CHUYÊN đề 7 GIẢI các bài TOÁN về ĐƯỜNG TRÒN

Bài giảng hình học 9

FB: />
CHUYÊN ĐỀ 3. GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

TIẾT 21: XÁC ĐỊNH MỘT ĐƯỜNG TRÒN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
* Định nghĩa đường tròn, hình tròn:
- Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O
một khoảng bằng R, ký hiệu (O ; R), hoặc (O)

R
O

Hình.1

* Định nghĩa hình tròn:
- Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các
điểm nằm bên trong đường tròn đó.

O

+ Tính chất của đường tròn:
- Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.
- Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của
đường tròn.
Ví dụ: Cho hình vẽ:
Xác định tâm đối xứng, trục đối xứng của đường tròn.
Giải:
- O là tâm đối xứng.

- AB, CD là trục đối xứng của đường tròn.

R

Hình.2
C
B
A
A

* Cung và dây cung:
- Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O. Hai
điểm này chia đường tròn thành hai phần mỗi phần gọi là một
cung tròn (Gọi tắt là cung).
- Đoạn thẳng nối hai mút của cung là dây cung.

D

Hình.3
C

D

A
O

- Trong một đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất.
Hình.4
Nguyễn Văn Lực

Bài giảng hình học 9

FB: />
* Sự xác định đường tròn, đường tròn ngoại tiếp tam
giác:
- Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính
của đường tròn đó hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính
của đường tròn đó.

A

B

O

Hình.5

Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B
Vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó.
Giải:
Xác định trung điểm O của đoạn thẳng AB

C

=> (O; AB )

O

2

A

B

Ví dụ 2: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng
Vẽ một đường tròn đi qua ba điểm đó.
Hình.6
Giải:
Vẽ các đường trung trực ba cạnh của ∆ABC
O là giao của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác => O là tâm
của đường tròn đi qua đi qua ba điểm A, B, C.
- Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một đường tròn. Nói cách khác qua
ba đỉnh của một tam giác ABC bao giờ cũng dựng được một đường tròn xác định. Ta
nói đường tròn đó ngoại tiếp tam giác, hay tam giác đó nội tiếp đường tròn.
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm của hai đường chéo.
OA = 2 cm. Vẽ (A; 2cm). Trong 5 điểm: A, B, C, D, O
điểm nào nằm trên đường tròn ? Điểm nào nằm trong đường
tròn ?. Điểm nào nằm ngoài đường tròn ?.
Giải:
OA = 2 < 2 => O và A nằm trong đường tròn tâm A.
AB = AD = 2 => B và D nằm trên đường tròn tâm A.
AC = 2 2 > 2 => C nằm ngoài đường tròn tâm A.

B

C

2

O
2

A

D

Hình.7

Bài 2: Cho (O), dây AB. Biết M là trung điểm của AB, cho
OA= 5cm, OM = 3cm .
Tính AB ?
Giải:
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông OAM

5

3
O

Hình.8
Nguyễn Văn Lực

M

A

B

Bài giảng hình học 9
OA 2  AM 2  OM 2

FB: />
 AM 2  OA 2  OM 2
2
2
2
2
ta có:  AM  OA  OM  5  3  4

A

Vậy AB = 2AM = 8 cm.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
vuông là trung điểm của cạnh huyền.
Chứng minh:
Xét tam giác vuông ABC vuông tại A.
Gọi O là trung điểm của BC => OB = OC
Nối O với A => OA là đường trung tuyến
Do đó OA =

C
O

Hình.9

1

BC => OA = OB = OC
2

=> O là tâm đường tròn đi qua A, B, C
Vậy tâm của (O) ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực

B


Bài giảng hình học 9

FB: />
TIẾT 22: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a) Tâm đối xứng:

R
O

A’ đối xứng với A qua O.
Vậy tâm O là tâm đối xứng của đường tròn.
A

A'

O

Hình.10

b) Trục đối xứng:
C’ đối xứng với C qua đường kính thẳng AB.
Do đó đường kính AB là một trục đối xứng của (O)

A

O

C

I

C'

Hình.11

B

Vậy, bất kỳ đường kính nào cũng là một trục đối xứng của đường tròn; đường
tròn có vô số trục đối xứng.
c) Đường kính và dây của đường tròn.
Định lí 1: Trong các dây của một đường tròn, dây
lớn nhất là đường kính.

AB  CD; AB  EF

E

F
A

C

d) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.
Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây

Nguyễn Văn Lực

B

O

Hình.12
D


Bài giảng hình học 9

FB: />
Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông
góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

A

AB là đường kính, CD là một dây của (O);
Nếu AB  CD tại I thì IC = ID

O

C

I

D

Hình.13

B

Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua
trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông
góc với dây ấy.
AB là đường kính, CD là một dây khác đường kính
của (O);
Nếu AB  CD = I
Và IC = ID thì AB  CD
Ví dụ:
Đường kính AB đi qua trung điểm của dây CD
nhưng không vuông góc với CD.
(Vì dây CD đi qua tâm O)

A

O

C

I

D

Hình.14

B

A
D
O

Hình.15

C
B

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:
Cho hình vẽ, tìm điểm M’ đối xứng với M qua O?
M

O

Hình.16

Học sinh dựng đường thẳng MO cắt đường tròn

(O) tại điểm thứ hai là M’, khi đó M’ là điểm đối
xứng với M qua O
(Vì OM’ = OM)

M

O

M'

Hình.17

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng hình học 9

FB: />
Bài 2:
A

Cho hình vẽ, tìm điểm C’ đối xứng với C qua đường
thẳng AB?
O

C

Hình.18

B

Giải:
Qua C dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt AB
tại I, cắt (O) tại C’, khi đó C’ là điểm đối xứng với C
qua AB
(Vì AB  CC’ và IC = IC’)

A

O

C

I

Hình.19

C'
B

Bài 3:
Cho hình vẽ, biết OA = 5 cm;
OM = 3 cm. Tính AB =?
O

Hướng dẫn: Đường kính OM  AB nên M là trung
Hình.20
điểm của AB
A
M

B
 AB = 2AM. Xét tam giác vuông AMO để tính AM
từ đó tính AB.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 4: Cho tam giác ABC, đường cao AH và BC. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A,B, H, K cùng thuộc một đường tròn.
b) AB > HK
Hướng dẫn: a) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABH (Tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABH là trung điểm I của AB)
+ Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABK (Tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABK là trung điểm I của AB)
+ (I) đường kính AB có đi qua bốn điểm A, B, H, K không? ( Đường tròn (I) đi qua
bốn điểm A, B, H, K )
b) AB là gì của (I)? ( AB là đường kính của (I) )
HK là gì của (I)? ( HK là dây của (I) )
So sánh đường kính AB và dây HK trong ( O )
Bài 5: Cho hình vẽ, biết OA = 10 cm; OM = 6 cm. Tính AB =?
Hướng dẫn: Dây AB không đi qua tâm, đường kính
OM đi qua trung điểm M của AB nên OM  AB 
AB = 2AM.
O
Xét tam giác vuông AMO để tính AM  AB = 2AM
A

Nguyễn Văn Lực

Hình.21
M

B

Bài giảng hình học 9

FB: />
TIẾT 23: DÂY CUNG VÀ KHOẢNG CÁCH ĐẾN TÂM
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Dây cung và khoảng cách đến tâm
+ Định lý : Trong một đường tròn
D

Định lí 1: - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm
- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

K
C
O

Định lí 2: - Dây lớn hơn thì gần tâm hơn
- Dây gần tâm hơn thì lớn hơn

B

A

H

Hình.22

+Ví dụ : Cho AB và CD là 2 dây khác đường kính của đường tròn ( O ; R ) gọi
OH,OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB ,CD
- dây AB = CD  OH = OK
- dây AB > CD  OH < OK
2. Vị trí tương đối của dường thẳng và đường tròn :
Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. OH là khoảng cách từ tâm đường
tròn đến đường thẳng a; (OH = d).
+ Đường thẳng và đường tròn cắt nhau.
Ta có:
dO

A
+ Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.
Ta có:
d=R
a

R

Hình.24

H

+ Đường thẳng và đường tròn không giao nhau.
Ta có:
d>R

O

R

d

Nguyễn Văn Lực

Hình.23

O
d

a

B

H

H

Hình.25


Bài giảng hình học 9

FB: />
VD1: d = 3cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn cắt nhau )
VD2: d = 7cm , R = 7cm ( Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau )
VD3: d = 6cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn không giao nhau )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Cho hình vẽ, trong đó hai dây MN ; PQ bằng nhau và vuông góc với nhau tại I.

IM = 2cm ; IN = 14cm . Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây.
Giải
Kẻ OH  MN
OK  PQ
MN = MI + IN = 2 + 14 = 16 (cm)
MH =

P

K

1
MN = 8(cm)
2

M

I

O

N

H

Q

IH = MH – MI = 8 – 2 = 6(cm)
Hình.26
Do MN = PQ nên OH = OK

Tứ giác OHIK là hình chữ nhật lại có OH = OK nên OHIK là hình vuông .
Do đó OH = OK = IH = 6(cm)
Bài 2 : Điền vào các chỗ trống (….) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d
là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng) :
R

d

Vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn

5cm

3cm

……………….

7cm

……..

Tiếp xúc nhau

6cm

8cm

…………..

R

d

Vị trí tương đối của đường thẳng
và đường tròn

5 cm

3 cm

Đường thẳng cắt đường tròn

7 cm

7 cm

Tiếp xúc nhau

6 cm

8 cm

Đường thảng và đường tròn không giao nhau

Giải

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho (O; 12cm) đường kính CD vẽ dây MN qua trung điểm I của OC sao cho
NID = 30o. Tính độ dài dây MN.
N

Hướng dẫn
- Kẻ OH  MN
- Xét tam giác vuông HOI Có : HIO = 30o do đó
H
OH =

0I
= 3 (cm)
2

- Xét tam giác vuông HON có :
Nguyễn Văn Lực

C

M

I

O

D

Hình.25


Bài giảng hình học 9

FB: />
HN2 = NO2 – OH2  HN = 3 15 (cm)

Vì MN = 2 HN vậy MN = 6 15 (cm)
Bài 2. Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 6 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán
kính 10cm.
a. Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn tâm O ? Vì sao ?
b. Gọi B và C là giao điểm của đường thẳng a và đường tròn O. Tính độ dài BC.
Hướng dẫn
a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) vì
OH = 6 cm, OB = 10 cm; OH < OB
hay d < R
b)

2
2
HC= OB  OH =

102  62 =8

(cm)
BC = 16 cm
O
10

B

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực

6

H

C


Bài giảng hình học 9

FB: />
TIẾT 24: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Ba vị trí tương đối của đường tròn.
* Hai đường tròn cắt nhau:
+ Hai đường tròn có 2 điểm chung A và B
+ Hai điểm chung A và B được gọi là 2 giao điểm.
+ Đoạn thẳng nối 2 giao điểm AB gọi là dây chung.
+ OO’ gọi là đoạn nối tâm.
+ R - R’ < OO' < R + R’

A
R

R'

O

O'

B

Hình.26
a)

* Hai đường tròn tiếp xúc nhau:
+ Hai đường tròn có 1 điểm chung A
+ Điểm chung A được gọi là giao điểm.
a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài:
OO' = R + R’

O

R

R' O'
A

b)

O

b) Hai đường tròn tiếp xúc trong:
OO' = R – R’
* Hai đường tròn không giao nhau:
+ Hai đường tròn không có điểm chung.

c) (O) và (O’) đồng tâm thì: OO’ = 0

A

Hình.27
a)

O

a) Nếu (O) và (O’) ở ngoài nhau thì: OO’ > R + R’

b) Nếu (O) đựng (O’) thì: OO’ < R + R’

O'

b)

R

R' O'

O R O'
R'

c)
O O'

Hình.28

Nguyễn Văn Lực

Bài giảng hình học 9

FB: />
* Tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
+ d1, d2 là hai tiếp tuyến chung ngoài của 2
đường tròn (O) và (O’)

d1

a)

O

d2

+ m1 và m2 là 2 tiếp tuyến chung trong của 2
đường tròn (O) và (O’)

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:
Cho hình vẽ, hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc
nhau tại điểm A.
Chứng minh rằng OC // OD
Chứng minh:
Xét  OAC có OA = OC (cùng là bán kính của (O))

R

R' O'

m1

m2

b)
O

O'

C
O

R

Suy ra  OAC cân tại O do đó C = A1 (1)
Chứng minh tương tự ta có:  O’AD cân tại O’.

R' O'
A
D

Hình.30

Do đó A2 = D (2)
Mặt khác: Â1 = Â2 (đối đỉnh) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra: C = D
Vậy OC // O’D vì có hai góc so le trong bằng nhau.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 2:
C

C
Cho đường tròn tâm O bán kính OA và đường tròn
đường kính OA.
A
O
a) Hãy xác định vị trí tương đối của 2 đường tròn.
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ
ở C. Chứng minh rằng AD = CD.
Chứng mính:
a) Gọi (O’) là đường tròn đường kính OA.
Vì OO’ = OA – O’A nên hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong.

D

O'

Hình.31

'
b) Các tam giác cân AO’C và AOD có chung góc ở đỉnh A nên ACO = D , suy ra
O’C // OD.
Tam giác AOD có AO’ = O’O và O’C // OD nên AC = CD.

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng hình học 9

FB: />
TIẾT 25: GÓC Ở TÂM, SỐ ĐO CUNG

LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Góc ở tâm , số đo cung
1.Góc ở tâm :
+ Định nghĩa : Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi
là góc ở tâm.
VD: AOB ( hình 32) là góc ở tâm
A

m

- Cung AB được ký hiệu là: AB ,
B

AmB là cung nhỏ, AnB là cung lớn.

O

- Cung nằm trong góc gọi là cung bị chắn
VD: AmB là cung bị chắn bởi AOB

n

Hình.32

2. Số đo cung:
+ Định nghĩa :
Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ

Số đo của nửa đường tròn bằng 1800
+ Kí hiệu : Số đo của cung AB được kí hiệu Sđ AB
VD: Hình 39 cung nhỏ AmB có Sđ là 1000
A

m

cung lớn Sđ AnB = 3600 - 1000
100

Sđ AnB = 2600

B

O

n

Hình.33

3. So sánh hai cung
+ Khái niệm : Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.
Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn.
+ VD: - Hai cung AB và CD bằng nhau được kí hiệu là AB = CD
- Cung EF nhỏ hơn cung GH được kí hiệu là EF < GH hay GH > EF
2. Liên hệ giữa cung và dây
2. 1. Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường
tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
Nguyễn Văn Lực

Bài giảng hình học 9

FB: />
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
GT (0); A,B,C,D  (0)
KL a; AB = CD => AB = CD

D
C

b; AB = CD => AB = CD

O
A

Hình.34

B

2.2. Định lí 2 :
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
gt (0); A,B,C,D  (0)
D

a; AB > CD => AB>CD
kl b; AB >CD => AB > CD

O

C

Hình.35
A

B

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1:
a) Từ 1 giờ đến 3 giờ thì kim giờ quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?
b) Từ 1 giờ đến 1 giờ 30 phút thì kim phút quay một góc ở tâm bằng bao nhiêu độ ?
Bài giải.
Với mặt đồng hồ như đường tròn, thì mỗi giờ các kim quay được một góc 300.
Do đó kết quả ý a, là: 600 ; ý b, là: 1800.
Bài 2: Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho:
AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các
đường vuông góc OH, OK xuống BC và BD ( H  BC, K  BD).
a)Chứng minh rằng OH < OK
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
Bài giải
A
a, Trong tam giác ABC theo bất đẳng thức tam giác ta
D
có: BC > AB – AC
K
Do AC = AD nên BC > AB – AD hay BC > BD
H

C
B
Theo định lý về dây cung và khoảng cách đến tâm, từ
O
BC > BD suy ra OH < OK
b, Theo ý a, BC > BD suy ra BC > BD
Hình.36

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng hình học 9

FB: />
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Hai tiếp tiếp tuyến tại A, B của đường tròn tâm (O;R) Cắt nhau tại M. Biết OM
= 2R. Tính số đo của góc ở tâm AOB ?
Bài giải
A

Vì OM = 2R nên ON = NM, MA  OM suy ra AN = ON
= OA   AON đều, nên AOB = 600.

N
M

Vậy AOB = 2 AOM = 1200.
Hình.37

Nguyễn Văn Lực

www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực

B

O


Bài giảng hình học 9

FB: />
TIẾT 26: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.
+ Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của
đường tròn
+ Định lý:
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính
đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.
Ví dụ 1:
Hình 38. Đường thẳng xy đi qua điểm C của đường
tròn (0) và vuông góc với bán kính OC  đường thẳng
xy là tiếp tuyến của đường tròn (0)

O

y

x
C

Hình.38

- Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (hình 39)
+ A cách đều hai tiếp điểm B và C
+ Tia AO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp
tuyến AB, AC.
+Tia OA là tia phân giác tạo bởi hai bán kính OB, OC.

c
A

O

B

Hình 39

Ví dụ 2: Trên hình 43 ta có:
BA và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn (0).
Theo tính chất tiếp tuyến ta có :
AB  OB, AC  OC . Hai tam giác vuông OAB và OAC có OB = OC , OA là cạnh
chung. Do đó  OAB =  OAC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra AB = AC.
OAB  OAC nên AO là tia phân giác của BAC .
AOB  AOC nên OA là tia phân giác của BOC .

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng hình học 9

FB: />
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB=3cm, AC=4cm, BC=5cm . Vẽ đường tròn (B, BA).
Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn .
Chứng minh :
Theo giả thiết ta có :  ABC có AB =3, AC = 4, BC =5 nên BC2 = 52 = 25
A
AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 vậy BC2 = AB2 + AC2
4
3
  ABC vuông tại A. Cũng theo giả thiết thì
A  (B;BA) nên AC là tiếp tuyến (B,BA).
B
C
5
Hình.40

Bài 2 : Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) ,
kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các
tiếp điểm).Qua M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với
đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến AB, AC theo thứ tự ở
D, E . Chứng minh rằng chu vi  ADE bằng 2AB.
Chứng minh:
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có :

AB = AC, DM = DB, EM = EC.
Vậy chu vi tam giác ADE bằng :
AD + DE + AE = AD + (DM + ME) + AE
= AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB.

A

D

M
E

B

C

O

Hình.41

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B, BA) và đường tròn (C, CA),
chúng cắt nhau tại điểm D (khác A) . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường
tròn (B).
Bài 2 : Cho nửa đường tròn tâmO đường kính AB. Gọi Ax , By là các tia vuông góc
với AB (Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) . Gọi M là điểm
bất kỳ thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt By ở N.
a, Tính số đo MON ?
b, Chứng minh rằng MN = AM + BN.
c, Chứng minh rằng AM. BN = R2 (R là bán kính của đường tròn).

Nguyễn Văn Lực


Bài giảng hình học 9

FB: />
TIẾT 27 : GÓC NỘI TIẾP VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA GÓC NỘI TIẾP
VÀ CUNG BỊ CHẮN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
+ Định nghĩa góc nội tiếp :
- Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung
của đường tròn đó.
- Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.
Ví dụ :
A

A

C

B

B

O

O

C

Hình.42.a
Hình.42.b

Hình 42 (a;b) : BAC là góc nội tiếp.
+ Tính chất của góc nội tiếp :
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
A

Ví dụ :

sđ BAC =

O

1
sđ BC
2

C
B

+ Hệ quả :
Trong một đường tròn :
Hình.43
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng
nhau.
- Góc nội tiếp ( nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm

cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Ví dụ :
A
D

A

D

H

J

0

B

0

B

I

F

F

C

Hình 44.
Nguyễn Văn Lực

C

E

Hình 45.

E


Bài giảng hình học 9

FB: />
Hình 44 : BAC = EDF => sd BC = sd EF
Hình 45 : BAC = BJC = BIC và EDF = EHF mà BAC = EDF nên
BAC = BJC = BIC = EDF = EHF
A

D

0

B

0

F
C

E

Hình 47

Hình 46
Hình 46 : BAF =

1
BOF
2

Hình 47 : DCF =900 ( do DE là đường kính )
II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Trong các hình vẽ sau, hình vẽ nào có góc nội tiếp:
A
T
V

0

0

C
U

A.

B.

0

0

D.

C.

Đáp án: Hình D:
Bài 2. Quan sát hình vẽ sau, hãy cho biết số cặp góc nội tiếp
cùng chắn một cung là :
A. 2 cặp
C. 4 cặp

B. 3 cặp
D. vô số cặp

Đ.Án C: Có 4 cặp góc
nội tiếp cùng chắn 1
cung đó là :

W

X

0

Z

Y

ZWY và ZXY cùng chắn cung ZY ; WZX và WYX cùng
chắn cung WX
WXZ và ZYW cùng chắn cung ZW; XZY và YWX cùng chắn cung XY.
Hình.48
Nguyễn Văn Lực


Bài giảng hình học 9

FB: />
Bài 3. Trên hình vẽ sau, cho biết ABC là tam giác đều. Số đo cung nhỏ AC bằng :
A. 1200

B. 900

C. 600

1
sđ AC mà ABC
2
= 600 ( gt ) => sđ AC = 1200.

D.

2400

A

Đáp án A : Vì sđ ABC =

0
B
C

Hình.49

Bài 4. Trên hình vẽ sau, cho biết ADO = 250. Số
đo cung DB bằng :
A. 250
B. 500
C. 600
D. Không tính được.
Đ. Án B : Vì DAB = ADO = 250 ( do  AOD
là tam giác cân )
1
=> sđ DAB =
sđ DB hay sđ DB = 2sđ
2
DAB = 500
Bài 5. Trên hình vẽ sau, cho biết MAB = 200;
DMB = 300. Sđ DnB bằng :
A. 500
B. 300
C. 600
D. 1000
Đ. Án D : Vì trong tam giác MAD có AMD = 300;
ADM = 200 nên DAB = 500
=> Sđ DnB = 1000.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1. Cho hai đường tròn (o) và (o,) cắt nhau tại A
và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường
tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng
hàng.

D

A

0

Hình.50
B

D

n
O
B
M
A

C

B
D

O
0

Hướng dẫn :
Chỉ ra ABD = 1V; ABC = 1V => CBD = 1800
=> đpcm.
Bài 2. Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn
Nguyễn Văn Lực

A

Hình.52

Hình.51


Bài giảng hình học 9

FB: />
(o). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN
song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và
AC là S. Chứng minh SM = SC và SN = SA.
Hướng dẫn :
Do MCB = ACM ( cùng chắn hai cung bằng
nhau, AM = MB )

B
M

O

NMC = MCB ( so le trong ) => ACM = NMC
hay SMC là tam giác cân

=> SM = SC

A

S

C

N

Mặt khác : NAC = NMC ( cùng chắn cung
NC ), mà ANM = NMC (= ACM )
=> CAN  ANM hay SAN là tam giác cân =>
SA = SN

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

Nguyễn Văn Lực

Hình.53


Bài giảng hình học 9

FB: />
TIẾT 28: GÓC TẠO BỞI TIA TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG

m

n

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
xAB họăc yAB
- Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
1
Sđ xAB = Sđ AnB
2

500
0
 250
Ví dụ: Cho AnB có số đo 50 => Sđ xAB =
2

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: a) Góc trong hình nào là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung?

O

Hình 55

O

Hình 56

O

Hình 57

O

O

Hình 58

Hình 59

b) Giải thích tại sao góc trong các hình còn lại không phải góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung?
Bài giải:
a) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc ở hình 4.
b) Các hình còn lại không phải góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
- Hình 1: Đỉnh không nằm trên đường tròn.
- Hình 2: Một cạnh không phải tia tiếp tuyến.(Là cát tuyến)
- Hình 3: Không có cạnh nào là dây cung.
- Hình 5: Hai cạnh của góc chứa hai dây cung.
0
Bài 2: Cho hình vẽ 6. Biết cung AmB có số đo 60 .
Tính xAB = ?
Giải:

600
0
xAB
Áp dụng công thức ở mục 1 ta có: Sđ
=

= 30
2

A

B
x

m

Hình 60

Bài 3: Cho đường tròn tâm 0, đường kính AB, bán kính 0C vuông góc với AB. Tính số
đo góc tạo bởi dây AC và tia tiếp tuyến tại A?

21


Bài giảng hình học 9

FB: />
GT Cho (0;

A

AB
), OC  AB,
2

tia tiếp tuuyến Ax

KL Sđ xAC = ?

x

O

C

B

Giải:
0
0
Vì 0C  AB => AOC = 90 => Cung nhỏ AC = 90

Hình.61

900
1
0
Theo công thức ở mục 1 ta có Sđ xAC = Sđ AC =
= 45
2

2

Bài 4: Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng có
bờ AB ( khác phía với C) kẻ tiếp tuyến Ax qua A. Tính số đo góc xAB?
B

GT Cho (O) ngoại tiếp ABC,
AB = BC = CA, tia tiếp tuyến Ax
KL xAC = ?

x
0
C

A

Hình.62

Giải:
Vì tam giác ABC là đều nên ba điểm A,B,C chia đường tròn làm ba phần bằng nhau.
=> AB  BC  AC =

360
= 1200
3

120 0
1
Áp dụng công thức ở mục 1 ta có Sđ xAC = Sđ AC =
= 600
2

2

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Cho đường tròn tâm 0 đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn, Gọi

T là giao điểm của AP với tiếp tuyến tại B của đường tròn. Chứng minh:
APO = PBT .
A
Hướng dẫn:
Q
Kéo dài P0 cắt (0) tại Q. Nhận xét hai góc 01 và 02
1
So sánh hai cung nhỏ QA và BP, từ đó so sánh hai góc
O
APO và PBT
2
P
B

Hình.63

22

T


Bài giảng hình học 9

FB: />
TIẾT 29: GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN GÓC CÓ ĐỈNH
Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN CUNG CHỨA GÓC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
D

* Góc đỉnh có ở bên trong đường tròn :
1) Đặc điểm:
- Đỉnh ở bên trong đường tròn
- Hai cạnh là 2 cát tuyến .
2) Định lí : Số đo của một góc có đỉnh ở bên trong đường
tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn
Nối AD ta có DFB là góc ngoài của tam giác ADF
Nên : DFB = DAB  ADC =
Vậy

DFB =

A
F

n

m

O

B

C

sd AmC  sd BnD
2

Hình.64

sd AmC  sd BnD
2

* Chú ý :Góc ở tâm là trường hợp đặc biệt của góc ở đỉnh có ở bên trong đường tròn
(chắn 2 cung bằng nhau)
* Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn :
1)Đặc điểm :
- Đỉnh ở bên ngoài đường tròn
- Hai cạnh đều là cát tuyến hoặc 1 cạnh là cát tuyến, 1 cạnh là tiếp tuyến hoặc hai
cạnh là tiếp
2) Định lí: Số đo của một góc có đỉnh ở bên ngoài D
A
đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị
E
O
m
chắn
n
C
a) Hai cạnh đều là cát tuyến :
B
Nối AB Ta có : DAB là góc ngoài của  EAB
Hình.65

DAB = DEB + ABC

Ta có: DEB = DAB - ABC =

sd DnB  sd AmC
2

O

b) Một cạnh là cát tuyến ,1 cạnh là tiếp tuyến :
Nối AC Ta có : DAC Là góc ngoài của  EAC
DAC = DEC + ACE
DEC = DAC - ACE =

E
m

n

Hình.66

C

sd DnC  sd AmC
2

A

c) Hai cạnh đều là tiếp tuyến :
Nối AC Ta có : CAx là góc ngoài của  EAC
AEC = CAx - ACE =

A

D

n
O

m

sd AnC  sd AmC
2
C

23

E

Hình.67


Bài giảng hình học 9

FB: />
*Bài toán qũy tích “cung chứa góc” :
* Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc  ( 00 <  < 1800). Tìm quỹ tích( tập hợp)
các điểm M thỏa mãn AMB =  .Ta cũng nói quỹ tích các điểm M nhìn đoạn thẳng
AB cho trước dưới góc  )
M
* Kết luận :Với đoạn thẳng AB và góc  (00<  <1800) cho
m y
trước thì quỷ tích các điểm M thoả mãn AMB =  là hai cung
d



chứa góc dựng trên đoạn AB
* Chú ý : - Hai cung chứa góc nói trên là 2 cung tròn đối xứng
M/
O
với nhau qua AB
- A,B được coi là  quỷ tích .
A
B

-  =900: Quỹ tích là cả đường tròn đường kính AB.
b, Cách giải bài toán qũy tích
x
Muốn chứng minh quỹ tích(tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính
chất T là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
+ Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H
+ Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
+ Kết luận: Quỹ tích(tập hợp) các điểm M có tính chất T là
hình H
Hình.68

II. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Cho hình vẽ:
Hãy tính : DAB + ADC

D

Giải:
Ta có : ADC và DAB là góc nội tiếp của đường tròn (O)
1
2

1
2

Nên: ADC = sd AmC và DAB = sd BnD
Vậy : DAB + ADC =

F

sd AmC  sd BnD
2

sd AB  sdCM
2
sd AB = sd AC )

=

C

B

Hình.69

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1: Cho đường tròn ( O ) và hai dây AB, AC bằng
nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao
điểm của AM và BC. Chứng minh rằng ASC = MCA
Hướng dẫn :
ASC là góc có đỉnh ở bên ngoài (O) và MCA là góc nội tiếp

(O)
 ASC =

O

n

A
m

A

O

M

S
B

C

Hình.70

sd AC  sdCM 1
= sd AM = MCA (Do AB=AC suy ra
2
2

Bài tập 2: Dựng tam giác ABC biết BC = 6 cm
A = 40 0 và đường cao AH = 4 cm

Giải:
24


Bài giảng hình học 9

FB: />
- Dựng đoạn thẳng BC =6cm
- Dựng cung chứa góc 400 trên đoạn thẳng BC
- Dựng đt d//BC và cách BC 1 khoảng bằng 4 cm.Đoạn thẳng d cắt cung chứa
góc 400 tại A
- Nối AB,AC ta được  ABC cần dựng .
- Biện luận : bài toán có 2 nghiệm hình .

Nguyễn Văn Lực
www.facebook.com/VanLuc168
Toán Tuyển Sinh
www.toantuyensinh.com

25