Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 (repaired)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN MỸ

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình

không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9

Họ và tên:
Đơn vị:

Nguyễn Văn Hiến
THCS Đoàn Thị Điểm - Yên Mỹ - Hưng Yên

Năm học 2012 - 2013


9

MỤC ỤC
......................................................................................................................3
......................................................................................3
...........................................................................................................3
.......................................................................................................3
. .............................................................................................................4
..............................................................................4
.............................................................................................5
........................................................................................5
...................................................................................................................5
....... 5
........................................................................5
.........................................................................7

..........................................................................8
........9
........................................................................9
Ạ

:

Ạ

:

ó

ớ
ó

y

y ................9
. ................... 14

....................................................................................... 19
.......................................................................................... 25
Ạ ....................................................................................... 29
Ạ

............................................................................ 29
Ạ
ớ

y
y
ớ

.................. 35
.......................................... 35
............................................. 36
......................................... 36

................................................................................................................. 37
Ạ

......................................................................... 37

..................................................................................... 38
.................................................... 39
............................................................................................. 40
................................................................................................ 41

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

2


9

M
I

Đ

DO CH N SÁNG KIẾN

1 Cơ s l lu n

ó
y.
ớ
ớ

ó

y
y

ớ

y

ớ

y

:
y
y
y

ớ

.

ó

ó, ta

ó ó

ó

ớ ó

y

.

2 Cơ s thực tiễn

y

ớ

ớ

y
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

3

9

. Trong khi ó,
ớ
y

ó

.
ó

ớ

y
y, t
y

y
y

9
y
ớ
y

.

y

y
.
ớ
y

ó
y

y

y

y

ó
y

y
y

y

ớ

.

9”.
II MỤC Đ CH NHIỆM VỤ, Đ I T

NG NGHIÊN C

PHÁP NGHIÊN C
1 M c

VÀ PH

NG

.

ch nhiệm v nghiên c u

y
ớ

.

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

4


9

:

ó

ớ

ớ

.
ó

y
-

.

y

ớ
ó

y

y ó
.
2 Đối tư ng nghiên c u

y
y.
Phương pháp nghiên c u

y

:

y

-

y

-

.

.

-

.

-

ng kê.

.
N I D NG
I. M T S

HỆ PH

NG T

NH C

N C NG PH

NG PHÁP GI I

C N NH
1. Hệ h i phương trình b c nh t h i n

Định ngh :
ó

:

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

5


9

ax  by  c

a ' x  b ' y  c '

ó

(1)
(2)

ớ , a 2  b2  0

a '2  b ' 2  0 .

 x; y 
.
Cách giải:

:
y

-

;
y

-

.

y
3x  2 y  4

2 x  y  5

V d .

:

(1)
(2)

:
1:

)

-

ó y  5  2x

y theo x

y

: 3x  2 5  2 x   4 Hay 7 x  14 .
y

-

ớ

7 x  14
x  2

 y  5  2x
y 1

sau: 
y

ó

y

 x; y    2; 1 .

2:

)
ớ 2

-

ớ

:  4x  2 y   3x  2 y   10  4 Hay 7 x  14 .

ớ
y

-

ớ
7 x  14
x  2

2 x  y  5
 y 1

:

y

ó

y

 x; y    2; 1 .

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

6


9

ớ

:

ớ
ó

:
3x  2 y  4
ó:

2 x  y  5
D

3 2
4 2
3 4
 3.1  2.2  7  0; Dx 
 4.1  5.2  14; Dy 
 3.5  2.4  7
2 1
5 1
2 5

y

ó

Dx 14

 x  D  7  2
:
 y  Dy  7  1

D 7

y

2. Hệ phương trình ối

ng lo i một

Định ngh :

y
ớ
y

y
y

cho nhau).
T nh ch t:

(x0; y0

(y0; x0

.
Cách giải thư ng dùng:

S x y

ớ

P  xy

h

S2  4P  0

.

 x  y  xy  11

 2
2

 x  y  3  x  y   28

V d .
:
S x y

P  xy

ó

ó

:

(1)
 S  P  11
 2
 S  2 P  3S  28 (2)

(1) suy ra P  11  S

y

:

S 2  2 11  S   3S  28 hay S 2  5S  50  0.

y ó

: S  5; S  10.

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

7


9

S 5

P  6, nên x, y

:

t  2
t 2  5t  6  0   t  2  t  3  0  
t  3

Suy ra  x; y    2; 3
S  10

 x; y   3; 2 .

P  21, nên x, y

:

t  3
t  10t  21  0   t  3 t  7   0  
t  7

Suy ra  x; y    3;  7 

 x; y    7;

 3 .

ó

:  2; 3 ; 3; 2 ;  3;  7  ;  7;  3.

y
Hệ phương trình ối

ng lo i h i

Định ngh :

y
y
y

T nh ch t:

.

(x0; y0

(y0; x0

.
Cách giải thư ng dùng:
x  y  0
f  x, y   0

 x  y  .f  x, y   0  
ó

ớ

ó

.

 x3  1  2 y (1)
:  3

V d .


 y  1  2 x (2)

:
:
x3  y 3  2  y  x 

  x  y   x 2  xy  y 2  2   0
2

y 3

 x  y  0 (V ×x 2  xy  y 2  2   x    y 2  2  0 x, y )
2 4

 y  x.

Thay y  x

:

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

8


9

x  1
x  2 x  1  0   x  1  x  x  1  0  
 x  1  5

2
3

2

y

ó

1; 1;

:

 1  5 1  5   1  5 1  5 
;
;

; 
.
2   2
2 
 2

II M T S PH

NG PHÁP GI I HỆ PH

1 Phương pháp biến

NG T

NH KH NG M

M C

i tương ương

y
y
y

y

y
y

ớ

ó

n, phân tích thành tích, bình
ớ
y
ớ

.T

ó

.
DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình b c nh t ối với n h y n y

V d 1:

x  2 y 1  0

:

2
2
 x  y  xy  1  0

:
ó:
x  2 y 1  0
 2
2
 x  y  xy  1  0
 x  2 y  1

2
2
 2 y  1  y  y  2 y  1  1  0
 x  2 y  1

5 y  y  1  0
  x  2 y  1   x  1


y  0
y  0




 x  2 y  1  x  1


  y  1
  y  1
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

9


9

y

ó

Nh n

t:

:  1; 0 ; 1; 1 .

.

.
V d 2:

:
 x 2  y  1 x  y  1  3x 2  4 x  1


2
 xy  x  1  x

(1)
(2)

:
y x0

ó

 0; y  .
(2) ta có y  1 

Khi x  0

x2 1
x

y

:
 2  x 2  1 
x2 1 
2
x 
 x 
  3x  4 x  1
x 

  x 

x2 1

y

1


x

 x 2  1 2 x 2  1   x  1 3 x  1


x2 1
 y 1 
x


 x  1
 x  1

2 x  x  1  x  2   0

  y  1

  x  2


   x  2

x2 1
2

y

1

x

1


x

 y   5
 y  1  x
 
2
2

y

ó

5

: 1; 1 ;  2;  .
2




Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

10


9

Nh n

t:

 0; y 
ó ớ x0
ớ
V d

ó

y 1 

x2 1
x

.

:
2

2

 x  y  10x  0
 2 2

 x  y  4x  2y  20  0

:
y

y  7x  10

y

ớ

:

 x2  y2  10x  0

 y  7x  10
 x2   7x  102  10x  0

 y  7x  10
 x2  3x  2  0

 y  7x  10
  x  1
  x  1



 y  17
   x  2


 y  7x  10   x  2


  y  24

y

ó

Nh n

:  1; 17 ; 2; 24 .

t:

.
V d 4:

 x  y  xy  2x  y   5xy

 x  y  xy  3x  y   4xy

:
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

11


9

y xy0

x; y vớ i x 0; y 0 hay x 0;

y 0

xy 0.

xy 0 ta

:
1 1
x y 2x y 5


1 1 3x y 4
x y
1
x

1
y

Suy ra 5 2x y 4 3x y x 2y 1

:

Thay x 2 y 1

x 2y 1

2y 1 y 2y 1 y 3 2y 1 y 4y 2y 1
x 2y 1
x 2y 1



2
3
2
10y 19y 10y 1 0 y 1 10y 9y 1 0
x 2y 1




41 1
41 1
y 1
x

x
x

1

10
10

hoặ
c
hoặ
c
9 41
y 1
9 41
9 41
y 20


y

y




20
20
9 41

y


20




y

ú

:

41 1 9 41 41 1 9 41
;
;
;
20 10
20
10

0; 0 ; 1; 1 ;
Nh n




.

t:
:
x y xy 2x y 5xy

x y xy 3x y 4xy
x y xy 3x y x y xy 2x y 4xy 5xy

x y xy 3x y 4xy

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,
H-ng Yên

12


9

xy x 2y 1 0

x y xy 3x y 4xy
x 0

x y xy 3x y 4xy

y 0

x y xy 3x y 4xy

x 2y 1

x y xy 3x y 4xy

thu,
9.
V d 5:
x3 y 3 9

(Thi học k ì2 lớ p 9 năm học 2011- 2012 Sở H- ng Yê n)
2
2

x 2 y x 4 y

:
x3 y 3 9

2
2
3 x 2 y 3 x 4 y
3
3
3
3
2
2
x y 9
x y 3x 3x 6 y 12 y 9
2

2
2
2
3x 3x 6 y 12 y 9 9
x 2 y x 4 y
x 13 y 2 3
x 1 y 2

2
2
2
2
x 2 y x 4 y
x 2 y x 4 y
x y 3
x y 3



2
2
2
y 3y 2 0
y 3 2 y y 3 4 y
x 3 y 3 9
2
2
x 2 y x 4 y

x 2

y 1

x 1

y 2

y
Nh n

ú

: 1; 2 ; 2; 1 .

t:

9.
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,
H-ng Yên

13


9

.
I TP.
Bi 1:

trỡnh sau

x3 y3 3 x y
1)
x y 1
x y 1
4) 3 3
2
2
x y x y

x3 y3 1
5) 5 5
2
2
x y x y

3
3
x y 9
7) 2
2
x 2y x 4y

2
x 5x y 9
8) 3
2
2
3x x y 2xy 6x 18

x 2y 1 0
2) 2 2
x y xy 1 0

x y 4
3)
2
x 1 y xy 4 y 2
x3 y3 35
6) 2
2
2x 3y 4x 9y

x y m 1
(m l tham số)
2
2
2
x y xy 2m m 3

Bi 2:

m = 3.
ú



DNG 2: Mt ho c h i phng trỡnh c h cú th v d ng t ch.
2
2

x 5xy 6y 0
2 2

2x y 1

V d 1
:

x2 5xy 6y2 0
2
2
2x y 1
x 2y x 3y 0

2
2
2x y 1
x 2y
x 2y
x 2y

2
2
2
2
2
2x y 1 2 2y y 1 9y 1

x 3y
x 3y
x 3y






2x2 y2 1 2 3y 2 y2 1 19y2 1



3 19
3 19
2
2


x
x
x 3
x 3


19
19

hoặ

c
hoặ
c
hoặ
c
19
19
y 1
y 1



y 19
y 19
3

3
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,
H-ng Yên

14


9

y

ú

Nh n

: 2 ; 1 ; 2 ; 1 ; 3 19 ; 19 ; 3 19 ; 19

19 19
19
3 3 3 3 19


.


t:

.
V d 2.

:

2 x 2 y 2 xy y 5x 2 0 (1)

2
2
(2)

x y x y 4 0

(TS Chuyờn Toỏn H- ng Yê n 2011 2012)

:

tr
2
2
2 x y xy y 5 x 2 0
2
2
x y x y 4 0

x y 2 2 x y 1 0
2
2
x y x y 4 0

x y 2 0
(a)
2
2
x y x y 4 0

2x y 1 0

(b)
x 2 y 2 x y 4 0

G

:

y 2 x
x y 2 0
y 2 x
x 1



2


2
2
2
2
y 1
x y x y 4 0
x 2x 1 0
x 2 x x 2 x 4 0

(b):
2 x y 1 0
2
2
x y x y 4 0
x 1

y 1
y

2

x

1
y 2x 1


2
2
x 4
2

x 2 x 1 x 2 x 1 4 0
5 x x 4 0
5


13
y
5

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,
H-ng Yên

15


9

y
Nh n

4 13
;
.
5
5

: 1; 1 ;

ú
t:

:
(1) 2 x 2 y 5 x y 2 y 2 0
x 9 y 2 18 y 9 3 y 3

2

y 5 3y 3 y 1
y 5 3y 3

; x
y 2
4
2
4
y 1
*) Khi x
y 2 x 1 thay vo ph- ơng tr ình (2) ta cú đ- ợ c :
2

4
5 x 2 x 4 0 x 1;

5

4 13
Khi đó ta đ- ợ c nghiệm của hệl x; y 1; 1 ; ;
.
5
5

x

*) Khi x y 2 y 2 x thay vo (2) ta cú : 2 x 2 2 x 1 0 x 1
Khi đó ta đ- ợ c nghiệm của hệl x; y 1; 1 .

4 13
Vậy tập nghiệm của hệđã cho l x; y 1; 1 ; ;
.
5
5


-

.
V d
2 xy
2
2

x y x y 1 (1)
(Thi HSG tỉ
nh H- ng Yê n năm học 2011 2012)

x y x2 y
(2)


:
*) Đ K : x y 0
Ta có (1) x y
2



2

x y

2

x2 y 2

x y

x y x2 y 2 x y

2

x y

1

x2 y 2 x y

0

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,
H-ng Yên

16


9



x y 1 x 2 y 2 x y 1 x y
x y

0

x2 y 2
x y 1
1 0
x

y

x y 1 0

(V ì x y 0 nê n

x2 y 2
1 0)
x y

x y 1
Thay vào pt (2) ta đ- ợ c : 1 x 2 1 x x 2 x 2 0 x 1 hoặ
c x 2.
Từ đó suy ra hệđã cho có 2 nghiệm x; y 1; 0 ; 2; 3.

Nh n

t:

-

.
:
x2 y 2

2 xy
1
x y

x 2 y 2 2 xy 1

2 xy

2 xy 0
x y

1

2
x y 1 2 xy
1 0
x y
x y 1 x y 1 x y 2 xy x y 1 0
x y 1 x y x y 1 2 xy 0
x y 1 x 2 y 2 x y 0

Do x y 0 nờn x

x y 1 0

2

y 2 x y 0

x2 4y2 5

4xy x 2y 7

V d 4
:


:

x

2



4xy 4y2 x 2y 12

x 2y x 2y 12 0
2

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,
H-ng Yên

17


9

x 2y 4 x 2y 3 0
x 2y 4 hoặ
c x 2y 3
ú

ú:
x 2y 4
(a)

4

xy

x

2
y

7
x2 4y2 5



x 2y 3
4
xy

x

2
y

7


(b)
4xy x 2y 7

(a):

x 2y 4

x 2y 4
x 2y 4

2

4y 2y 4 2y 4 2y 7 8y 16y 11 0
4xy x 2y 7
8y2 16y 11 0 ú ' 24 0

y

.
(b):
x 2y 3

4xy x 2y 7
x 3 2y
2
2y 3y 1 0

y
Nh n

x 3 2y

4y 3 2y 3 2y 2y 7
x 3 2y
x y 1

y 1
x 2




1
y 1
y



2
2

1
: 1; 1 ; 2; .

ú2



2

t:

, tro
.
I TP.
:

x3 6 x 2 y 9 xy 2 4 y 3 0
1)
x y x y 2

y 3

x y x3
x
2)
x y x x3


Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,
H-ng Yên

18


9

xy x y x 2 2 y 2
3)
x 2 y y x 1 2 x 2 y

x y x y 1 x 2 y 2
4)
x y 1

3 x y 2 xy
5)

2
2 x y 8
x y 2
7) 2
2
4 x y 5(2 x y ) xy
2
2
x xy 2 y 2 y 2 x
9)
y x y 1 x 2

3
3
x 4 y y 16 x
6)
2
2
1 y 5(1 x )

x 2 3 x( y 1) y 2 y ( x 3) 4
8)
x xy 2 y 1
y 2 5 x 4 4 x
10)
2
2
5 x y 4 xy 16 x 8 y 16 0
x 2 x y 2 y
12) 2

2
x y 3 x y
1
1
x x y y
14)
2 y x3 1


2 x 2 2 xy y 5
11) 2
y xy 5 x 7
3
3
x 7 x y 7 y
13) 2
2
x y x y 2
2
2
x y x y 4
15)
x x y 1 y y 1 2

2. Phng phỏp

t n ph

u f x; y ; v g x; y

0
V d 1.



:

x 2 y 2 xy 1 4 y
(1)
(Thi HSG tỉ
nh Hư ng Yên nă m học 2010ư2011)

2
2
y
x

y

2
x

7
y

2
(2)

:
y
* Khi y 0

x; y y

.
y

:

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,
H-ng Yên

19


9

x2 1
y x y 4


2
x y 2 2. x 1 7

y

x2 1
u
y

v x y


ú

u v 4

:

2
v 2.u 7

:
u 4 v
u v 4
u 4 v
u 1
u 9

2
2

hoặ
c
2

v 5
v 2.u 7
v 2v 15 0 v 3
v 2 4 v 7
u 1
v 3



y

:

x2 1
1 y x2 1 x2 x 2 0
x 1
x 2




hoặ
c
y

y 2
y 5
y 3 x
y 3 x

x y 3

u 9
v 5



y

:

x2 1
9
9 y x 2 1 x 2 9 x 46 0



y
y 5 x
x y 5 y 5 x


y

x 2 9 x 46 0 ú 103 0

.
y
Nh n

: 1; 2 ; 2; 5 .

ú
t:

.
y 0.

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,
H-ng Yên

20


9
4
2
2

x  4x  y  6 y  9  0
:  2
.
2

x
y

x

2

y

22

0


V d 2.
:

ớ
2
2
2
2
2
2

( x  2)  ( y  3)  4 
( x  2)  ( y  3)  4

 2
 2
2
2


( x  2) y  x  22  0
( x  2  4)( y  3  3)  x  2  20  0

 x2  2  u

y 3  v

u 2  v 2  4
u.v  4(u  v)  8

ó

:

u  2

v  0

u  0
.

v  2

:
 x  2  x  2
;
;

y  3 y  3

Nh n

 x  2

;

 y  5

 x   2
.

 y  5

t:

-

.
. Tuy
nhiên t

8

.

3

2
2
7
2
4 xy  4  x  y  
x  y



:
2 x  1  3

x y

V d 3.

:
*
*

: x  y  0.
ớ

:

3
2



7
2
4 xy  4  x  y   2 xy  
 x  y


 x  y   1   x  y   3


x y

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

21


9

3
2

7
2
4 x y 4 xy
x y



x y 1 x y 3

x y

1
2
2
3 x y
x y 7
2

x y


1
x y x y x y 3

1

; u 2
u x y
x y

v x y


*



*

u, v

y

ú

Nh n

ú

3 u 2 2 v 2 7
3u 2 v 2 13 u 2


ú:
v 1
u v 3
u v 3
1

2
x y 1 x 1
x y
x y


:
x y 1 y 0
x y 1


y

*

3 u 2 2 v 2 7
:
u v 3

x 1
.
y 0

y

:

t:

x y

2

.
V d 4.

:

5
2
3
2
x

y

x
y

xy

xy



4 (Đ ềtuyển sinh Đ ạ i học khối A nă m 2008)

x 4 y 2 xy (1 2 x) 5

4
:

x 2 y a

xy b

5
2
2
x

y

xy
(
x

y

)

xy



4

.
5
2
2
( x y ) xy

4
5

a

ab

b



4
ú

a 2 b 5

4

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,
H-ng Yên

22


9

ớ

ó:
5
5


2
a  ab  b   4
b   4  a


5
2
a  b  
a  5 a  a3  5  a 2   5

4

4

4
4
a
5
 3

2
a  a  4  0
 a  0; b   4


5
2
a   1 ; b   3
b    a

4

2
2

a  0

ớ 
5 ,
b



4

1

 a   2
ớ 
b   3

2
y

ó

Nh n

3

10
 x2  y  0  y   x2
x





2

5  3 5 
3
 xy  
x 
 y   100


4

4

4
1
 2

2 1
x  1
 x  y   2
 y  x 

2 

:
3
3
 xy  
2 x3  x  3  0  y   2


2
3
 3 10
100  
3
; 
:

 ; 1;   .
4  
2
 2

t:

.
 x  y  1  1  4  x  y 2  3. x  y
: 
3
2 x  y 

2

Ví d 5. Gi i h
:
*

: x y 0
t  x  y; t  0.

ó

:

1  2t
  2t  1 2t  1
t  1  3t
1



 1  2t  
 2t  1  0
 t  1  3t

1
1
 t  (Do t  0 nên
 2t  1  0).
2
t  1  3t

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

23


9

ó
y
Nh n
-

ó

2
1



 x  3
 x  y  2


2 x  y  3
y   1

2
6

2
1
y
:  ;   .
6
3

t:
ỉ
.

ỉ

.
ÀI TẬP.
:
 x  1  y  y  x   4 y
1)  2

 x  1  y  x  2   y
2

 x y 
    x  y   15
 y x 
3)  2
2
 x  y  x 2  y 2  85

 y 2 x 2  


3
y

 x 2  y 2  1  2. x  1

5) 
 x 2  y 2  4. x  22

y
 x 2  y 2  x 2 y 2  1  2 xy
7) 
2
2
 x  x y  xy  y  xy  1
 x 2  xy  y 2  3  x  y 
9) 
2

2
2
 x  xy  y  7  x  y 



1 
 x  y  1    5

 xy 
2) 
 xy  1  4

xy
 x 2 y  2 y  x  4 xy

4)  1
1 x
 x 2  xy  y  3

1
 2
2 x  x  y  2
6) 
2
2

 y  y x  2 y  2
 x  y  x 2  y 2  12
8) 

 y x 2  y 2  12
 2
1 1
 x  x  1    4
y
y

10) 
2
 x  x  1  4  x3
 y 2 y y 3

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

24


9

8 x 3 y 3  27  7 y 3
11)  2
2
4 x y  6 x  y
3
y

 x2  y 2 1  2 x  1

13) 

 x 2  y 2  4 x  22

y

2 y 2  x 2  1
12)  3
3
2 x  y  2 y  x

( x  1)( y  1)( x  y  2)  6
15)  2
2
x  y  2x  2 y  3  0

 x 2 y  2 x 2  3 y  15  0
16)  4
2
2
 x  y  2 x  4 y  5  0

 2 x  y  1  x  y  1
17) 
3 x  2 y  4

4
3
2 2
 x  x y  x y  1
18)  3
2

 x y  x  xy  1

 x  y   x 2  y 2   13

14) 
2
2
 x  y   x  y   25


x2  y2  1
2

19) 
x y2
( xy  x  y  1)( x  y  2)  6

 x  y  1  1  4  x  y 2  3. x  y

20) 
3
2 x  y 

2

3. Phương pháp ánh giá

ớ

y

ó

ó

.
y

ớ

y
ớ

ớ

y

ó

y.
1

 z4
2

1   x  y 

 z  3  2x  8

V d 1.

:
ó:

 x  y

2

 0  1  x  y   1 

1

2

1  x  y

2

 1  z  4  1  z  3

ó: z  3  0  z  3 .
y ta suy ra z  3

2x  8  x  4 .

Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü,
H-ng Yªn

25