LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN MỜ NGUYỄN DOÃN PHƯỚC PHAN XUÂN MINH

Mục lục
1

Nhập môn

8

1.1

Bộ điều khiển "mờ" lý tởng

8

1.2

Khái niệm về tập mờ
10
1.2.1 Nhắc lại về tập hợp kinh điển................................................................................................. 10
1.2.2 Định nghĩa tập mờ.................................................................................................................. 17
1.2.3 Độ cao, miền xác định và miền tin cậy của tập mờ................................................................ 20

1.3

Các phép toán trên tập mờ
21
1.3.1 Phép hợp hai tập mờ.............................................................................................................. 21

1.3.2 Phép giao hai tập mờ ............................................................................................................. 26
1.3.3 Phép bù của một tập mờ........................................................................................................ 31

1.4

Biến ngôn ngữ và giá trị của nó

1.5

Luật hợp thành mờ
36
1.5.1 Mệnh đề hợp thành ................................................................................................................ 36
1.5.2 Mô tả mệnh đề hợp thành mờ ................................................................................................ 37
1.5.3 Luật hợp thành mờ ................................................................................................................. 43
1.5.4 Thuật toán thực hiện luật hợp thành đơn max-MIN, max-PROD có cấu trúc SISO ............... 46
1.5.5 Thuật toán xác định luật hợp thành đơn có cấu trúc MISO.................................................... 52
1.5.6 Thuật toán xác định luật hợp thành kép max-MIN, max-PROD............................................. 55
1.5.7 Thuật toán xác định luật hợp thành sum-MIN và sum-PROD................................................ 61

1.6

Giải mờ (rõ hoá)
63
1.6.1 Phơng pháp cực đại ............................................................................................................. 63
1.6.2 Phơng pháp điểm trọng tâm................................................................................................. 66

2

Tính phi tuyến của hệ mờ

2.1

Phân loại các khâu điều khiển mờ
72
2.1.1 Quan hệ truyền đạt và các tập mờ của biến ngôn ngữ đầu vào ............................................ 74
2.1.2 Quan hệ truyền đạt và các tập mờ của biến ngôn ngữ đầu ra ............................................... 80
2.1.3 Bộ điều khiển mờ hai vị trí có trễ............................................................................................ 84

2.2

Xây dựng công thức quan hệ truyền đạt
86
2.2.1 Quan hệ vào ra của thiết bị hợp thành................................................................................... 87
2.2.2 Quan hệ vào ra của khâu giải mờ .......................................................................................... 89
2.2.3 Quan hệ truyền đạt y(x) ......................................................................................................... 90

3

Điều khiển mờ

3.1

Bộ điều khiển mờ cơ bản

94

3.2

Nguyên lý điều khiển mờ

95

3.3

Những nguyên tắc tổng hợp bộ điều khiển mờ
100
3.3.1 Định nghĩa các biến vào/ra .................................................................................................. 103
3.3.2 Xác định tập mờ ................................................................................................................... 104
3.3.3 Xây dựng các luật điều khiển ............................................................................................... 106
3.3.4 Chọn thiết bị hợp thành........................................................................................................ 108
3.3.5 Chọn nguyên lý giải mờ ....................................................................................................... 108
3.3.6 Tối u ................................................................................................................................... 109

34

72

93

5


3.4

Các bộ điều khiển mờ
109
3.4.1 Phơng pháp tổng hợp kinh điển ......................................................................................... 110
3.4.2 Mô hình đối tợng điều khiển............................................................................................... 111
3.4.3 Bộ điều khiển mờ tĩnh .......................................................................................................... 112
3.4.4 Thuật toán tổng hợp một bộ điều khiển mờ tĩnh .................................................................. 118

3.4.5 Tổng hợp bộ điều khiển mờ tuyến tính từng đoạn................................................................ 121
3.4.6 Bộ điều khiển mờ động ........................................................................................................ 124

3.5

Bộ điều khiển mờ trợt
132
3.5.1 Nguyên lý điều khiển trợt ................................................................................................... 132
3.5.2 Hiện tợng BangBang........................................................................................................ 134
3.5.3 Tổng hợp bộ điều khiển mờ trợt ......................................................................................... 139

3.6

Kết luận

144

4

Hệ mờ lai và hệ mờ thích nghi

147

4.1

Khái niệm chung

147

4.2

Hệ mờ lai
148
4.2.1 Hệ lai không thích nghi có bộ điều khiển kinh điển.............................................................. 148
4.2.2 Hệ mờ lai cascade ............................................................................................................... 151
4.2.3 Điều khiển công tắc chuyển đổi "thích nghi" bằng khóa mờ ................................................ 151

4.3

Bộ điều khiển mờ thích nghi
152
4.3.1 Các phơng pháp điều khiển mờ thích nghi......................................................................... 152
4.3.2 Bộ điều khiển mờ tự chỉnh cấu trúc...................................................................................... 154
4.3.3 Bộ điều khiển mờ tự chỉnh có mô hình theo dõi ................................................................... 154

4.4

Chỉnh định mờ tham số bộ điều khiển PID

4.5

Tổng hợp bộ điều khiển mờ thích nghi
160
4.5.1 Giới hạn của bài toán........................................................................................................... 160
4.5.2 Tổng hợp khâu nhận dạng mờ............................................................................................. 162
4.5.3 Xác định thích nghi các vector tham số ............................................................................... 165

5

Tính ổn định của hệ điều khiển mờ

5.1

Những khái niệm cơ bản
168
5.1.1 Định nghĩa............................................................................................................................ 168
5.1.2 Những điểm cần lu ý .......................................................................................................... 170

5.2

Khảo sát tính ổn định của hệ mờ
171
5.2.1 Phơng pháp mặt phẳng pha .............................................................................................. 171
5.2.2 Phơng pháp Lyapunov trực tiếp ......................................................................................... 173
5.2.3 Tiêu chuẩn ổn định tần số của Popov ................................................................................. 177
5.2.4 Phơng pháp cân bằng điều hòa......................................................................................... 180

6

Phần mềm WinFact

186

6.1

Cài đặt (Installation)

186

6.2

Tổng hợp bộ điều khiển mờ với FLOP
187
6.2.1 Giới thiệu chung................................................................................................................... 187
6.2.2 Định nghĩa biến ngôn ngữ và các giá trị mờ......................................................................... 187
6.2.3 Xây dựng thiết bị hợp thành ................................................................................................. 192
6.2.4 Hoàn thiện một bộ điều khiển mờ ........................................................................................ 195

6.3

Mô phỏng và tối u hệ thống điều khiển mờ bằng BORIS
196
6.3.1 Vài nét về modul BORIS...................................................................................................... 196

6

156

168


6.3.2 Thành phần cửa sổ chính trong modul BORIS .................................................................... 197
6.3.3 Gọi và lập trình cho các khối của hệ thống .......................................................................... 198
6.3.4 Nối các khối với nhau........................................................................................................... 202
6.3.5 Khối văn bản và đóng khung hàm ....................................................................................... 203
6.3.6 Chỉnh định các thông số cho quá trình mô phỏng................................................................ 203
6.3.7 Mô phỏng ............................................................................................................................. 204

7

Điều khiển mờ và mạng nơ-ron

7.1

Cơ sở về mạng nơ-ron
208
7.1.1 Cấu trúc và mô hình của nơ-ron........................................................................................... 208
7.1.2 Những mô hình nơ-ron thờng sử dụng ............................................................................... 214
7.1.3 Cấu tạo mạng nơ-ron ........................................................................................................... 214
7.1.4 Phơng thức làm việc của mạng nơ-ron .............................................................................. 217

7.2

Mạng truyền thẳng một lớp
221
7.2.1 Mạng Adaline ....................................................................................................................... 221
7.2.2 Nơ-ron Hopfield và mạng tuyến tính có ngỡng (LTU) ........................................................ 223
7.2.3 Mạng LGU............................................................................................................................ 225

7.3

Mạng MLP truyền thẳng
227
7.3.1 Thuật toán lan truyền ngợc ................................................................................................ 228
7.3.2 Hệ số chỉnh hớng học (momentum)................................................................................... 232

7.4

Điều khiển mờ và mạng nơ-ron
233

7.4.1 Ghép nối bộ điều khiển mờ với mạng nơ-ron ....................................................................... 233
7.4.2 Vài nét về lịch sử phát triển.................................................................................................. 236

Tài liệu tham khảo

208

238

7


1

Nhập môn

1.1 Bộ điều khiển "mờ" lý tởng
Con ngời có một khả năng tuyệt vời l chỉ cần qua một quá trình học hỏi
tơng đối ngắn cũng có thể hiểu rõ v nắm vững một quá trình phức tạp. Khả năng
ny đợc chứng tỏ thờng xuyên trong cuộc sống đời thờng, cho dù bản thân con
ngời không ý thức đợc điều đó. Hãy xét phản ứng của ngời cha trong một gia
đình lm ví dụ, khi ông ta lái xe cùng gia đình đi nghỉ, trong đó ngời cha đợc xem
nh l thiết bị điều khiển v chiếc xe l đối tợng điều khiển. Biết rằng ngời cha,
hay thiết bị điều khiển, có nhiệm vụ trọng tâm l điều khiển chiếc xe đa gia đình
tới đích, song để hiểu rõ đợc hơn phơng thức thực hiện nhiệm vụ đó của ngời
cha, cũng nên cần xem xét ông ta phải xử lý những thông tin gì v xử lý chúng nh
thế no.
Đại lợng điều khiển thứ nhất l con đờng trớc mặt. Ngời cha có nhiệm vụ
điều khiển chiếc xe đi đúng phần đờng quy định, tức l phải luôn giữ cho xe nằm
trong phần đờng bên phải kể từ vạch phân cách, trừ những trờng hợp khi phải

vợt xe khác. Để lm đợc công việc đó, thậm chí ngời cha cũng không cần phải
biết một cách chính xác rằng xe của ông hiện thời cách vạch phân cách bao nhiêu
centimeter, chỉ cần nhìn vo con đờng trớc mặt, ông ta cũng có thể suy ra đợc
rằng xe hiện đang cách vạch phân cách nhiều hay ít v từ đó đa ra quyết định
phải đánh tay lái sang phải mạnh hay nhẹ.
Đại lợng điều khiển thứ hai l tốc độ của xe. Với nguyên tắc, để các thnh viên
gia đình trên xe cảm thấy chuyến đi đợc thoải mái v cũng để tiết kiệm xăng,
ngời cha có nhiệm vụ giữ nguyên tốc độ xe, tránh không phanh hoặc tăng tốc khi
không cần thiết. Giá trị về tốc độ của xe m ngời cha phải giữ cũng phụ thuộc
nhiều vo môi trờng xung quanh nh thời tiết, cảnh quan, mật độ xe trên đờng ...
v cũng còn phụ thuộc thêm l ông ta có quen con đờng đó hay không? Tuy nhiên
quy luật điều khiển ny cũng không phải cố định. Giả sử trớc mặt có một xe khác

8


đi chậm hơn, vậy thì thay cho nhiệm vụ giữ nguyên tốc độ, ngời cha phải tạm thời
thực hiện một nhiệm vụ khác l giảm tốc độ xe v tự điều khiển xe theo một tốc độ
mới, phù hợp với sự phản ứng của xe trớc cho tới khi ông ta vợt đợc xe đó.
Ngoi những đại lợng điều khiển trên m ngời cha phải đa ra, ông ta còn có
nhiệm vụ theo dõi tình trạng xe nh phải tìm hiểu xem nớc lm mát máy có bị
nóng quá không?, áp suất dầu thấp hay cao

để từ đó có thể phân tích, nhận định

kịp thời các lỗi của xe.
Đối tợng điều khiển l chiếc xe cũng có những tham số thay đổi cần phải đợc
theo dõi v thu thập thờng xuyên cho công việc ra các quyết định về đại lợng điều
khiển. Các tham số đó l áp suất hơi trong lốp, nhiệt độ máy .... Sự thay đổi các
tham số đó, ngời cha nhận biết đợc có thể trực tiếp qua các đèn báo hiệu trong xe,

song cũng có thể gián tiếp qua phản ứng của xe với các đại lợng điều khiển.
Ngời cha, trong quá trình lái xe, đã thực hiện tuyệt vời chức năng của một bộ
điều khiển, từ thu thập thông tin, thực hiện thuật toán điều khiển (trong đầu) cho
đến đa ra tín hiệu điều khiển kịp thời m không cần phải biết một cách chính xác
về vị trí, tốc độ, tình trạng... của xe. Hon ton ngợc lại với khái niệm điều khiển
chính xác, ngời cha cũng chỉ cần đa ra những đại lợng điều khiển theo nguyên
tắc xử lý "mờ" nh:
nếu xe hớng nhẹ ra vạch phân cách thì đánh tay lái nhẹ sang phải,
nếu xe hớng đột ngột ra ngoi vạch phân cách thì đánh mạnh tay lái sang
phải,
nếu đờng có độ dốc lớn thì về số,
nếu đờng thẳng, khô, tầm nhìn không bị hạn chế v tốc độ chỉ hơi cao hơn
bình thờng một chút thì không cần giảm tốc độ.

Các nguyên lý điều khiển "mờ" nh vậy, tuy chúng có thể khác nhau về số các
mệnh đề điều kiện, song đều cùng có một cấu trúc:
"nếu điều kiện 1 v
quyết định 1 v

v điều kiện n thì

v quyết định m".

Vậy bản chất nguyên lý điều khiển mờ nh ngời cha đã lm v thể hiện bằng
thuật toán xử lý xe của ông nh thế no?, có những hình thức no để xây dựng lại
9


đợc mô hình điều khiển theo nguyên lý điều khiển "mờ" của ngời cha khi lái xe?,
lm cách no để có thể tổng quát hóa chúng thnh một nguyên lý điều khiển mờ

chung v từ đó áp dụng cho các quá trình tơng tự?. Câu trả lời sẽ l nội dung của
ton bộ quyển sách ny.
Trên cơ sở kiến thức đã có về điều khiển tự động, quyển sách ny sẽ lần lợt
giới thiệu với độc giả những khái niệm, bản chất v các phơng pháp tổng hợp
chính các bộ điều khiển mờ cũng nh ứng dụng của chúng.

1.2

Khái niệm về tập mờ

1.2.1

Nhắc lại về tập hợp kinh điển

Khái niệm về tập hợp đợc hình thnh trên nền tảng logic v đợc G.Cantor
định nghĩa nh l một sự xếp đặt chung lại các vật, các đối tợng có cùng chung
một tính chất, đợc gọi l phần tử của tập hợp đó. ý nghĩa logic của khái niệm tập
hợp đợc xác định ở chỗ một vật hoặc một đối tợng bất kỳ chỉ có thể có hai khả
năng hoặc l phần tử của tập đang xét hoặc không.
Cho một tập hợp A. Một phần tử x thuộc A đợc ký hiệu bằng xA. Ngợc lại
ký hiệu xA dùng để chỉ x không thuộc tập hợp A. Một tập hợp không có một phần
tử no đợc gọi l tập rỗng. Ví dụ tập hợp các số thực x thỏa mãn phơng trình x2 +
1=0 l một tập rỗng. Tập rỗng đợc ký hiệu bằng .
Có nhiều cách để biểu diễn một tập hợp. Cách biểu diễn dễ chấp nhận hơn cả l
cách liệt kê những phần tử của tập hợp, ví dụ
A1 = {1, 2, 3, 5, 7, 11} hoặc
A2 = {cây, 4, nh, , xe máy}.
Tuy nhiên cách ny sẽ tỏ ra bất tiện khi phải biểu diễn những tập hợp có nhiều
phần tử (hoặc vô số các phần tử). Thờng dùng nhất l cách biểu diễn thông qua
tính chất tổng quát của các phần tử. Một phần tử x thuộc A khi v chỉ khi nó thỏa

mãn tính chất tổng quát ny, ví dụ
A1 = { x x l số nguyên tố }

hoặc

A2 = { x x l số thực v x < 4}.
Sau đây l một số ký hiệu thờng dùng của các tập hợp quen biết:

10


a)

N - tập hợp các số tự nhiên,

b)

R - tập hợp các số thực,

c)

Q - tập hợp các số thực hữu tỷ,

d) C - tập hợp các số phức.
Cho hai tập hợp A v B. Nếu mọi phần tử của A cũng l phần tử của B thì tập
A đợc gọi l tập con của B v ký hiệu bằng A B. Ngoi ra nếu nh còn đợc biết
thêm rằng trong B có ít nhất một phần tử không thuộc A thì A đợc gọi l tập con
thực của B v ký hiệu bằng A B.
Hai tập hợp A v B cùng đồng thời thỏa mãn A B v B A thì đợc nói l
chúng bằng nhau v ký hiệu A=B. Với hai tập hợp bằng nhau, mọi phần tử của tập

ny cũng l phần tử của tập kia v ngợc lại.
Cho một tập hợp A. ánh xạ A : AR định nghĩa nh sau

1 nếu x A

A(x) =

0 nếu x A

(1.1a)

đợc gọi l hm thuộc của tập A. Nh vậy A(x) chỉ nhận hai giá trị hoặc bằng 1
hoặc bằng 0. Giá trị 1 của hm thuộc A(x) còn đợc gọi l giá trị đúng, ngợc lại 0
l giá trị sai của A(x). Một tập X luôn có

X ( x ) = 1, với mọi x

(

đợc gọi l không gian nền (tập nền).
Một tập A có dạng
A = {x X x thỏa mãn một số tính chất no đó}
thì đợc nói l có tập nền X, hay đợc định nghĩa trên tập nền X. Ví dụ tập
A = {x R 2 < x < 4 }.
có tập nền l tập các số thực R.
Với khái niệm tập nền nh trên thì hm thuộc A của tập A có tập nền X sẽ
đợc hiểu l ánh xạ A: X {0 , 1 } từ X vo tập {0, 1} gồm hai phần tử 0 v 1.
Có thể dễ dng thấy đợc rằng A B khi v chỉ khi A(x) B(x), tức l

11

A B



A(x) B(x).

(1.2)

Thật vậy từ A B v xA ta luôn có xB v do đó A(x)=B(x)=1. Ngợc lại khi xA
(A(x)=0), cha thể khẳng định đợc x có thuộc B hay không. Bởi vậy B(x) có thể
bằng 0 v cũng có thể bằng 1, nói cách khác A(x) B(x) hay hm thuộc (x) l hm
không giảm.
Hm thuộc A(x) với bốn phép toán trên tập hợp gồm phép hợp, giao, hiệu (hình
1.1) v phép bù có các tính chất sau:
Hiệu của hai tập hợp

Hiệu của hai tập hợp A, B có cùng một không gian nền X l một tập hợp, ký
hiệu bằng A\ B, cũng đợc định nghĩa trên tập nền X, gồm các phần tử của A m
không thuộc B (hình 1.1a). Hm thuộc A\ B(x) của hiệu A\ B chỉ nhận giá trị đúng
(A\ B(x)=1) khi xA v xB, tức l khi A(x)=1 v B(x)=0. ở các trờng hợp khác nó
sẽ nhận giá trị sai, hay A\ B(x)=0. Bởi vậy ta luôn có

A\ B(x) =A(x) A(x)B(x).

B

A\B

(1.3)

A

A
AB

B

B

a) A\ B

b) AB

c) AB

Hình 1.1: Các phép toán trên tập hợp.
a) Hiệu của hai tập hợp.
b) Giao của hai tập hợp.
c) Hợp của hai tập hợp.

Giao của hai tập hợp

Giao (hay còn gọi l phép hội các hm thuộc) của hai tập hợp A, B có cùng
không gian nền X l một tập hợp, ký hiệu bằng AB, cũng đợc định nghĩa trên tập
nền X, gồm các phần tử vừa thuộc A v vừa thuộc B (hình 1.1b). Hm thuộc AB(x)

12

của tập AB sẽ chỉ nhận giá trị 1 khi xA v xB, tức l chỉ khi có đồng thời

A(x)=1 v B(x)=1. Do đó ta đợc
A B ( x ) = A ( x) B ( x ) .

(1.4)

Để ý rằng hm thuộc chỉ có một trong hai giá trị 0 hoặc 1 nên còn có

AB(x) = min{A(x), B(x)}.

(1.5)

Nói cách khác, hai công thức (1.4), (1.5) l tơng đơng.
Ngoi ra, từ (1.4) v (1.5) ta cũng nhận thấy hm thuộc AB(x) thỏa mãn các
tính chất sau:
1)

AB(x) chỉ phụ thuộc vo A(x) v B(x).

2)

Nếu B l không gian nền, tức l mọi phần tử x đều thuộc B thì AB = A, do đó

B(x) = 1

với mọi x

AB(x) =A(x).

3)

AB(x) = BA(x), tức l phép giao có tính giao hoán.

4)

Phép giao có tính kết hợp, tức l (AB) C = A(BC). Suy ra

(AB)C(x) = A(BC)(x).
5)

(1.6a)

(1.6b)
(1.6c)

(1.6d)

Nếu A1 A2 thì A1B A2B. Thật vậy, từ xA1B ta có xA1 v xB nên
cũng có xA2 v xB, hay xA2B. Từ kết luận trên v theo (1.2) ta có đợc

A1 ( x ) A2 ( x )



A1 B ( x ) A2 B ( x ) .

(1.6e)

Hợp của hai tập hợp

Hợp (hay còn gọi l phép tuyển) của hai tập hợp A, B có cùng không gian nền X
l một tập hợp, ký hiệu bằng AB, cũng đợc định nghĩa trên nền X, gồm các phần
tử của A v của B (hình 1.1c). Hm thuộc AB(x) của tập AB sẽ nhận giá trị 1nếu
hoặc xA hoặc xB, tức l hoặc A(x)=1 hoặc B(x)=1. Do đó

AB(x) = max{A(x), B(x)}.

(1.7)

Điều ny cũng tơng đơng với

AB(x) = A(x) + B(x) A(x)B(x).

(1.8)

do hm thuộc chỉ có một trong hai giá trị 0 hoặc 1.

13


Ngoi ra, hm thuộc AB(x) xác định theo hai công thức (1.7) v (1.8) còn thỏa
mãn các tính chất sau:
1)

AB(x) chỉ phụ thuộc vo A(x) v B(x).

2)

Nếu B l một tập rỗng, tức B= thì AB = A, do đó

B(x) = 0

với mọi x



AB(x) =A(x).

3)

AB(x) = BA(x), tức l phép hợp có tính giao hoán.

4)

Phép hợp có tính kết hợp, tức l (AB) C = A(BC). Suy ra

(AB) C(x) = A(BC)(x).
5)

(1.9a)

(1.9b)
(1.9c)

(1.9d)

Nếu A1 A2 thì A1B A2B. Thật vậy, từ xA1B ta có hoặc xA1 hoặc xB
nên cũng có xA2 hoặc xB, hay xA2B. Cùng với kết luận ny ta có

A1 ( x ) A2 ( x )



A1 B ( x ) A2 B ( x ) .

(1.9e)

Bù của một tập hợp

Bù của một tập hợp A có không gian nền X, ký hiệu bằng AC, l một tập hợp
gồm các phần tử của X không thuộc A. Phép bù l một phép toán trên tập hợp có giá
trị đúng nếu xA v sai nếu xA, tức l
1 nếu x A

Ac(x) =

0 nếu x A

(1.10)

Bởi vậy

Ac(x) = 1 A(x).

(1.11)

Tập bù AC của A chính l hiệu X\A v có cùng không gian nền X nh A.
Ta còn có thể suy đợc ra thêm rằng hm thuộc Ac(x) xác định theo hai công
thức (1.10) v (1.11) thỏa mãn các tính chất sau:
1)

Ac(x) chỉ phụ thuộc vo A(x).

2)

Nếu xA thì xA , hay

C

A(x)=1
3)

14

(1.12a)



Ac(x) =0.

Nếu xA thì xAC, hay

(1.12a)


A(x)=0

4)



Ac(x) =1.

(1.12b)

Nếu A B thì AC BC, tức l

A(x) B(x)

Ac(x) Bc(x).

(1.12c)

Công thức (1.12c) nói rằng hm thuộc Ac(x) l một hm không tăng.
Tích của hai tập hợp

Tích AìB của phép nhân hai tập hợp A, B l một tập hợp m mỗi phần tử của
nó l một cặp (x, y), trong đó xA v yB. Hai tập hợp A, B đợc gọi l tập thừa số
của phép nhân. Trong trờng hợp A=B thì tích AìB thờng đợc viết thnh A2 nh
2

2

các tập R (không gian Euclid 2 chiều) hay C (mặt phẳng phức).
Trong khi thực hiện phép nhân hai tập hợp A v B ta không cần phải giả thiết
l chúng có chung một không gian nền. Nếu gọi X l tập nền của A v Y l tập nền
của B thì tích AìB sẽ có tập nền l XìY.

y
3j
A1ìA2

A2
j
Hình 1.2: Tích của hai tập hợp

0

2

A1

6

x

Xét hai tập hợp
A1 = {xR 2 x 6 } v
A2 = {yjR j y 3j }.
Tích A1ìA2 l một tập hợp đợc định nghĩa nh sau (hình 1.2):
A1ìA2 = {(x, y) xR, yjR, 2 x 6 v j y 3j }

(1.13)

15

v có không gian nền l tập các số phức C = R ì j R .
Tích của hai tập hợp sẽ l một tập rỗng nếu nh một trong hai tập thừa số l
tập rỗng. Ngợc lại nếu tích l tập rỗng thì ít nhất phải có một tập thừa số l tập
rỗng:
A1ìA2 =



A1 = hoặc A2 = .

Phép nhân tập hợp có thể thực hiện đợc trên nhiều tập hợp khác nhau. Ví dụ
tích của n tập hợp A1, A2,
A1ìA2ì

, An đợc hiểu l một tập hợp

ì A n = {( x 1 , x 2 ,

, xn)xiAi v i=1,2,

, n }.

(1.14)

Phép nhân tập hợp không có tính giao hoán. Hm thuộc của tập hợp tích

AìB(x, y) có quan hệ với các hm thuộc A(x), B(y) của hai tập thừa số A v B nh
sau:

AìB(x, y) = A(x)B(y).

(1.15)

Thật vậy phần tử (x, y) chỉ thuộc AìB, tức l AìB(x,y)=1, khi v chỉ khi xA v
yB, nói cách khác khi cùng xảy ra đồng thời A(x)=1 v B(y)=1.

Câu hỏi ôn tập v bi tập
1)

Sử dụng khái niệm hm thuộc ( x ) để chứng minh các công thức sau
a ) A B = A \ ( A \ B)

b ) ( A \ B) C = ( A C ) \ ( B \ C )

c ) ( A \ B ) C= ( A C ) \ B
2)

Cho hai tập hợp A, B. Hiệu đối xứng AB đợc hiểu l AB = (A\B)(B\A). Ký
hiệu A(x), B(x) , AB(x), l các hm thuộc của tập A, B, AB. Hãy chứng
minh
a ) B \ A = ( A B ) B

b) AB(x)=A(x)+B(x)2A(x)B(x)

c ) A B = A ( B\ A )
3)

16

Cho n tập hợp A1, A2,

, An. Hãy chứng minh hai công thức De Morgan


c

n

n
a) Ai = Aic


i =1
i =1

1.2.2

c

n

n
b) Ai = Aic


i =1
i =1

Định nghĩa tập mờ

Hm thuộc A(x) định nghĩa trên tập A, trong khái niệm tập hợp kinh điển chỉ
có hai giá trị l 1 nếu xA hoặc 0 nếu xA. Hình 1.3 mô tả hm thuộc của hm

A(x), trong đó tập A đợc định nghĩa nh sau:
A = {xR 2 < x < 6 }.

(1.16)

Nh vậy, trong lý thuyết tập hợp kinh điển, hm thuộc hon ton tơng đơng
với định nghĩa một tập hợp. Từ định nghĩa về một tập hợp A bất kỳ ta có thể xác
định đợc hm thuộc A(x) cho tập đó v ngợc lại từ hm thuộc A(x) của tập A
cũng hon ton suy ra đợc định nghĩa cho A.

A(x)
1

Hình 1.3: Hàm thuộc A(x) của tập kinh điển A.

0

2

6

x

Cách biểu diễn hm phụ thuộc nh vậy sẽ không phù hợp với những tập đợc
mô tả "mờ" nh tập B gồm các số thực dơng nhỏ hơn nhiều so với 6

B = {xR x << 6 },

(1.17)

có tập nền l R, hoặc tập C gồm các số thực gần bằng 3 cũng có tập nền R

C = {xR x 3 }.

(1.18)

Lý do l với những định nghĩa "mờ " nh vậy cha đủ để xác định đợc một số
chẳng hạn nh x=3,5 có thuộc B hoặc x=2,5 có thuộc C hay không.

17


Nếu đã không khẳng định đợc x=3,5 có thuộc B hay không thì cũng không
khẳng định đợc l số thực x=3,5 không thuộc B. Vậy thì x=3,5 thuộc B bao nhiêu
phần trăm?. Giả sử rằng có câu trả lời thì lúc ny hm thuộc B(x) tại điểm x=3,5
phải có một giá trị trong khoảng [0,1], tức l
0 B(x) 1.

(1.19)

Nói cách khác hm B(x) không còn l hm hai giá trị nh đối với tập kinh điển
nữa m l một ánh xạ (hình 1.4)

B : X [0,1],

(1.20)

trong đó X l tập nền của tập "mờ".
Nh vậy, khác với tập kinh điển A, từ "định nghĩa kinh điển" của tập "mờ" B
hoặc C không suy ra đợc hm phụ thuộc B(x) hoặc C(x) của chúng. Hơn thế nữa
hm phụ thuộc ở đây lại giữ một vai trò "lm rõ định nghĩa" cho một tập "mờ" nh
ví dụ ở hình 1.4. Do đó nó phải đợc nêu lên nh l một điều kiện trong định nghĩa
về tập "mờ".
a)

b)

B(x)

C(x)

1
1
0,8
0,07
0

Hình 1.4:

2

6

x

0

3

6

x

a) Hàm phụ thuộc của tập "mờ" B.
b) Hàm phụ thuộc của tập "mờ" C.

Định nghĩa 1.1

Tập mờ F xác định trên tập kinh điển X l một tập m mỗi phần tử của nó l
một cặp các giá trị (x, F(x)) trong đó xX v F l ánh xạ

F : X [0,1].

(1.21)

ánh xạ F đợc gọi l hm thuộc (hoặc hm phụ thuộc) của tập mờ F. Tập kinh

điển X đợc gọi l tập nền (hay vũ trụ) của tập mờ F.

18


Ví dụ một tập mờ F của các số tự nhiên nhỏ hơn 6 với hm phụ thuộc F(x) có
dạng nh ở hình 1.4a) định nghĩa trên nền X sẽ chứa các phần tử sau

F = { (1, 1) , (2, 1) , (3, 0,8) , (4, 0,07) }.
Số tự nhiên 1 v 2 có độ phụ thuộc

F(1) = F(2) = 1,
các số tự nhiên 3 v 4 có độ phụ thuộc nhỏ hơn 1

F(3) = 0,8

v

F(4) = 0,07.

Những số không đợc liệt kê đều có độ phụ thuộc bằng 0.
Sử dụng các hm thuộc để tính độ phụ thuộc của một phần tử x no đó có hai
cách:

tính trực tiếp (nếu F(x) cho trớc dới dạng công thức tờng minh) hoặc
tra bảng (nếu F(x) cho dới dạng bảng).

F(x)
1

Hình 1.5: Hàm thuộc F(x) có mức
chuyển đổi tuyến tính.

0

m1 m2

m3

m4

x

Các hm thuộc F(x) có dạng "trơn" nh ở hình 1.4 đợc gọi l hm thuộc kiểu

S. Đối với hm thuộc kiểu S, do các công thức biểu diễn F(x) có độ phức tạp lớn,
nên thời gian tính độ phụ thuộc cho một phần tử lâu. Bởi vậy trong kỹ thuật điều
khiển mờ thông thờng các hm thuộc kiểu S hay đợc thay gần đúng bằng một
hm tuyến tính từng đoạn.
Một hm thuộc có dạng tuyến tính từng đoạn đợc gọi l hm thuộc có mức

chuyển đổi tuyến tính (hình 1.5). Hm thuộc F(x) nh ở hình 1.5 với m1=m2 v
m3=m4 chính l hm thuộc của một tập kinh điển.

19


1.2.3

Độ cao, miền xác định và miền tin cậy của tập mờ

Trong những ví dụ trên các hm thuộc đều có độ cao bằng 1. Điều đó nói rằng
các tập mờ đó đều có ít nhất một phần tử với độ phụ thuộc bằng 1. Trong thực tế
không phải tập mờ no cũng có phần tử có độ phụ thuộc bằng 1, tơng ứng với điều
đó thì không phải mọi hm thuộc đều có độ cao l 1.
Định nghĩa 1.2

Độ cao của một tập mờ F (định nghĩa trên tập nền X) l giá trị
h = sup F ( x ) .

(1.22)

x X

Ký hiệu sup ( x ) chỉ giá trị nhỏ nhất trong tất cả các giá trị chặn trên của hm
x X

(x). Một tập mờ với ít nhất một phần tử có độ phụ thuộc bằng 1 đợc gọi l tập mờ
chính tắc tức l h=1, ngợc lại một tập mờ F với h < 1 đợc gọi l tập mờ không
chính tắc.

F(x)
1

Hình 1.6: Minh họa về miền xác định và
miền tin cậy của một tập mờ.

0
Miền tin cậy

x

Miền xác định

Bên cạnh khái niệm về độ cao, mỗi tập mờ F còn có hai khái niệm quan trọng
khác l
miền xác định v
miền tin cậy.
Định nghĩa 1.3

Miền xác định của tập mờ F (định nghĩa trên nền X), đợc ký hiệu bởi S l tập
con của M thỏa mãn
S = supp F(x) = { xX F(x) >0 }.

20

(1.23)


Ký hiệu suppF(x) viết tắt của từ tiếng anh support, nh công thức (1.23) đã chỉ rõ,
l tập con trong X chứa các phần tử x m tại đó hm F(x) có giá trị dơng.
Định nghĩa 1.4

Miền tin cậy của tập mờ F (định nghĩa trên nền X), đợc ký hiệu bởi T, l tập
con của M thoả mãn
T = { xX F(x) = 1 }.

1.3

(1.24)

Các phép toán trên tập mờ
Những phép toán cơ bản trên tập mờ l phép hợp, phép giao v phép bù. Giống

nh định nghĩa về tập mờ, các phép toán trên tập mờ cũng sẽ đợc định nghĩa
thông qua các hm thuộc, đợc xây dựng tơng tự nh các hm thuộc của các phép
giao, hợp, bù giữa hai tập hợp kinh điển. Nói cách khác, khái niệm xây dựng những
phép toán trên tập mờ đợc hiểu l việc xác định các hm thuộc cho phép hợp
(tuyển) AB, giao AB, bù (phủ định) AC từ những tập mờ A, B.
Một nguyên tắc cơ bản trong việc xây dựng các phép toán trên tập mờ l không

đợc mâu thuẫn với những phép toán đã có trong lý thuyết tập hợp kinh điển. Mặc
dù không giống tập hợp kinh điển, hm thuộc của các tập mờ AB, giao AB, bù
AC đợc định nghĩa cùng với tập mờ, song sẽ không mâu thuẫn với các phép toán
tơng tự của tập hợp kinh điển nếu nh chúng thỏa mãn những tính chất tổng quát
đợc phát biểu nh "tiên đề" của lý thuyết tập hợp kinh điển. Đó l các "tiên đề"
(1.6) cho phép giao AB, (1.9) cho phép hợp v (1.12) cho phép bù.

1.3.1

Phép hợp hai tập mờ

Các công thức (1.9) cho thấy một cách tổng quan những tính chất cơ bản của
hm thuộc AB(x) của hợp hai tập hợp kinh điển A, B.
Do trong định nghĩa về tập mờ hm thuộc giữ vai trò nh một thnh phần cấu
thnh tập mờ nên các tính chất (1.9) sẽ không l điều hiển nhiên nữa. Thay vo đó
chúng đợc sử dụng nh những tiên đề để xây dựng phép hợp trên tập mờ.

21


Định nghĩa 1.5

Hợp của hai tập mờ A v B có cùng tập nền X l một tập mờ AB cũng xác định
trên nền X có hm thuộc AB(x) thỏa mãn:
a)

AB(x) chỉ phụ thuộc vo A(x) v B(x).

b)

B(x) = 0 với mọi x

c)

AB(x) = BA(x), tức l có tính giao hoán.



AB(x) =A(x).

d) Có tính kết hợp, tức l (AB) C(x) = A(BC)(x).
e)

Nếu A1 A2 thì A1B A2B, hay AB(x) có tính không giảm

A1 ( x ) A2 ( x )



A1 B ( x ) A2 B ( x ) .

Có thể dễ thấy đợc sẽ có nhiều công thức khác nhau đợc dùng để tính hm
thuộc AB(x) cho hợp hai tập mờ. Chẳng hạn 5 công thức sau đều có thể đợc sử
dụng để định nghĩa hm thuộc AB(x) của phép hợp giữa hai tập mờ:
1)

AB(x) = max{A(x) , B(x) }

2)

AB(x) =

3)

AB(x) = min{1, A(x)+B(x)}

4)

AB(x) =

5)

AB(x) = A(x) + B(x) A(x)B(x)

(Luật lấy max)

(1.25)

max{ A ( x ), B ( x )} khi min{ A ( x ), B ( x )} = 0
1 khi min{ A ( x ), B ( x )} 0

A ( x) + B ( x)
1 + A ( x) + B ( x)

(1.26)

(Phép hợp Lukasiewicz),

(1.27)

(Tổng Einstein)

(1.28)

(Tổng trực tiếp)

(1.29)

Ta sẽ chứng minh tính đúng đắn của khẳng định trên cho (1.25) lm một ví dụ,
tức l phải chỉ ra rằng

AB(x) = max{A(x) , B(x)}
thỏa mãn 5 tính chất đã nêu trong định nghĩa 1.5.
Hiển nhiên l a) đợc thỏa mãn vì trong (1.25) chỉ chứa A(x) v B(x).
Nếu B(x) 0 thì do

AB(x) = max{A(x) , B(x)} = max{A(x) , 0}

22

v

A(x) 0


AB(x) = max{A(x) , 0} = A(x),

nên

tức l (1.25) thỏa mãn b).

Vì
max{A(x) , B(x) } = max{B(x) , A(x)}
nên (1.25) có tính giao hoán.
Do có

(AB) C(x) = max{ max{A(x) , B(x)} , C(x) }
= max{A(x),B(x),C(x) }= max{A(x),max{B(x),C(x) }}
nên (1.25) cũng có tính kết hợp, tức l thỏa mãn d).
Với A1 ( x ) A2 ( x ) ta đợc
max{ A1 ( x ) ,B(x)} max{ A2 ( x ) ,B(x)}
hay

A1 B ( x ) A2 B ( x )

v đó chính l điều phải chứng minh.





A(x)

x

a)



A(x)

b)

B(x)

x



B(x)

x

A(x)

c)

(x)
A

B(x)

x

B(x)

d)

x

Hình 1.7: Hàm thuộc của hợp hai tập hợp có cùng không gian nền.

a) Hàm thuộc của hai tập mờ A và B.

b) Hợp hai tập mờ theo luật max.

c) Hợp hai tập mờ theo luật Lukasiewicz.

d) Hợp hai tập mờ theo luật tổng trực tiếp.

23


Một cách tổng quát thì bất cứ một ánh xạ dạng

AB(x): X [0,1]
nếu thỏa mãn 5 tiêu chuẩn đã nêu trong định nghĩa 1.5 đều đợc xem nh l hợp
của hai tập mờ A v B có chung một tập nền X. Điều ny nói rằng sẽ tồn tại rất
nhiều cách xác định hợp của hai tập mờ v cho một bi toán điều khiển mờ có thể có
nhiều lời giải khác nhau khi ta sử dụng các phép hợp hai tập mờ khác nhau. Hình
1.7 l một ví dụ. Để tránh những mâu thuẫn xảy ra trong kết quả, nhất thiết trong
một bi toán điều khiển ta chỉ nên thống nhất sử dụng một loại công thức cho phép
hợp.
Các công thức (1.25) ữ (1.29) cũng đợc mở rộng để áp dụng cho việc xác định
hợp của hai tập mờ không cùng nền bằng cách đa cả hai tập mờ về chung một tập
nền l tích của hai tập nền đã cho.

a)

B(y)

A(x)

y

x

A(x, y)

b)

B(x, y)
x

x
MìN

MìN

y

y

AB(x, y)
c)
Hình 1.8: Phép hợp hai tập mờ không cùng nền:

x

a) Hàm thuộc của hai tập mờ A, B.
b) Đa hai tập mờ về chung một nền MìN.

MìN

c) Hợp hai tập mờ trên nền MìN.

y

Ví dụ có hai tập mờ A (định nghĩa trên tập nền M) v B (định nghĩa trên tập
nền N). Ta sẽ xác định hợp AB của chúng theo luật max (1.25). Do hai tập nền M
v N độc lập với nhau nên hm thuộc A(x), xM của tập mờ A sẽ không phụ thuộc
24