Sáng kiến kinh nghiệm SKKN một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9
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SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
“MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG
MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9”
M
U
I L DO CHỌN SÁNG KIẾN
C
C
. Trong
khi
,
,t
.
.
II M C CH NHIỆM V
NGHI N CỨU
M
ỐI TƯ NG NGHI N CỨU V
ứ
-
ứ
PHƯƠNG PHÁP
3. P
ứ
-
B NỘI DUNG
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI C N
NHỚ
1. H
ax by c
a ' x b ' y c '
(1)
(2)
a 2 b2 0
x; y
C
V
3x 2 y 4
2 x y 5
.
(1)
(2)
:
:
3x 2 5 2 x 4
y theo x
Hay 7 x 14 .
7 x 14
x 2
y 5 2x
y 1
sau:
:
x; y 2; 1 .
y 5 2x
a '2 b '2 0 .
- Nhân
4 x 2 y 3x 2 y 10 4 Hay 7 x 14 .
7 x 14
x 2
2 x y 5 y 1
x; y 2; 1 .
:
3x 2 y 4
2 x y 5
D
3 2
2 1
3.1 2.2 7 0; Dx
4 2
5
1
4.1 5.2 14; Dy
3 4
2
5
3.5 2.4 7
Dx 14
x D 7 2
y Dy 7 1
D 7
ứ
2. H
T
0;
C
y0
0;
S x y
P xy
x y xy 11
2
2
x y 3 x y 28
V
:
S x y
P xy
(1)
S P 11
2
S 2 P 3S 28 (2)
x0
S2 4P 0
P 11 S
S 2 2 11 S 3S 28 hay S 2 5S 50 0.
S 5; S 10.
S 5
P 6,
nên x, y
t 2
t 2 5t 6 0 t 2 t 3 0
t 3
Suy ra x; y 2; 3
S 10
x; y 3; 2 .
P 21,
nên x, y
t 3
t 10t 21 0 t 3 t 7 0
t 7
Suy ra x; y 3;
7
x; y 7;
3 .
2; 3 ; 3; 2 ; 3;
H
ứ
T
0;
y0
0;
C
x y 0
x y .f x, y 0
f x, y 0
x 3 1 2 y (1)
3
y 1 2 x (2)
V
:
x0
7 ; 7; 3 .
x3 y 3 2 y x
x y x 2 xy y 2 2 0
2
y 3
x y 0 (V × x xy y 2 x y 2 2 0 x, y )
2 4
y x.
2
Thay
2
yx
x 1
x 2 x 1 0 x 1 x x 1 0
x 1 5
2
3
2
1; 1 ;
1 5 1 5 1 5 1 5
;
;
;
.
2
2
2
2
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
P
.T
DẠNG
T
ó
ớ
x 2 y 1 0
2
2
x y xy 1 0
V
:
y
y
x 2 y 1 0
2
2
x y xy 1 0
x 2 y 1
2
2
2 y 1 y y 2 y 1 1 0
x 2 y 1
5 y y 1 0
x 2 y 1 x 1
y 0
y 0
x 2 y 1 x 1
y 1
y 1
1; 0 ; 1; 1 .
N
V
x 2 y 1 x y 1 3x 2 4 x 1
2
xy x 1 x
(1)
(2)
:
0; y .
x0
Khi x 0
y 1
x2 1
x
2 x 2 1
x2 1
2
x
x
3x 4 x 1
x
x
2
x 1
y 1 x
x 2 1 2 x 2 1 x 1 3 x 1
x2 1
y 1
x
x 1
x 1
2 x x 1 x 2 0
y 1
x 2
x 2
x2 1
x2 1
y 1
x
y 5
y 1 x
2
2
1;
5
1 ; 2; .
2
N
0; y
x0
y 1
x2 1
x
V
2
2
x y 10 x 0
2
2
x y 4 x 2 y 20 0
:
L
y 7 x 10
x 2 y 2 10 x 0
y 7 x 10
x 2 7 x 10 2 10 x 0
y 7 x 10
x 2 3x 2 0
y 7 x 10
x 1
x 1
y 17
x 2
x 2
y 7 x 10
y 24
1;
N
17 ; 2; 24 .
Tuy
V
x y xy 2 x y 5 xy
x y xy 3 x y 4 xy
4
:
Dễ
xy0
x ; y víi x 0; y 0 hay x 0;
y 0
xy 0.
xy 0
1 1
x y 2x y 5
1 1 3x y 4
x y
Suy ra
Thay
5 2x y
x 2 y 1
1 1
4 3x y x 2y 1
x y
:
x 2 y 1
2 y 1 y 2 y 1 y 3 2 y 1 y 4 y 2 y 1
x 2 y 1
x 2y 1
2
3
2
10 y 19 y 10 y 1 0
y 1 10 y 9 y 1 0
x 2y 1
41 1
41 1
y 1
x
x
x 1
10
10
hoÆc
hoÆc
9 41
y
y
1
9 41
9 41
20
y 20
y 20
9 41
y 20
41 1 9 41 41 1 9 41
;
;
;
.
20 10
20
10
0; 0 ; 1; 1 ;
N
:
x y xy 2 x y 5 xy
x y xy 3 x y 4 xy
x y xy 3 x y x y xy 2 x y 4 xy 5 xy
x y xy 3 x y 4 xy
xy x 2 y 1 0
x y xy 3 x y 4 xy
x 0
x y xy 3 x y 4 xy
y 0
x y xy 3 x y 4 xy
x 2 y 1
x y xy 3 x y 4 xy
thu,
V
5
x3 y 3 9
(Thi häc k × 2 líp 9 n¨m häc 2011- 2012 Së Hng Yª n)
2
2
x 2 y x 4 y
:
3
3
x y 9
2
2
x 2 y x 4 y
3
3
x y 9
2
2
3 x 2 y 3 x 4 y
x 3 y 3 9
x 3 y 3 3x 2 3x 6 y 2 12 y 9
2
2
2
2
3 x 3 x 6 y 12 y 9 9
x 2 y x 4 y
x 13 y 2 3
x 1 y 2
2
2
2
2
x 2 y x 4 y
x 2 y x 4 y
x y 3
x y 3
2
2
2
y 3 2 y y 3 4 y
y 3y 2 0
x 2
y 1
x 1
y 2
1;
2 ; 2; 1 .
N
trên.
B I TẬP.
Bài 1:
x 3 y 3 3 x y
1)
x y 1
x y 1
4) 3
3
2
2
x y x y
x 2y 1 0
2) 2
2
x y xy 1 0
x y 4
3)
2
x 1 y xy 4 y 2
x 3 y 3 1
5) 5
5
2
2
x y x y
x 3 y 3 35
6) 2
2
2 x 3y 4 x 9 y
3
3
x y 9
7) 2
2
x 2 y x 4 y
2
x 5 x y 9
8) 3
2
2
3 x x y 2 xy 6 x 18
Bài 2:
x y m 1
(m là tham sè)
2
2
2
x y xy 2m m 3
=
DẠNG
M
ủ
ó
ể
ề
.
x 2 5 xy 6 y 2 0
2
2
2 x y 1
V
:
x 2 5 xy 6 y 2 0
2
2
2 x y 1
x 2 y x 3 y 0
2
2
2 x y 1
x 2 y
x 2 y
x 2 y
2
2
2
2
2
2 x y 1 2 2 y y 1 9 y 1
x
3
y
x 3y
x 3y
2
2
2
2 x y 1 2 3 y y 2 1
19 y 2 1
3 19
3 19
2
2
x
x
x
x
19
19
3 hoÆc
3 hoÆc
hoÆc
19
19
y 1
y 1
y
y
3
3
19
19
19
2 1 2 1 3 19
3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 19 ; 19 ;
3 19 19
;
.
19
19
N
V
.
2 x 2 y 2 xy y 5 x 2 0 (1)
2
2
(2)
x y x y 4 0
:
(TS Chuyên Toán H ng Yª n 2011 2012)
D
x y 2 2 x y 1 0
2
2
x y x y 4 0
2 x 2 y 2 xy y 5 x 2 0
2
2
x y x y 4 0
x y 2 0
(a)
2
2
x y x y 4 0
2x y 1 0
(b)
x 2 y 2 x y 4 0
G
:
y 2 x
x y 2 0
y 2 x
x 1
2
2
2
2
2
y 1
x y x y 4 0
x 2x 1 0
x 2 x x 2 x 4 0
(b):
2 x y 1 0
2
2
x y x y 4 0
x 1
y 1
y 2 x 1
y 2x 1
2
2
x 4
2
5 x x 4 0
5
x 2 x 1 x 2 x 1 4 0
13
y
5
4 13
;
.
5
5
1; 1 ;
N
:
(1) 2 x 2 y 5 x y 2 y 2 0
x 9 y 2 18 y 9 3 y 3
2
y 5 3y 3 y 1
y 5 3y 3
; x
y 2
4
2
4
y 1
*) Khi x
y 2 x 1 thay vo phương tr ì nh (2) ta cú được :
2
4
5 x 2 x 4 0 x 1;
5
x
4 13
Khi đó ta được nghiệm của hệ l x; y 1; 1 ; ;
.
5
5
*) Khi x y 2 y 2 x thay vo (2) ta cú : 2 x 2 2 x 1 0 x 1
Khi đó ta được nghiệm của hệ l x; y 1; 1 .
4 13
Vậy tập nghiệm của hệ đ cho l x; y 1; 1 ; ;
.
5
5
-
V
2 xy
2
2
x y x y 1 (1)
(Thi HSG tỉnh Hưng Yê n năm học 2011 2012)
x y x2 y
(2)
:
*) ĐK : x y 0
Ta có (1) x y
2
2
x y
2
x2 y 2
x y
x y x2 y 2 x y
2
x y
1
x2 y2 x y
0
x y 1 x 2 y 2 x y 1 x y
x y
0
x2 y 2
x y 1
1 0
x
y
x y 1 0
(V × x y 0 nª n
x2 y 2
1 0)
x y
x y 1
Thay v¯o pt (2) ta ®îc : 1 x 2 1 x x 2 x 2 0 x 1 hoÆc x 2.
Tõ ®ã suy ra hÖ ®± cho cã 2 nghiÖm x; y 1; 0 ; 2; 3.
N
-
sau:
x2 y 2
2 xy
1
x y
x 2 y 2 2 xy 1
2 xy
2 xy 0
x y
1
2
x y 1 2 xy
1 0
x y
x y 1 x y 1 x y 2 xy x y 1 0
x y 1 x y x y 1 2 xy 0
x y 1 x 2 y 2 x y 0
x y 1 0
V
Do x y 0 nên x
2
y2 x y 0
x2 4y2 5
4 xy x 2 y 7
4
:
x
2
4 xy 4 y 2 x 2 y 12
x 2 y x 2 y 12 0
2
x 2 y 4 x 2 y 3 0
x 2 y 4 hoÆc x 2 y 3
D
x 2 y 4
(a)
4
xy
x
2
y
7
x2 4y2 5
x 2 y 3
4 xy x 2 y 7
(b)
4 xy x 2 y 7
x 2 y 4
x 2 y 4
x 2 y 4
2
4 xy x 2 y 7
8 y 16 y 11 0
4 y 2 y 4 2 y 4 2 y 7
8y 2 16 y 11 0
' 24 0
x 3 2 y
4 y 3 2 y 3 2 y 2 y 7
x 2y 3
4 xy x 2 y 7
x 3 2y
x y 1
y 1
x 2
1
y 1
y
2
2
x 3 2y
2
2 y 3 y 1 0
2
1; 1 ;
1
2; .
2
N
B I TẬP
3
2
2
3
x 6 x y 9 xy 4 y 0
1)
x y x y 2
y 3
x y x3
x
2)
x y x x3
D
xy x y x 2 2 y 2
3)
x 2 y y x 1 2 x 2 y
2
2
x y x y 1 x y
4)
x y 1
3 x y 2 xy
5)
2
2 x y 8
x y 2
7) 2
2
4 x y 5(2 x y ) xy
x 3 4 y y 3 16 x
6)
2
2
1 y 5(1 x )
x 2 3 x( y 1) y 2 y ( x 3) 4
8)
x xy 2 y 1
x 2 xy 2 y 2 y 2 2 x
9)
y x y 1 x 2
2
y 5 x 4 4 x
10)
2
2
5 x y 4 xy 16 x 8 y 16 0
2 x 2 2 xy y 5
11) 2
y xy 5 x 7
x 2 x y 2 y
12) 2
2
x y 3 x y
1
1
x x y y
14)
2 y x3 1
3
3
x 7 x y 7 y
13) 2
2
x y x y 2
2
2
x y x y 4
15)
x x y 1 y y 1 2
2. P
u f x; y ; v g x; y
ỉ
0
V
ỉ
.
x 2 y 2 xy 1 4 y
(1)
(Thi HSG tØnh Hng Yªn n¨m häc 2010-2011)
2
2
y
x
y
2
x
7
y
2
(2)
:
x; y
* Khi y 0
=
x2 1
y x y 4
2
x y 2 2. x 1 7
y
x2 1
u
y
v x y
u v 4
2
v 2.u 7
u v 4
u 4 v
u 1
u 9
u 4 v
2
2
hoÆc
2
v 2 4 v 7
v 3
v 5
v 2.u 7
v 2v 15 0
u 1
v 3
x2 1
1 y x2 1 x2 x 2 0
x 1
x 2
hoÆc
y
y 2
y 5
y 3 x
y 3 x
x y 3
u 9
v 5
x2 1
9
9 y x 2 1 x 2 9 x 46 0
y
y
5
x
y 5 x
x y 5
x 2 9 x 46 0
103 0
1; 2 ; 2; 5 .
N
y 0.
V
4
2
2
x 4x y 6 y 9 0
.
2
2
x y x 2 y 22 0
:
( x 2 2) 2 ( y 3) 2 4
( x 2 2) 2 ( y 3) 2 4
2
2
2
2
( x 2) y x 22 0
( x 2 4)( y 3 3) x 2 20 0
x2 2 u
y 3 v
u 2 v 2 4
u.v 4(u v) 8
u 2
v 0
x 2 x 2
;
;
y 3 y 3
x 2
;
y 5
u 0
.
v 2
x 2
.
y 5
N
-
V
.
3
2
2
7
2
4 xy 4 x y
x y
2 x 1 3
x y
:
*
x y 0.
*
3
2
7
2
4 xy 4 x y 2 xy
x y
x y 1 x y 3
x y
3
2
7
2
4 x y 4 xy
x y
x y 1 x y 3
x y
1
2
2
3 x y
x y 7
2
x y
1
x y x y x y 3
*
1
; u 2
u x y
x y
v x y
*
u, v
3 u 2 2 v 2 7
u v 3
3 u 2 2 v 2 7
3u 2 v 2 13 u 2
u
v
3
u
v
3
v 1
1
2
x y 1 x 1
x y
x y
x y 1 y 0
x y 1
*
x 1
.
y 0
N
x y
V
4.
2
:
5
2
3
2
x y x y xy xy 4
(§Ò tuyÓn sinh §¹i häc khèi A n¨m 2008)
x 4 y 2 xy (1 2 x) 5
4
:
5
2
2
x
y
xy
(
x
y
)
xy
4
.
5
2
2
( x y ) xy
4
5
a
ab
b
4
a 2 b 5
4
x y a
xy b
2
5
5
2
a ab b 4
b 4 a
a 2 b 5
a 5 a a3 5 a 2 5
4
4
4
4
a
5
3
2
a a 4 0
a 0; b 4
a 1 ; b 3
b 5 a 2
4
2
2
a 0
5 ,
b
4
1
a
2
b 3
2
3
10
x2 y 0 y x2
x
2
5 3 5
3
xy
x
y 100
4
4
4
1
2
1
x
y
2
x 1
y x
2
2
3
3
y
3
xy
2 x x 3 0
2
2
3 10
:
2
;
3
100
;
4
3
1; .
2
N
Ví d 5. Gi i h
:
x y 1 1 4 x y 2 3. x y
3
2 x y
2
x y 0
*
t x y; t 0.
:
1 2t
2t 1 2t 1
t 1 3t
1
1 2t
2t 1 0
t 1 3t
1
1
t (Do t 0 nên
2t 1 0).
2
t 1 3t
2
1
x 3
x y 2
2 x y 3
y 1
2
6
D
1
2
; .
6
3
N
ỉ
ỉ
B I TẬP.
x 1 y y x 4 y
1) 2
x 1 y x 2 y
2
x y
x y 15
y x
3)
2
2
x y x 2 y 2 85
y 2 x 2
3
y
x 2 y 2 1 2. x 1
5)
x 2 y 2 4. x 22
y
2
2
2 2
x y x y 1 2 xy
7)
2
2
x x y xy y xy 1
x xy y 3 x y
9)
2
2
2
x xy y 7 x y
2
2
1
x y 1 5
xy
2)
xy 1 4
xy
x 2 y 2 y x 4 xy
4) 1
1 x
x 2 xy y 3
1
2
2 x x y 2
6)
y y 2 x 2 y 2 2
x y x 2 y 2 12
8)
y x 2 y 2 12
2
1 1
x x 1 4
y
y
10)
2
x x 1 4 x3
y 2 y y3
