BÀI TẬP NHÂN LIÊN HỢP CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT-CÁCH GIẢI THÔNG QUA LIÊN HỢP PHÙ HỢP CHO NGƯỜI MỚI BẤT ĐẦU

Liên hợp cơ bản
Tài liệu sử dụng một số đề bài từ nhiều nguồn khác nhau:
I/CƠ SỠ LÝ THUYẾT BAN ĐẦU VỀ LIÊN HỢP:

A B
A B
A3  B 3
A B  2
A  AB  B 2
A B 

II/BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1) x  1  9  x  2
(trich câu 1 đề chuyên toán tỉnh Hà Tây năm 2006-2007)

2) 2  x  2  x  4  x 2  2
3) x  1  3x  2 x  1





(trích câu 1 đề đại học quốc gia Hà Nội năm 2005-2006)

(trích câu 1a) đề tỉnh Thái bình năm 2005-2006)

4)3 2  x  2  2x  x  6

5) x 2  2x x 

(trích đề Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự)

1
 3x  1
(trích đề Học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp năm 2011)
x

9x
 6 x  0 (trích đề Học sinh giỏi Bến Tre năm 2014)
x 8
7) 3x  1  2 3 19 x  8  2 x 2  x  5 (trích tài liệu thầy Đoàn Trí Dũng)

6) x  8 

x2  2 x  8
  x  1
8) 2
x  2x  3



x2 2

 (trích câu 9 đề thi đại học năm 2015)

x2  x  3
2x 1 
(trích tài liệu của thầy Nguyễn Đức Tuấn)
x3
2

9)
10)

 2x

2

 2 x  1  2 x  1  8 x 2  8 x  1  x 2  x  0 (trích đề thi thử-nguồn internet)

LIÊN HỢP CƠ BẢN

Page 1


Liên hợp cơ bản
Tài liệu sử dụng một số đề bài từ nhiều nguồn khác nhau:
I/CƠ SỠ LÝ THUYẾT BAN ĐẦU VỀ LIÊN HỢP:

A B
A B
A3  B 3
A B  2
A  AB  B 2
A B 

II/BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1) x  1  9  x  2
(trich câu 1 đề chuyên toán tỉnh Hà Tây năm 2006-2007)

2) 2  x  2  x  4  x 2  2
3) x  1  3x  2 x  1





(trích câu 1 đề đại học quốc gia Hà Nội năm 2005-2006)

(trích câu 1a) đề tỉnh Thái bình năm 2005-2006)

4)3 2  x  2  2x  x  6

5) x 2  2x x 

(trích đề Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự)

1
 3x  1
(trích đề Học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp năm 2011)
x

9x
 6 x  0 (trích đề Học sinh giỏi Bến Tre năm 2014)
x 8
7) 3x  1  2 3 19 x  8  2 x 2  x  5 (trích tài liệu thầy Đoàn Trí Dũng)

6) x  8 

x2  2 x  8
  x  1
8) 2
x  2x  3



x2 2

 (trích câu 9 đề thi đại học năm 2015)

x2  x  3
2x 1 
(trích tài liệu của thầy Nguyễn Đức Tuấn)
x3
2

9)
10)

 2x

2

 2 x  1  2 x  1  8 x 2  8 x  1  x 2  x  0 (trích đề thi thử-nguồn internet)

LIÊN HỢP CƠ BẢN

Page 2

*GIẢI BÀI TẬP ÁP DỤNG :

1) x  1  9  x  2
(trich câu 1 đề chuyên toán tỉnh Hà Tây năm 2006-2007)
lời giải :

x 1  9  x  2
dk : 1  x  9
 x  1  3  1  9  x  0
1
1


  x  8  

0
 x 1  3 1 9  x 
1
1

0
Dễ thấy
x 1  3 1 9  x

 x  8

Pt
Vây nghiêm của phương trình là x=8

2) 2  x  2  x  4  x 2  2
(trích câu 1 đề đại học quốc gia Hà Nội năm 2005-2006)
lời giải cách 1 :

2  x  2  x  4  x2  2
dk : 2  x  2
 2  x  2  2  x  4  x 2  0

1
1
2 x
  x  2  


2 x
4  x2
 2 x 2
  x  2  





0


 2  x 2  x    2  x 2  x   2 4  x 
2

2

2

2  x

2

4  x   2 2  x
2


2 x
2
3 
2

x
2

x

3

2

x
2

x



 


0
2 2 x


LIÊN HỢP CƠ BẢN

Page 3

2  x   0



2 x
 3  2  x 2  x  0
dễ thấy với dk : 2  x  2 thì
2 2 x
x  2

phương trình
 x  2

lời giải cách 2 :

2  x  2  x  4  x2  2
dk : 2  x  2
 2 2  x  x  2  2 2  x  x  2  2 4  x 2  0


1
1
2 
  4  x 2  


0
2
2
2

x

2

x
2
2

x

x

2
4 x 

1
1
2



0
Với đk : 2  x  2 thì
2
2 2 x 2 x 2 2 x  x2
4 x
Phương trình  x  2
Vậy phương trình có nghiệm là x=2 ;x=-2

3) x  1  3x  2 x  1
(trích câu 1a) đề tỉnh Thái bình năm 2005-2006)
lời giải :

x  1  3x  2 x  1
dk : x  0
1


 1  2x  
 1  0
 x  1  3x 
Dễ thấy

1
1  0
x  1  3x

Phương trình

 x 

1
2

1
x

Vậy phương trình có nghiệm là
2

LIÊN HỢP CƠ BẢN

Page 4






4)3 2  x  2  2x  x  6
(trích đề Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự)
lời giải

6  2x  3 x  2  x  6  0
dk : x  2
1
1



   x 2  11x  19  

0
3
x

2

x

1
5

x

x

6







   x 2  11x  19  6  2x  x  6  3 x  2  0

1
9



   x 2  11x  19   x  3 

 2  0
 x  6 3 33 x  2

Dễ thấy với đk:

-

x2

1
9
1
14

 2  3 2 
0
3
3
x  6 3 33 x  2

x  2
x  3

    x 2  11x  19  0  
 x  11  3 5

 x 3  0


2

Vậy phương trình có nghiệm là

5) x 2  2x x 

x  3, x 

11  3 5
2

1
 3x  1
(trích đề Học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp năm 2011)
x
lời giải

LIÊN HỢP CƠ BẢN

Page 5


1
 3x  1
x
dk : x   1;0   1;  
x 2  2x x 



1  2
 2x  x   1  x  x  1  0
x 





2x
2
  x  x  1 
 1  0


1
x


1


x


Với đk :

thì

x   1;0   1;  

2x
1  0
1
x  1
x

Phương trình

 x2  x  1  0

 x   1;0   1;  

 
1 5
x



2
x

Vậy phương trình có nghiệm là

LIÊN HỢP CƠ BẢN

1 5
2

Page 6

6) x  8 

9x
6 x  0
(trích đề Học sinh giỏi Bến Tre năm 2014)
x 8
lời giải cách 1

x 8 

9x
6 x  0
x 8

dk : x  0
9x
2
x 8

x 8 

x  8.

Ta có :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

9x
6 x
x 8

(AM-GM)

9x
x 8

x 8 
 x  1

Vậy phương trình có nghiệm là x=1
lời giải cách 2

x 8 

dk : x  0

9x
6 x  0
x 8

 10x  8  6 x 2  8x  0





 18  6 x 2  8x  10x  10  0
   x  9

  x  1 
 10   0

2
18  6 x  8x

  x  9

18  6 x  8x
2

Xét

LIÊN HỢP CƠ BẢN

 10  0(2)

Page 7


(2)  3599x 2  342x  441  0
dk : x  171
 x  171

   x  0,306(loai )
  x  0, 401(loai )

Phương trình

 x 1  0
 x  1

Vậy phương trình có nghiệm là x=1

7) 3x  1  2 3 19 x  8  2 x 2  x  5 (trích tài liệu thầy Đoàn Trí Dũng)
lời giải

3x  1  2 3 19 x  8  2 x  x  5
1
dk : x 
3
2

 2 x 2  x  5  3x  1  2 3 19 x  8  0
 ( x  1  3 x  1)  (2 x  4  2 3 19 x  8)  2 x 2  2 x  0


1
x7
 ( x 2  x) 

0
2
2
3
3
x

1

3
x


1

(2 x  4)  (2 x  4)(2 19 x  8)  4 (19 x  8) 
Với đk :

x

1
3 thì

1
x  1  3x  1



Phương trình  ( x

LIÊN HỢP CƠ BẢN

x7
(2 x  4)2  (2 x  4)(2 3 19 x  8)  4 3 (19 x  8) 2
2

0

 x)  0

Page 8

1

x


3

 
x0

  x  1
Vậy phương trình có nghiệm là x=0,x=1
Bình luận :như đã nói việc chọn liên hợp khá quan trọng,và liên hợp với gì là tối ưu với từng bài toán
.Như những lý do đã trình bày trong phần bình luận của bài 2 trong các bài tập áp dụng.Thì còn 1 lý do
khác để áp dụng cách tìm liên hợp này trong nhiều giải phương trình vô tỷ có 2 nghiệm hữu tỷ đó là.

x2  2 x  8
  x  1
8) 2
x  2x  3



x2 2



(trích câu 9 đề thi đại học năm 2015)

lời giải

x  2x  8
  x  1
2
x  2x  3
dk : x  2
2



x2 2



x 1 
 x4
  x  2   2

0

x2 2
 x  2x  3
  x  2   x  4  x  2  x 3  x 2  x  5  0
TH1:x=2
TH2:

 x  4

x  2  x3  x 2  x  5  0

LIÊN HỢP CƠ BẢN

Page 9


Xét

 x  4

x  2  x3  x 2  x  5  0 (*)

(*)   x  4  x  2  x 3  x 2  x  5  0
  x  4 





x  2  1  x  x3  2 x 2  4 x  1  0

   x 2  3x  1  ( x  4)  ( x  1)   0
   x 2  3x  1  2 x  5  0
 x  2

 x  2

  
3  13
x



2

  x  2,5(loai )
Vậy nghiệm của phương trình là x=2;

3  13
2

x2  x  3
2x 1 
(trích tài liệu của thầy Nguyễn Đức Tuấn)
x3
2

9)

lời giải

LIÊN HỢP CƠ BẢN

Page 10


x2  x  3
2x 1 
x3
dk : x  3
2

 ( x  3) 2 x 2  1  x 2  x  3
 ( x  3)( 2 x 2  1  1)  x 2  0

 2
2 x2
 ( x  3) 
 x  0
2
 2x 1 1 





 x 2 2 x  5  2 x 2  1  0
2

x  5


   x  0
  x  5  13

  x  5  13(loai )
vậy pt có nghiệm là x=0 ; x= 5  13

10)

 2x

 2x

2

 2 x  1  2 x  1  8 x 2  8 x  1  x 2  x  0 (trích đề thi thử-nguồn internet)
lời giải

2

 2 x  1  2 x  1   8 x 2  8 x  1  x 2  x  0 1

dk : 0  x  1
 4 x3  6 x 2  4 x  1   8 x 2  8 x  1  x 2  x  0
  8 x 2  8 x  1

LIÊN HỢP CƠ BẢN





 x 2  x  1  2 x  20 x3  30 x 2  14 x  2  0

Page 11


 5 x 2  5 x  1 
  8 x  8 x  1 
  5 x 2  5 x  1  4 x  2   0


2
 x  x  2x 1 
 8x2  8x  1

2
  5 x  5 x  1 
 4x  2   0
2
 x  x  2x 1

2

8x2  8x  1
Xét

 x  x  2x 1
2

 4x  2  0

8 x 2  8 x 1
 x2  x  2x  1
Với đk : 0  x  1 thì :
Dễ thấy



1
2x 1

8x2  8x  1

1
8 x 2  2

 4x  2 
 4x  2 
0
2
2
x

1
2
x

1
x  x  2x 1
(1)  5 x 2  5 x 1  0
0  x  1
5 5

x

Vậy  
2
10
5 x  5 x  1  0
5 5
x

Vậy phương trình có nghiệm
10
Bình Luận :khi lựa chọn mối liên hợp ta phải thực linh hoạt để tìm được liên hợp tốt ưu nhất.Đòi hỏi cao
về khả năng,kỹ năng cá nhân của mỗi người và kinh nghiệm và sự rèn luyện trong quá trình học
tập,nguyên cứu.

LIÊN HỢP CƠ BẢN

Page 12