơn trong
công tác bồi dƣỡng học sinh giỏi cấp tiểu học.
Xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ

Hiệu Trƣởng

Nguyễn Văn Hoàng

Cẩm Thủy, ngày 15 tháng 03 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép nội dung
của ngƣời khác.
Tác giả

Nguyễn Xuân Thủy

13

TÀI LIỆU THAM KHẢO
* ÔN TẬP MÔN TOÁN TIỂU HỌC - NXB GIÁO DỤC – Huỳnh Bảo Châu ( chủ
biên) Lƣu chuyển tháng 03/1999.
* CÁC BÀI TOÁN LÍ THÚ Ở TIỂU HỌC - NXB GIÁO DỤC – Trương Công
Thành ( chủ biên) Lƣu chuyển tháng 09/2001.
*DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC – NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI –
Nguyễn Phụ Hy ( chủ biên) Lƣu chuyển tháng 11/2001.
* 30 ĐỀ ÔN LUYỆN TOÁN CUỐI BẬC TIỂU HỌC - NXB GIÁO DỤC – Vũ
Dương Thụy & Nguyễn Danh Ninh( chủ biên) Lƣu chuyển tháng 04/2002.
*CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ở TOÁN Ở TIỂU HỌC( TẬP I &II ) – NXB
GIÁO DỤC – Vũ Dương Thụy & Đỗ Trung Hiệu ( chủ biên) Lƣu chuyển quý I / 2001
& quý I/ 2002.
* TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI BẬC TIỂU HỌC MÔN TOÁN - NXB GIÁO
DỤC – Đỗ Trung Hiệu & Lê Tiến Thành ( chủ biên) Lƣu chuyển tháng 04/2003.
* GIẢI BẰNG NHIỀU CÁCH CÁC BÀI TOÁN 4 – NXB TỔNG HỢP THÀNH PHỐ
HỒ CHÍ MINH – Trần Thị Kim phương ( chủ biên) Lƣu chuyển tháng 04/2005.
* RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TIỂU HỌC
( TOÀN TẬP ) - NXB GIÁO DỤC – Đỗ Như Thiên ( chủ biên) Lƣu chuyển tháng

10/2006.
* TOÁN NÂNG CAO LỚP 5 - NXB GIÁO DỤC – Vũ Dương Thụy & Nguyễn
Danh Ninh ( chủ biên) Lƣu chuyển quý III/2006.
* 45 ĐỀ TOÁN CHỌN LỌC LỚP 5 – NHÀ XUẤT BẢN TRẺ - Đặng Tự Lập & Vũ
Thị Thu Loan ( Chủ biên ) nộp lƣu chuyển tháng 01/ 1997.
* TOÁN BỒI DƢỠNG HỌC SINH LỚP 5 – NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC – Nguyễn

Áng - Dương Quốc Ấn- Nguyễn Huy Quán - Hoàng Thị Phước Thảo & Phan Thị
Nghĩa ( Chủ biên ) nộp lƣu chuyển tháng 05/ 2003.
* 10 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 4 - 5 – NHÀ XUẤT BẢN
GIÁO DỤC– Trần Diên Hiển ( Chủ biên ) nộp lƣu chuyển tháng 04/2002.

* 500 BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH & NÂNG CAO 4 – NHÀ XUẤT BẢN THANH NIÊN–
Đỗ Như Thiên & Phan Thế Ngọc ( Chủ biên ) nộp lƣu chuyển quý III/ 2003.
* TUYỂN CHỌN 400 BÀI TẬP TOÁN 4 – NHÀ XUẤT BẢN ĐÀ NẴNG– Tô Hoài
Phong - Huỳnh Minh Chiến & Trần Huỳnh Thông ( Chủ biên ) nộp lƣu chuyển quý

02/ 2005.
* TOÁN NÂNG CAO LỚP 4 - NXB GIÁO DỤC – Vũ Dương Thụy & Nguyễn
Danh Ninh ( chủ biên) Lƣu chuyển tháng 07/ 2005.
* TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 4 & 5 – NXB ĐẠI HỌC
SƢ PHẠM – Trần Ngọc Lan ( chủ biên) Lƣu chuyển tháng 05/ 2005.

14


MỤC LỤC
TT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

15
16
17
18
19
20
21

NỘI DUNG
Phần I: Một số vấn đề chung
1. Lý do chọn đề tài
a. Tính lý luận
b. Tính thực tiễn
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tƣợng, nội dung nghiên cứu
4. Khách thể nghiên cứu
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
6. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu
Phần II: Nội dung
I. Thực trạng và nguyên nhân tồn tại
1. Về học sinh
2. Về giáo viên
3. Về tài liệu tham khảo
II. Biện pháp khắc phục
1. Cung cấp cho học sinh một số kiến thức có liên quan đến
dạng toán
2. Xác định rõ từng dạng bài cụ thể trong dạng toán tìm số
chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên.
3. Xây dựng kỹ năng giải toán trong từng dạng bài cụ thể
III. Kết quả đạt đƣợc

Phần III: Kết luận
Tài liệu tham khảo

TRANG
1
1
1
1
2
2
2
2
2
4
4
4
4
5
6
6
7
7
12
14
15

15


ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH CẤP TRƢỜNG

............................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
16

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
.........................
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH PHÒNG GD&ĐT
............................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
17


......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
.........................
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI SKKN CỦA HĐKH SỞ GD&ĐT
............................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
18


......................................................................................................................................
......................................................................................................................................

......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
......................................................................................................................................
.........................

19