Tóm tắt công thức toán cấp 3

" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ

MÔN TOÁN

I/ ĐẠI SỐ:
1. Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc
hai
f ( x)  ax 2  bx  c
b
(a  0;  ,   R;    ; S   ;   b 2  4ac)
a


0

a / f ( x)  0, x  R  
a  0
  0
b / f ( x)  0, x  R  
a  0
c / x1    x2  af ( )  0

  0

d /   x1  x2  af ( )  0
S
   0
2


  0

e / x1  x2    af ( )  0
S
   0
2
  x1  x2
  0
f /

af ( )  0
 x1  x2  
af ( )  0
g / x1    x2    
af (  )  0
af ( )  0
h / x1      x2  
af (  )  0
af ( )  0
i /   x1    x2  
af (  )  0
 x    x2  
j/ 1
 f ( ). f (  )  0
  x1    x2



  0


 af ( )  0

k /   x1  x2    af (  )  0
S
   0
2
S
  0
2
2. Bất đẳng thức:
Các tính chất của bất đẳng thức:
a  b
*
ac
b  c
*a  b  a  c  b  c

c  0
*
 ac  bc
a  b
c  0
*
 ac  bc
a  b
a  b
*
 ac bd
c  d
*a  c  b  a  b  c

a  b  0
*
 ac  bd
c  d  0
a  b  0
*
 a n  bn
*
n  N
*a  b  0  a  b
*a  b  3 a  3 b
Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối:
 a  a  a a  R

x  a  a  x  a

 a  0

x  a  x  a  x  a
a  b  ab  a  b

( a, b  R )

Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không
âm):
ab
 ab dấu “=” xảy ra khi a = b
*
2
abc 3

 abc
*
3


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

6. Phương trình , bất phương trình chứa
căn thức:
( B  0)
A  0
* A B
A  B

dấu “=” xảy ra khi a= b= c
Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số
thực):
*ab  cd  (a 2  c 2 )(b 2  d 2 )

Dấu “=” xảy ra khi ad= bc
*a1b1  a2b2  c3b3 

a

Dấu “=” xảy ra khi

a1 a2 a3


b1 b2 b3

2
1

a a
2
2

2
3

 b

2
1

b b
2
2

2
3

3. Cấp số cộng:
a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…….
Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu
un  un 1  d
b/Số hạng thứ n: un  u1  (n  1)d
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
n

n
Sn  (u1  un )  [2u1  (n)d ]
2
2
4. Cấp số nhân:
a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…….
Gọi là cấp số nhân có công bội là q
nếu un  un 1.q
b/Số hạng thứ n: un  u1.q n1
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
1  qn
S n  u1
( q  1)
1 q
u
Nếu 1  q  1  lim S n  1
n 
1 q
5. Phương trình, bất phương trình chứa
giá trò tuyệt đối:
* A  B  A  B

B  0
*A B
 A  B
A  B
*A B
 A  B
* A  B  A2  B 2
A  B

*A B
 A  B



B  0
* AB
2
A  B
A  0
* A B
A  B
A  0

* A  B  B  0
 A  B2

 B  0

A  0
* AB
 B  0

  A  B 2
7. Phương trình, bất phương trình
logarit:
0  a  1

*log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  0
( g ( x)  0)

f(x)=g(x)

0  a  1
 f ( x)  0

*log a f ( x)  log a g ( x)  
 g ( x)  0
(a  1)  f ( x)  g ( x)   0


8. Phương trình , bất phương trình mũ:
 0  a  1

 f ( x)  g ( x)
f ( x)
g ( x)
*a
a

 a  1

  / f ( x), g ( x)

a  0
*a f ( x )  a g ( x )  
(a  1)  f ( x)  g ( x)   0


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

9. Lũy thừa:
*a .a  .a   a   
a
 a  
a
*(a )   a

*





* a a





a  a 
*   
b
b
*a b  (a.b)
*a  

1
a
k

* a  a  a n.m
10. Logarit:0có:
*log a N  M  N  a M
n m

k

n .m

k

*log a a M  M
*a loga N  N
*N1loga N 2  N 2 loga N1
*log a ( N1 N 2 )  log a N1  log a N 2
N 
*log a  1   log a N1  log a N 2
 N2 
*log a N    log a N
*log a N 
*log a N 

1



log a N

log b N

log b a

1
*log a b 
log b a

II. LƯNG GIÁC:
A.CÔNG THỨC LƯNG GIÁC

1. Hệ thức cơ bản:
sin 2 x  cos 2 x  1
sin x
tgx 
cos x
cos x
cot gx 
sin x
tgx.cot gx  1
1
1  tg 2 x 
cos 2 x
1
1  cot g 2 x 
sin 2 x
2. Cung liên kết:
Cung đối:
cos( x)  cos x
sin( x)   sin x
tg ( x)  tgx
cot g ( x)   cot gx

Cung bù:
sin(  x)  sin x
cos(  x)   cos x
tg (  x )  tgx
cot g (  x)  tgx

Cung phụ:



sin(  x)  cos x
2



cos(  x)  sin x
2



tg (  x)  cot gx
2



cot g (  x)  tgx
2
Cung hơn kém  :
sin(  x)   sin x

cos(  x)   cos x
tg (  x)  tgx
cot g (  x)  cot gx


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

Cung hơn kém




2

sin(  x)  cos x
2



cos(  x)   sin x
2



tg (  x)   cot gx
2



cot g (  x)  tgx
2
3. Công thức cộng:
sin( x  y )  sin x cos y  sin y cos x
cox ( x  y )  cos x cos y sin x sin y
tg ( x  y ) 

tgx  tgy
1 tgxtgy

4. Công thức nhân đôi:
sin 2 x  2sin x cos x

cos 2 x  2 cos 2 x  1
 1  2sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x
2tgx
1  tg 2 x
1  cos 2 x
cos 2 x 
2
1  cos 2 x
sin 2 x 
2
5. Công thức nhân ba:
sin 3 x  3sin x  4sin 3 x
tg 2 x 

cos 3 x  4 cos 3 x  3cos x
3tgx  tg 3 x
tg 3 x 

1  3tg 2 x
3cos x  cos 3 x
cos 3 x 
4
3sin
x

sin 3 x
sin 3 x 
4

6. Công thức biểu diễn theo sinx,
x
cosx theo t  tg
2
2t
sin x 
1 t2
1 t2
cos x 
1 t2
2t
tgx 
1 t2
7. Công thức biến đổi:
a/Tích thành tổng:
1
cos x.cos y   cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
1

sin x sin y   cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
1
sin x cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) 
2
b/Tổng thành tích:
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2sin
sin
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2 cos
sin
2
2

sin( x  y )
tgx  tgy 
cos x cos y
sin( x  y )
tgx  tgy 
cos x cos y
sin( x  y )
cot gx  cot gy 
sin x sin y
sin( x  y )
cot gx  cot gy 
sin x sin y
Đặc biệt:





sin x  cos x  2 sin( x  )  2 cos( x  )
4
4





sin x  cos x  2 sin( x  )   2 cos( x  )
4
4
2

1  sin 2 x  (sin x  cos x)

II.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC:


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

1. Phương trình cơ bản:
 x  u  k 2
a / sin x  sin u  
 x    x  k 2
sin x  1  x 


2

Cách giải: Đặt

 k  Z

 k 2

sin x  1  x  
sin x  0  x  k


2

 k 2

 x  u  k 2
b / cos x  cos u  
(k  Z)
 x  u  k 2
cos x  1  x   k 2
cos x  1  x    k 2



k
2
c / tgx  tgu  x  u  k

cos x  0  x 

(k  Z )

d / cot gx  cot gu  x  u  k

2.

(k  Z )

Phương trình bậc n theo một hàm số
lượng giác:
Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx,
cotgx) ta chuyển về phương trình:
ant n  an1t n1  ......  a0  0

Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí chú

ý điều kiện 1  t  1
3.
Phương trình bậc nhất theo sinx và
cosx:
a sin x  b cos x  c
Điều kiện để có nghiệm: a 2  b2  c2
Cách giải: Chia hai vế cho a 2  b 2 và
sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ
bản
4.
Phương trình đẳng cấp bậc hai đối
với sinx và cosx:
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d  0
Cách giải:

*Xét cos x  0  x   k có là
2
nghiệmkhông?
*Xét cos x  0 chia 2 vế chia cho cos2x và
1
 d (1  tg 2 x)
đặt t= tgx Chú ý: d
2
cos x
5.
Phương trình dạng:
a.(sin x  cos x)  b sin x.cos x  c  0



t  sin x  cos x  2 sin( x  )   2  t  2
4
2
t 1
1 t2
 sin x.cos x 
(sin x.cos x 
)
2
2
và giải phương trình bậc hai theo t
III. Hệ thức lượng trong tam giác:
1. Đònh lý cosin:
a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
b2  c2  a 2
cos A 
2bc
2
a  c2  b2
cos B 
2ac
2
a  b2  c2
cos C 
2ab
2. Đònh lý hàm số sin:
a
b

c


 2R
sin A sin B sin C
3. Công thức tính độ dài đường trung
tuyến:
b2  c2 a 2
ma2 

2
4
2
2
a  c b2
mb2 

2
4
2
2
a  b c2
mc2 

2
4
4. Công thức độ dài đường phân giác
trong:
A
2bc cos

2
la 
bc
B
2ac cos
2
lb 
ac
C
2ab cos
2
lc 
ab


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

5. Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
1
S  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1
1
S  bc.sin A  ab.sin C  ac.sin B
2

2
2
abc
S  p.r 
4R
S  p( p  a)( p  b)( p  c)

3. Diện tích hình phẳng- Thể tích vật
thể tròn xoay:
-Viết phương trình các đường giới hạn
hình phẳng.
-Chọn công thức tính diện tích:
a

S   f ( x)  g ( x) dx
b

III. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN:
1.
Đạo hàm các hàm số thường gặp:

1/( x ) '   .x 1

16 /(cos u ) '  u '.sin u

1
6 /(tgx) ' 
cos 2 x

u'

17 /(tgu ) ' 
cos 2 u

1
sin 2 x

18 /(cot gu ) '  
19 /(eu ) '  u ' eu

9 /(a ) '  a ln a

20 /( a ) '  u ' a ln a
u

x

1
x

u

u'
u

21/(ln u ) ' 

u'
1
22 /(log a u ) ' 
u.ln a

x.ln a
2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:

11/(log a x) ' 

 dx  x  C

 x dx 

ax
 a dx  ln a  C
x

x 1
 C (  1)
 1

dx
 ln x  C
x
dx
1
 x2   x  C



 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
dx

 cos

2

x

dx

 sin

x
x
 e dx  e  C

Chú ý:

a

1

2

x

 tgx  C
  cot gx  C

 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C

V    f 2 ( x)  g 2 ( x) dx

b

*Hình phẳng quay quanh trục Oy:
a

V    f 2 ( y )  g 2 ( y ) dy
b

-Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành
độ các giao điểm.
Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ
các giao điểm.

u'
sin 2 u

8 /(e x ) '  e x

10 /(ln x) ' 

-Chọn công thức tính thể tích:
*Hình phẳng quay quanh trục Ox:

u'
2 u
u'
1
14 /   '   2
u
u

15 /(sin u ) '  u '.cos u

5 /(cos x) '   sin x

x

b

13 /( u ) ' 

2 x
1
1
3/ '   2
x
 x
4 /(sin x) '  cos x

7 /(cot gx) '  

S   f ( y )  g ( y ) dy

12 /(u ) '   .u 1.u '

1

2 /( x ) ' 

a

IV. HÌNH HỌC:
PHÉP DỜI HÌNH
 Phép biến hình: Phép biến hình ( trong
mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi
điểm M thuộc mặt phẳng, xác đònh
được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt
phẳng ấy. Điểm M’ gọi là ảnh của
điểm M qua phép biến hình đó.
PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
 Đònh nghóa phép tònh tiến: Phép tònh
tiến theo vectơ u là một phép biến
hình biến điểm M thành điểm M’ sao
cho MM '  u.
Phép tònh tiến theo vectơ u thường
được ký hiệu là T hoặc Tu . Vectơ u


được gọi là vectơ tònh tiến.
Tính chất của phép tònh tiến:
Đònh lý 1: Nếu phép tònh tiến biến hai
điểm M và N lần lượt thành hai điểm
M’ và N’ thì M’N’ = MN


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "





Đònh lý 2: Phép tònh tiến biến ba điểm
thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng
và không làm thay đổi thứ tự ba điểm
đó
Hệ quả: Phép tònh tiến biến đường
thẳng thành đường thẳng, biến tia
thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn
thẳng bằng nó, biến tam giác thành
tam giác bằng nó, biến đường tròn
thành đường tròn có cùng bán kính,
biến góc thành góc bằng nó.
Biểu thức tọa độ của phép tònh tiến:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy, cho phép tònh tiến theo vectơ u .
Biết tọa độ của u là (a,b). Giả sử điểm
M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi
đó ta có:
x '  x  a

y'  y  b
Phép dời hình: Phép dời hình là phép
phép biến hình không là thay đổi
khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Đònh lý: Phép dời hình biến ba điểm
thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng
và không làm thay đổi thứ tự ba điểm
đó, biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến

đường tròn thành đường tròn có cùng
bán kính , biến góc thành góc bằng nó.

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
 Đònh nghóa phép đối xứng trục: Phép
đối xứng qua đường thẳng a là phép
phép biến hình mỗi điểm M thành
điểm M’ đối xứng với M qua a
 Đònh lý: Phép đối xứng trục là một
phép dời hình
 Biểu thức tọa độ:
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng
qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành
M’( x’; y’) ta có:

x '  x

y'  y

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng
qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành
M’( x’; y’) ta có:
x '  x

y'  y


Trục đối xứng của một hình: Đường
thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H
nếu phép đối Đd biến H thành chính

nó, tức là Đd(H) = H

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
 Đònh nghóa phép quay: Trong mặt
phẳng cho điểm O cố đònh và góc
lượng giác  không đổi. Phép biến
hình biến điểm O thành điểm O, biến
mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao
cho OM = OM’ và (OM , OM ')  
được gọi là phép quay tâm O góc
quay  .







Đònh lý: Phép quay là một phép dời
hình
Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng
qua điểm O là một phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng
với M qua O, có nghóa là
OM  OM '  0
Biểu thức tọa độ của phép đối xứng
tâm: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa
độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(a;b).
Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm
M’(x’; y’). Khi đó ta có:

 x '  2a  x

 y '  2b  y
Tâm đối xứng của một hình: Điểm O
gọi là tâm đối xứng của một hình H
nếu phép đối xứng tâm Đo biến hình H
thành chính nó, tức là Đo (H) = H

HAI HÌNH BẰNG NHAU:


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "



Đònh lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai
tam giác bằng nhau thì có phép dời
hình biến tam giác ABC thành tam giác
A’B’C’.
Từ đònh lý trên ta có thể phát biểu: Hai
tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có
phép dời hình biến tam giác này thành
tam giác kia.

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH:
I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG:
1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ
* AB  ( xB  xA , yB  y A )
*Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k:

MA
k
MB

( k  1)
Tọa độ điểm M được xác đònh bởi:
xA  kxB

 xM  1  k
M
 y  y A  kyB
 M
1 k
*Điểm I là trung điểm của AB:
Tọa độ điểm I được xác đònh bởi:
x A  xB

 xI  2
I
 y  y A  yB
 I
2
*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:
Tọa độ điểm G được xác đònh bởi:
xA  xB  xC

 xG 
3
G

 y  y A  yB  yC
 G
3
*Cho tam giác ABC có
AB  (a1 ; a2 ), AC  (b1 ; b2 )

1
a1b2  a2b1
2
2/ Đường thẳng:
a/Phương trình đường thẳng  :
 SABC 

-Phương trình tổng quát: Ax  By  C  0
Vectơ pháp tuyến n  ( A; B);
A2  B2  0
 x  x0  at
-Phương trình tham số: 
tR
 y  y0  bt
Vectơ chỉ phương u  (a; b) và qua điểm M(x0;
y 0)
x  x0 y  y0

-Phương trình chính tắc:
a
b
x y
-Phương trình đoạn chắn:   1
a b

 qua A( a; 0) ; B(0; b)
b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng:
Ax  By  C  0

A' x  B ' y  C '  0
A. A ' B.B '
Cos 
2
A  B 2 . A '2  B '2
c/Khoảng cách từ một điểm M ( x0 ; y0 ) đến
đường thẳng:
Ax0  By 0 C
dM /  
A2  B 2
d/Phương trình đường phân giác của góc tạo
bởi hai đường thẳng:
AX  By  C
A' x  B ' y  C '

A2  B 2
A '2  B '2
e/Xác đònh phương trình đường phân giác
trong và phân giác ngoài
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng
phía so với   t1.t2  0
Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm khác
phía so với   t1.t2  0
Ax  By1  C
A ' x2  B ' y2  C '
(t1  1

; t2 
)
A2  B 2
A '2  B '2
3/Đường tròn:
Phương trình đường tròn:
-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a;
b) và bán kính R
2
2
 x  a    y  b   R2
-Dạng 2: Phương trình có dạng
x 2  y 2  2ax  2by  c  0


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

Với điều kiện a 2  b2  c  0 là phương trình
đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính

MF1  exM  a

R  a b c
-Phương tích của một điểm M0 (x0 ; y0) đối
với một đường tròn:
PM /(C )  x02  y02  2ax0  2by0  c

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
 (E)
x0 x y0 y

 2 1
a2
b
-Điều kiện tiếp xúc của
x2 y2
(E): 2  2  1 và  : Ax  By  C  0 là:
a
b
2 2
2 2
A a  B b  C2
6/ Parabol:
-Phương trình chính tắc của Parabol:
( P) : y 2  2 px
p
-Tiêu điểm: F ( ;0)
2
p
-Phương trình đường chuẩn: x  
2
-Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x 0 ;
y 0)  ( P ) :
y0 y  p( x0  x)

2

2

4/Elip:
-Phương trình chinh tắc Elip (E)

x2 y2

1
a 2 b2

(a  b); c 2  a 2  b2
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
-Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b)
c
-Tâm sai : e   1
a
a
-Phương trình đường chuẩn: x  
e
-Bán kính qua tiêu:
MF1  a  exM

MF2  a  exM

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
 (E)
x0 x y0 y
 2 1
a2
b

MF2  exM  a

-Điều kiện tiếp xúc của (P) và
   : Ax  By  C  0
2AC  B 2 p

-Điều kiện tiếp xúc của
x2 y2
(E): 2  2  1 và  : Ax  By  C  0 là:
a
b
2 2
2 2
A a  B b  C2

II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG
KHÔNG GIAN:
1/ Tích có hướng của hai vectơ:
a/Đònh nghóa: cho hai vectơ
u  ( x; y; z )

5/Hypebol:

v  ( x '; y '; z ')

a/ Phương trình chinh tắc Elip (E)

x2 y2

1
a 2 b2

c 2  a 2  b2
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
c
-Tâm sai : e   1
a
-Phương trình đường chuẩn: x  
-Phương trình tiệm cận: y  
-Bán kính qua tiêu:

b
x
a

a
e

 y z z x x y 
u , v   
;
;

 
 y' z' z' x' x' y' 
Các ứng dụng:
- u, v cùng phương  u , v   0

- u, v, w đồng phẳng  u , v  .w  0
1
- S ABC   AB, AC 

2
-ABCD là tứ diện   AB, AC  . AD  m  0
- VABCD 

1
m
6


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

b/ Mặt phẳng:
-Phương trình tổng quát mặt phẳng:
Dạng 1:
Ax  By  Cz  D  0
n  ( A; B; C )
( A2  B 2  C 2  0)
Dạng 2:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0
n  ( A, B, C ), M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

-Phương trình mặt phẳng chắn:
x y z
  1
a b c
((  ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c))
-Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2
mặt phẳng khác:
( ) : Ax  By  Cz  D  0
là

( ) : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0
 ( Ax  By  Cz  D)   ( A ' x  B ' y  C ' z  D ')  0
Trong đó     0
-Vò trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai
mặt phẳng:
  : Ax  By  Cz  D  0
2

2

  : A' x  B ' y  C ' z  D  0
a /        d  A : B : C  A ' : B ' : C '
A B C
D



A' B ' B ' D '
A B C
D
c /   //    



A' B ' C ' D '
3/Phương trình đường thẳng:
a/Phương trình tổng quát:
 Ax  By  Cz  D  0

A' x  B ' y  C ' z  D '  0

b /       

b/ Phương trình tham số:
 x  x0  at

 y  y0  bt
 z  z  ct
0

Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là
u  (a; b; c)
c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:

x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c
2
2
2
(a  b  c  0)
4/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng
trong không gian:
Giả sử đường thẳng d qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có

vectơ chỉ phương là u  (a; b; c) và đường
thẳng d’ qua M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) và có vectơ chỉ
phương là u '  (a '; b '; c ')

a / d , d '    u.u ' .M 0 M '0  0
 u.u ' .M 0 M '0  0

b / d  d '  I  
a : b : c  a : b ' : c '
c / d d '  a : b : c  a ' : b ' : c '   x  x0  :  y  y0  :  z  z0 
d / d  d '  a : b : c  a ' : b ' : c '   x  x0  :  y  y0  :  z  z0 
e / d , d '    u.u ' .M 0 M '0  0

5/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt
phẳng trong không gian: trong không gian
cho :
x  x0 y  y0 z  z0
d:


a
b
c
  : Ax  By  Cz  D  0
a / d     I  aA  bB  cC  0
b/d

aA  bB  cC  0
 Ax0  By0  Cz0  D  0

   

 aA  bB  cC  0
c / d     

 Ax0  By0  Cz0  D  0
6/ Các công hức tính khoảng cách:
-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt
phẳng:
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

  : Ax  By  Cz  D  0
 d( M /  ) 

Ax0  By0  Cz0  D

A2  B 2  C 2
-Khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng:
Trong không gian cho điểm
M 1 ( x1 ; y1 ; z1 )
d:

x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

 dM / d 

 M 0 M .u 


u

-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau:
x  x0 y  y0 z  z0
:


a
b
c
x  x '0 y  y '0 z  z '0
':


a'
b'
c'
 d /  ' 

u.u ' .M 0 .M '0


u.u '



7/ Góc :
- Góc giữa hai đường thẳng:
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta
có:
d : u  (a; b; c)
d ' : u '  (a ', b ', c ')
cos  

u.u '



u . u'

aa ' bb ' cc '
a 2  b 2  c 2 a '2  b '2  c '2

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Gọi  là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

d : u  (a; b; c)

  : n  ( A; B; C )
0    90
0

sin  

0

Aa  Bb  Cc

A2  B 2  C 2 a 2  b 2  c 2
- Góc giữa hai mặt phẳng:
  : AX  By  Cz  D  0

  : A' x  B ' y  C ' z  D '  0
cos  

AA ' BB ' CC '
A2  B 2  C 2 A '2  B '2  C '2

8/Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) và bán kính R
2
2
2
 x  a    y  b   z  c   R2
Dạng 2: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
Trong đó tâm I (a; b; c), bán kính
R  a 2  b2  c2  d

III/ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
-Đường thẳng và mặt phẳng:
Các tiên đề:
.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một
đường thẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có
một mặt phẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân

biệt thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc
mặt phẳng
.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm
chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm
chung ấy.
Cách xác đònh đường thẳng, mặt phẳng :
1/ Một điểm được xác đònh bởi 2 đường thẳng
cắt nhau A  a  b
2/ Một mặt phẳng được xác đònh bởi một trong
các điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng ( )  ( ABC )
b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài
đường thẳng ( )  (a, A)
c/ Hai đường thẳng cắt nhau ( )  (a, b)
d/ Hai đường thẳng song song :
a//a’ ( )  (a, a ')
Quan hệ song song :
1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng
nằm trong một mặt phẳng và không có điểm
chung.
2/ Nếu đường thẳng d song song với một
đường thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng  thì d
song song với mặt phẳng 
3/ Nếu d//  , mặt phẳng nào chứa đường
thẳng d và cắt  theo một giao tuyến thì giao
tuyến đó cũng song song với d
4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường
thẳng d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng
cũng song song với d
5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường

thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của
chúng (nếu có) cũng song song với d và d’


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt
phẳng nào song song với đường thẳng này thì
cũng song song hoặc chứa đường thẳng kia
7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến
của 2 mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì 2
giao tuyến mới song song nhau
8/ Nếu  //  thì  song song với mọi đường
thẳng nằm trong 
9/ Nếu  chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng
song với  thì  // 
10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng
nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt
phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song
nhau.
Quan hệ vuông góc:
1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt
phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm
trong mắt phẳng
2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (P) thì mặt phẳng nào chứa đường
thẳng d thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng
(P)
3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng
nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì

cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau
hoặc chéo nhau
5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong
một mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng
thứ ba thì song song nhau.
7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì
d vuông góc với (P)
8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng
nào vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì
cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai.
9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc
với một đường thẳng thì song song nhau
10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông
góc với một mặt phẳng thì song song nhau
11/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không
chứa đường thẳng cùng vuông góc với một
đường thẳng khác thì song song nhau

12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng
song song, mặt phẳng nào vuông góc với
đường thẳng thì cũng vuông góc với mặt
phẳng.
13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường
thẳng nào nằm trong một mặt phẳng và vuông
góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với
mặt phẳng kia.
14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông
góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của

chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba
15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng
nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt
phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song
16/ Đònh lý ba đường vuông góc
OH   

Giả sử OA là đường xiên
 A  d nằm trong 
 

Ta có OA  D  HA  D
O

d
H

A


Khoảng cách – góc – đường vông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là
đoạn OH  d
2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với
các khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng  là độ dài
đoạn OH  
4/ Khoảng cách từ O đến  là ngắn nhất so
với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên


5/ Khoảng cách giữa d //  là khoảng cách từ
một điểm bất kỳ trên d đến 
6/Khoảng cách giữa  //  là khoảng cách từ
một điểm bất kỳ trên  đến 


" Người có học khơng phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình đã biết "

7/ Khoảng cáh giữa 2 đường thẳng chéo nhau
là độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai
đường thẳng8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt
phẳng  là góc nhọn tạo bởi d và hình chiếu
d’ của nó xuống 
9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc
nhọn tạo bởi hai đường thẳng song song với
hai đường thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ
10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo
bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng ấy
11/ Góc phẳng nhò diện là góc tạo bởi 2 đường
thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhò diện
cùng vông góc với giao tuyến.
12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau d1 và d2:
- Dựng mặt phẳng  chứa d2 và song song với
d1
- Tìm hình chiếu d’ của d1 lên  , d’ cắt d2 tại
N
- Từ N vẽ đường vuông góc với  cắt d1 tại M

- Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1
và d2

Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương
1
1/ Thể tích hình chóp: V= Sđáy .h
3
2/ Thể tích chóp cụt:
V=

B,B' là diện tích 2 đáy
1
B  B ' B.B ' .h 
3
 h là chiều cao hình chóp





3/Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c
4/ Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  2 Rh
5/ Diện tích toàn phần hình trụ: Stp  Sxq  2 Sđáy
6/ Thể tích hình trụ: V=  R 2 h
7/ Diện tích xung quanh hình nón: Sxq   Ra
1
8/Thể tích hình nón V=  R 2 h
3
9/ Diện tích xung quanh hình nón cụt:Sxq 


2

 R  R ' a

1 2
 R  R '2  RR '  h
3
11/ Diện tích xung quanh mặt cầu: Sxq  4 R 2

10/ Thể tích hình nón cụt: V=

4
12 / Thể tích mặt cầu: V=  R 3
3

V/ GIẢI TÍCH TỔ HP
-Hoán vò: Pn  n !  n(n  1)(n  2)...3.2.1
n!
-Chỉnh hợp: Ank 
0  k  n
 n  k !
-Tổ hợp: Cnk 

n!
 n  k !k !

-Các hệ thức cần nhớ:
n !   n  1 ! n

0  k  n
Cnk  Cnk1  Cnk11
0  k  n

Cnk  Cnn  k

-Nhò thức Newton:
(a  b) n  Cn0 a nb0  Cn1a n 1b  ...  Cnk a n k b k  ...  Cnnb n
k 0

  Cnk a n k b k
n

-Các công thức cần nhớ:
Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2n
Cn0  Cn1  Cn2  ...  (1) k Cnk  ...  (1) n Cnn  0