Sáng kiến kinh nghiệm SKKN những sai lầm của học sinh khi học chương ứng dụng đạo hàm vào khảo sát hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH
KHI HỌC CHƢƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ"


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ
thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có trong chương
trình. Là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi tốt
nghiệp Trung học phổ thông cũng như trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán liên quan
đến khảo sát hàm số.
Trong quá trình giảng dạy năm học 2011-2012 tôi nhận thấy các em học sinh hay
gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ
đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc
phục được nếu không có sự hướng dẫn của người thầy.
Chẳng hạn, với bài tập
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đạt cực đại tại x  1 .
f  x 

1 3
x  mx 2   m 2  m  1 x  1
3

Đa số các em khi giải thường mắc sai lầm sau:
+) Tập xác định:
+) Ta có:

DR

f   x   x 2  2mx  m 2  m  1

và

f   x   2 x  2m

+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x  1 là:
+) Vậy để hàm số đạt cực đại tại x  1 thì m  2 .

 f  1  0


 f  1  0

m 2  3m  2  0
m2

 2  2m  0


Sai lầm ở đây là : nếu

 f  1  0

 f  1  0

thì hàm số đạt cực đại tại x  1 . Điều ngược lại nói

chung không đúng. Vì vậy kết luận trên chưa hẳn đã chính xác
Đây chỉ là một sai lầm trong số rất nhiều sai lầm mà học sinh thường mắc phải,
việc khắc phục những sai lầm này trong kỳ ôn thi tốt nghiệp năm học 2011-2012 diễn ra
mất rất nhiều thời gian. Sang năm học 2012-2013 này, nhằm giúp học sinh nắm chắc các
kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến
khảo sát hàm số, tôi đã đầu tư thời gian để phân tích kỹ những sai lầm mà học sinh
thường gặp và trong kỳ ôn thi tốt nghiệp vừa qua những vấn đề tồn tại của năm học trước
được khắc phục một cách có hiệu quả. Vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm " NHỮNG
SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO
KHẢO SÁT HÀM SỐ" với hy vọng giúp các em học sinh học tập tốt hơn và các giáo
viên dạy môn toán có một kinh nghiệm bổ ích.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
1. Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu
đúng bản chất của vấn đề.
2. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. NHIỆM VỤ VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Về nhiệm vụ:
Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng dụng
đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan để có được bài giải toán
hoàn chỉnh và chính xác.


2. Về phƣơng pháp:
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ

đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 .

PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và phạm vi
nghiên cứu của đề tài)
1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến.
3. Công thức tính đạo hàm.
4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số .
5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số.
6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D.
7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x).
CHƢƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI


Trong thực tế, khi học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị thường
gặp phải những khó khăn sau:
1. Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng,
không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
2. Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
3. Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
4. Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên
một miền D.
5. Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ
thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
CHƢƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
I. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài

tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được
bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác
nhau giữa chúng.


- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tƣ duy, kĩ năng, phƣơng pháp.
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phƣơng pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động
hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ,
phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ
thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ.
1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
 Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của
hàm số.
Ví dụ minh họa 1:

Xét tính đơn điệu của hàm số f  x  

Một số học sinh trình bày như sau:

+) Tập xác định:

D

\ 1

x 1
x 1


+) Ta có: f   x  

2

 x  1

2

 0, x  D

+) Bảng biến thiên:
x

-∞

1

+∞

+

f'(x)

+
+∞

1

f(x)
1

-∞

+) Hàm số đồng biến trên  ;1  1;  
Phân tích:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán. Chú
ý rằng: nếu hàm số

y  f  x  đồng

biến trên tập

D

thì

với mọi

x1 , x2  D ta

có

x1  x2  f  x1   f  x2  .

Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy
f  x1   3

và

f  x2  

x1  2  D

và

x2  2  D

thì

x1  x2 nhưng

1
3

Lời giải đúng:
Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số đồng biến
trên từng khoảng  ;1 và 1;   .

 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu
của đạo hàm y' sẽ bị sai.

Ví dụ minh họa 2:

Xét

tính

đơn

điệu

của

hàm

số

f  x   x 1  4  x2

Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định:
+) Ta có:

D   2; 2

f  x  1

Cho

x
4  x2

f  x  0  1

x
4 x

2

 0  4  x2  x  4  x2  x2  x   2

+) Bảng biến thiên
x

- 2

-2
-

f'(x)

0

-3

2
+

0

2
-

2 2-1

f(x)
-1

1

+) Hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 2) và nghịch biến trên các khoảng (- 2;- 2) và
( 2; 2) .

Phân tích:
Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn  2; 2 giá trị
của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? . Thực ra ở đây hàm số.
Mặt khác , đạo hàm không xác định tại x  2
Lời giải đúng là:

2

không phải là điểm tới hạn của


+) Tập xác định:
+) Ta có:

D   2; 2

f  x  1

x
4  x2

Đạo hàm không xác định tại x  2
Cho

 x0
 0  4  x2  x  
x 2
2
2
4 x
4  x  x
x

f  x  0  1

2

+) Bảng biến thiên
x

2

-2
+

f'(x)

0

2
-

2 2-1
f(x)
-3

1

+) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng

 2; 2


 và nghịch biến trên nửa khoảng 

2; 2 

2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
 Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường
mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận
dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban
cơ bản). Chứng minh rằng:

tan x  x ,

Một số học sinh trình bày như sau:

với

 
x   0; 
 2


+) Xét hàm số
+) Ta có:

f  x   tan x  x ,

với

 
x   0;  .
 2

1
 
 1  tan 2 x  0, x   0;  ,
2
cos x
 2

f  x 

suy ra hàm số

f  x  đồng

biến trên khoảng

 
 0;  .
 2

+) Từ

 
x  0  f  x   f  0  hay tan x  x  0  tan x  x, x   0; 
 2

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau khi kết luận
f  x

đồng biến trên khoảng  0;   thì vì sao từ
2


Sai lầm ở đây là



x  0  f  x   f  0 ?

 
0   0;  .

 2
f  x

Nhớ rằng: nếu
f   x  , x   a; b  )

thì

đồng biến trên đoạn  a; b  (tức là

f  x

liên tục trên  a; b  và

x1 , x2   a; b : x1  x2  f  x1   f  x2 

Lời giải đúng là:
+) Xét hàm số
+) Ta có:

f  x 

suy ra hàm số
+) Khi đó

f  x   tan x  x ,

với x  0;   .
 2

1
 
 1  tan 2 x  0, x  0;  ,
2
cos x
 2

f  x  đồng

 
x   0; 
 2

thì

biến trên khoảng

dấu “=” chỉ sảy ra tại x  0

 
 0; 2  .

x  0  f  x   f  0  hay tan x  x  0  tan x  x


 Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng
biến, nghịch biến.
Ví dụ minh họa 4:

Chứng minh rằng nếu với

x  , x  1 thì x.e x  

1
.
e

Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số

f  x  x

và g  x   e x là các hàm đồng biến trên

là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên
hay

xe x  

¡

¡

. Suy ra hàm số h  x   xe x

. Vì vậy , từ

x  1  h  x   h  1

1

.
e

Phân tích:
Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ
đúng khi hai hàm đó dương (!).
Lời giải đúng là:
+) Xét hàm số
+) Ta có

f  x   xe x

trên  1;  

f   x   e x  xe x  1  x  e x  0, x   1;   ,

dấu "=" xảy ra chỉ tại x  1 . Suy ra, hàm

số đồng biến trên nửa khoảng  1;   .
+) Từ

x  1  f  x   f  1

hay

x.e x  

1
.
e

3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
 Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
Ví dụ minh họa 5:

Tính đạo hàm của hàm số

f  x    2 x  1

x

.


Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có f   x   x  2 x  1 x1  2 x  1  2 x  2 x  1 x1 .
Phân tích:
Lời giải trên đã vận dụng công thức

 u    u


u .

 1

Vận dụng như vậy là sai, vì

công thức này chỉ áp dụng cho số mũ  là một hằng số.
Lời giải đúng là:

+) Điều kiện:

+) Ta có

1

x  
2

 x  0

khi đó

f  x  0

f  x    2 x  1  ln f  x   x ln  2 x  1
x

+) Do đó ln f  x    x ln  2 x  1 
 f   x    2 x  1 ln  2 x  1  2 x  2 x  1
x

f  x
2x
 ln  2 x  1 
f  x
2x  1
x 1

 Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.

Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức

 u    u


nhưng quên rằng nếu như  không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi
dương.
Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số y  f  x   3 x 2 có đồ thị (C). Viết phương
trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x  1 .

u

u ,  

 1

,

nhận giá trị


Một số học sinh trình bày như sau:
y  f  1 

+) Với x  1 thì
+) Ta có

3

 1

2

1

2  13
f  x  x  x  f  x  x
3
3

2

2
3

+) Hệ số góc của tiếp tuyến là

k  f   1 

1

1
2
2
2

2 
 1 3   1  6 
3
3

3

+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y 1 

2
 x  1
3

hay

y

2
5
x .
3
3

Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ không
2

1

nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết f  x   3 x2  x 3 và  1 3 là không đúng (!).
Lời giải đúng là:
+) Với x  1 thì
+) Ta có

y  f  1 

3

 1

2

1

f  x   3 x 2   f  x    x 2  3  f  x  f   x   2 x  f   x  
3

+) Hệ số góc của tiếp tuyến là

2

k  f   1 

2x
3 3 x4



2
33 x

2
2


3
3 1

+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

3

y 1  

2
 x  1
3

hay

2
1
y  x .
3
3

4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
 Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là điều
kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:


f   x   0, x   a; b  

hàm số đồng biến trên khoảng  a; b  .



f   x   0, x   a; b  

hàm số nghịch biến trên khoảng  a; b  .

Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
f  x   x3  mx 2  x  1

đồng biến trên

.

Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định:
+) Ta có :

D

.

f   x   3x 2  2mx  1 .

+) Hàm số đồng biến trên

 f   x   0, x 

a 0

   0

hay

 30
 2
m  3  0

 3m 3

Phân tích: Chẳng hạn, hàm số

f  x   x3

đồng biến trên

, nhưng

f   x   3x 2  0, x 

, dấu

"=" xảy ra chỉ tại x  0 .
y  f  x

Nhớ rằng: nếu hàm số

xác định trên khoảng  a; b  ,

"=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng  a; b  thì hàm số

f   x   0, x   a; b 

y  f  x

khoảng  a; b  .
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định:
+) Ta có :

D

.

f   x   3x 2  2mx  1 .

+) Hàm số đồng biến trên

 f   x   0, x 

a 0

   0

hay

 30
 2

m  3  0

và dấu

đồng biến trên


 3m 3

 Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng đó chỉ
là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:


 f   x0   0
 x0

 f   x0   0

là điểm cực tiểu



 f   x0   0
 x0

 f   x0   0

là điểm cực đại

Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số

y  f  x   mx 4 .

Tìm tất cả các giá trị của

tham số m
để hàm số đạt cực đại tại x  0 ?
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Ta có:

f   x   4mx3 và f   x   12mx 2
 f   0  0
 4m.0  0

 f   0   0
12m.0  0

+) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x  0 là: 

hệ vô nghiệm

+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại x  0 .
Phân tích:
Chẳng hạn, với m  1 , hàm số có dạng
Ta có:

y  f   x   4 x3  0  x  0

Bảng biến thiên:

y  f  x    x4 .


+

-

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
Nhớ rằng, nếu

x0

thỏa mãn

 f   x0   0
 x0

 f   x0   0

thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu
kiện

f   x0   0

x0

là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại

là điểm cực đại thì vẫn có thể

chỉ là điều kiện đủ để hàm số

 x0  h; x0  h  , h  0 , khi đó:

g  x  f  x

 f   x   f   x0   0, x   x0  h; x0 
 x0

 f   x   f   x0   0, x   x0 ; x0  h 

f   x0   0

Lí do là điều

nghịch biến trong lân cận

là điểm cực đại của hàm số.

Lời giải đúng là:
+) Ta có:

f   x   4mx3

+) Nếu m  0 thì

f  x  0 .

Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng

trị.
+) Nếu m  0 thì

f   x   4mx3  0  x  0

 Với m  0 ta có bảng biến thiên:

y  f  x   0 nên

không cực


-

+

 Với m  0 ta có bảng biến thiên:

+

-

+) Vậy với m  0 thì hàm số đạt cực đại tại x  0

Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số

y  f  x   x 4  mx3  1 .

Tìm tất cả các giá trị của

tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x  0 .
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định:
+) Ta có:

D

f   x   4 x3  3mx 2

và

f   x   12 x 2  6mx

+) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là:

 f   0   0
 4.03  3m.02  0


2
 f   0   0
12.0  6m.0  0

nghiệm m.
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x  0 .

hệ trên vô

Phân tích:
Chẳng hạn , với m  0 , hàm số có dạng
Ta có

y  f  x   x4  1

f   x   4 x3  0  x  0

Bảng biến thiên:

-

+

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x  0 .
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định:
+) Ta có:
+) Cho

D

f   x   4 x3  3mx 2  x 2  4 x  3m 

 x0
f   x   0  x  4 x  3m   0  
 x   3m


4
2

trong đó x  0 là nghiệm bội bậc chẵn

 Nếu m  0 thì x  0 trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến thiên:

-

+


 Với m  0 thì

0

3m
4

nên ta có bảng biến thiên:

3m
-∞

x
f'(x)

-

0

-

-

0

+∞

+∞

4
0

+
+∞

1

f(x)

CT

 Với m  0 thì

0

3m
4

nên ta có bảng biến thiên:

3m
x

-

-∞

f'(x)

-

0

4
0

+

0

+∞
+

+∞

+∞
1

f(x)

CT

+) Vậy với m  0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x  0

5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
 Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN)
và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ minh họa 10:
f  x   cos 2 x 

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

1
1 

 2  cos x 
 1 .
2
cos x
cos x 



Một số học sinh trình bày như sau:
+) Đặt

cos x 

1
1

 t  cos 2 x 
 t2  2 .
2
cos x
cos x

+) Ta được hàm số: g  t   t 2  2t  3   t  12  4  4, t 
min g  t   4

+) Vậy

khi t  1 hay

min f  x   4

khi

cos x 

1
 1
cos x

Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của
hàm

f  x

không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g  t  , t  .

Có thể thấy ngay khi t  1 thì không tồn tại giá trị của
Nhớ rằng, số

x

để

cos x 

1
 1 (!)
cos x

 f  x   m, x  D
m  min f  x   
D
x0  D : f  x0   m

Lời giải đúng là:
+) Đặt

cos x 

1
t
cos x

với

xD 



\   k , k  
2


2
+) Ta có t  cos x  1  cos x  1  cos x  1  2 .

cos x

cos x

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
+) Mặt khác

cos x

cos x  1

2

1 
1

2
2
 t2  2
 cos x 

  t  cos x 
2
cos x 
cos x


+) Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g  t   t 2  2t  3 với
+) Ta có

g   t   2t  2  0  t  1

+) Bảng biến thiên:

t 2


t
g'(t)

-1

-2

-∞
-

-

0

2

+∞

+

+

+∞

+∞

g(t)
5

-3

+) Vậy

min g  t   3

khi t  2 hay

min f  x   3

khi

cos x 

1

 2
cos x

 cos x  1  x    k 2 , k 

6. Sai lầm khi viết phƣơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ minh họa 11:

Cho hàm số

y  f  x    x 3  3x 2 ,

có đồ thị (C).

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Ta có:

f   x   3x 2  6 x .

+) Vì điểm A  1; 4    C  nên suy ra phương
trình tiếp tuyến là:
y  4  f   1 x  1

hay

A

y  9 x  5

.
O

Phân tích:
Phương trình tiếp tuyến

y  9 x  5

là

tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)

A  1; 4 


tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể
có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà
không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
+) Phương trình đường thẳng  d  đi qua điểm A  1; 4  và có hệ số góc k là:

y  k  x  1  4

+) Điều kiện để đường thẳng  d  là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm:
 x3  3x 2  k  x  1  4

3x 2  6 x  k


+) Giải hệ bằng phương pháp thế ta được :

x  2

k  0

+) Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình:

và

y4

 x  1

k  9

và

y  9 x  5

 Trên đây là một số ví dụ minh họa cho sáng kiến của mình. Còn rất nhiều bài tập nữa
mà qua đó học sinh luyện tập để khắc phục những sai lầm đáng tiếc, nhưng trong khuôn
khổ của sáng kiến này tôi không chỉ hết ra được. Vì vậy, phần dưới này tôi đưa ra một số
dạng bài tập để các em học sinh có thể luyện tập và giáo viên có thể làm tài liệu dạy
học…
7. Bài tập tƣơng tự
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a.

y

2x  3
1 x

b.

y

x2  x  1
x 1

c.

Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị:

y  cos x  sin x

y

x 2  2mx  3
xm


Bài tập 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a. y   7  x  3 x  5

b. y  cos x  sin x

y  sin 2 x

c.

Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại x  1 :
2

y  x3  mx 2   m   x  5
3


Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau luôn đồng biến trên
y

¡

:

m 1 3
x  mx 2   3m  2  x
3

Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a.

y  x3  3x 2  72 x  90

trên đoạn  5;5

b.

y  2sin x  sin 2 x

trên đoạn

Bài tập 7: Cho hàm số

y   x  1  2  x  ,
2

 3 
0; 2 

có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của

đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm

M  2;0  .

Bài tập 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a.

e x  cos x  2  x 

Bài tập 9: Cho hàm số



x2
, x 
2

1

1
y  x3   m  1 x 2   m  3 x  4
3
2

thị hàm số cắt đường thẳng

y  3x 

9
2

(m là tham số). Xác định m để đồ

tại 3 điểm phân biệt.

Bài tập 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình:
nghiệm thực phân biệt.



b. e x  e x  2ln x  1  x2 , x  0

x 2  2 x  m  x  1

có 4


III. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt

được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi khảo sát tình hình
giải bài tập toán ở 2 lớp 12C1, 12C2 năm học 2011-2012 và ở 2 lớp 12C3, 12C9 năm học
2012-2013 như sau:
1. Các bài tập khảo sát:
Bài số 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

y  x 3  mx 2   m 2  24  x  4

đạt cực tiểu tại x  2 .
Bài số 2: Xét tính đơn điệu của hàm số

y

x2
.
1 2x

2. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2011-2012 ở hai lớp 12C1
và 12C2
Lớp 12 C1 (sĩ số 50)
Mức độ

Số lƣợng

Phần trăm

Không giải được

06

12 %

Giải sai phương pháp

32

64 %

Giải đúng phương pháp

12

24 %

Số lƣợng

Phần trăm

Lớp 12 C2 (sĩ số 46)
Mức độ


Không giải được

13

28 %

Giải sai phương pháp

29

63 %

Giải đúng phương pháp

04

9%

3. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2012-2013 ở hai lớp 12C3
và 12C9
Lớp 12 C3 (sĩ số 50)
Mức độ

Số lƣợng

Phần trăm

Không giải được

2

4%

Giải sai phương pháp

5

10 %

Giải đúng phương pháp

43

86 %

Mức độ

Số lƣợng

Phần trăm

Không giải được

3

7%

Giải sai phương pháp

5

11 %

Giải đúng phương pháp

38

82 %

Lớp 12 C9 (sĩ số 46)

Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học sinh
thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp phần nâng cao chất lượng