Đề cương ôn tập sác xuất thống kê

CHƯƠNG I: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ VÀ CÁC PHÉP TÍNH XÁC
SUẤT
1. Phép thử
- là tập hợp tất cả các khả năng có thể có của một phép thử gọi là
không gian mẫu- không gian biến cố
- kí hiệu: Ω
2. Biến cố
- Là một tập hợp của không gian mẫu
3. Định nghĩa cổ điển về xác suất
Gọi A là biến cố xảy ra: P(A) = m/n với m (A) là số phần tử của A, n(Ω) là số
phần tử của Ω
 NOTE: Dùng định nghĩa cổ điển với các kết quả đồng
khả năng ( khả năng xảy ra đều nhau) và tính được số
các kết quả có thể có của phép thử
 Định nghĩa về thống kê
a) Thực hiện n phép thử thấy rằng m lần xuất hiện kết quả
(A) => xác suất của biến cố A là
P(A) = Lim m/n ~~ m/n ( n => +∞)
VD1. Trong các biến cố sau, biến cố nào dùng định nghĩa cổ điển:
A. Ngày noel năm nay trời nắng
B. Bị tai nạn khi từ HN- HCM
C. Trúng xổ số
D. Mắc một loại bệnh nào đó
VD2. Trong 1 phép thử có 8 trường hợp đồng khả năng, khả năng của mỗi
trường hợp là:
A. 0, 250
B. 0,122
C. 0,155
D. 0,125 vì Ω=8 => 1/8= 0,125
b) Tính chất
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1; với mọi A

2. P ( 0/) = 0
3. P (Ω) = 1
VD3. Số nào dưới đây không là xác suất
A. 0,9999
B. 0.0001
C. 0
D. 1,0001 lớn hơn 1 là sai
Các phép tính về xác suất
Quan hệ giữa các biến cố
4.




Giao của A và B là biến cố A.B : gồm tất cả các kết quả chung
của biến cố A và B
- Hợp của 2 biến cố A và B là biến cố A hợp B
- 2 biến cố gọi là xung khắc nếu A giao B = rỗng
- 2 biến cố gọi là độc lập nếu kết quả xảy ra của biến cố này không
làm ảnh hưởng đến kết quả xảy ra của biến cố kia ( Vd sinh con
gái không có nghĩa là lần sau sinh con trai) , biến cố đối của A là
⩜
- 2 biến cố gọi là đối lập nếu: A ᴒ B = rỗng ; A hợp B= Ω
 Phép toán giữa các biến cố
- P ( A hợp B) = P (A) + P (B) – P(A.B)
Nếu A, B xung khắc thì P ( A hợp B) = P(A) + P(B) ( trong bài thi phải có
câu này)
- Nếu A, B độc lập thì: P(AB) = P(A). P(B)
P(⩜) = 1- P(A)
VD1. Xác suất đi từ nhà đến trường gặp đèn đỏ ở 2 ngã tư là 0,6 và 0,3. Một

sinh viên đi từ nhà đến trường. tính xác suất để người đó:
a) Không gặp đèn đỏ
b) Gặp đèn đỏ 1 lần
c) Gặp đèn đỏ 2 lần
d) Gặp đèn đỏ ít nhất 1 lần
Bài giải
Gọi A1 là biến cố sinh viên đó gặp đèn đỏ ở ngã tư 1, theo GT, có P(A1) = 0,6
=> P(⩜) = 1- 0,6 = 0,4
Gọi A2 là biến cố sinh viên đó gặp đèn đỏ ở ngã tư 2, theo GT, có P(A2)= 0,3
=> P(⩜) = 1- 0.3 = 0,7
Vì A1 ⩜2 và ⩜1 A2 là xung khắc
Angang2 và Angang1 A2 là độc lập
a) Gọi X0 là biến cố sinh viên đó không gặp đèn đỏ => X0 =
⩜1 . ⩜2
 P(X0) = P(⩜1). P (⩜2) = 0,4.0,7 = 0,28
b) Gọi X1 là biến cố sinh viên đó gặp đèn đỏ một lần => X1=
A1. ⩜2 + ⩜1. A2
 P(X1)= P( A1. ⩜2 + ⩜1.A2)
= P( A1. ⩜2) + P(⩜1.A2)
= P(A1). P(⩜2) + P(⩜1). P(A2)
= 0,6. 0,7 + 0,4. 0,3 = 0,54
c) Gọi X2 là biến cố gặp đèn đỏ 2 lần => X2= A1.A2
Vì A1, A2 độc lập = P(X2)= P(A1.A2)  P(A1). P(A2) = 0,6 . 0,3 = 0,18
d) Gọi X3 là biến cố gặp đèn đỏ ít nhất 1 lần
-


X ngang3 là biến cố không gặp đèn đỏ lần nào =>
P(X3) = 1- P(Xngang3) = 1- 0,28 = 0,72
VD3. 1 đề cương ôn tập có 10 câu. 1 sinh viên chỉ thuộc 7 câu. 1 đề thi gồm 3

câu trong đề cương. Tính xác suất để:
a) Sinh viên không thuộc câu nào trong đề thi
b) Sinh viên thuộc 1 câu
c) Sinh viên thuộc 2 câu
d) Sinh viên thuộc 3 câu
Bài giải
Gọi : Ω = chọn 3 câu trong 10 câu => n (Ω) = C3/10 ( Ω là không gian mẫu, n
là số phần tử của không gian mẫu)
a) Gọi X0 là biến cố sinh viên không thuộc câu nào
=> n(X0) = C0.3= 1
 P(X0)= 1 : C3.10 = 0,0083
b) Gọi X1 là biến cố sinh viên thuộc 1 câu, không
thuộc 2 câu => n(X1) C1/7. C2/3= 9
 P(X1)= 9 : C3/10= 0,175
c) Gọi X2 là biến cố sinh viên thuộc 2 câu, không
thuộc 1 câu => n(Ω)= C2/7.C1/3= 63
 N(X2)= 63 : C3/10 = 0.525
d) Gọi X3 là biến cố sinh viên thuộc 3 câu => n(Ω)=
C3/7 = 35
 N(X3)= 35 : C3/10 = 0,2917
5. Công thức BERNOULLI : độc lập
 Phép thử: gọi là phép thử Bernoulli nếu trong trong phép thử đó
chỉ có 2 khả năng xảy ra ( xảy ra hoặc không)
Thực hiện liên tiếp n phép thử Bernoulli một cách độc lập, thấy xác suất để K
lần xuất hiện biến cố A là:
Pn(K) = Ck/n. P^k ( 1-p)^ n-k với p = P(A), trong đó P là xác suất của A
VD4. Theo điều tra xã hội học, tỉ lệ các cặp vợ chồng li hôn trong 5 năm đầu
sau khi kết hôn là 20%. Chọn ngẫu nhiên 3 cặp vợ chồng đã kết hôn trong 5
năm. Tính xác suất để
a) Không cặp nào ly hôn

b) 1 cặp ly hôn
c) 2 cặp ly hôn
d) 3 cặp ly hôn
Bài giải
Mỗi cặp vợ chồng được chọn là một phép thử Bernoulli => P= 20%
a) Xác suất để không cặp nào ly hôn trong 3 cặp
là:
P3(0) = C0/3. 0,2^0. (1-20%) mũ 3-0



= 0,512
Xác suất để 1 cặp li hôn là
P3(1) = C1/3. 0,2^1. (1-20%) mũ 3-1 = 0,384
c) Xác suất để 2 cặp li hôn là
P3(2)= C2/3. 0,2^2.(1-20%) mũ 3-2 = 0,096
d) Xác suất để 3 cặp li hôn là
P3(3) = C3/3 .0,2^3. (1-20%) mũ 3-3 = 0,0083
VD5. Một tổ có 10 sinh viên, trong đó 4 nam 6 nữ. chọn ngẫu nhiên 3 sinh
viên từ tổ đó.
a) Tính xác suất để 3 sinh viên chọn ra có cùng giới tính
b) Tính xác suất để 3 sinh viên chọn ra không có sinh viên nữ
c) Tính xác suất để 3 sinh viên chọn ra có 1 sinh viên nữ
d) Tính xác suất để 3 sinh viên chọn ra có 2 sinh viên nữ
e) Tính xác suất để 3 sinh viên chọn ra có 3 sinh viên nữ
Bài giải
b)

Có Ω = chọn 3 sinh viên trong 10 sinh viên => Ω = C3/10
a) Gọi A là biến cố: “ 3 sv chọn ra có cùng giới tính”

A1 là biến cố “ 3 sinh viên chọn ra là nam”
A2 là biến cố “ 3 sinh viên chọn ra là nữ”
Ta có A= A1+A2, do A1, A2 xung khắc nhau
 P(A) = P(A1) + P(A2) = n(A1)/n + n(A2)/n
= C3.4/ C3.10 + C3.6/C3.10 = 0,2
b) Gọi B là biến cố “ 3 sinh viên chọn ra không có sinh viên nữ”
=> n(B)= C0/6. C3/4 = 4
=> P(B) = 4/C3.10 = 0,0333
c) Gọi C là biến cố “ 3 sinh viên chọn ra có 1 sinh viên nữ”
=> n(C)= C1/6. C2/4 = 36
=> P(C)= 36/C3.10= 0,3
d) Gọi D là biến cố” 3 sinh viên chọn ra có 2 sinh viên nữ”
=> n(D)= C2/6.C1/4 = 60
=> P(D)= 60/C3.10 = 0,5
e) gọi E là biến cố “ 3 sinh viên chọn ra có 3 sinh viên nữ”
=> n(E)= C3/6. C0/4 = 20
=> P(E)= 20/C3.10 = 0, 1667
VD6. Theo điều tra xã hội học, tỷ lệ sinh viên học đúng nghề là 80%. Khảo sát
3 sinh viên đang theo học. gọi X là số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu
thích . tính xác suất để
a) X = 0
b) X= 1
c) X=2


d)

X=3

Bài giải

Mỗi sinh viên được chọn là một phép thử Bernoulli => P= 80%
a) Xác suất để không có sinh viên nào làm đúng nghề mà họ yêu thích là
P3(0) = C0/3. 0,8^0. (1-80%) mũ 3-0
= 0.0083
b) Xác suất để có 1 sinh viên làm đúng nghề mà họ yêu thích là
P3(1)= C1/3. 0,8^1. (1- 80%) mũ 3-1
= 0,096
c) Xác suất để có 2 sinh viên làm đúng nghề mà họ yêu thích là
P3(2) = C2/3. 0,8^2. (1-80%) mũ 3-2
= 0,384
d) Xác suất để có 3 sinh viên làm đúng nghề mà họ yêu thích là
P2(3) = C3/3. 0,8^3. (1-80%) mũ 3-3
= 0,512
VD7. 1 phòng làm việc có 2 máy điện thoại hoạt động độc lập. xác suất hỏng
trong 1 tháng của từng máy là 0,1; 0,2. Gọi X là số máy bị hỏng trong tháng.
Tính xs để
a) X=0
b) X=1
c) X=2
d) Để không quá 1 máy bị hỏng trong 1 tháng ( X≤1)
e) Giá để sửa 1 máy là 750k. tính trung bình tiền sửa đt 1 tháng
Bài giải
a) Gọi A1 là biến cố hỏng trong 1 tháng của máy 1
Theo GT, P(A1)= 0,1 và P(⩜1) = 0,9
Gọi A2 là biến cố hỏng trong 1 tháng của máy 2
Theo GT, P(A2)= 0,2 và P(⩜2) = 0,8
vì A1⩜2 và ⩜1A2 là xung khắc, A1⩜2 và ⩜1A2 là độc lập
a) Gọi X0 là xác suất không có máy nào hỏng trong tháng
 X0 = ⩜1 . ⩜2
 P(X0) = P(⩜1). P(⩜2)= 0,9 .0,8 = 0,72

b) Gọi X1 là xác suất có 1 máy hỏng trong tháng
 X1= A1. ⩜2 + ⩜1. A2
 P(X1)= P(A1. ⩜2) + P(+ ⩜1. A2)
= P(A1). P(⩜2) + P(⩜1). P(A2)
= 0,1.0,8 + 0,9. 0,2 = 0,26
c) Gọi X2 là biến cố có 2 máy bị hỏng trong tháng
Vì A1, A2 độc lập nên
 X2= A1.A2 => P(X2)= P(A1).P(A2)
= 0,1. 0,2 = 0,02


d)

Gọi X3 là biến cố không quá một máy bị hỏng trong tháng
 P(X3) = 1- P(A1.A2) = 1- 0,02= 0,98

CHƯƠNG II. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC
SUẤT
1. Biến ngẫu nhiên
- Là đại lượng có thể lấy bất kỳ 1 trong các giá trị có thể của nó với
một xác suất tương ứng xác định
- BNN được ký kiệu bằng chữ cái in hoa
- Các giá trị của BNN được biết bằng chữ thường
- Biến cố “ Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị xi” được viết là (X= xi)
Xác suất của biến cố ( X= xi) kí hiệu là pi
pi= P(X= xi)
- Vd: gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất. gọi X là : số chấm
xuất hiện trên con xúc xắc” => X là biến ngẫu nhiên
- Phân loại biến ngẫu nhiên
BNN rời rạc: nếu tập hợp các giá trị mà nó có thể nhận là một tập hợp hữu hạn

hoặc vô hạn đếm được
BNN liên tục
2. Quy luật phân phối xác suất của BNN
1. Bảng phân phối xác suất
VD1. Theo điều tra xhh, tỷ lệ sinh viên ra trường không tìm được việc làm sau
1 năm tốt nghiệp là 40%. Chọn ngẫu nhiên 3 sv đã tốt nghiệp được 1 năm. Gọi
X là số sinh viên chưa có việc làm trong 3 sinh viên trên. Hãy lập bảng phân
phối xác suất của X.
Bài giải
Vì có 3 sinh viên được chọn => X= 0,1, 2 ,3
P(X=0) = C0/3. 0,4^0. (1-0,4) ^ 3 = 0,216
P(X=1) = C1/3. 0,4^1. (1-0,4)^2 = 0,432
P(X=2) = C2/3. 0,4^2. (1-0,4)^1 = 0,288
P(X=3) = C3/3. 0,4^3. (1-0,4)^0 = 0,0064
=>> Có bảng phân phối xác suất của X
X (xi)
P (xi)

0

1

2

3

0,21
0,43
0,28
0,06

6
2
8
4
VD2. 1 đề cương ôn tập có 10 câu. 1 sinh viên đi thi chi thuộc 7 câu. 1 đề thi
gồm 3 câu được rút ngẫu nhiên trong đề cương. Gọi X là số câu sinh viên
thuộc trong đề. Hãy lập bảng phân phối xs của X.
Bài giải


Vì đề thi có 3 câu => X = 0,1,2,3
Có P(X=0) = C0/7 . C3/3 : C3/10 = 0,0083
P(X=1) = C1/7. C2/3 : C3/10 = 0,175
P(X=2) = C2/7 . C1/3 : C3/10= 0,525
P(X=3)= C3/7. C0/3 : C3/10= 0,2917
 Ta có bảng phân phối xác suất.
2. Hàm phân phối xác suất
- Của BNN X là hàm của x, kí hiệu F(x), được xác định như sau
F(x) = P( X < x) , với mọi x € R
 Định lí
• P( a ≤ X• Nếu X là BNN liên tục thì
P( a ≤ X≤ b) = P( a ≤ X< b)
= P( a < X≤ b) = P( a 3. Hàm mật độ xác suất
- là đạo hàm của hàm phân phối xác suất của BNN liên tục X, Kí
hiệu f(x) là đạo hàm bậc nhất của hàm phân phối xác suất, nghĩa
là f(x) = F’(x)
P(a4. Các tham số đặc trưng của BNN

a) KỲ VỌNG E(X)
- Là 1 số ký hiệu là E(X) được xác định bởi
BNN rời rạc: E(X) =
BNN liên tục: E(X)=
- Bản chất: kì vọng là giá trị trung bình
- Ý nghĩa: kì vọng càng cao thì lợi nhuận càng cao
- Tính chất:
• Kì vọng của hằng số bằng chính hằng số đó
E(c)= c
• Kì vọng toán của tổng của 2 BNN = tổng kì vọng toán
thành phần
E( X+Y) = E(X) + E(Y)
• Nếu X, Y là BNN, a; b là hằng số
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
VD3.( đề 2+6+10) Cho X là lợi nhuận của công ty A trong 1 năm (tỷ đồng), X
có bảng phân phối xác suất như sau
X(xi)
-1
0
1
2
3
P(pi)
0,2
0,3
0,2
0,2
0,1
Lợi nhuận kỳ vọng là
A. 0,5

B. 0,7


0,2
3
VD4. 1 đề thi..
a) Tính xác suất để sinh viên này thuộc ít nhất 2 câu trong đề
b) Nếu sinh viên đó thuộc 1 câu trong đề thì được 3 điểm
c) Nếu sv đó thuộc 2 câu trong đề thì được 7 điểm
d) Nếu sinh viên đó thuộc 3 câu trong đề thì được 10 điểm
e) Tính số điểm mà sinh viên đó kỳ vọng nhận được
Bài giải
a) Vì đề thi có 3 câu nên X= 0, 1, 2, 3
Có P(X=0) = C0/7. C3/3 : C3/10 = 0,0083
P(X=1) = C1/7 . C2/3 : C3/10 = 0,175
P(X=2) = C2/7 . C1/3 : C3/10 = 0,525
P(X=3) = C3/7. C0/3 : C3/10 = 0,2917
Xác suất để sinh viên này thuộc ít nhất 2 câu trong đề là
P(X≥2) = P(X=2) + P(X=3)7
= 0,525 + 0,2917 = 0,8167
b) Xác suất để sinh viên thuộc 1 câu trong đề thì được 3 điểm là: 3.
0,175 = 0,525
c) Xác suất để sinh viên thuộc 2 câu trong đề thi được 7 điểm là: 7.
0,525 =3,675
d) Xác suất để sinh viên thuộc 3 câu trong đề thi được 10 điểm là:
10. 0,2917= 2,917
e) Gọi Y là số điểm mà sinh viên đó kỳ vọng nhận được:
E(Y) = 3. 0,175 + 7. 0,525 + 10. 0,2917 = 7,117
b) PHƯƠNG SAI V(X)
- Của BNN X, kí hiệu V(X) là kì vọng của bình phương sai lệch

giữa BNN và kì vọng của BNN
- Trong lĩnh vực kinh doanh, phương sai đặc trưng cho mức độ rủi
ro
V(X)= E[X- E(X)] 2 => ct PHỨC TẠP
 V(X) = E(X)2 – [E(X)]2
- Tính chất:
• Phương sai của hằng số bằng 0, nghĩa là
V(c)= 0, với c là hằng số
• Nếu c là hằng số thì V(cX)= c². V(X)
• V(X+Y) = V(X) + V(Y)
VD5.
X
-1
2
P
0,8
0,2
Có E(X) = -1. 0,8 + 2.0,2 = -0,4
C.
D.


V(X) = (-1)².0,8 + 2². 0,2 – (-0,4) ² = 1,44
VD6. 1 tổ có 10 sinh viên, trong đó 3 sinh viên có học lực giỏi, 4 sinh viên có
học lực khá, còn lại có học lực trung bình. Chọn ngẫn nhiên 3 sinh viên từ tổ
đó.
a) Tính xác suất để 3 sinh viên chọn ra có cùng loại học lực
b) Gọi X là số sv có học lực giỏi trong 3 sv chọn ra. Hãy lập
bảng phân phối xs của X
c) Tính E(3X-2) và V(2-3X)

Bài giải
a) Vì chọn ra 3 sinh viên => có X= 0,1,2,3
 Có bppxs ? ( tính như nào)


X(xi)
P(pi)

0
35/120
b)

1
2
3
63/120
21/120
1/120
Có E(X) = 0.35/120+ 1/63/120 + 2.21/120 + 3.1/20

= 0,9
E(3X-2) = 3E(X) – E(2) = 0,7 ?
Có V(X) = E(X) 2 – E[(X)] 2
Có E(X) 2 = 0². 35/120 + 1². 63/120 + 2².21/120 + 3². 1/120 = 1,3
 V(X) = 1,3 – (0,9) ² = 0,49
V( 2-3X) = V(2) + V(-3X) = 0 + (-3) ². V(X)
= 0+ 9. 0,49 = 4,41
c) ĐỘ LỆCH CHUẨN
- X là BNN => Độ lệch chuẩn của X kí hiệu là Ϭ(X) =
- MODE của X là giá trị của BNN ứng với xác suất lớn nhất

d) MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
 Quy luật nhị thức ( giống bernoulli)
BNN rời rạc X được gọi là tuân theo quy luật nhị thức với 2 tham số n và p, kí
hiệu
X~ B( n,p) nếu X nhận các giá trị có thể có là 0,1,2,… n và các xác suất tương
ứng được tính theo công thức Bernoulli
- P(X=k) = Ck/n. P^k ( 1-p)^ n-k với n= 0,1,2..n
- Nếu X~B (n;p) thì
• E(X) = np
• V(X) = np. (1-p)
• np + p-1 ≤ Mode Y ≤ np+ p


VD7. Theo điều tra xhh, tỷ lệ sinh viên ra trường không có việc làm sau 1 năm
tốt nghiệp là 40%. Điều tra ngẫu nhiên 100 sv đã tốt nghiệp được 1 năm thì
trung bình có bao nhiêu sinh viên chưa có việc làm? Số sinh viên chưa có việc
làm có khả năng xảy ra nhiều nhất là bao nhiêu?


Bài giải
Gọi Y là số sinh viên chưa có việc làm, trong 100 sinh viên chọn ra thì Y là
biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức
n=100 và p=0,4
 số sinh viên chưa có việc làm trong 100 sv là
E(Y) = n.p = 100. 0,4 = 40
 số sinh viên chưa có việc làm có khả năng xảy ra nhiều
nhất là Mode Y, ta có
100.0,4 + 0,4-1 ≤ Mode Y ≤ 100.0,4 + 0,4
39,4 ≤ Mode Y ≤ 40,4 => Mode Y = 40 ?
QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN

- BNN liên tục X nhận giá trị trong khoảng ( - gọi là tuân theo quy
luật phân phối chuẩn với 2 tham số m và , kí hiệu X~N ( m, , nếu
hàm mật độ xác suất của nó có dạng
f(x) = 1/ . e^ – (x-m)²/2 , x
m : giá trị trung bình
‫ ګ‬: độ lệch chuẩn
- BNN U được gọi là tuân theo quy luật chuẩn tắc nếu U có phân
phối chuẩn với kì vọng bằng 0 và phương sai bằng 1: U~N ( 0;1)
- Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn tắc, kí hiệu , có dạng
= 1/ . e^ => hàm được gọi là Gauss
- Hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn tắc, kí hiệu , có
dạng
= 1/ . . e ^ u²/2 . du
- Công thức quan trọng:
 = 0,5 +
 là hàm lẻ, tức là =  là hàm tăng, nhưng nó tăng tăng không đáng kể với u
>5 => trong thực tế, nếu u>5 ta có thể cho


CT TÍNH XÁC SUẤT THEO PHÂN PHỐI CHUẨN
• Nếu X~N ( m, thì
P (a • Vì ) = + 0,5 nên
P (a VD8. ? Chiều cao của thanh niên nam trưởng thành ở 1 quốc gia lập thành
biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình bằng 162cm
và độ lệch chuẩn bằng bằng 7cm.
a) Tính tỷ lệ thanh niên nam ở quốc gia đó có chiều cao
>172cm
-

b)

Chọn ngẫu nhiên ra 50 thanh niên nam ở vùng đó thì
trung bình có bao nhiêu thanh niên có chiều cao
>172cm và khả năng xảy ra nhiều nhất là bao nhiêu?

Bài giải
Theo đề bài, X có phân phối chuẩn với m = 162,
= 7 . Tỷ lệ tn nam ở quốc gia đó có chiều cao > 172cm là
P( X>172)= 1- P ( X≤ 172)
= 1- .( 172-162/7)
= 1- .( 10/7) = 1- . ( 1,43) = 1- 0,8236
= 0,1764 = 17,64%
Vì bảng trong giáo trình sai
P (X>172) = 0,923436 = 0,0765637 = 7,65637 %
b) Gọi Y là số tn có chiều cao trên 172cm trong 50 tn
nam được chọn ngẫu nhiên ở vùng đó. Y có phân
phối nhị thức với n = 50 và p = 0,1764
Số thanh niên trung bình có chiều cao > 172cm trong 50 thanh niên là
E(Y) = n.p = 50. 0,0765637 = 3.828/8
 E(Y) = 50. 0,1764 = 8,82
- Số thanh niên có chiều cao > 172cm có khả năng xảy ra nhiều
nhất trong 50 thanh niên được chọn ngẫu nhiên = mod Y = 8
( Mod Y =3)
- Vì 50. 0,0765637 – 0,923436 ≤ mod Y ≤ 50. 0,0765637 +
0,0765637
 2,90475 ≤ mod Y ≤ 3,90475
BÀI TẬP

BT1. ĐỀ 02.
Bảng nào sau đây không là bảng phân phối xác suất:
a)
X1
-100
200
500
100
0
P
0,25
0,1
0,5
0,05
5
5
a)

b)
X
P
c)
X

0
0,
24

1
0,

16

1

2

2
0
,
2

3
0,
25

3

4

4
0
,
1
5


3
P
d)
X

4
P

0,
15

0,
15

0
,
3

0,
20

-2

-1

0

1

2

0,
1
5

0,
2
5

0
,
2

0,
2
5

0,
1
5

CHỌN C?
BT2. Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm gồm 6 bé trai và 4 bé gái. Gọi X
là số bé gái trong nhóm. Lập bảng phân phối xác suất của X.
Bài làm
Gọi X là số bé gái trong nhóm. X là biến ngẫn nhiên rời rạc => X= 0, 1, 2, 3
Ta có X = 0 là biến cố “ trong 3 đứa trẻ không có bé gái nào”
 P(X=0) = C3/6. C0/4: C3/10 = 0,1667
Tương tự, có
 P(X=1) = C2/6.C1/4: C3/10 = 0,5
 P(X=2) = C1/6. C2/4: C3/10 = 0,3
 P(X=3) = C0/6. C3/4: C3/10 = 0,0333
Ta có bảng phân phối xác suất của X
X
0

1
2
P
0,166
0,
0,
7
5
3
BT3. ĐỀ O8: Theo điều tra xhh thì tỷ lệ các sinh viên học đúng nghề mà họ
yêu thích là 80%. Khảo sát ngẫu nhiên 3 sinh viên đang theo học ở một trường
đại học. gọi X là số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu thích trong 3 sinh viên
chọn ra. Lập bảng phân phối xác suất của X.
Bài giải
Gọi X là số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu thích.
X là biến ngẫu nhiên => X= 0,1,2,3
 P(X=0)= C0/3. 0,8^0. 0,2^3 ? = 0,008
 P(X=1)= C1/3. 0,8^1. 0,2^2 = 0,096
 P(X=2)= C2/3. 0,8^2. 0,2^1 =0,384
 P(X=3)= C3/3. 0,8^3. 0,2^0 = 0,512
 Có bảng phân phối xác suất

0,
15

3
0,033
3

BT4. Một xí nghiệp có 2 ô tô vận tải. xác suất bị hỏng trong thời gian t của 2 ô
tô tương ứng là 0,1 và 0,2. Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thời gian t. hãy lập
bảng phân phối xác suất và tính hàm phân phối xác suất của X.
Bài giải
Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thời gian t => X = 0,1,2
P(X=0) = (1- 0,1). (1-0,2) = 0,1
P(X=1) = 0,1.(1-0,1) + (1-0,2) = 0,1
P(X=2) =0,1.0,2 = 0,02
 Bảng phân phối xác suất của X
X
0
1
2
P
0,
0,
0,02
1
1
BT1. Đề 07. Một tổ có 10 sinh viên, trong đó có 4 sinh viên nam và 6 sinh
viên nữ. chọn ngẫu nhiên ra 3 sinh viên từ tổ đó. Gọi X là số sinh viên nữ
trong 3 sinh viên chọn ra.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X
c) Tính E(3X-2) và V(2-3X)
d) Tính xác suất để 3 sinh viên chọn ra có cùng giới
tính
Bài giải
a) Gọi X là số sinh viên nữ trong 3 sinh viên chọn ra
=> X= 0,1,2,3

Có P(X=0) = C0/6. C3/4: C3/10= 0,0333
P(X=1) = C1/6. C2/4 : C3/10= 0,3
P(X=2) = C2/6. C1/4: C3/10= 0,5
P(X=3) = C3/6. C0/4 : C3/10= 0,1667
 Bảng phân phối xác suất
b) Kỳ vọng của X là
E(X)= 0. 0,0333 + 1. 0,2 + 2.05 + 3. 0,1667
= 1,8001
Phương sai của X là
Có V(X)= E(X2) – [E(X)]2
= 3,8003 – (1,8001)² = 0,5599
 Độ lệch chuẩn của X là: (x) = V(X)
= (0,5599) = 0,7483
c) E(3X-2) = 3E(X) – 2E HAY E(2)?
= 3. 1,8001 – 2 = 3,4003
V(2-3X) = V(2) + V(-3X) (VcX) = c². V(X)
= 0 + 9. 0,5599 = 5,0391


Gọi X1 là xác suất để 3 sinh viên chọn ra có cùng
giới tính
 P(X1) = C3/4+ C3/6 : C3/10 = 0,2 (sao không là nhân)
BT2. ĐỀ 04. Theo điều tra xã hội học thì tỷ lệ các cặp vợ chồng ly hôn trong
năm đầu sau kết hôn là 20%. Khảo sát ngẫu nhiên 3 cặp vợ chồng đã kết hôn
trong 5 năm.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X
b) Tính E(2X- 5) và V( 3-2X)
c) Điều tra ngẫu nhiên 50 cặp vợ chồng đã kết hôn
được 5 năm thì trung bình có bao nhiêu cặp ly hôn?
Số cặp ly hôn có khả năng nhất là bao nhiêu

Bài giải
a) Mỗi cặp vợ chồng được khảo sát là một phép thử
Bernoulli, P=0,2
 X= 0,1,23
Có P(X=0)= C0/3. 0,2^0. 0,8^3 = 0,512(ad ct: Pnk= Ckn. P^k. (1-p)^nk ??)
P(X=1)= C1/3. 0,2^1. 0,8^2 = 0,384
P(X=2)= C2/3. 0,2^2. 0,8^1 = 0,096
P(X=3)= C3/3. 0,3^3. 0,8^0 = 0,008
 Ta có bảng phân phối xác suất của X
b) Ta có kỳ vọng của X là
E(X)= 0. 0,0512+ 1.0,384+ 2.0,096+ 3.0,008= 0,6
V(X)= E(X)² - [E(X)]² = 0,84. (0,6)²= 0,48
Có E(2X-5) = 2(EX) – E(5)= 2.0,6 – 5= -3,8
Có V(3-2X)= V(3) + V(-2X) = 3+ 4. 0,48= 1,92
c) Gọi Y là số cặp vợ chồng ly hôn trong 50 cặp vợ
chồng chọn ra thì Y là biến ngẫu nhiên có phân
phối nhị thức n = 50 và p = 0,2
 Số cặp vợ chồng ly hôn trong 50 cặp là:
E(Y) = 50.0,2= 10
 Số cặp vợ chồng có khả năng ly hôn nhất là
n.p+ p-1 ≤ Mode Y ≤ n.p + p
50.0,2 + 0,2-1 ≤ Mode Y ≤ 50.0,2 + 0,2
9,2 ≤ Mode Y ≤ 10,2 => Mode y= 10 ?
BT3. Theo điều tra xã hội học thì tỷ lệ các sinh viên học đúng nghề mà họ yêu
thích là 80%. Khảo sát ngẫu nhiên 3 sinh viên đang theo học ở một trường đại
học. Gọi X là số sinh viên học đúng nghề mà học yêu thích trong 3 sinh viên
chọn ra,
a) Lập bảng phân phối xác suất của X
d)

b)
c)

Tính E(3X-4) và V(3-4X)
Nếu khảo sát ngẫu nhiên 50 sinh viên học đúng nghề
mà họ yêu thích có khả năng nhiều nhất là bao
nhiêu?

Bài giải
NX: Mỗi một sinh viên chọn ra là một phép thử
Bernoulli, => p= 0,8
Gọi X là số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu thích => X= 0,1,2,3
P(X=0)= C0/3. 0,8^0. 0,2^3= 0,008
P(X=1)= C1/3. 0,8^1. 0,2^2= 0,096
P(X=2)= C2/3. 0,8^2. 0,2^1= 0,384
P(X=3)= C3/3. 0,8^3. 0,2^0= 0,512
 Ta có bảng xác suất
b) Kì vọng của X là
E(X) = 0. 0,008+ 1. 0,096+ 2.0,384+ 3. 0,512
= 2,4
 E( 3X-4) = 3(EX) – E(4)= 3. 2,4 – 4= 3,2
Phương sai của X là
V(X)= E(X)² - [E(X)]² = 6,24 – (2,4)²= 0,48
V(3-4X)= V(3) + V(-4X)= 0 + (-4)².V(X)= 7,16
c) Gọi Y là số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu
thích trong 50 sinh viên được khảo sát
 Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức n= 50 và p=
0,8
 Số sinh viên học đúng nghề khi ra trường là

E(Y)= n.p= 50. 0,8= 40
 Số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu thích có khả
năng nhiều nhất là:
50.0.8+ 0,8-1≤ Mode Y ≤ 50.0,8 + 0,8
39,8 ≤ Mode Y ≤ 40,8
 Mode Y = 40
BT4. (NHĐ.02+NHĐ.10) Theo nhận định của cơ quan quản lý chất lượng
thực phẩm tại thành phố A thì chỉ có 60% số cơ sở kinh doanh thực phẩm tại
thành phố này là đạt tiêu chuẩn vệ sinh an toàn thực phẩm. Nhân tháng "Vệ
sinh an toàn thực phẩm", cơ quan này sẽ kiểm tra ngẫu nhiên 3 cơ sở kinh
doanh thực phẩm tại một chợ. Gọi X là số cơ sở không đạt tiêu chuẩn vệ sinh
an toàn thực phẩm trong 3 cơ sở kiểm tra.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Tính E(2X −5) và V (3−2X). c) Điều tra ngẫu nhiên 100 cơ sở kinh doanh
thực phẩm tại thành phố đó thì trung bình có bao nhiêu cơ sở không đạt tiêu
a)


chuẩn vệ sinh an toàn thực phẩm? Số cơ sở không đạt tiêu chuẩn vệ sinh an
toàn thực phẩm có khả năng xảy ra nhiều nhất là bao nhiêu?
Bài giải
a) mỗi một cơ sở kinh doanh được kiểm tra là một phép thử Bernoulli => p=
100
X là số cơ sở không đạt tiêu chuẩn VSATTP trong 3 cơ sở kiểm tra. => X=
0,1,2,3
P(X=0)= C0/3.0,6^0. 0,4^3= 0,064
P(X=1)= C1/3. 0,6^1. 0,4^2= 0,288
P(X=2)= C2/3. 0,6^2. 0,4^1= 0,432
P(X=3)= C3/3. 0,6^3. 0,4^0= 0,216
 Ta có bảng phân phối xác suất

c) Kỳ vọng của X là
E(X)= 1,8
 E(2X-5)= E(2X) – E(5)= 2(EX)-5 = 2.1,8-5= -1,4
Phương sai của X là
V(X)= E(X)² - [E(X)]² = 3,96- (1,8)² = 0,72
V(3-2X)= V(3) + V(-2X)= 0 + 4.V(X)= 0+ 0,72= 2,88
d) Gọi Y là số cơ sở không đạt tiêu chuẩn VSATTP
trong 100 cơ sở => Y là biến ngẫu nhiên có phân
phối nhị thức n= 100 và p=0,6
 Số cơ sở không đạt tiêu chuẩn là: E(Y)= 100.0,6= 60
 Số cơ sở không đạt tiêu chuẩn VDATTP có khả năng
nhiều nhất là
100.0,6+ 0,6-1 ≤ Mode Y ≤ 100.0,6 + 0,6
59,6 ≤ Mode Y ≤ 60,6
 Mode Y= 60
BT5. (NHĐ.03) Một sinh viên đi từ nhà đến trường phải đi qua 2 ngã tư. Xác
suất gặp đèn đỏ ở các ngã tư lần lượt là 0,3; 0,4.
a) Gọi X là số ngã tư mà sinh viên đó gặp đèn đỏ khi đi từ nhà đến trường.
Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Tính E(5X −2) và V (4−3X).
c) Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất 06/04/2016
c) Nếu mỗi ngã tư gặp đèn đỏ phải chờ khoảng 50 giây, thì thời gian trung
bình mà sinh viên đó phải dừng trên đường khi gặp đèn đỏ là bao nhiêu?
Bài giải
a) Gọi X là số ngã tư sinh viên đó gặp đèn đỏ khi đi từ
nhà đến trường => X= 0,1,2
Gọi A1 là biến cố gặp đèn đỏ ở ngã tư 1=> P(A1)= 0,3
 Gọi Angang1 là biến cố không gặp đèn đỏ ở ngã tư 1
=>> P(Angang1) = 1- 0,3 = 0,7

A2 là biến cố gặp đèn đỏ ở ngã tư 2 => P(A2) = 0,4
 Gọi Angang2 là biến cố không gặp đèn đỏ ở ngã tư 2
=>> P(Angang2) = 1- 0,4= 0,6
• Vì Angang1 và Angang2 độc lập
P(X=0)= P(Angang1. Angang2)
= P(Angang1). P(Angang2)= 0,7.0,6= 0,42
• Vì A1, Angang1 và A2, Angang2 là độc lập, Angang1,
Angang2 xung khắc
Có P(X=1) = P(A1.Angang2) + P(Angang1. A2)
= P(A1). P(Angang2) + P(Angang1). P(A2)
= 0,3.0,6 + 0,7. 0,4 = 0,46
• Có P(X=2)= P(A1.A2)= P(A1). P(A2)= 0,3.0,4= 0,12
 Ta có bảng phân phối xác suất
b) Kì vọng của X là
E(X)= 0,7 =>E(5X-2)= E(5X) – E(2)
= 5(EX)- 2= 1,5
Phương sai của X là
V(X)= E(X)² - [E(X)]² = 0,45
 V(4-3X)= V(4) + V(-3X)= 0+ 9.(VX)= 4,05
c) Gọi Y là thời gian mà sinh viên đó phải dừng lại khi
gặp đèn đỏ, có bảng xác suất của Y
Y
0
50
100
P(yi)
0,4
0,4
0,1

2
6
2
E(X).50= 0,7.50 =35 (s) ???
BT6. (NHĐ.05) Một đề cương ôn tập một môn học có 10 câu. Một sinh viên
đi thi chỉ thuộc 7 câu. Một đề thi gồm 3 câu được rút ngẫu nhiên trong đề
cương. Gọi X là số câu sinh viên đó thuộc trong đề. Tính kỳ vọng và phương
sai của X.
Bài giải
 Gọi = chọn 3 câu trong 10 câu => n()= C3/10
Gọi X0 = sinh viên đó không thuộc câu nào
 n(X0)= C0/3. C3/7= 35=> P(X0) =35: C3/10= 0,2917
Gọi X1= sinh viên thuộc 1 câu, không thuộc 2 câu
 n(X1)= C1/3. C2/7= 63 => P(X1)= 63:C3/10= 0,525
Gọi X2= sinh viên thuộc 2 câu, không thuộc 1 câu
 n(X2)= C2/3.C1/7 = 21 => P(X2)= 21:C3/10= 0,175
Gọi X3= sinh viên thuộc 3 câu
 n(X3)= C3/3.C0/7= 1 => P(X3)= 0,0083


Ta có bảng phân phối xác suất
- kì vọng của X là: E(X)= 0,9167
- phương sai của X là: V(X)= 2,7583
BT7. (NHĐ.08) Theo điều tra xã hội học thì tỷ lệ các sinh viên học đúng nghề
mà họ yêu thích là 80%. Khảo sát ngẫu nhiên 3 sinh viên đang theo học ở một
trường đại học. Gọi X là số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu thích trong 3
sinh viên chọn ra. Tính kỳ vọng và độ lệch chuẩn của X.
Bài giải
Mỗi một sinh viên được khảo sát là một phép thử Bernoulli,
p= 0,8

X là số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu thích trong 3 sinh viên chọn ra =>
X= 0,1,2,3
P(X=0)= C0/3. 0,8^0. 0,2^3= 0,008
P(X=1)= C1/3.0,8^1. 0,2^2= 0,096
P(X=2)= 0,384
P(X=3)= 0,312
 Ta có bảng phân phối xác suất
- Ta có kì vọng của X là: E(X)= 2,4
- Phương sai của X là: V(X)= 0,48
 Độ lệch chuẩn của X là (X)= (VX) = 0,6928
BT8. (NHĐ.04+NHĐ.05) Có 4 phương án đầu tư vào một vùng kinh tế. Lãi
suất (triệu USD) của các phương án là các biến ngẫu nhiên X1, X2, X3, X4 có
kỳ vọng và phương sai như sau: Phương án nào là tốt nhất?
a) E(X1) = 150; V (X1) = 2500
b) E(X2) = 180; V (X2) = 1600 ???
c) E(X3) = 180; V (X3) = 2500
d) E(X4) = 150; V (X4) = 1600.
BT9. (NHĐ.03) Có 4 phương án đầu tư vào một vùng kinh tế. Lãi suất (triệu
USD) của các phương án là các biến ngẫu nhiên X1, X2, X3, X4 có kỳ vọng
và phương sai như sau: Phương án nào là tốt nhất?
a) E(X1) = 150; V (X1) = 2500
b) E(X2) = 180; V (X2) = 3600
c) E(X3) = 150; V (X3) = 3600
d) E(X4) = 180; V (X4) = 2500 ???
BT10.(01+ 07+08+09+11+12) Có 4 phương án đầu tư vào một vùng kinh tế.
Lãi suất (triệu USD) của các phương án là các biến ngẫu nhiên X1, X2, X3,
X4 có kỳ vọng và phương sai như sau: Phương án nào là tốt nhất?
a) E(X1) = 150; V (X1) = 2500
b) E(X2) = 150; V (X2) = 3600
c) E(X3) = 180; V (X3) = 3600

d) E(X4) = 180; V (X4) = 2500 ???


BT11. (NHĐ.08) Theo điều tra xã hội học thì tỷ lệ các sinh viên học đúng
nghề mà họ yêu thích là 80%. Khảo sát ngẫu nhiên 3 sinh viên đang theo học
ở một trường đại học. Nếu khảo sát ngẫu nhiên 100 sinh viên thì trung bình có
bao nhiêu sinh viên học đúng nghề mà họ yêu thích? Số sinh viên học đúng
nghề mà họ yêu thích có khả năng nhiều nhất là bao nhiêu?
Bài giải
Gọi Y là số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu thích trong 100 sinh viên chọn
ra. Y là biến ngẫn nhiên có phân phối nhị thức là n= 100, p= 0,8
 Số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu thích trong số
100 sinh viên chọn ra là E(X)= 100. 0,8= 80
 Số sinh viên học đúng nghề mà họ yêu thích có khả
năng nhiều nhất là
100.0,8+ 0,8-1 ≤ Mode Y ≤ 100.0,8 + 0,8
79,8 ≤ Mode Y ≤ 80,8
 Mode Y= 80
BT MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
BT1. (NHĐ.02+NHĐ.06) Tỷ lệ bị bệnh tiểu đường ở một vùng dân cư là
12%. Tại vùng dân cư đó người ta sẽ làm xét nghiệm máu cho 50 người được
chọn ngẫu nhiên. Khi đó số người trung bình bị tiểu đường trong 50 người sẽ
được xét nghiệm máu là:
a) 5.
b) 12.
c) 6.
d) 5.
BT2. (NHĐ.02+NHĐ.04+NHĐ.06+NHĐ.08+NHĐ.10+NHĐ.12) Tỷ lệ sút
phạt đền vào được lưới của một cầu thủ là 70%. Cho cầu thủ đó sút phạt đền
20 quả thì số quả vào được lưới có khả năng xảy ra nhiều nhất là:

a) 15
b) 16
c) 7
d) 14.
BT3. Quy luật phân phối chuẩn
(NHĐ.03) Chỉ số IQ của sinh viên là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
chỉ số IQ trung bình bằng 95 và phương sai bằng 25.
a) Sinh viên được coi là "Rất thông minh" nếu chỉ số IQ ít nhất bằng 100. Tính
tỷ lệ sinh viên rất thông minh.
b) Tính tỷ lệ sinh viên có IQ nằm trong khoảng từ 85 đến 100.
c) Chọn ngẫu nhiên 40 sinh viên để khảo sát thì trung bình có bao nhiêu sinh
viên rất thông minh. Số sinh viên rất thông minh có khả năng xảy ra nhiều
nhất bằng bao nhiêu?
Bài giải


Nếu X~N ( m, thì
P (a • Vì ) = + 0,5 nên
P (a •

a)

Có V(X)= 25 => Độ lệch chuẩn của X là

(X)= (VX) = 5 .
Sinh viên được coi là “ rất thông minh” nếu chỉ số IQ ít nhất bằng 100
=> P(X >100)= 1- P( 0P(0

= (1) - (-19)= 0,8413 – 0 = 0,8413
 P(X) >100 = 1- 0,8413 = 0,1587 = 15,87% ???
b) Có P (85= (1) - (-2) = 0,8413- 0,0027= 0,8186= 81,86%
c) Gọi Y là số sinh viên rất thông minh trong 40 sinh
viên được chọn ngẫu nhiên ở trường đó. Y có phân
phối nhị thức với n= 40 và p= 0,1587
=> E(Y)= n.p= 6,348
Số sinh viên rất thông minh có khả năng nhiều nhất là
40.0,1587+ 0,1587 -1 ≤ Mode Y ≤ 40. 0,1587 + 0,1587
 5,5067 ≤ Mode Y ≤ 6,5067 => Mode Y = 6
BT4. (NHĐ.04) Thời gian tự học trong một tuần của sinh viên trường đại học
A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với thời gian tự học trung bình là 14
giờ và độ lệch chuẩn bằng 6 giờ.
a) Một sinh viên được coi là chăm học nếu có thời gian tự học/tuần trên 20
giờ. Tính tỷ lệ sinh viên chăm học của trường đại học đó.
b) Chọn ngẫu nhiên ra 50 sinh viên của trường đại học đó thì trung bình có
bao nhiêu sinh viên chăm học? Số sinh viên chăm học có khả năng nhiều nhất
là bao nhiêu?
Bài giải
X là phân phối chuẩn với m= 14 và = 6
a) P(X>20) = (1-P) ( 0P(0= (1)- (-2,3) = 0,8413- 0,0107= 0,8306
P(x>20) = 1-P = 1- 0,8306= 0,1694 ???
b) Gọi Y là số sinh viên chăm học trong 50 sinh
viên của trường đại học đó được chọn ra=> Y là
phân phối nhị thức với n =50, p= 0,1694
 E(X)= n.p= 8,47
Số sinh viên chăm học có khả năng xảy ra nhiều nhất là

50.0,1694 + 0,1694 -1 ≤ Mode Y ≤ 50.0,1694 + 0,1694


7,6394 ≤ Mode Y ≤ 8,6394
BBT5. (NHĐ.09) Chiều cao của thanh niên nam trưởng thành ở một quốc gia
lập thành biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với chiều cao trung bình bằng
172 cm và độ lệch chuẩn bằng 7 cm.
a) Tính tỷ lệ thanh niên nam ở quốc gia đó có chiều cao trên 180 cm.
b) Chọn ngẫu nhiên ra 100 thanh niên nam ở vùng đó, thì trung bình có bao
nhiêu thanh niên có chiều cao trên 180 cm? Số thanh niên nam có chiều cao
trên 180 cm có khả năng xảy ra nhiều nhất là bao nhiêu?
Bài giải
X có phân phối chuẩn với m = 172, = 7
a) P(x>180) = 1-P (0P(0(1,14) - (-24,57) = 0,8709 – 0 = 0,8709
 (X > 180) = 1- P = 1- 0,8709= 0,1291
b) Gọi Y là số thanh niên nam được chọn ra trong 100
thanh niên nam được chọn ra ở vùng đó
 Y là phân phối nhị thức với n= 100, p = 0,1291
Có E(Y) = 100. 0,1291= 12,91
Số thanh niên nam có chiều cao trên 180 cm có khả năng xảy ra nhiều nhất là
100.0,1291 + 0,1291-1 ≤ Mode Y ≤ 100.0,1291+0,1291
12,0391 ≤ Mode Y ≤ 13,0391 => Mode Y= 12,91
BT6. (NHĐ.11) Chỉ số IQ của sinh viên là biến ngẫu nhiên có phân phối
chuẩn với chỉ số IQ trung bình bằng 90 và độ lệch chuẩn bằng 5.
a) Sinh viên được coi là "Rất thông minh" nếu chỉ số IQ trên 100. Tính tỷ lệ
sinh viên rất thông minh.
b) Chọn ngẫu nhiên 100 sinh viên để khảo sát thì trung bình có bao nhiêu sinh
viên rất thông minh. Số sinh viên rất thông minh có khả năng xảy ra nhiều

nhất bằng bao nhiêu?
Bài giải
a) Gọi X là chỉ số IQ của sinh viên => X có phân phối
chuẩn với m= 90, = 5
P(X>100)= 1-P (0P(0= (2) - (-20) = 0,9773 – 0 = 0,9773
P(X>100) = 1-P = 1- 0,9773 = 0,0227= 2,27% ???
b) Gọi Y là số sinh viên rất thông minh trong 100 sinh
viên được chọn => Y có phân phối nhị thức với
n = 100, p = 0,0227 => E(Y) = n.p = 2,27
Số sinh viên rất thông minh có khả năng xảy ra nhiều nhất là
100.0,0227 + 0,0227 -1 ≤ Mode Y ≤ 100.0,0227+0,0227


1,2927 ≤ Mode Y ≤ 2,2927
 Mode Y= 2,27 ???
BT7. (NHĐ.06+NHĐ.10) Thời gian nghỉ ốm trong một tháng của các công
nhân tại một xí nghiệp A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với thời gian
nghỉ ốm trung bình bằng 100 giờ và độ lệch chuẩn bằng 20 giờ.
a) Tính tỷ lệ công nhân có thời gian nghỉ ốm trong tháng từ 50 đến 80 giờ.
b) Quỹ thời gian dành cho nghỉ ốm là bao nhiêu giờ để với xác suất là 0,9 thì
thời gian nghỉ ốm của công nhân không vượt quá quỹ đó.
Bài giải
a) Gọi X là số công nhân tại xí nghiệp A => X có
phân phối chuẩn với m =100 và = 20
Tỷ lệ công nhân có thời gian nghỉ ốm trong tháng từ 50 đến 80 giờ là
P(50(-1) - (-2,5)
= 0,1587 – 0,0062 = 0,1525= 15,25%

b) Gọi t là quỹ thời gian cần tìm, khi đó
P( X≤1) = 0,9
 ( t-100/20) - ( 0-100/20) = 0,9
 ( t-100/20) – 0 = 0,9
 t -100/20 = 1,28 ( tra ngược)
 t= 20.1,28 +100 = 125,6 ( giờ) ???
BT8. (NHĐ.02) Thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên A là biến ngẫu
nhiên có phân phối chuẩn với thời gian trung bình bằng 20 phút và độ lệch
chuẩn bằng 5 phút.
a) Tính xác suất để sinh viên A đi từ nhà đến trường mất hơn 30 phút.
b) Nếu sinh viên A xuất phát trước giờ học 25 phút thì xác suất muộn học là
bao nhiêu?
c) Sinh viên A cần xuất phát trước giờ học bao nhiêu phút để xác suất muộn
học chỉ là 10%?
Bài giải
a) Gọi X là thời gian đi từ nhà đến trường của
sinh viên A. => X có phân phối chuẩn với
m =20, =5
Xác suất để sinh viên A đi từ nhà đến trường mất hơn 30 phút là
P(X>30= 1-P (0 P(X>30) = 0,027 ???
P( 0= (2) – (-4) = 0,9743 – 0 = 0,9773
b) Nếu sinh viên A xuất phát trước giờ học 25
phút thì xác suất muộn học là
P(X>25) = 1- P (0

P(0= (1) - (-4) = 0,8413

c) Gọi t là thời gian để xác suất muộn học của
sinh viên A là 0,1
P( X> t) = 0,1
 1- P (0 P(0BT9. *Một xí nghiệp có 2 máy. Trong ngày hội thi, mỗi công nhân sẽ chọn
ngẫu nhiên một máy và sản xuất 100 sản phẩm. Nếu số sản phẩm loại I không
ít hơn 70 thì được thưởng. Giả sử công nhân A xác suất sản xuất sản phẩm
loại I với 2 máy lần lượt là 0,6 và 0,7.
a) Tính xác suất để A được thưởng.
b) Giả sử A dự thi 200 lần, số lần A được thưởng tin chắc nhất là bao nhiêu?
c) A phải dự thi ít nhất là bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất một lần được
thưởng không dưới 90%.
Bài giải ???
a) Gọi T là biến cố công nhân A được thưởng
I là biến cố A chọn máy I; II là biến cố A chọn máy II
Có P(I) =P(II) = 0,5
- X, Y là biến cố sản phẩm A. Chọn sản phẩm với máy I, II
- P(T) = P(I). P(70 ≤ X ≤ 100) + P(II). P(70 ≤ X ≤ 100)
- X € B( 100.0,6) => N( 60,24)
- Y€ B( 100. 0,7) => N(70,24)
 X = 24; T = 21
- P( 60 ≤ X ≤ 100) = ( 100-60/24) – (0-60/24)
= (8,16)- (2,04) = 1- 0,9793 – 0,0207
- P(70 ≤ X ≤ 100) = ( 100-70/24) – (70-70/24)
= ( 6,55) - ( 0) = 1- 0,5 = 0,5
 P(T) = 0,5. 0,0207 + 0,5. 0,5 = 0,2604
a) Gọi M là số lần được thưởng trong 200 lần
dự thi
Có 200. 0,6204 + 0,6204 -1 ≤ Mode M

≤ 200. 0,2604 + 0,2604
51,34 ≤ Mode M ≤ 52,34 => Mode M= 52
Vậy số lần A được thưởng tin chắc nhất là 52 lần.
b) Gọi n là số lần A dự thi
N là biến cố ít nhất 1 lần A được thưởng
P(Tngang) = xác suất không được thưởng
= 0,7396
P(n) = 1- 0,7396^n ≥ 0,9
 0,7396^n ≤ 0,1 => n ≥ log 0,1 = 7,6 => n ≥ 8


BT10. Tuổi thọ X của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất là biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 1000 giờ và độ lệch
chuẩn là 10 giờ. Như vậy có 99,74% sản phẩm của nhà máy có tuổi thọ trong
khoảng:
a) 990 < X < 1010
b) 995 < X < 1005
c) 970 < X < 1030
d) 980 < X < 1020.
CHƯƠNG III. THỐNG KÊ MÔ TẢ
1. Tổng thể nghiên cứu
- 1 tổng thể ( hay còn gọi là 1 đám đông, 1 tập nền) là toàn bộ đối
tượng mà ta nghiên cứu, những đối tượng này đồng nhất theo 1
đặc điểm nghiên cứu
- Mỗi đối tượng được gọi là 1 phần tử của tổng thể
- Số lượng các phần tử của tổng thể được gọi là kích thước của
tổng thể, kí hiệu N
2. Dấu hiệu nghiên cứu
- Khi nghiên cứu tổng thể, không nghiên cứu trực tiếp mà thông
qua 1 hay nhiều đặc điểm của các phần tử của tổng thể. Các đặc

điểm này gọi là dấu hiệu nghiên cứu hay tiêu thức thống kê
- 2 loại : dấu hiệu định lượng là dấu hiệu nghiên cứu được biểu
diễn bằng con số, đặc trưng đó quan sát được thông qua việc cân
đo đong đếm
Dấu hiệu định tính là dấu hiệu phản ánh loại hoặc tính chất của phần tử và
không thể biểu diễn bởi các con số.
3. Các phương pháp nghiên cứu tổng thể
- Phương pháp nghiên cứu toàn bộ: thống kê toàn bộ tổng thể đó
và phân tích từng phần tử của nó theo dấu hiệu nghiên cứu
- Phương pháp điều tra chọn mẫu: từ tổng thể nghiên cứu chọn
ra 1 số phần tử ( gọi là mẫu), phân tích các phần tử này theo dấu
hiệu nghiên cứu và dựa vào đó mà đưa ra kết luận về tổng thể
nghiên cứu.
4. Các tham số đặc trưng
a) Trung bình tổng thể (m)
b) Phương sai của tổng thể ( ²)
c) Tỷ lệ cấu thành của tổng thể theo 1 dấu hiệu định tính A
nào đó (p) => các tham số đặc trưng của tổng thể là
(theta) = ( m, ², p)
d) Các loại thang đo : định danh/ thứ bậc/ khoảng/ tỷ lệ
5. Thu thập dữ liệu


Xác định thông tin cần thu nhập
Nguồn số liệu
Các phương pháp thu nhập : quan sát trực tiếp/ phỏng vấn ( trực
tiếp/ gián tiếp)
6. Mẫu ngẫu nhiên và trình bày dữ liệu
- Định nghĩa: mẫu ngẫu nhiên có kiến thức n là tập thể n biến
ngẫn nhiên độc lập X1, X2… Xn được thành lập từ biến ngẫu

nhiên gốc X và có cùng phân phối xác suất với X, kí hiệu
W= ( X1, X2,… Xn)
- Mẫu cụ thể: việc thực hiện phép thử với mẫu ngẫu nhiên W
chính là việc thực hiện phép thử với mỗi 1 thành phần. các kết
quả tương ứng nhận được là X1, X2… người ta gọi
W = ( X1, X2… Xn) là mẫu cụ thể
- Trình bày dữ liệu: bảng phân phối tần số, tần suất thực nghiệm
7. Các đặc trưng của mẫu
a) Đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên
- Giả sử ta nghiên cứu BNN gốc Y theo 1 dấu hiệu mà ta quan tâm
nc. Các số đặc trưng E(X) và V(X) gọi là số đặc trưng lý thuyết
=> W= (X1, X2… Xn) là mẫu ngẫu nhiên rút ra từ X
- Các số đặc trưng mẫu ngẫu nhiên là
• TB MẪU: X ngang ( kỳ vọng mẫu)
• Phương sai của mẫu ngẫu nhiên: S²
• Tần suất mẫu ngẫu nhiên: F
- Các đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên là
( X ngang, S² , F)
• Note: Các đặc trưng của mẫu cụ thể
X ngang= 1/n . = 1/n. – trong bài thi
-

Bảng phân phối tần số dạng thu gọn
Cho mẫu cụ thể w = ( x1, x2… xn) được lấy từ mẫu ngẫu nhiên
W = ( X1, X2.. Xn) hoặc mẫu thu gọn
xi
mi

X(1)
X(2)

m1
m2
VD1. Điều tra điểm thi của 10 sinh viên

…
…

Xk)
mR

W= (10,7,8,7,8,5,3,8,6,1)  = x1, x2, x3, x4… => mẫu cụ thể


Viết dưới dạng thu gọn
xi

10 (x1)

8 (x2)

7 (x3)

…