Tổng hợp kho bài tập hình học 10 có lời giải

a
b

A
D
C
B
o
HÌNH HỌC
Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM T ẮT LÝ THUY ẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là
AB
uuur
( đọc là vectơ AB).
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là
, , , , a b x y
r r r ur

(Chú ý:
AB BA≠
uuur uuur
)
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơ−không, kí hiệu
0
r
Ví dụ:

,MM AA
uuuur uuur
,
+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ
AB
uuur
≠
0
r
, đường thẳng AB gọi là giá của vectơ
AB
uuur
. Còn vectơ
−không
AA
uuur
thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó.
+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ.
+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.
Chú ý:
+ Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài
a
r
kí hiệu
là |
a
r
|,
| |AB AB BA= =
uuur

• Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Nếu
a
r
bằng
b
r
thì ta viết
a
r
=
b
r
.
AA BB=
uuur uuur
=
0
r
, |
0
r
|= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm
a) Tất các vectơ khác
0
r
;
b) Các vectơ cùng phương;
c) Các vectơ bằng nhau.

Các kí hiệu thường gặp
AB
uuur
cùng phương
CD
uuur
kí hiệu:
AB
uuur
//
CD
uuur
AB
uuur
cùng hướng
CD
uuur
kí hiệu:
AB
uuur
↑↑
CD
uuur
AB
uuur
ngược hướng
CD
uuur
kí hiệu:
AB

uuur
↑↓
CD
uuur
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ
0
r
là
,AB BA
uuur uuur
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do
đó có 20 vectơ khác
0
r
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ
a
r
khác
0
r
. Tìm điểm M sao cho:
AM
uuuur
cùng phương
a

r
Giải
-1-
A
B

A
D
C
B
o
E
F
D
B
A
C
K
I
N
M
D
A
C
B
Gọi ∆ là giá của
a
r
Nếu
AM

uuuur
cùng phương
a
r
thì đường thẳng AM// ∆
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và // ∆
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì
AM
uuuur
cùng phương
a
r
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa:
| | | |
, cuøng höôùng
a b
a b
a b

=
⇒ =


r r
r r
r uur
+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì
,AB DC BC AD= =

uuur uuur uuur uuur
,…
(hoặc viết ngược lại)
+ Nếu
,a b b c a c= = ⇒ =
r r r r r r
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Chứng minh:
EF CD=
uuur uuur
Giải
Cách 1: EF là đường trung bình của ∆ ABC nên EF//CD,
EF=
1
2
BC=CD⇒ EF=CD⇒
EF CD=
uuur uuur
(1)
EF
uuur
cùng hướng
CD
uuur
(2)
Từ (1),(2) ⇒
EF CD=
uuur uuur
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=

1
2
BC=CD và EF//CD⇒ EFDC là hình bình hành⇒
EF CD=
uuur uuur
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao
điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
Chứng minh:
,AM NC DK NI= =
uuuur uuur uuur uur
Giải
Ta có MC//AN và MC=AN⇒MACN là hình bình hành
⇒
AM NC=
uuuur uuur
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
của MD⇒
DK
uuur
=
KM
uuuur
. Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra
NI
uur
=
KM
uuuur
⇒

DK NI=
uuur uur
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung
điểm cuối (hoặc điểm đầu).
Giải
Giả sử
AB AC=
uuur uuur
. Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A⇒
B≡C.
(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)
Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ
a
r
. Dựng điểm M sao cho:
a)
AM
uuuur
=
a
r
;
b)
AM
uuuur
cùng phương
a
r
và có độ dài bằng |
a

r
|.
Giải
Giả sử ∆ là giá của
a
r
. Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// ∆
(nếu A thuộc ∆ thì d trùng ∆). Khi đó có hai điểm M
1
và M
2
thuộc d sao cho:
AM
1
=AM
2
=|
a
r
|
Khi đó ta có:
a)
1
AM
uuuur
=
a
r
b)
1

AM
uuuur
=
2
AM
uuuuur
cùng phương với
a
r
-2-
a
r
∆

m

a
r
∆

d
A
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng
của B qua O. Chứng minh:
'AH B C=
uuur uuuur
.
Giải
BÀI TẬP §1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm

cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương
→
a
và
→
b
. Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ đó.
Bài 3: Cho ba vectơ
→→→
cba ,,
cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ
trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm trên
hình vẽ các véctơ bằng
PQ
uuur
,
QR
uuur
,
RP

uuur
.
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với
AB
uuur
;
b) Tìm các vectơ cùng hướng với
AB
uuur
;
c) Tìm các vectơ ngược hướng với
AB
uuur
;
d) Tìm các vectơ bằng với
MO
uuuur
, bằng với
OB
uuur
.
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác
0
r
và cùng phương
OA
uuur
;

b) Tìm các vectơ bằng vectơ
AB
uuur
;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ
AB
uuur
và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ
AB
uuur
;
OB
uuur
b) Có độ dài bằng 
OB
uuur

Bài 9: Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
AB DC=
uuur uuur
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu
AB DC=
uuur uuur
thì
AD BC=

uuur uuur
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh :
MQNPQPMN == ;
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng hướng, |
AB
uuur
|>|
AC
uuur
|;
-3-
R
Q
P
B
A
C
N
M
O
D
A

B
C
O
D
A
B
C
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ngược hướng;
c)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng

BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,,
. Chứng minh
0AQ =
uuur r
.
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.

Bài 2: có, đó là vectơ-không
Bài 3: nếu
→
a
ngược hướng
→
b
và
→
a
ngược hướng
→
a
thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 5:

Bài 6:
Bài 7: a)
, , , , , , , ,DA AD BC CB AO OD DO FE EF
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b)
, ,OC ED FO
uuur uuur uuur
c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó
'BB AB=
uuur uuur
*
FO

uuur
là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB
⇒
'CC AB=
uuuur uuur

+ tương tự
Bài 8: a)
AB DC=
uuur uuur
,
OB DO=
uuur uuur
b)
| | | | | | | |OB BO DO OD= = =
uuur uuur uuur uuur
Bài 9:
Chứng minh chiều
⇒
: * ABCD là hình bình hành



=
⇒
CDAB
CDAB //
*

DCAB
CDAB
CDAB
=⇒



=
//
Chứng minh chiều
⇐
: *
AB
=
DC

⇔

AB
,
DC
cùng hướng và
DCAB =
*
AB
và
DC
cùng hướng
⇒
AB // CD (1)

*
CDAB =

⇒
AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 10:
AB DC=
uuur uuur
⇒
AB=DC, AB//CD
⇒
ABCD là hình bình hành
⇒

AD BC=
uuur uuur
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng
1
2
AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
⇒ đpcm
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C
trong các trường hợp sau:
a)
AB
uuur
và
AC
uuur

cùng hướng, |
AB
uuur
|>|
AC
uuur
|;
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ngược hướng;
c)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng phương;
HD: a)
AB
uuur
và
AC
uuur
cùng hướng, |
AB
uuur

|>|
AC
uuur
| khi C nằm
giữa A và B
b)
AB
uuur
và
AC
uuur
ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
-4-

A
C
B
→
a

→
b

→
c

c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
+ cùng hướng: nếu |
AB
uuur

|>|
AC
uuur
| thì theo a); nếu |
AB
uuur
|<
AC
uuur
| thì B nằm giữa A và C.
+ Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng

BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,,
. Chứng minh
0AQ =
uuur r
.
HD: Ta có
;AM BA NP DC AB= = =
uuuur uuur uuur uuur uuur
⇒
AM=NP và AM//NP
⇒
AMNP là hình bình hành (1)
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)
Từ (1)&(2)
⇒
A
≡

Q
⇒

0AQ =
uuur r
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho ∆ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác
0

2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác
0

b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR :
→
MQ
=
→
NP
3. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với
→
MN
b/ Xác định các vectơ bằng
→
NP
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ
→
EH

và
→
FG
bằng
→
AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ
→
CI
=
→
DA
. CMR :
a/ I là trung điểm AB và
→
DI
=
→
CB
b/
→
AI
=
→
IB
=
→
DC
4. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng

→
MK
=
→
CP
và
→
KL
=
→
BN
a/ CMR :
→
KP
=
→
PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR :
→
AL
=
0

§2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Tóm tắt lý thuyết
1. Tổng các vectơ
•
Định nghĩa: Cho 2 véc tơ
→

a
và
→
b
. Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng
→
AB
=
→
a
,
→
BC
=
→
b
.
Khi đó
→
a
+
→
b
=
→
AC
Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ .
•
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có :
AB

uuur
+
BC
uuur
=
AC
uuur
•
Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì
AB
uuur
+
AD
uuur
=
AC
uuur
-5-
A
B C
D
G
I
C
B
A
D
2. Vectơ đối
+ Cho vectơ
→

a
. Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng
→
a
được gọi là vectơ đối của vectơ
→
a
,
kí hiệu là -
→
a

⇒

→
a
+(-
→
a
)=
0
r
+ Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ
AB
uuur
có vectơ đối là
BA
uuur
nghĩa là

AB
uuur
= -
BA
uuur
+ vectơ đối của
0
r
là
0
r
.
3. Hiệu các vectơ (phép trừ)
Định nghĩa:
→
a
-
b
→
=
→
a
+(-
b
→
)
•
Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:

OB OA AB− =

uuur uuur uuur
(hoặc
OA OB BA− =
uuur uuur uuur
)hay
AB OB OA= −
uuur uuur uuur
4. Tính chất : với
, ,a b c
r r r
bất kì ta có:
+ Giao hoán :
a b+
r r
=
b a+
r r
+ Kết hợp (
a b+
r r
) +
c
r
=
(a b+
r r
+
c
r
)

+
a
r
+
0
r
=
0
r
+
a
r
=
a
r
+
a
r
+(−
a
r
)=−
a
r
+
a
r
=
0
r

+ |
a
r
+
b
r
| ≤ |
a
r
|+|
b
r
|, dấu “=” xảy ra khi
a
r
,
b
r
cùng hướng.
+
a
r
↑↓
b
r
và |
b
r
| ≥ |
a

r
| ⇒ |
a
r
+
b
r
|=|
b
r
|−|
a
r
|
+
a
r
=
b
r
⇔
a
r
+
c
r
=
b
r
+

c
r
+
a
r
+
c
r
=
b
r
⇔
a
r
=
b
r
−
c
r
,
c
r
=
b
r
−
a
r
+

a
r
−(
b
r
+
c
r
)=
a
r
−
b
r
−
c
r
;
a
r
−(
b
r
−
c
r
)=
a
r
−

b
r
+
c
r
Ghi chú:
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB
⇔
0IA IB+ =
uur uur r
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC
⇔

0GA GB GC+ + =
uuur uuur uuur r
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tìm tổng
; ;NC MC AM CD AD NC+ + +
uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
b) Chứng minh :
AM AN AB AD+ = +
uuuur uuur uuur uuur
Giải:
a) + Vì
MC AN=
uuuur uuur
nên ta có
NC MC+
uuur uuuur

=
NC AN+
uuur uuur
=
AN NC+
uuur uuur
=
AC
uuur
+Vì
CD BA=
uuur uuur
nên ta có
AM CD+
uuuur uuur
=
AM BA+
uuuur uuur
=
BA AM+
uuur uuuur
=
BM
uuuur
+Vì
NC AM=
uuur uuuur
nên ta có
AD NC+
uuur uuur

=
AD AM+
uuur uuuur
=
AE
uuur
, E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có
AM AN AC+ =
uuuur uuur uuur
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
Vậy
AM AN AB AD+ = +
uuuur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.
Chứng minh:
0OA OB OC OD OE OF+ + + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r
Giải
Vì O là tâm của lục giác đều nên:
0; 0; 0OA OD OB OE OC OF+ = + = + =
uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur r
⇒
đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
-6-
a) Chứng minh rằng vectơ
;OA OB OC OE+ +

uuur uuur uuur uuur
đều cùng phương
OD
uuur
b) Chứng minh
AB
uuur
và
EC
uuur
cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa OD
⇒
d là trục đối xứng của
ngũ giác đều. Ta có
OA OB OM+ =
uuur uuur uuuur
, trong đó M là đỉnh
hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự
OC OE ON+ =
uuur uuur uuur
, N
∈
d. Vậy
OA OB+
uuur uuur
và
OC OE+
uuur uuur

cùng phương
OD
uuur
vì cùng giá d.
b) AB và EC cùng vuông góc d
⇒
AB//EC
⇒

AB
uuur
//
EC
uuur
Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm
; ; ;AM AN MN NC MN PN BP CP− − − −
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
.
b) Phân tích
AM
uuuur
theo hai vectơ
;MN MP
uuuur uuur
.
Giải
a)
AM AN−
uuuur uuur

=
NM
uuuur
MN NC−
uuuur uuur
=
MN MP−
uuuur uuur
=
PN
uuur
(Vì
NC MP=
uuur uuur
)
MN PN−
uuuur uuur
=
MN NP+
uuuur uuur
=
MP
uuur
BP CP−
uuur uuur
=
BP PC+
uuur uuur
=
BC

uuur
b)
AM NP MP MN= = −
uuuur uuur uuur uuuur
Bài 5: Cho hình thoi ABCD có
·
BAD
=60
0
và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính
| |;| |;| |AB AD BA BC OB DC+ − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
Vì ABCD là hình thoi cạnh a và
·
BAD
=60
0
nên AC=
3a
và BD=a. Khi đó ta có :
| | 3AB AD AC AB AD AC a+ = => + = =
uuur uuur uuur uuur uuur
| | 3BA BC CA AB AD CA a− = ⇒ + = =
uuur uuur uuur uuur uuur
3
| |
2
a

OB DC DO DC CO OB DC CO− = − = ⇒ − = =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính
| |; | |;| |OA CB AB DC CD DA− + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
Ta có AC=BD=
2a
;
OA CB CO CB BO− = − =
uuur uuur uuur uuur uuur
Do đó
2
| |
2
a
OA CB BO− = =
uuur uuur
| | | | | | 2AB DC AB DC a+ = + =
uuur uuur uuur uuur
(vì
AB DC↑↑
uuur uuur
)
Ta có
CD DA CD CB BD− = − =
uuur uuur uuur uuur uuur
⇒
|

CD DA−
uuur uuur
|=BD=
2a
* Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.
Chứng minh rằng:
=+
→−→−
CDAB
→−→−−
+ CBAD
(theo 3 cách)
Giải
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB+ = + + + = + + + = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Cách 2: (sử dụng hiệu)
-7-
B
A C
D
AB AD CB CD DB DB− = − ⇔ =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.

Chứng minh:
AB BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
VT =
AB BE CF AE ED BF FE CD DF+ + = + + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
AE BF CD ED DF FE+ + + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
AE BF CD+ +
uuur uuur uuur
(vì
0ED DF FE+ + =
uuur uuur uuur r
)=VP⇒ đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
Chứng minh rằng:
AC DE DC CE CB AB+ − − + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
Ta có
;DC CD CE EC− = − =
uuur uuur uuur uuur
nên
VT =
AC DE DC CE CB+ − − +
uuur uuur uuur uuur uuur
=

AC DE CD EC CB+ + + +
uuur uuur uuur uuur uuur
=
AC CD DE EC CB AB+ + + + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=VP⇒ đpcm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh
rằng với điểm O bất kì ta có:
OA OB OC OM ON OP+ + = + +
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
Giải
VT =
OA OB OC+ +
uuur uuur uuur
=
OM MA ON NB OP PC+ + + + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
OM ON OP MA NB PC+ + + + +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Mà
NB NM NP= +
uuur uuuur uuur
⇒
MA NB PC+ +
uuur uuur uuur
=
0MA NM NP PC NA NC+ + + = + =
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur r
⇒

VT=
OM ON OP+ +
uuuur uuur uuur
=VP⇒ đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
→
AC
+
→
BD
=
→
AD
+
→
BC
5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR :
→
AB
+
→
CD
+
→
EA
=
→
CB

+
→
ED
6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.
CMR :
AE BF CD AF BD CE+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
CMR :
→
AC
+
→
BF
+
→
GD
+
→
HE
=
→
AD
+
→
BE
+
→
GC
+

→
HF
8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/
→
DO
+
→
AO
=
→
AB
b/
→
OD
+
→
OC
=
→
BC
c/
→
OA
+
→
OB
+
→
OC

+
→
OD
=
0

d/
→
MA
+
→
MC
=
→
MB
+
→
MD
(với M là 1 điểm tùy ý)
9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR :
→
OD
+
→
OC
=
→
AD
+

→
BC
10. Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý
→
'AA
,
→
'BB
,
→
'CC
CMR :
→
'AA
+
→
'BB
+
→
'CC
=
→
'BA
+
→
'CB
+
→
'AC
.

11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính 
→→
+ADAB
 theo a
12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính 
→→
+ADAB
 b/ Dựng
u

=
→→
+ACAB
. Tính 
u


13. Cho ∆ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
-8-
a/ Dựng
v

=
→→
+ACAB
. b/ Tính 
v

.

14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ
, , ,OA OB OC OD
uuur uuur uuur uuur
có độ dài bằng nhau
và
OA OB OC OD+ + +
uuur uuur uuur uuur
= 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
2. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
→
AB
−
→
CD
=
→
AC
+
→
DB
15. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/
→
CD
+
→
FA
−
→
BA

−
→
ED
+
→
BC
−
→
FE
=
0

b/
→
AD
−
→
FC
−
→
EB
=
→
CD
−
→
EA
−
→
FB

c/
→
AB
−
→
DC
−
→
FE
=
→
CF
−
→
DA
+
→
EB
16. Cho ∆ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/
→
MA
−
→
MB
+
→
MC
=
0


b/
→
MB
−
→
MC
+
→
BC
=
0

c/
→
MB
−
→
MC
+
→
MA
=
0

d/
→
MA
−
→

MB
−
→
MC
=
0

e/
→
MC
+
→
MA
−
→
MB
+
→
BC
=
0

17. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính 
→
AD
−
→
AB
 b/ Dựng

u

=
→
CA
−
→
AB
. Tính 
u


18. Cho ∆ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính 
→→
−ACAB
 b/ Tính 
→
BA
−
→
BI

19. Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính
→→
−ACAB

BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:
a)

v AB DC BD CA
→
= + + +
uuur uuur uuur uuur
b)
DABCCDABm +++=

c)
DBABCDBCn +++=
. d)
p AB BC CD DE= + + +
ur uuur uuur uuur uuur
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt
AO
uuur
=
a
r
;
BO
uuur
=
b
r
Tính
AB
uuur
;
BC
uuur

;
CD
uuur
;
DA
uuur
theo
a
r
và
b
r
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính 
BC
uuur
+
AB
uuur
 ; 
AB
uuur
-
AC
uuur
 theo a.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
a) 
AO
uuur
-

AD
uuur
= 
MO
uuuur

b) 
AC
uuur
-
AD
uuur
= 
NB
uuur

Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EA
uuur
=
CB
uuur
+

ED
uuur
b)
AD
uuur
+
BE
uuur
+
CF
uuur
=
AE
uuur
+
BF
uuur
+
CD
uuur
c)
AB
uuur
+
CD
uuur
+
EF
uur
+

GA
uuur
=
CB
uuur
+
ED
uuur
+
GF
uuur

d)
AB
uuur
-
AF
uuur
+
CD
uuur
-
CB
uuur
+
EF
uur
-
ED
uuur

=
0
r

Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử
ONOBOAOMOBOA =−=+ ,
. Khi nào điểm M nằm trên đường
phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OOEODOCOBOA =++++
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là
điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
''' OCOBOAOCOBOA ++=++
Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a)
OA
uuur
+
OB
uuur
+
OC
uuur
+
OD
uuur
+
OE
uuur
+

OF
uuur
=
0
r
b)
OA
uuur
+
OC
uuur
+
OE
uuur
=
0
r
c)
AB
uuur
+
AO
uuur
+
AF
uuur
=
AD
uuur
d)

MA
uuuur
+
MC
uuur
+
ME
uuur
=
MB
uuur
+
MD
uuuur
+
MF
uuur
( M tùy ý )
-9-
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
a) Chứng minh rằng
HB
uuur
+
HC
uuur
=
HD
uuur
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng

HA
uuur
+
HB
uuur
+
HC
uuur
=
HH '
uuuur
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : 
CA
uuur
+
CB
uuur
 = 
CA
uuur
-
CB
uuur

PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa: Cho
a
r
≠
0

r
, 0≠k ∈
¡
ta có
c
r
=k
a
r
(gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
+
c
r
cùng phương
a
r
+
c
r
cùng hướng
a
r
khi k>0
+
c
r
ngược hướng
a
r
khi k<0

+ |
c
r
|=| k
a
r
|=|k|.|
a
r
|
Quy ước: 0
a
r
=
0
r
; k
0
r
=
0
r
2) Tính chất: Cho
a
r
,
b
r
bất kì và k,h ∈
¡

, khi đó
+ k(
a
r
+
b
r
)= k
a
r
+k
b
r
+ (k+h)
a
r
= k
a
r
+h
b
r
+ k(h
a
r
)= (kh)
a
r
+ 1.
a

r
=
a
r
; (−1)
a
r
=−
a
r
* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
2MA MB MI+ =
uuur uuur uuur
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ∆ABC, với mọi M ta có:
3MA MB MC MG+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
∀
a
r
,
b
r
;
a
r
cùng phương
b
r
≠

0
r
⇔ ∃ 0≠k ∈
¡
:
a
r
=k
b
r
(∀
a
r
,
b
r
;
b
r
cùng phương
a
r
≠
0
r
⇔ ∃ 0≠k ∈
¡
:
b
r

=k
a
r
)
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
⇔
AB
uuur
cùng phương
AC
uuur
⇔∃ 0≠k ∈
¡
:
AB k AC=
uuur uuur
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai
a
r
,
b
r
khác
0
r
và không cùng phương. Khi đó ∀
x
r
bao giờ cũng tìm được hai số m, n sao cho:

x
r
= m
a
r
+n
b
r
.
G
I
C
B
A
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Xác định vectơ k
a
r
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k
a
r
và các tính chất
1) Cho
a AB=
r uuur
và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
3 ; 4OM a ON a= = −
uuuur r uuur r
Giải
Vẽ d đi qua O và // với giá của

a
r
(nếu O ∈ giá của
a
r
thì d là giá của
a
r
)
− Trên d lấy điểm M sao cho OM=3|
a
r
|,
OM
uuuur
và
a
r
cùng hướng khi đó
3OM a=
uuuur r
.
− Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4|
a
r
|,
ON
uuur
và
a

r
ngược hướng nên
4ON a= −
uuur r
-10-
O
a
r
MN
Nếu G là trọng tâm
AG=
2
3
AI; GI=
1
3
AI
AG=2GI
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=
1
5
AB. Tìm k trong các
đẳng thức sau:
) ; ) ; )a AM k AB b MA kMB c MA k AB= = =
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur
Giải
A
B
M
a)

| | 1
| |
5
| |
AM AM
AM k AB k
AB
AB
= ⇒ = = =
uuuur
uuuur uuur
uuur
, vì
AM AB↑↑
uuuur uuur
⇒ k=
1
5
b) k= −
1
4
c) k= −
1
5
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5
a
r
là (−5)
a
r

b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2
a
r
+3
b
r
,
a
r
−2
b
r
Giải
a) −5
a
r
=(−1)(5
a
r
)=((−1)5)
a
r
= −(−5)
a
r
b) −(2
a
r
+3
b

r
)= (−1)( 2
a
r
+3
b
r
)= (−1) 2
a
r
+(−1)3
b
r
=(−2)
a
r
+(−3)
b
r
=−2
a
r
−3
b
r
c) Tương tự
2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
1) Cho ∆ ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I
là giao điểm của AD và EF. Đặt
;= =

r uuur r uuur
u AE v AF
. Hãy phân tích các vectơ
, , ,AI AG DE DC
uur uuur uuur uuur
theo hai
vectơ
,u v
r r
.
Giải Ta có
1 1 1 1
( ) )
2 2 2 2
AI AD AE AF u v= = + = +
uur uuur uuur uuur r r
2 2 2
3 3 3
AG AD u v= = +
uuur uuur r r
0. ( 1)DE FA AF u v= = − = + −
uuur uuur uuur r r
DC FE AE AF u v= = − = −
uuur uuur uuur uuur r r
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ
AM
uuuur
theo hai
vectơ
,u AB v AC= =

r uuur r uuur
.
Giải
Ta có
2
3
AM AB BM AB BC= + = +
uuuur uuur uuuur uuur uuur

mà
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
⇒

2 1 2
( )
3 3 3
AM AB AC AB u v= + − = +
uuuur uuur uuur uuur r r
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
+ A, B, C thẳng hàng ⇔
AB
uuur
cùng phương
AC
uuur
⇔∃ 0≠k ∈
¡
:
AB k AC=

uuur uuur
+ Nếu
=
uuur uuur
AB kCD
và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=
1
3
AC.
Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
Ta có
1
2
2
4 2 (1)
BI BA BM BA BC
BI BA BC
= + = +
= +
uur uuur uuuur uuur uuur
uur uuur uuur
Ta có
-11-
C
A
N
M
A

B
C
D
1
3
1 2 1
( )
3 3 3
3 2 (2)
BK BA AK BA AC
BA BC BA BA BC
BK BA BC
= + = +
= + − = +
= +
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
Từ (1)&(2)
⇒

4
3 4
3
BK BI BK BI= ⇒ =
uuur uur uuur uur
⇒
B, I, K thẳng hàng.
2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
0BC MA+ =

uuur uuur r
,
3 0AB NA AC− − =
uuur uuur uuur r
. Chứng minh MN//AC
Giải
3 0
3 0 2
+ + − − =
+ − = ⇔ =
uuur uuur uuur uuur uuur r
uuur uuuur uuur r uuuur uuur
BC MA AB NA AC
hay AC MN AC MN AC
/ /MN AC
uuuur uuur
. Theo giả thiết
BC AM=
uuur uuuur
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
⇒
M không thuộc AC
⇒
MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
2MN AC BD= +
uuuur uuur uuur
Giải
2

2
VP AC BD AM MN NC BM MN ND
MN AM BM ND NC
MN
= + = + + + + +
= + + + +
=
uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur uuuur uuur uuur
uuuur
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh:
2 3AB AC AD AC+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
Giải
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
⇒
VT=
2 3AC AC AC VP+ = =
uuur uuur uuur uur
(đpcm)
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3 ' ' ' 'GG AA BB CC= + +
uuuur uuur uuur uuuur
.
Giải
' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' '

3 ' ' ' ' ' ' '
3 ' (
VP AA BB CC
AG GG G A BG GG G B CG GG G C
GG AG BG CG G A G B G C
GG GA GB GC
= + +
= + + + + + + + +
= + + + + + +
= − + +
uuur uuur uuuur
uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur
uuuur uuur uuur uuur uuuuur uuuuur uuuuur
uuuur uuur uuur
) ' ' ' ' ' '
3 '
G A G B G C
GG
+ + +
=
uuur uuuuur uuuuur uuuuur
uuuur
5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
+
0AB A B= ⇔ ≡
uuur r
+ Cho điểm A và
a
r
. Có duy nhất M sao cho :

AM a=
uuuur r
+
;AB AC B C AD BD A B= ⇔ ≡ = ⇔ ≡
uuur uuur uuur uuur
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết
2AG GD=
uuur uuur
.
Giải
2AG GD=
uuur uuur
⇒ A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho:
2 0IA IB+ =
uur uur r
.
HD
-12-
D
G
I
C
B
A
K
I
A

B
C
D
A
B
I
2 0 2 2IA IB IA IB IA IB+ = ⇔ = − ⇒ = −
uur uur r uur uur uur uur
hay IA=2IB ,
IA IB↑↓
uur uur
. Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=
1
3
AB
3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho:
0GA GB GC GD+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
Giải
Ta có
2GA GB GI+ =
uuur uuur uur
, trong đó I là trung điểm AB
Tương tự
2GC GD GK+ =
uuur uuur uuur
, K là trung điểm CD

2 2
0

GA GB GC GD GI GK
hayGI GK
+ + + = +
+ =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
uur uuur r
⇒ G là trung điểm IK
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
→
AM
+
→
BN
+
→
CP
=
0

b/ CMR :
→
OA
+
→
OB
+
→
OC

=
→
OM
+
→
ON
+
→
OP
Bài 2: Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi M∈BC sao cho
→
BM
= 2
→
MC
a/ CMR :
→
AB
+ 2
→
AC
= 3
→
AM
b/ CMR :
→
MA
+
→
MB

+
→
MC
= 3
→
MG
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR :
→
AD
+
→
BC
= 2
→
EF
b/ CMR :
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→
OD
=
0


c/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
= 4
→
MO
(với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho
→−
MA
+
→−
MB
+
→−
MC
+
→−
MD
 nhỏ nhất

Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
→
AF
+
→
BG
+
→
CH
+
→
DE
=
0

b/ CMR :
→
MA
+
→
MB
+
→
MC
+
→
MD
=
→

ME
+
→
MF
+
→
MG
+
→
MH
c/ CMR :
→→
+ACAB
+
→
AD
= 4
→
AG
(với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR :
→
AD
+
→
BE
+
→
CF

= 3
→
GH
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/
→
OA
+
→
OB
+
→
OC
+
→
OD
=
0

b/
→
EA
+
→
EB
+ 2
→
EC
= 3
→

AB
c/
→
EB
+ 2
→
EA
+ 4
→
ED
=
→
EC
Bài 7: Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho
→
AN
=
2
1
→
NC
. Gọi
K là trung điểm của MN.
a/ CMR :
→
AK
=
4
1
→

AB
+
6
1
→
AC
b/ CMR :
→
KD
=
4
1
→
AB
+
3
1
→
AC
Bài 8: Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho
→
AD
= 2
→
DB
,
→
CE
= 3
→

EA
. Gọi M là
trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
-13-
a/
→
AM
=
3
1
→
AB
+
8
1
→
AC
b/
→
MI
=
6
1
→
AB
+
8
3
→
AC

Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
a) Phân tích
AD
uuur
theo
AB
uuur
và
AF
uuur
b) Tinh
1 1
2 2
AB BC+
uuur uuur
theo a
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC).
Phân tích
AM
uuuur
theo
AB
uuur
và
AC
uuur
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung điểm
của MN. Phân tích
AK
uuur

theo
AB
uuur
và
AC
uuur
.
Bài 15 : Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB
= 2JC.
a) Tính
, ,AI AJ theo AB AC
uur uur uuur uuur
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính
AG
uuur
theo
AI
uuur
và
AJ
uur
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2
→
AB
+ 3
→
AC
= 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho
→

MB
= 3
→
MC
;
→
NA
+3
→
NC
=
0

và
→
PA
+
→
PB
=
0

a/ Tính
→
PM
,
→
PN
theo
→

AB
và
→
AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là
điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung
điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
a/
MA MB=
uuur uuur
. b/
MA MB MC O+ + =
uuur uuur uuuur ur
c/ |
CΜΑ + ΜΒ=ΜΑ + Μ 
uuuur uuuur uuuur uuuur
d/
C
3
ΜΑ + Β  = ΜΑ − ΜΒ
2
uuuur uuur uuuur uuuur
e/ |
C ΜΑ + Β  =ΜΑ −ΜΒ
uuuur uuur uuuur uuuur

§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.Trục tọa độ
 Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ
i
r
có độ dài bằng 1. Ký
hiệu trục (O;
i
r
) hoặc x’Ox
O gọi là gốc tọa độ;
i
r
vectơ đơn vị của trục tọa độ.
 Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
+ Cho điểm M nằm trên trục (O;
i
r
). Khi đó có duy nhất một số m sao cho
OM mi=
uuuur r
. Số m gọi là tọa độ
của m đối với trục (O;
i
r
) (nó cũng là tọa độ của
OM
uuuur
).

+ Cho vectơ
u
r
trên trục (O;
i
r
). Khi đó có duy nhất số x sao cho
u xi=
r r
. Số x gọi là tọa độ của vectơ
u
r
đối với trục (O;
i
r
).
 Độ dài đại số của vectơ trên trục
Cho A,B nằm trên trục (O;
i
r
). Khi đó có duy nhất số a sao cho
AB
= a
i
r
. Ta gọi số a là độ dài đại số của
AB
đối với trục đã cho.
Kí hiệu: a=
AB

. Như vậy
AB
=
AB
i
r
*Nhận xét:
-14-
O I
i
r
'x
x
+ Nếu
AB i↑↑
uuur r
thì
AB
= AB
+ Nếu
AB i↑↓
uuur r
thì
AB
= −AB
+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O;
i
r
) có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB

= b−a
 Tính chất:
+
AB CD AB CD= ⇔ =
uuur uuur uuur uuur
+
AB BC AC+ =
(hệ thức Sa−lơ)
2. Hệ trục tọa độ
x
y
→
i
→
j
O

Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là
i
r
, vectơ
đơn vị trên Oy là
j
r
. Ký hiệu Oxy hoặc (O;
i
r
;
j

r
).
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.

Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
Đối với hệ trục (O;
i
r
;
j
r
), nếu
a
r
=x
i
r
+y
j
r
thì cặp số (x;y) là toạ độ của
a
r
.
Ký hiệu
a
r
= (x ; y) hoặc
a

r
(x ; y)
Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho
a
r
= (x ; y),
b
r
= (x’;y’)
a
r
=
b
r
{
'
'
x x
y y
=
⇔
=
 Một số tính chất: Cho
a
r
= (x ; y),
b
r
= (x’;y’). Khi đó:
1)

a
r
±
b
r
= (x ± x’; y ± y’)
2) k
a
r
=(kx ; ky) với ∀ k∈
¡
3) m
a
r
+ n
b
r
=(mx+nx’ ; my+ny’)
4)
a
r
//
b
r
≠
0
r
⇔ có số k thỏa
a
r

=k
b
r
⇔
{
'
'
x kx
y ky
=
=
⇔
' ' 0
' '
x y
xy yx
x y
= ⇔ − =

Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ
OM
uuuur
được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy, cặp số (x ; y)
là tọa độ của M
⇔

OM
uuuur
=(x ; y)

Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M
+ M(x ; y)⇔
OM
uuuur
xi y j= +
r r
⇔
OM
uuuur
=(x;y)
x=
1
OM
; y=
2
OM
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
 Tọa độ vectơ
MN
uuuur
khi biết tọa độ hai điểm M, N
Cho M(x
M
; y
M
) và N(x
N

; y

N
) ta có :
MN
uuuur
= (x
M
– x
N
; y
M
– y
N
)
 Tọa độ trung điểm: Nếu P(
;
P P
x y
) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:

P
x
=
2
M N
x x+
;
P
y
=
2

M N
y y+
 Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(x
A
;y
A
), B(x
B
;y
B
), C(x
C
;y
C
). Khi đó tọa độ trọng tâm G(x
G
;y
G
)
được tính theo công thức:
x
G
=
3
A B C
x x x+ +
; y
G
=
3

A B C
y y y+ +
-15-

O
y
x
M
2

M
1

M(x;y)

BÀI TẬP CƠ BẢN
1) Biểu diễn vectơ
a
r
dưới dạng
a xi y j= +
r r r
a)
a
r
=(1;−1) b)
a
r
=(5;0) c)
a

r
=(0;−2) d)
a
r
=(0;0)
2) Xác định tọa độ vectơ
u
r
, biết:
a)
u
r
=3
i
r
−4
j
r
b)
u
r
=−2
i
r
+
1
3
j
r
c)

u
r
= −3
i
r
d)
u
r
=
j
r
3) Xác định tọa độ của vectơ
c
r
, biết:
a)
c
r
=
a
r
+3
b
r
; với
a
r
(2;−1),
b
r

(3;4). Tính độ dài của
c
r
b)
c
r
=2
a
r
−5
b
r
; với
a
r
(−1;2),
b
r
(−2;−3)
Đáp án: a)
c
r
=(11;11), |
c
r
|=11
2
b)
c
r

=(8;19)
4) Cho
→
a
=(2;4);
→
b
=(-3;1);
→
c
=(5;-2). Tìm vectơ:
a)
→→→→
−+= cbam 532
b)
→→→
+= can 1424
.
Đáp án: a)
m
ur
= (−30;21) b)
n
r
=(118;68)
5) Cho hai điểm A(−1;1), B(1;3)
a) Xác định tọa độ các vectơ
,AB BA
uuur uuur
.

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho
(3;0)BM =
uuuur
.
c) Tìm tọa độ điểm N sao cho
(1;1)NA =
uuur
.
Đáp án: a)
(2;2), ( 2; 2)AB BA= = − −
uuur uuur
b) M(4;3) c) N(−2;0)
6) Cho hình vng ABCD có cạnh là a=5. Chọn hệ trục tọa độ (A;
,i j
r r
), trong đó
i
r
và
AD
uuur
cùng hướng,
j
r
và
AB
uuur
cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vng, giao điểm I của hai đường chéo, trung điển N của
BC và trung điểm M của CD.
Đáp án: A(0;0), B(0;5), C(5;5), D(5;0)

5 5 5 5
( ; ), ( ;5), (5; )
2 2 2 2
I N M
7) Cho hình bình hành ABCD có AD= 4 và chiều cao ứng với cạnh AD bằng 3, góc
·
0
60BAD =
. Chọn hệ
trục tọa độ (A;
,i j
r r
), trong đó
i
r
và
AD
uuur
cùng hướng. Tìm tọa độ các véctơ
, , , .AB BC CD AC
uuur uuur uuur uuur
Đáp án: Kẻ BH⊥AD, ta có
BH=3⇒ AB=2
3
(vì ∆HAB vng và
·
0
60BAD =
)
⇒ AH=

3
. Do đó;A(0;0), B(
3
;3), C(4+
3
;0), D=(4;0)
( 3;3), (4;0), ( 3; 3), (4 3;3)AB BC CD AC= = = − − = +
uuur uuur uuur uuur
-16-
1) |
→
u
| =
22
yx +
với
→
u
= (x;y)
2) |
→−
AB
| =
22
)()(
ABAB
yyxx −+−
với A(x
A
; y

A
) , B(x
B
; y
B
)
3) Cho hai điểm A=(x
A
; y
A
),B=(x
B
; y
B
) . Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
≠
1 thì
M(x
M
; y
M
) có toạ độ là:

k
kxx
x
BA
M
−
−

=
1
;
k
kyy
y
BA
M
−
−
=
1
(nếu k= −1 thì M là trung điểm AB)
4) Ba điểm A(x
A
; y
A
) , B(x
B
; y
B
), C(x
C

; y
C
) thẳng hàng
⇔
/ /AC AB
uuur uuur

⇔
C A C A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
⇒ ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng khi
C A C A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
≠
− −
8) Cho tam giác ABC. Các điểm M(1;0), N(2;2) và P(−1;3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA và AB.
Tìm tọa độ các đỉnh tam giác.
Đáp án: A(0;5), B(−2;1), C(4;−1)
9) Cho hình bình hành ABCD có A(−1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm tọa độ đỉnh D.
Đáp án: D(−3;0)
10) Cho hai điểm A(1;3);B(13;8)
a) Xác định tọa độ của
AB
uuur
.Tính AB.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c) Tìm tọa độ điểm C biết rằng A là trung điểm BC.
d) A’ là điểm đối xứng của A qua B. Tìm tọa độ A’.
Đáp án: a)

AB
uuur
=(12;5) b) I(7;11/2) c)
11) Cho A(-3;6); B(1;-2); C(6;3).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G.
b) Tính chu vi tam giác ABC.
Đáp án: a) b)
12) Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là trung điểm BC. Với A(1;-1); B(4;2); C(1;5). Tính tọa độ các
véc tơ
AMGMAG ,,
. Tính chu vi tam giác ABC.
Đáp án:
, ,AG GM AM= = =
uuur uuuur uuuur
13) Cho A(1;3); B(0;2) ; C(4;5) . Xác định tọa độ ba điểm E,F biết rằng:
a)
ACABCE 43 −=
b)
2 4 0AF BF CF
+ − =
uuur uuur uuur r
.
Đáp án:
14) Cho A(2;t
2
); B(t;-4); C(2t;4t); D(t
2
;-1). Xaùc ñònh t ñeå
→−
AB

=
→−−
CD
.
Đáp án: t=1
15) Cho biết các véctơ sau cùng phương hay không cùng phương
a)
→
a
= (1;2) và
→
b
= (3;6) b)
→
a
=(
2
= -1) và
→
b
= (-2;
2
).
c)
→
a
= (-1;4) và
→
b
= (3;7) d)

→
a
= (-1;-3) và
→
b
=(1;2).
16) Tìm x để các cặp véctơ sau cùng phương
a)
a
r
=(2;3),
b
r
=(4;x) b)
u
r
=(0;5),
v
r
=(x;7)
c)
m
ur
=(2;3),
n
r
=(1;x) d)
a
r
=( t+1;2)

b
r
=(3;4-t).
Đáp án: a) x= 6 b) x= 0 c) x=
3±
d) t=1; t=2
17) Biểu diễn véctơ
→
c
theo hai véctơ
→
a
và
→
b

a)
→
c
= (−4;7) ;
→
a
= (2;−1) ;
→
b
= (-3;4)
b)
→
c
= (−1;3) ;

→
a
= (1;1) ;
→
b
= (2;−3)
c)
→
c
= (0;5) ;
→
a
= (−4;3) ;
→
b
= (−2;−1).
HD: Tìm các số m, n sao cho
→
c
= m
→
a
+ n
→
b
giải hệ
1 1
2 2
1
2

a
a
c m nb
c m nb
= +


= +

Đáp án: a)
c
r
=
a
r
+2
→
b
b)
c
r
=
3
5
a
r
−
4
5
→

b
c)
c
r
=
a
r
−2
→
b
18) Cho bốn điểm A(1;1), B(2;−1), C(4;3) và D(16;3). Hãy biểu diễn
AD
uuur
theo
,AB AC
uuur uuur
.
Đáp án:
AD
uuur
=3
AB
uuur
+4
AC
uuur
19) Cho ba điểm A(−1;1), B(1;3), C(−2;0). Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
HD:
2AB AC= −
uuur uuur

20) Cho A(3;4), B(2;5). Tìm x để điểm C(−7;x) thuộc đường thẳng AB.
Đáp án: A, B, C thẳng hàng⇒
/ /AC AB
uuur uuur
⇒x=14
21) Cho bốn điểm A(0;1), B(1;3), C(2;7), D(0;3). Chứng minh đường thẳng AB//CD.
Đáp án: ta có
2CD AB= −
uuur uuur
⇒ AB và CD song song hoặc trùng nhau
-17-
Ta
2 6
(2;6), (1;2)
1 2
AC AB= = ⇒ ≠
uuur uuur
⇒
AC
uuur
không cùng phương
AB
uuur
⇒ C không thuộc AB ⇒ CD//AB
22) Cho tam giác ABC có A(1;−1), B(5;−3) đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ đỉnh C.
Đáp án: C(0;4)
23) Cho A(−2;1), B(4;5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB và tọa độ diểm C sao cho tứ giác OABC là
hình bình hành, O là gốc tọa độ.
Đáp án: I(1;3), C(2;6)
24) Cho ba điểm A(0;−4), B(−5;6), C(3;2)

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
HD: a) Cần chứng minh
AB
uuur
không cùng phương
AC
uuur
b) G(−1;4)
25) Cho tam giác ABC đều cạnh a. Chọn hệ tọa độ (O;
,i j
r r
), trong đó O là trung điểm BC,
i OC↑↑
r uuur
,
j OA↑↑
r uuur
.
a) Tính tọa độ các đỉnh tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trung điểm E của AC.
c) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Đáp án: a)
3
(0; ), ( ;0), ( ;0)
2 2 2
a a a
A B C−
b)
3

( ; )
4 4
a a
E
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp trùng với trọng tâm G.
26) Cho lục giác đều ABCDEF. Chọn hệ tọa độ (O;
,i j
r r
), trong đó O là tâm của lục giác đều,
i OD↑↑
r uuur
,
j EC↑↑
r uuur
. Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều biết độ dài cạnh lục giác là 6.
Đáp án: A(−6;0), D(6;0)
27) Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm tọa độ điểm D nếu biết:
a)
AD
uuur
– 2
BD
uuur
+ 3
CD
uuur
=
0
r
b)

AD
uuur
– 2
AB
uuur
= 2
BD
uuur
+
BC
uuur
c) ABCD hình bình hành
d) ABCD hình thang có hai đáy là BC, AD với BC = 2AD
28) Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan bằng nhau AI = IJ = JB
a) Tìm tọa độ của A, B
b) Tìm tọa độ của điểm I’ đối xứng với I qua B
c) Tìm tọa độ của C, D biết ABCD hình bình hành tâm K(5, -6)
29) Cho
a
r
=(2; 1) ;
b
r
=( 3 ; 4) và
c
r
=(7; 2)
a) Tìm tọa độ của vectơ
u
r

= 2
a
r
- 3
b
r
+
c
r
b) Tìm tọa độ của vectơ
x
r
thỏa
x
r
+
a
r
=
b
r
-
c
r
c) Tìm các số m ; n thỏa
c
r
= m
a
r

+ n
b
r

30) Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
31) Cho A(2;-3), B(5;1), C(8;5). Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
BÀI TẬP THÊM
1/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5.
a/ Tìm tọa độ của
→
AB
.
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2
→
MA
+ 5
→
MB
=
0

d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
NA
+ 3
NB
= −1
2/ Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c.
a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho

→
MA
+
→
MB
−
→
MC
=
0

-18-
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2
→
NA
− 3
→
NB
=
→
NC
3/ Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1.
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3
MA
− 2
MB
= 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA
+ 3

NB
=
AB
4/ Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
AC
1
+
AD
1
=
AB
2
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR :
2
IAID.IC =
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR :
AJ.ABAD.AC =
TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG
5/ Viết tọa độ của các vectơ sau :
a

=
i

− 3
j

,
b


=
2
1
i

+
j

;
c

= −
i

+
2
3
j

;
d

= 3
i

;
e

= −4

j

.
6/ Viết dưới dạng
u

= x
i

+ y
j

, biết rằng :
u

= (1; 3) ;
u

= (4; −1) ;
u

= (0; −1) ;
u

= (1, 0) ;
u

= (0, 0)
7/ Trong mp Oxy cho
a


= (−1; 3) ,
b

= (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/
u

= 3
a

− 2
b

b/
v

= 2
a

+
b

c/
w

= 4
a

−

2
1
b

8/ Trong mp Oxy cho A(1; −2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ
→
AB
,
→
AC
,
→
BC
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :
→
CM
= 2
→
AB
− 3
→
AC
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho :
→
AN
+ 2
→
BN

− 4
→
CN
=
0

9/ Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a/ CMR : ∆ABC cân. Tính chu vi ∆ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
10/ Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1).
a/ CMR : ∆ABC vuông. Tính diện tích ∆ABC.
b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
11/ Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(−3; 6) , B(9; −10) , C(−5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và tính bán kính đường tròn đó.
12/ Trong mp Oxy cho A(−3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ∆ABM vuông tại M.
13/ Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ∆ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ∆ABC.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
14/ Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(−1; −1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c/ CMR : ∆ABC vuông cân.
d/ Tính diện tích ∆ABC.
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1:Bài tập SGK trang 35, 36, 37, 38 sách nâng cao

Bài 2:Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
-19-
a)
ACABACAB −=+
b) Vectơ
ACAB+
vuông góc với vectơ
CAAB+
Bài 2 :Tứ giác ABCD là hình gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau ?
a)
DCBCAC =−

b)
DADCmDB +=
Bài 3:Cho tam giác ABC , với mỗi số thực k ta xác định các điểm A’ , B’ sao cho
CAkBBBCkAA == ','
. Tìm quĩ tích trọng tâm G’ của trung điểm A’B’C.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD . Các điểm M,, N, P và Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD và DA . Chứng
minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm
Bài 5: :Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý , Chứng minh vectơ
MCMBMAv 2−+=
không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M. Hãy dựng điểm D sao cho
vCD =
Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác , D là điểm đối xứng của
A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành
b) Chứng minh :

OHOCOBOA

HOHCHBHA
HOHDHA
=++
=++
=+
2
2
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh
OGOH 3
=
. Từ đó kết luận gì về 3 điểm G, H, O.
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh :
a)
0''' =++ DDCCBB
b) Hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm
ÔN TẬP CHƯƠNG I THÊM
1/ Cho ∆ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a/ CMR : 2
→
IA
+
→
IB
+
→
IC
=
0

b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2

→
OA
+
→
OB
+
→
OC
= 4
→
OI
2/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC.
a/ CMR : 2
→
AI
= 2
→
AO
+
→
AB
b/ CMR : 3
→
DG
=
→
DA
+
→
DB

+
→
DC
3/ Cho ∆ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho
→
BC
= 3
→
BN
. Tính
→
AN
theo
→
AB
và
→
AC
4/ Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR :
→
AI
=
2
1
(
→
AD
+ 2
→

AB
)
b/ CMR :
→
OA
+
→
OI
+
→
OJ
=
0

c/ Tìm điểm M thỏa :
→
MA
−
→
MB
+
→
MC
=
0

5/ Cho ∆ABC và 1 điểm M tùy ý.
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
→
MD

=
→
MC
+
→
AB
,
→
ME
=
→
MA
+
→
BC
và
→
MF
=
→
MB
+
→
CA
.
CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M.
b/ CMR :
→
MA
+

→
MB
+
→
MC
=
→
MD
+
→
ME
+
→
MF
7/ Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/
→
MA
=
→
MB
-20-
b/
→
MA
+
→
MB
+
→

MC
=
0

c/ 
→
MA
+
→
MB
 = 
→
MA
−
→
MB

d/ 
→
MA
+
→
MB
 = 
→
MA
 + 
→
MB


e/ 
→
MA
+
→
MB
 = 
→
MA
+
→
MC

8/ Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
→
AD
= 2
→
AB
,

→
AE
=
5
2
→
AC
a/ Tính
→

AG
,
→
DE
,
→
DG
theo
→
AB
và
→
AC
b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.
9/ Cho ∆ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
→
AD
=
5
2
→
AC
và M là trung điểm đoạn BD.
a/ Tính
→
AM
theo
→
AB
và

→
AC
.
b/ AM cắt BC tại I. Tính
IC
IB
và
AI
AM
10/ Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích ∆ OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm ∆ OAB.
d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số
nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.
-21-
Chương II
TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
§1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ ( TỪ 0
0
đến 180
0
)
1/ Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc
·
xOM
= α và M(x
0

;y
0
). Khi đó ta định
nghĩa:
sin của góc α là y
0
; ký hiệu sinα = y
0

côsin của góc α là x
0
; ký hiệu cosα = x
0

tang của góc α là
0
0
y
x
( x
0
≠ 0); ký hiệu tan α =
0
0
y
x
côtang của góc α là
0
0
x

y
( y
0
≠ 0); ký hiệu cot α =
0
0
x
y
* Dấu của các tỉ số lượng giác:
0
0
≤α ≤90
0
90
0
<α <180
0
sinα
+ +
cosα
+
−
tanα
+
−
cotα
+
−
* Chú ý:
+ tanα chỉ xác định khi α≠90

0
+ cotα chỉ xác định khi α≠0
0
và α≠ 180
0
2. Tính chất : Hai góc bù nhau (tổng hai góc bằng 180
0
)
sin( 180
0
−α ) = sinα
cos ( 180
0
−α) = − cosα
tan (180
0
−α) = −tanα (α ≠ 90
0
)
cot ( 180
0
−α ) = − Cot α ( 0 <α < 180
0
)
3. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác của góc
a.45
0
b.120
0

c. 135
0
Giải:
a. Sin 45
0
=
2
2
, cos 45
0
=
2
2
, tan 45
0
=1, cot 45
0
= 1
b. Sin 120
0
=
2
3
, cos 120
0
= -
2
1
, tan120
0

= -
3
, cot120
0
= -
3
3
c.
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức
A = Cos 20
0
+ cos 80
0
+ cos 100
0
+ cos160
0
Giải:
A = Cos 20
0
+ cos 80
0
+ (-cos 80
0
) + ( - cos 20
0
) = 0
4. Góc giữa hai vectơ
A
B

O
→
b
→
a
Cho hai véctơ
→
a
,
→
b
đều
≠
0
r
. Từ điểm O tuỳ ý dựng
→−−
OA
=
→
a
,
→−−
OB
=
→
b
. Góc 0
0
≤

·
AOB
≤180
0
được gọi là góc
giữa hai véctơ
→
a
,
→
b
. Kí hiệu là: (
→
a
,
→
b
).
Nếu (
→
a
,
→
b
)= 90
0
thì ta nói
→
a
vuông góc

→
b
. Kí hiệu:
→
a
⊥
→
b
* Chú ý: :
+ (
→
a
,
→
b
)= (
→
b
,
→
a
)
+ (
→
a
,
→
b
)= 0
0

⇔
→
a
cùng hướng
→
b
-22-
+ (
→
a
,
→
b
)= 180
0
⇔
→
a
ngược hướng
→
b
* Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai véc tơ
→
a
và
→
b
là véctơ
→
0

thì ta có thể xem góc
α
bao nhiêu cũng
được.
Ví dụ (SGKTr39): Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 50
0
5. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc
Xem SGK.Tr39+40
Các hệ thức cơ bản
a) Nếu cos
α
≠
0 thì
tan
sin
cos
α
α
α
=
b) Nếu sin
α
≠
0 thì
cos
cot
sin
α
α
α

=
c)
2
sin
α
+
2
cos
α
= 1
d) tan
α
.cot
α
= 1
e) 1 + tan
2
α
=
2
1
cos
α

f) 1 + cot
2
α
=
2
1

sin
α

* Góc phụ nhau
Sin(90
0
-
α
) = Cos
α

Cos(90
0
-
α
) = Sin
α

tan(90
0
-
α
) = Cot
α
cot(90
0
-
α
) = tan
α

.
* Góc đối nhau
sin(-
α
) = - sin
α

cos(-
α
) = cos
α
* Chú ý: sin
2
α = (sinα)
2
≠ sinα
2
BÀI TẬP ÁP DỤNG
1/ Cho α= 135
0
. Tính sinα, cosα, tanα và cotα.
HD: sin135
0
= sin(180
0
−45
0
)= sin45
0
2/ Cho tam giác cân ABC có

µ
µ
B C=
=15
0
. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A.
HD: vì
µ µ
µ
0
180 ( )A B C= − +
⇒ sinA= sin(180
0
−30
0
)
3/ Tính giá trị các biểu thức sau:
A= asin0
o
+ bcos 0
o
+ c sin 90
o
;
B= acos90
o
+ bsin 90
o
+ c sin180
o

;
C= a
2
sin90
o
+ b
2
cos 90
o
+ c.cos18O
o
;
4/Tính giá trị của biểu thức sau :
A= 3 − sin
2
90
o
+ 2cos
2
90
o
− 3tan
2
45
o
;
B= 4 a
2
sin
2

90
o
− 3(a.tan
2
45
o
)
2
+ 2a.cos45
o
.
5/ Tính giá trị các biểu thức sau:
A= sinx + cosx khi x = 0
o
, 45
o
, 60
o
.
B= 2sinx+ cos2x khi x = 60
o
, 45
o
, 30
o
.
C= sin
2
x + cos
2

x khi x = 30
o
, 45, 30
o
,60
o
,90
o
,145
o
.
6/ Biết cosx=
2
1
, tính P = 3sin
2
x + 4cos
2
x. Kết quả:
7/ a) Cho góc nhọn β mà sinβ=
4
1
.Tính cosβ và tanβ.
b) Cho góc α mà cosα= −
3
1
. Tính sinα, tanα,và cotα.
c) Cho tanx= 2
2
. Tính cotx, sinx và cosx.

d) Cho cotα =
1
2
−
. Tính tanα, sinα và cosα.
-23-
8/ Chứng minh các hằng đẳng thức :
a) ( sinα + cosα)
2
= 1 + 2sinα.cosα
b) ( sinα − cosα)
2
= 1 − 2sinα.cosα
c) sin
4
x − cos
4
x = 2sin
2
x −1
c) sin
4
x + cos
4
x = 1 - sin
2
x cos
2
x
d) sinx.cosx( 1+ tanx )( 1 + cotx ) = 1+ 2sinx.cosx.

9/ Đơn giản các biểu thức:
A = cosy + siny . tany; Đáp số: A=1/cosy
B =
bcos1+
.
bcos1−
Đáp số: B= sinb (vì sinb>0)
C = sina
atg
2
1+
Đáp số: C=
0 0
0 0
tan 0 a<90
sin
| cos |
tan 90 <a 180
a
a
a
a

≤
=

− ≤


D= sin100

0
+sin80
0
+cos16
0
+cos164
0
10/ Tính
a) cos
2
12
0
+cos
2
78
o
+ cos
2
1
0
+cos
2
78
o
Đáp số: a) 2; b= 2
b) sin
2
3
o
+sin

2
15
o
+ sin
2
75
o
+ sin
2
87
o
.
11/ Đơn giản các biểu thức:
A = sin( 90
o
− x ) cos( 180
o
−x ) Đáp số: A=−cos
2
x
B = cos( 90
o
− x ) sin ( 180
o
−x ) Đáp số: B= sin
2
x
Bài 7 : Biết rằng sin15
o
= Tính các tỉ số lượng giác của góc 15

o
.
BÀI TẬP 1
Bài 1 : Tính các hàm số lượng giác (sin
α
,cos
α
,tg
α
,cotg
α
) của các góc sau
a.
α
= -150
0
b.
α
= 135
0
c.
α
= -60
0

d.
α
= -45
0
e.

α
= -180
0
.
Bài 2 : Tính giá trị biểu thức
A = 2sin6
α
-cos4
α
+
2
1
tg(
α
+45
0
)+2cos6
α
, với
α
= 45
0
. Kq
2
A = 0.
B = 3sin60
0
-2cos30
0
+3tg60

0
-4cotg90
0
Kq
2
B =
2
37
C = 3-sin90
0
+2cos
2
60
0
-3tg
2
45
0
Kq
2
C = -
2
1
D =
0
00
000
37sin
56137cot
34cot53cos53sin

−
+
+
)tgg(
g)(
Kq
2
D = 0
E =
0
000
144cos
54cos36cot126 )g(tg −
Kq
2
E = -2
Bài 3 : Cho sin
α
=
3
1
với 0
0
<
α
<90
0
.Tính cos
α
,tg

α
,cotg
α
. Kq
2
cos
α
=
3
22
Bài 4 : Cho cos
α
=
17
8
−
với 90
0
<
α
<180
0
. Tính sin
α
,tg
α
,cotg
α
. Kq
2

sin
α
=
17
15
Bài 5 : cho tg
α
=
32 +
. Tính sin
α
,cos
α
,cotg
α
; Kq
2
cos
α
=
2)13(
1
+
Bài 6 : Cho cotg
α
=
22
với 0
0
<

α
<90
0
. tính sin
α
,cos
α
,tg
α
. Kq
2
sin
α
=
3
1
Bài 7 : Cho sin
α
=
5
4
. Tính cos
α
,tg
α
,cotg
α
. Kq
2
cos

α
=
5
3
±
Bài 8 : Cho cos
α
=
)13(
4
2
−
. Tính sin
α
,tg
α
,cotg
α
. Kq
2
sin
α
=
4
26 +
Bài 9 : Cho sin
α
=
5
2

với 90
0
<
α
<180
0
.Tính cos
α
,tg
α
,cotg
α
. Kq
2
cos
α
=
5
21
−
-24-
Bài 10 : Cho biết
a) sin
α
=
3
2
, tính A =
tgαgα
tgαgα

+
−
cot
cot
Kq
2
A =
9
1
b) tg
α
= -2 , tính B =
αα
αα
sincos
sincos
−
+
Kq
2
B =
3
1
−
c) tg
α
=3 , tính C =
αααα
αα
2

coscossin3
2
sin2
2
cos5
2
sin
++
−
Kq
2
C =
7
1
d) cos
α
=
3
2
, tính D =
αα
αα
gtg
gtg
cot
cot
−
+
Kq
2

D =
e) sin
α
=
12 −
và 0
0
<
α
<90
0
, tính E =
α
αα
cos
cot2 gtg −
Kq
2
E =
2
324 +
−

f) cotg
α
= 5 , tính F =
α
ααα
2
sin

cossin
2
cos −
Kq
2
F = 20
Bài 11 : Rút gọn các biểu thức sau
A =(1+cos
α
)cotg
2
α
(1-cos
α
) Kq
2
A = cos
2
α

B = cos
2
a +cos
2
acotg
2
a Kq
2
B = cotg
2

a
C =
α
α
α
α
cos1
sin
sin
cos1
+
−
−
Kq
2
C = 0
D = sin
4
x + cos
4
x + 2sin
2
xcos
2
x-1 Kq
2
D = 0
E =
gygx
tgytgx

cotcot +
+
Kq
2
E = tgxtgy
F = (sin
α
+cos
α
)
2
-1-2sin
α
cos
α
Kq
2
F = 0
G = cos10
0
+ cos20
0
+ cos30
0
+…+ cos170
0
+ cos180
0
Kq
2

G = -1
H =
)
0
180(cot)
0
180sin(
)
0
90(cot
)
0
90(cot)
0
90cos(
αα
α
αα
−−−
−
−−−
g
g
g
Kq
2
H = -1
I = cos20
0
+ cos40

0
+…+ cos160
0
+ cos180
0
Kq
2
I = -1
J = sin(90
0
-
α
) + sin(180
0
-
α
)-cos
α
+sin
α
Kq
2
J = 2sin
α

K = 2sin
α
-3cos(90
0
-

α
)+tg90
0
-
α
)+2cotg(180
0
-
α
)+2sin
α
-3cotg
α
Kq
2
K = sin
α
-4cotg
α
L = sin
2
10
0
+sin
2
20
0
+sin
2
30

0
+…+sin
2
70
0
+sin
2
80
0
+sin
2
90
0
Kq
2
L = 5
M = cos
2
15
0
+cos
2
25
0
+ cos
2
45
0
+ cos
2

65
0
+cos
2
75
0
Kq
2
M =
2
5
Bài 12 : Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau
a) sin
6
α
+ cos
6
α
= 1 - 3sin
2
α
cos
2
α

b)
α
α
α
α

sin1
cos
cos
sin1
+
=
−

c) tg
2
α
- sin
2
α
= tg
2
α
sin
2
α

d)
α
αα
αα
6
2
cos
2
cot

2
sin
2
tg
g
tg
=
−
−

e)
α
α
αα
2
sin1
2
cos1
2
cos
2
sin2
+=
+
+

f)
α
αα
α

2
sin
1
2
cot
2
2
cos
1
=+− gtg
g)
xx
x
x
x
sin
2
cos1
cos1
cos1
cos1
=
+
−
+
−
+

(0
0

< x < 90
0
)
-25-