Sáng kiến kinh nghiệm SKKN một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến tích phân

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN
LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH PHÂN"

1


2


A.

ĐẶT VẤN ĐỀ.

Theo A.A.Stoliar: Dạy toán là dạy hoạt động toán học(A.A.Stoliar 1969 tr.5). Ở
trƣờng phổ thông, đối với học sinh có thể giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động
toán học. Các bài toán ở trƣờng phổ thông là một phƣơng tiện rất có hiệu quả và không
thể thay thế đƣợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hoàn
thành kĩ năng, kĩ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy
học toán ở trƣờng phổ thông.
Toán học là môn học nghiên cứu về “ hình và số”. Môn toán đƣợc chia thành nhiều
phân môn nhỏ : đại số, hình học, giải tích… Trong đó giải tích là ngành toán học nghiên
cứu về khái niệm, tính chất của giới h¹n, đạo hàm, nguyên hàm, tích phân. Các yếu tố
đƣợc nghiên cứu trong giải tích thƣờng là mang tính chất “động” hơn là “tĩnh”. Vì vậy tổ
chức có hiệu quả việc dạy giải các bài toán giải tích trong trƣờng THPT là rất khó khăn.
Qua các tài liệu về giáo dục toán học, qua thực tiễn sƣ phạm, qua các quá trình quan sát
có thể nhận thấy rằng : học sinh rất lúng túng, gặp nhiều khó khăn và sai lầm khi đứng
3

trƣớc những bài toán giải tích nói chung và các bài toán nguyên hàm, tích phân và ứng
dụng nói riêng. Trên thực tế khi dạy toán giải tích lớp 12, chƣơng : Nguyên hàm, tích
phân và ứng dụng, tôi phát hiện ra những lúng túng, sai lầm của học sinh khi giải những
bài toán liên quan đến tích phân.
Những khó khăn, sai lầm của học sinh đƣợc thể hiện trong quá trình làm bài tập, làm
bài kiểm tra, các bài thi. Tôi nhận thấy rằng để các em tự tin khi gặp các bài toán liên
quan đến tích phân, để các em có hứng thú giải các bài toán về tích phân, thì tôi phải
giúp các em tháo gỡ những khó khăn, sai lầm trên. Bên cạnh đó, trong đề thi tốt nghiệp
THPT, đề thi đại học – cao đẳng hàng năm thì bài toán liên quan đến tích phân là không
thể thiếu.
Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu là : “Một số sai lầm thường gặp
khi giải các bài toán liên quan đến tích phân”.
Đúng nhƣ Polya đã viết : “Con ngƣời phải biết học những sai lầm và những thiếu sót
của mình.”
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
4


I. Thực trạng.
Khi dạy chƣơng III “ Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ”(Giải tích 12), tôi nhận
thấy học sinh thƣờng gặp những khó khăn, sai lầm sau:
- Tính tích phân rất máy móc: Không để ý hàm số cần tính tích phân có nguyên hàm trên
đoạn lấy tích phân không, các phép biến đổi hàm số, biến số có tƣơng đƣơng không.
- Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân.
- Không nắm vững phƣơng pháp đổi biến số; phƣơng pháp tích phân từng phần.
- Không nắm vững công thức và vận dụng đúng công thức tính diện tích hình phẳng, thể
tích khối tròn xoay.
II.Các giải pháp của sáng kiến.
Khi phát hiện những khó khăn, sai lầm mà học sinh gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải

pháp nhƣ sau :
1.

Hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh chưa nắm vững.

5


-

Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm đƣợc bản chất các

khái niệm, định nghĩa, định lý đó.
-

Chọn hệ thống ví dụ, phản ví dụ minh họa cho khái niệm, định nghĩa, định lý.

-

Chỉ ra các sai lầm dễ mắc phải.

2.

Rèn luyện kĩ năng, tư duy, phương pháp.

-

Kĩ năng : lập luận vấn đề, chọn phƣơng án phù hợp để giải quyết bài toán.

-

Tƣ duy : Phân tích, so sánh, tổng hợp.

-

Phƣơng pháp : phƣơng pháp giải toán.

3.

Đổi mới phương pháp dạy học.

-

Sử dụng phƣơng pháp dạy học phù hợp với từng đơn vị kiến thức, từng đối tƣợng

học sinh: vấn đáp gợi mở, thuyết trình…
-

Sử dụng phƣơng tiện dạy học : bảng phụ, phiếu học tập, giáo án điện tử…

6


4.

Đổi mới kiểm tra, đánh giá.

-

Kiểm tra: Kết hợp tự luận, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan ở nhiều mức độ nhận

thức.
-

Đánh giá: Giáo viên đánh giá học sinh, học sinh đánh giá học sinh.

5.

Phân dạng bài tập và phương pháp giải.

-

Phân bài tập và phƣơng pháp giải theo chủ đề : bài toán tính tích phân (Tích phân

hàm số đa thức, tích phân hàm phân thức hữu tỷ, tích phân hàm vô tỷ, hàm số siêu việt,
hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, hàm số lƣợng giác…).Bài toán tính diện tích( Diện tích
hình phẳng giới hạn bởi 4 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 3 đồ thị, hình phẳng giới hạn
bởi 2 đồ thị, hình phẳng giới hạn bởi 1 đồ thị). Bài toán tính thể tích khối tròn xoay( quay
quanh Ox, quay quanh Oy).
-

Mỗi dạng bài tập đƣa ra phƣơng pháp giải, hệ thống ví dụ, bài tập tƣơng tự, bài tập

nâng cao.
-

Sau mỗi ví dụ minh họa có nhận xét, củng cố và khái quát( phát triển ) bài toán.

7

III. Những khó khăn, sai lầm phổ biến của học sinh THPT trong quá trình giải toán
về tích phân.
Học sinh thƣờng gặp những khó khăn, sai lầm sau đây khi giải những bài toán liên quan
đến tích phân và ứng dụng.
1. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa tích phân.
2

Ví dụ 1: Tính tích phân I =

1

 x  1

2

dx

0

*Học sinh đã trình bày nhƣ sau :
2

I=

1

 x  1

2

dx  
2

0

0

d x  1

x  12



1
x 1

2
0

 1  1  2

*Nguyên nhân của sai lầm trên là :

Hàm số y 

1

x  12

không xác định tại x = 1  [0 ;2] nên hàm số không liên tục trên

[0 ;2].Do đó không tồn tại tích phân trên.
*Nhƣ vậy cần ghi nhớ :

8


b

Tích phân I =  f x dx chỉ tồn tại khi hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b]. Khi hàm số liên
a

tục thì ta mới có thể vận dụng các phƣơng pháp đã học dể tính tích phân trên. Còn nếu
không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại.
Đa số học sinh cho rằng đề bài yêu cầu tính tích phân thì mặc định tồn tại phép tính tích
phân đó.

2. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm để tính tích phân.
1

3
Ví dụ 2: Tính tích phân I =  3x  1 dx
0

*Học sinh đã trình bày nhƣ sau :
1

1
3

4
I =  3x  1 dx  3x  1
4
0

1
0



15
4

*Nguyên nhân của sai lầm trên là :học sinh đã vận dụng công thức trong bảng nguyên
hàm :  x n dx 

1
x n 1  C
n 1

9


Mà lẽ ra phải vận dụng công thức :  u n .u ' dx 

1 n 1
u C
n 1

*Lời giải đúng :

1 1
3 d 3 x  1
4
 . 3x  1
Ta có : I =  3x  1 dx   3x  1
3
3 4
1

1

1

3

0



0

0

15
12

3. Sai lầm khi biến đổi hàm số.
3

Ví dụ 3 : Tính tích phân I =



x 2  4 x  4dx

0

*Học sinh đã trình bày nhƣ sau :
3

I=

3



x  4 x  4dx  

0

0

2

x  2

 x2

dx   x  2dx  
 2 x 

 2

0
3

2

3
0



3
2

*Nguyên nhân của sai lầm :
Phép biến đổi : x  22  x  2 , x  0;3 là không tƣơng đƣơng.
*Lời giải đúng :

10


3

I 

3

0

 2

2



3



2 

x  22 dx   x  2 dx   2  x dx   x  2dx   2 x  x
0

0



2

2

 x2

 
 2 x 
0
 2


2

3



0

1 5

2 2

*Học sinh cần ghi nhớ :

b

Do đó :



b

2n

f

2n

x dx  

a

2n

f

2n

x   f x  , n   *

f  x  dx , ta xét dấu f(x) trên [a;b]

a



Ví dụ 4 : Tính tích phân I =



1  sin 2 x dx

0

*Học sinh đã trình bày nhƣ sau :






0

0

I   1  sin 2 x dx   1  2 sin x cos x dx  
0

sin x  cos x 





cos x  sin x 2 dx   cos x  sin x dx 
0

 11  2

0

*Nguyên nhân của sai lầm :
Phép biến đổi : cos x  sin x 2  cos x  sin x , x  0;   là không tƣơng đƣơng.
*Lời giải đúng :

11




I 

cos x  sin x 

2

sin x  cos x 

3
4

0

0

dx   cos x  sin x dx   cos x  sin x dx 

0
3
4





 sin x  cos x 

3
4

0



 cos x  sin x dx

3
4

 2 2 1

4. Sai lầm khi dùng công thức không có trong SGK hiện hành.
2

Ví dụ 5 : Tính tích phân I =


1

1
dx
x 2  4x  5

*Học sinh đã trình bày nhƣ sau :
2

dx  arctan x  2
2
1  x  2  1

I 

1

2
1

  
 0    
 4 4

*Nguyên nhân của sai lầm :

Học sinh dùng công thức không có trong SGK hiện hành:

x

1
dx  arctan x  C
1

2

*Lời giải đúng :
Đặt





x  2  tan t  dx  1  tan 2 t dt

Đổi cận :

x 1 t  


4

x2t 0

12


0

Khi đó : I 

1  tan t dt 

 tan



0

2

2

t 1

4

 dt  t




0






4


4

4

*Học sinh cần chú ý tích phân đối với hàm số : y 

1

 x  x 0 2  a 2

thì ta đặt :

x  x0  a tan t .

5. Sai lầm khi vận dụng phương pháp đổi biến số.
6

Ví dụ 6 : Tính tích phân I =



3  2x
1  4x

2

dx

*Học sinh đã trình bày nhƣ sau :

Đặt

u  1  4 x  u 2  1  4 x  dx 

 5u u 3 
u2  5
du    
4
 4 12 
2

6

I 

6
2



udu
2

67
3

*Nguyên nhân của sai lầm :
Học sinh đổi biến nhƣng không đổi cận.
*Lời giải đúng :
13


Đặt

u  1  4 x  u 2  1  4 x  dx 

Đổi cận :

udu
2

x2u 3
x6u 5

 5u u 3 
u2  5
du    
4
 4 12 
3

5

Khi đó : I  

1
4

Ví dụ 7 : Tính tích phân I =

5



3

x3



1 x

0

2

128
12

dx

*Học sinh đã trình bày nhƣ sau :
Đặt x  sin t  dx  costdt
x0t 0

Đổi cận :

x

1
1
 t  arcsin
4
4

arcsin

Khi đó : I 

1
4

 sin
0

arcsin
3

tdt 

1
4

 cos3 t

cos t  1 d cos t  
 cos t 
 3



0

2



ar sin

1
4

0

Học sinh lúng túng không tính ra đƣợc kết quả vì số lẻ.
*Nguyên nhân của sai lầm :

14


Khi hàm số cần tính tích phân có chứa

a2  x2

học sinh thƣờng sử dụng cách đặt x =

asint hoặc x = acost. Tuy nhiên giáo viên cần chú ý các em có thể đổi biến số theo cách
đặt thông thƣờng

u  a2  x2

*Lời giải đúng :
Đặt

u  1  x 2  u 2  1  x 2  xdx  udu

x  0  u 1

Đổi cận :

x

Khi đó : I 

1
15
u 
4
4

15
4

 u3

u  1 du    u 
 3



1

2



15
4
1



2 33 15

3
192

6. Sai lầm khi vận dụng phương pháp tích phân từng phần.

2

Ví dụ 8 : Tính tích phân I =  x sin xdx
0

*Học sinh đã trình bày nhƣ sau :

Đặt

u  x
u '  1

 '
v  sin x v   cos x

15




I   x cos x


2
0

2

  cos xdx  1
0

*Nguyên nhân của sai lầm :
Học sinh hiểu sai bản chất phép đặt trong công thức lấy tích phân từng phần
*Lời giải đúng :

Đặt

u  x
du  dx


dv  sin xdx v   cos x



Khi đó : I   x cos x


2
0

2

  cos xdx  sin x


2
0

1

0

7. Sai lầm khi sử dụng sai công thức tính diện tích hình phẳng.
Ví dụ 9 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng :

y  x 2  1;

x = 2; trục tung và

trục hoành.
*Học sinh đã trình bày nhƣ sau
2
 x3

S   x 2  1 dx  
 x 
 3

0





2
0



2
(đvdt)
3

16


*Nguyên nhân của sai lầm :
Công thức tính diện tích giới hạn y = f(x), trục hoành và hai đƣờng thẳng x = a ; x = b
b

là : S   f x  dx . Do đó, khi tính S phải xét dấu f(x) trên [a ;b].
a

*Lời giải đúng :

x3 
S   x  1 dx   1  x dx   x 2  1 dx   x  
3 

0
0

1
2

1

2



2



2





 x3

 
 x 
0
 3


1

2

1

 2 (đvdt)

8. Sai lầm khi xác định sai miền hình phẳng cần tính diện tích .
Ví dụ 10 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng : y  x ; y = x – 6 và trục
hoành.
*Học sinh đã trình bày nhƣ sau :
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :

17


x  4
2
x  6  x  x  6  x   x 2  13 x  36  0  
x  9

9

S
4

9

x  x  6 dx  
4





 2 3 x2

x  x  6 dx  
x 
 6 x 
2
3


9
4



91
(đvdt)
6

*Nguyên nhân của sai lầm :
- Phép biến đổi x  6  x  x  6  x2 là không tƣơng đƣơng.
- Hình phẳng mà học sinh xác định là giới hạn bởi hai đồ thị y  x ; y = x – 6 (miền
AOB) trong khi miền cần tính là miền AOC.

18


*Lời giải đúng :
Phƣơng trình hoành độ giao điểm của các đồ thị :

6  x  0
x 6x
 x4
2
 x  6  x 

+

x 0 x0

+

+ 6 x0 x6
Khi đó :
4

S
0

6

2 3
x dx   6  x dx 
x
3
4

 x2

 

 6 x 
0
 2

4

9
4



22
(đvdt)
3

9. Sai lầm khi vận dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.
Ví dụ 11 : Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng sau quay quanh Oy : y = lnx ; y =
0 ; x = 1 ; x = 2.
*Học sinh đã trình bày nhƣ sau :
Ta có :

y  ln x  x  e y

19


2

 VOy    e 2 y dy  
1

e2y
2

2
1




2

e

4

 e2



(đvtt)

*Nguyên nhân của sai lầm :
Học sinh đã mắc phải hai sai lầm nghiêm trọng sau :
d

+ Trong công thức

VOy    x 2 dy thì

cận là các giá trị của biến y, ở đây học sinh chƣa đổi

c

cận.
+ Thể tích khối tròn xoay tạo thành là hiệu thể tích của hai khối tròn xoay do đƣờng
cong y = lnx và đƣờng x = 2 quay quanh Oy trên [0;ln2].
*Lời giải đúng :
Ta có :

y  ln x  x  e y

Đổi cận :

x 1 y  0
x  2  y  ln 2

y

20


y=lnx

ln2

o

1

 VOy  

 2

ln 2

2

2



 e 2 y dy   (4 y 

0

x

e2y
)
2

ln 2
0


   4 ln 2 


3


2

(đvtt)

IV. Bài tập đề nghị.
1.Tính các tích phân sau :

2

a.

 2 x  3
1

3

1

2

dx

b,




tan 2 x  cot 2 x  2dx

6

21




c,



7

1  sin 2 x dx

0

d,


0

x3
1 x2

dx

2.: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số :
a, y  x 2 ; y  3x  10; y  1 (miền x > 0)
b, y  x 2 ; y  2  2 x  2

3.Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng sau quay quanh Ox , Oy :
a, y  x 2 ; x  2 ; trục tung và trục hoành.
b, y = lnx; x = e ;trục Ox.

V. Hiệu quả do sáng kiến đem lại.
Năm học 2012 – 2013 tôi đƣợc phân công giảng dạy hai lớp 12C8 và 12C10 và năm học
này đề tài nghiên cứu của tôi đƣợc áp dụng, trải nghiệm thực tế. Học sinh cũng gặp phải
những khó khăn nhất định trong việc giải các dạng toán tích phân đã nêu.

22


2

Chẳng hạn với bài tập : Tính tích phân I =

1

 x  1

2

dx .

0

Với lớp 12C8: Sau khi học xong định nghĩa tích phân tôi đƣa ra ví dụ trên để học sinh tự
làm. Rồi từ kết quả của bài toán tôi phân tích tỉ mỉ, cho học sinh nhận xét để đƣa ra ghi
nhớ cuối cùng.

Với lớp 12C10: Tôi hƣớng dẫn, phân tích những sai lầm thƣờng gặp khi làm các bài
tập tích phân, sau đó tôi đƣa ra các ví dụ trên để học sinh áp dụng.
Kết quả thu đƣợc nhƣ sau :

Lớp

Sĩ số HS giải đúng

HS giải sai

HS

không

giải

đƣợc

12C8

40

12C10 42

8(20%)

25(62,5%)

7(17,5%)

35(83,3%)

5(12%)

2(4,7%)

Kết quả cho thấy điểm của lớp thực nghiệm 12C10 cao hơn so với lớp đối chứng
12C8.
23


Qua nghiên cứu, ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào thực tiễn giảng dạy tôi thấy
kết quả đạt đƣợc là rất khả quan.
Thời gian cuối năm khi dạy ôn tập, tôi hệ thống lại kiến thức cơ bản cũng nhƣ nghiên
cứu những sai lầm thƣờng mắc phải trong kiến thức, kĩ năng, tƣ duy làm bài và cho học
sinh một số bài tập ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học – cao đẳng thì kết quả thu đƣợc rất
khả quan.
Chẳng hạn :


Bài 1 : Tính tích phân

I =  x1  cos x dx (Trích đề thi tốt nghiệp năm 2009)
0

Kết quả thu đƣợc nhƣ sau :

Lớp

Sĩ số HS giải đúng

HS giải sai

HS

không

giải

đƣợc

12C8

40

36(90%)

3(7,5%)

1(2,5%)

24


12C10 42

35(83,3%)

6(14,3%)

1(2,4%)

Bài 2 :Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đƣờng: y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích
của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. (Trích đề thi đại học khối B
năm 2007 )
Kết quả thu đƣợc nhƣ sau :

Lớp

Sĩ số HS giải đúng

HS giải sai

HS

không

giải

đƣợc

12C8

40

12C10 42

32(80%)

6(15%)

2(5%)

33(78,5%)

5(12%)

4(9,5%)

C.

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.

Đề tài nghiên cứu của tôi đã phân tích đƣợc một số khó khăn, sai lầm thƣờng gặp của
học sinh khi giải các bài toán liên quan đến tích phân. Với lƣợng kiến thức nhất định về
25