Bộ đề kiểm tra có đáp án Toán 10

Kiểm tra Tổng hợp – Toán 10
Bài số 15
Câu 1. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có
sin A cos B − sin B cos A a 2 − b 2
=
sin C
c2
Câu 2. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c. Gọi r là bán kính đường tròn nội

tiếp tam giác. Chứng minh rằng

1
1
1
1
+ 2 + 2 ≤ 2
2
a
b
c
4r
A ( 2; 2 )

Câu 3. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có đỉnh
9x − 3y − 4 = 0

và phương trình hai đường cao là

x+ y−2 = 0

và

. Viết phương trình các cạnh tam giác.
A ( 1;1)
Câu 4. (1,0 điểm) Trên mặt phẳng Oxy cho điểm
. Hãy tìm điểm B thuộc đường thẳng
d: y=3
và điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC đều.
A ( 1; 2 ) , B ( 2;1) , C ( 3;6 )
Câu 5. (1,0 điểm) Cho 3 điểm
. Tìm điểm M sao cho
MA2 + MB 2 + MC 2

đặt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
 x + y + xy = m
 2
2
 x y + xy = m − 1
Câu 6. (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình
vô nghiệm.
x2 + 4 +

1

x +4
Câu 7. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta luôn có
2
1
4 x+
< 2x +
+2

2x
x
Câu 8. (1,0 điểm) Giải bất phương trình
( x + 1) x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 ≥ x 2 + 7 x + 12
Câu 9. (1,0 điểm) Giải bất phương trình
Câu 10.
(1,0 điểm) Giải phương trình
2
x 2 + 3x + 2
x2 + 2 x − x − 1 + 2 x2 =
+ 6x
2
2 x + x +1

(

)

(

)

Hết
1

2

≥

5

2


2


Kiểm tra Tổng hợp – Toán 10
Bài số 15
Câu 11.
(1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có
sin A cos B − sin B cos A a 2 − b 2
=
sin C
c2
Hướng dẫn
1  a 2 + c 2 − b2 b2 + c 2 − a 2 
a a 2 + c2 − b2
b b2 + c 2 − a 2
−

÷
.
−
.
4
R
c
c



2
R
2
ac
2
R
2
bc
VT =
=
c
1
.c
2R
2R
2a 2 + 2b 2
1
a 2 − b2
c
= .
=
= VP
2
c
c2
Câu 12.

(1,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 cạnh là a, b, c. Gọi r là bán kính đường

tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh rằng

1
1
1
1
+ 2 + 2 ≤ 2
2
a
b
c
4r

Hướng dẫn
S = pr =

p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ⇔ p2 r 2 = p ( p − a ) ( p − b) ( p − c )

Ta có
⇔

4 ( a + b + c)
1
p2
p
=
=
=
2
p ( p − a) ( p − b) ( p − c) ( p − a) ( p − b) ( p − c) ( b + c − a) ( c + a − b) ( a + b − c )
r

⇔

( a + b − c) ( b + c − a ) ( c + a − b)
1
=
4r 2 ( b + c − a ) ( c + a − b ) ( a + b − c )

⇔

1
1
1
1
=
+
+
2
4r
( b + c − a) ( c + a − b) ( c + a − b) ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( a + b − c )

⇔

1
1
1
1
1
1
1

=
+
+
≥ 2 + 2 + 2
2
2
2
2
2
2
2
4r
c
a
b
c − ( a − b)
a − ( b − c)
b − ( c − a)

Đẳng thức xảy ra khi

a=b=c

hay tam giác ABC đều.

3


A ( 2; 2 )
Câu 13.

(1,0 điểm) Cho tam giác ABC có đỉnh
9x − 3y − 4 = 0

là

và phương trình hai đường cao

x+ y−2=0

và

. Viết phương trình các cạnh tam giác.

Hướng dẫn
Dễ thấy A không thuộc 2 đường đã cho nên đó là đường cao từ B và C.
9x − 3y − 4 = 0
Không làm mất tính tổng quát, giả sử đường cao từ BD là

và đường cao CE

x+ y−2=0
là

.
1( x − 2 ) − 1 ( y − 2 ) = 0 ⇔ x − y = 0

AB đi qua A, vuông góc CE có phương trình:
3( x − 2) + 9 ( y − 2) = 0 ⇔ x + 3 y − 8 = 0
AC đi qua A, vuông góc BD có phương trình

B là giao của BD và AB

C là giao của CE và AC

9 x − 3 y − 4 = 0
2 2
⇒
⇔ B ; ÷
3 3
x − y = 0
x + y − 2 = 0
⇒
⇔ C ( −1;3)
x + 3y − 8 = 0
7x + 5y − 8 = 0

Từ đó lập được BC đi qua B và C là
A ( 1;1)
Câu 14.

(1,0 điểm) Trên mặt phẳng Oxy cho điểm

. Hãy tìm điểm B thuộc

d: y=3
đường thẳng

và điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC đều.

Hướng dẫn
B ( b;3)
Gọi

C ( c;0 )
và

Tam giác ABC đều thì trước hết, ta cần:

4


2
2
( b − 1) 2 + 4 = ( c − 1) 2 + 1
 AB = AC
b − c − 2b + 2c + 3 = 0
⇔
⇔ 2

2
2
 AB = BC
( b − 1) + 4 = ( b − c ) + 9
 −c − 2b + 2bc − 4 = 0

b2 + 7
,b ≠ 1
c =
2b − 2

b 2 + 2c − 2bc + 7 = 0

⇔ 2
⇔ 2
2
2
c + 2b − 2bc + 4 = 0
 b + 7  + 2b − 2b. b + 7 + 4 = 0
 2b − 2 ÷
2b − 2




b2 + 7
c =
2b − 2
⇔
4
 −3b + 12b 3 − 14b 2 + 4b + 65 = 0 ⇔ − b 2 − 2b + 5 3b 2 − 6b − 13 = 0


(


b = 1 −
⇔

b = 1 +


4
3
4
3

⇒ c = 1−

)(

)

5

⇒ c = 1+

3
5
3

Kiểm tra lại bằng hình vẽ, ta thấy cả 2 TH đều thỏa mãn. Vậy ta có 2 nghiệm hình


4  
5
B 1 ±
;3 ÷, C 1 ±
;0÷
3  
3 



A ( 1; 2 ) , B ( 2;1) , C ( 3;6 )
Câu 15.

(1,0 điểm) Cho 3 điểm

MA2 + MB 2 + MC 2

. Tìm điểm M sao cho

đặt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

Hướng dẫn
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó,
uuur2 uuur2 uuuur2
uuuur uuur 2 uuuur uuur 2 uuuur uuur
T = MA2 + MB 2 + MC 2 = MA + MB + MC = MG + GA + MG + GB + MG + GC
uuuur uuur uuur uuur
= 3.MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + 2.MG GA + GB + GC

(

(

2
2
2
= 3.MG 2 + GA
14+

44GB
2 4+4GC
43
const

MG = 0 ⇔ M ≡ G ( 2;3)
Tổng này đạt nhỏ nhất khi

5

)

) (

) (

)

2


Tmin = GA2 + GB 2 + GC 2 = 16

Khi đó,

Câu 16.

(1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình

 x + y + xy = m

 2
2
 x y + xy = m − 1

vô nghiệm.

Hướng dẫn

Đặt

x + y = S

 xy = P

, hệ trở thành

S + P = m
⇔

 SP = m − 1

 S = 1; P = m − 1
 S = m − 1; P = 1


Hệ vô nghiệm khi cả 2 TH trên vô nghiệm, hay cả 2 TH đều thỏa mãn

S 2 < 4P

1 < 4 ( m − 1)

5
⇔
⇔ 2
4
( m − 1) < 4
Câu 17.

(1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x, ta luôn có
x2 + 4 +

1
x2 + 4

≥

5
2

Hướng dẫn
x +4+
2

≥2

1
x2 + 4

=

x2 + 4
+
4

3 x2 + 4
+
4
x2 + 4
1

x2 + 4
1
3 x2 + 4
3.2 5
.
+
≥ 1+
=
4
4
4
2
x2 + 4

Đẳng thức xảy ra khi

 x2 + 4
1
=


x2 + 4 ⇔ x = 0
 4
 2
 x + 4 = 2
4 x+

Câu 18.

2
x

< 2x +

1
+2
2x

(1,0 điểm) Giải bất phương trình

Hướng dẫn
t=4 x+

2
x

≥ 2 4 x.

2
x

= 4 2 ⇒ 2x +

Đặt

1 t 2 − 16
=
2x
8
. BPT trở thành:

6


t < 0 ( loai )
⇔t >8

t > 8


2+ 2
3+ 2 2
x>
x>


2
2
2
⇔4 x+
> 8 ⇔ 2x − 4 x + 1 > 0 ⇔ 

⇔


x
2− 2
3−2 2
0 < x <
0 < x <

2

2

t 2 − 16
t<
+ 2 ⇔ t 2 − 8t > 0 ⇔
8

( x + 1)
Câu 19.

x + 2 + ( x + 6 ) x + 7 ≥ x 2 + 7 x + 12

(1,0 điểm) Giải bất phương trình

Hướng dẫn

Câu 20.

(

(1,0 điểm) Giải phương trình
2
x 2 + 3x + 2
x2 + 2 x − x − 1 + 2 x2 =
+ 6x
2 x2 + x + 1

)

(

)

Hướng dẫn

7


Hết

8


Kiểm tra Tổng hợp – Toán 10
Bài số 16
Câu 1. (1,0 điểm) Giả sử phương trình bậc hai

ax 2 + bx + c = 0

có hai nghiệm phân biệt

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 )

x1 , x2

. Chứng minh rằng ta có phân tích
Câu 2. (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, d, e ta luôn có
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e )
x − 1 + x − 3 = 2 ( x − 3) + 2 ( x − 1)
2

Câu 3. (1,0 điểm) Giải phương trình

( x − 1)

x 2 − 2 x + 5 − 4 x x 2 + 1 ≥ 2 ( x + 1)

Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình

Câu 5. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình

 x 3 − 6 x 2 y + 9 xy 2 − 4 y 3 = 0

 x − y + x + y = 2
A ( 1;3 )

Câu 6. (1,0 điểm) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết
x − 2y +1 = 0

và hai đường

y −1 = 0

trung tuyến lần lượt có phương trình
và
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng
d1 : 3x + 4 y − 6 = 0 d 2 : 4 x + 3 y − 1 = 0 d3 : y = 0
d1
,
,
. Gọi A, B, C là giao của
với
d2 d2
d3 d3
d1
;
với ;
với .
1) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
2) Viết phương trình đường tròn bàng tiếp góc B của tam giác ABC.
C ( 4;3)
Câu 8. (1,0 điểm) Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, biết
và phân giác
x + 2y − 5 = 0

trong, trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình
4 x + 13 y − 10 = 0

Câu 9. (1,0 điểm) Tam giác ABC có tính chất gì nếu thỏa mãn

9

sin C = 2sin A cos B

và


(H) : y =
Câu 10.

(1,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 đỉnh thuộc đồ thị

( H)
minh rằng trực tâm K của tam giác ABC cũng thuộc

Hết

10

1
x

. Chứng


Kiểm tra Tổng hợp – Toán 10
Bài số 16
Câu 11.

(1,0 điểm) Giả sử phương trình bậc hai

có hai nghiệm phân

ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 )

x1 , x2
biệt

ax 2 + bx + c = 0

. Chứng minh rằng ta có phân tích

Hướng dẫn
b
c

ax 2 + bx + c = a  x 2 + x + ÷ = a  x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 
a
a


(

)

= a x 2 − xx1 − xx2 + x2 x2 = a  x ( x − x1 ) − x2 ( x − x1 ) 
= a ( x − x1 ) ( x − x2 )
Câu 12.

(1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c, d, e ta luôn có

a 2 + b2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ a ( b + c + d + e )
Hướng dẫn

( *) ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e2 ≥ ab + ac + ad + ae
⇔

a2
a2
a2
a2
− ab + b 2 +
− ac + c 2 +
− ad + d 2 +
− ae + e 2 ≥ 0
4
4
4
4
2

2

2

2

a
 a

 a
 a

⇔  − b ÷ +  − c ÷ +  − d ÷ +  − e ÷ ≥ 0 ( dung )
2
 2
 2
 2


Đẳng thức xảy ra khi

a = 2b = 2c = 2d = 2e
x − 1 + x − 3 = 2 ( x − 3) + 2 ( x − 1)
2

Câu 13.

(1,0 điểm) Giải phương trình

Hướng dẫn

11


( x − 1)
Câu 14.

(1,0 điểm) Giải bất phương trình

Hướng dẫn

12

x 2 − 2 x + 5 − 4 x x 2 + 1 ≥ 2 ( x + 1)


Câu 15.

(1,0 điểm) Giải hệ phương trình

3
2
2
3
 x − 6 x y + 9 xy − 4 y = 0

 x − y + x + y = 2

Hướng dẫn

13


A ( 1;3)
Câu 16.

(1,0 điểm) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết

và hai

đường trung tuyến lần lượt có phương
x − 2y +1 = 0

trình

y −1 = 0

và

Hướng dẫn
Dễ thấy điểm A không thuộc hai đường trung
tuyến đã cho.
Không làm mất tính tổng quát, giả sử trung
BD : y − 1 = 0, CE : x − 2 y + 1 = 0

tuyến

Gọi G là trọng tâm tam giác

Gọi M là trung điểm BC

Gọi

y −1 = 0
⇒
⇔ G ( 1;1)
x − 2 y + 1 = 0

uuuur uuur

2 ( 1 − xM ) = 0
⇒ 2.MG = GA ⇔ 
⇔ M ( 1;0 )
2 ( 1 − yM ) = 2

 B ( 5;1)
b + 2c − 1 = 2
b = 5
B ( b;1) , C ( 2c − 1; c ) ⇒ 
⇔
⇔
1 + c = 0
c = −1
C ( −3; −1)

Từ đó, ta được
Câu 17.

BC : x − 4 y − 1 = 0 CA : x − y + 2 = 0 AB : x + 2 y − 7 = 0
,
,
(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng

d1 : 3x + 4 y − 6 = 0 d 2 : 4 x + 3 y − 1 = 0 d3 : y = 0
d1
,
,
. Gọi A, B, C là giao của
với
d2 d2

d3 d3
d1
;
với ;
với .
3) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam
giác ABC.
4) Viết phương trình đường tròn bàng tiếp góc
B của tam giác ABC.
Hướng dẫn

Dễ dàng tìm được

1 
A ( −2;3) , B  ;0 ÷, C ( 2;0 )
4 

14


4x + 3 y − 1
4 2 + 32

4x − 2 y − 1 = 0
⇔
02 + 12
 4 x + 8 y − 1 = 0
y

=

Phân giác góc B :

( ∆1 )
( ∆2 )
( ∆1 )

Kiểm tra bằng tọa độ, nhận thấy A và C nằm khác phía so với

( ∆1 )
nên

là phân giác

( ∆2 )
trong, còn

là phân giác ngoài góc B.
3x + 4 y − 6
32 + 42

3 x − y − 6 = 0 ( ∆ 3 )
⇔
02 + 12
3 x + 9 y − 6 = 0 ( ∆ 4 )
y

=

Phân giác góc C :

( ∆4 )
Kiểm tra bằng tọa độ, ta thấy A và B nằm khác phía so với

( ∆4 )
nên

là phân giác

( ∆3 )
trong, còn

là phân giác ngoài góc C.

1) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp thì I là giao của phân giác trong góc B và C
4 x − 2 y − 1 = 0
1 1
⇒
⇔ I ; ÷
( ∆1 ) ( ∆ 4 ) 3x + 9 y − 6 = 0
2 2
Hay I là giao của
và
1
1
2
R1 = d( I , d3 ) =
=
02 + 12 2
Bán kính

2
2
1 
1
1

x
−
+
y
−

÷ 
÷ =
2 
2
4

Phương trình đường tròn nội tiếp:
2) Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp góc B thì J là giao của phân giác trong góc B và
phân giác ngoài góc C.

( ∆1 )
Hay J là giao của
R2 = d( J ,d3 ) =
Bán kính

( ∆3 )
và
21

2
02 + 12

4 x − 2 y − 1 = 0
⇒
⇔
3 x − y − 6 = 0

=

 11 21 
J ; ÷
2 2

21
2
2

Phương trình đường tròn bàng tiếp góc B:

15

2

11  
21 
441

x− ÷ +y − ÷ =
2 

2
4



C ( 4;3)
Câu 18.

(1,0 điểm) Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, biết

giác trong, trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần

và phân
lượt

x + 2y − 5 = 0

có

phương

trình

và

4 x + 13 y − 10 = 0

Hướng dẫn
A là giao của phân giác AD và trung tuyến AM
x + 2 y − 5 = 0

⇒
⇔ A ( 9; −2 )
 4 x + 13 y − 10 = 0
Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua AD thì C’ thuộc AB.
2 ( x − 4 ) − 1( y − 3) = 0 ⇔ 2 x − y − 5 = 0
Lập được CC’ đi qua C, vuông góc AD:

Gọi H là giao của CC’ và AD

2 x − y − 5 = 0
⇒
⇔ H ( 3;1)
x + 2 y − 5 = 0
⇒ C ' ( 2; −1)

Mà H là trung điểm CC’ nên

AB đi qua A và C’ có phương trình:
B ( −7b − 5; b ) ∈ AB
Gọi

và

Mà M là trung điểm BC nên
Câu 19.

x−9
y+2
=
⇔ x + 7y + 5 = 0

2 − 9 −1 + 2

 −13m + 10 
M
; m ÷∈ AM
4


−13m + 10

b = 1
−7b − 5 + 4 = 2.
⇔
⇒ B ( −12;1)
4

m = 2
b + 3 = 2m

(1,0 điểm) Tam giác ABC có tính chất gì nếu thỏa mãn

Hướng dẫn

16

sin C = 2sin A cos B


sin C = 2sin A cos B ⇔

c
a a 2 + c 2 − b2
= 2. .
2R
2R
2ac

a 2 + c 2 − b2
⇔ c 2 = a2 + c 2 − b2
c
⇔ a 2 − b2 = 0 ⇔ a = b
⇔c=

Vậy, tam giác ABC cân tại C.

(H) : y =
Câu 20.

(1,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 đỉnh thuộc đồ thị

( H)
minh rằng trực tâm K của tam giác ABC cũng thuộc
Hướng dẫn

Giả sử

 1  1  1
A  a; ÷, B  b; ÷, C  c; ÷, K ( x; y )
 a  b  c

Do K là trực tâm tam giác nên

uuur uuur
 AK .BC = 0
 AK ⊥ BC
⇔  uuur uuur

 BK ⊥ AC
 BK .CA = 0


1  1 1 


( ay − 1) ( c − b )
=0
( x − a ) ( c − b ) +  y − a ÷ c − b ÷ = 0
( x − a ) ( c − b ) −





abc
⇔
⇔
( x − b ) ( a − c ) +  y − 1  1 − 1  = 0
 x − b a − c − ( by − 1) ( c − a ) = 0
)(
)


÷
÷

(
b  a c 

abc
ay − 1

 x − a − abc = 0
 xabc − a 2 bc − ay + 1 = 0
⇔
,a ≠ b ≠ c ⇔ 
2
 xabc − ab c − by + 1 = 0
 x − b − by − 1 = 0

abc
 y = −abc
 abc ( b − a ) + ( b − a ) y = 0
 y = − abc ( a ≠ b )

⇔
⇔
1

2
2
2

 xabc − ab c − by + 1 = 0
 xabc − ab c + ab c + 1 = 0
 x = − abc
y=

Dễ thấy

1
x

(H)
, hay điểm K cũng nằm trên đồ thị

17

.

1
x

. Chứng


Hết

18


Kiểm tra Tổng hợp – Toán 10
Bài số 17

Câu 1. (1,0 điểm)
1) Giải phương trình

x 2 + x + 7 + x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3 x + 19

5 ( x + y ) − 4 xy = 4

 x + y − xy = 1 − m

2) Tìm m để hệ phương trình
có nghiệm
Câu 2. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a2
b2
c2
a+b+c
+
+
≥
b+c c +a a +b
2
Câu 3. (1,0 điểm) Giải phương trình
2 x + 1 + 6 9 − x2 + 6

( x + 1) ( 9 − x 2 )

Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình

− x 3 − 2 x 2 + 10 x + 38 = 0

x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4
12 x + 3 y − 4 xy = 16

 4 x + 5 + y + 5 = 6

Câu 5. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
A ( 1;1) , B ( 2;3)
Câu 6. (1,0 điểm) Cho điểm
. Viết phương trình đường thẳng d biết d cách A
một khoảng bằng 2 và cách B một khoảng bằng 4.
A ( 2; 2 ) , B ( 5;1)
Câu 7. (1,0 điểm) Cho hai điểm
. Tìm điểm C trên đường thẳng
∆ : x − 2y +8 = 0
sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17.
d1 : 2 x − y − 2 = 0; d 2 : 2 x + 4 y − 7 = 0
Câu 8. (1,0 điểm) Cho hai đường thẳng
.
1) Viết phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng trên
P ( 3;1)
d1 ; d 2
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua
và tạo với
một tam giác cân tại

d1 ; d 2
giao điểm của

.

19


d : x − 4y − 2 = 0

Câu 9. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng

, cạnh
x+ y+3= 0

BC song song với đường thẳng d. Đường cao BH có phương trình

và

M ( 1;1)
trung điểm cạnh AC là
. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
Câu 10.
(1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC, Gọi G là
trọng tâm tam giác ABM, D là điểm thuộc đoạn MC sao cho

GA = GD

rằng tam giác GAD vuông.

Kiểm tra Tổng hợp – Toán 10
Bài số 17
Câu 11.

(1,0 điểm)

3) Giải phương trình

x 2 + x + 7 + x 2 + x + 2 = 3x 2 + 3x + 19

Hướng dẫn
Đặt

t = x2 + x + 2 > 0

( *) ⇔

t + 5 + t = 3t + 13 ⇔ 2t + 5 + 2 t ( t + 5 ) = 3t + 13

⇔ 2 t ( t + 5) = t + 8 ⇔ 4t 2 + 20t = t 2 + 16t + 64 ⇔ 3t 2 + 4t − 64 = 0
t = 4 ( tm )
x = 1
⇔
⇔ x2 + x + 2 = 4 ⇔ 
16
t = − ( loai )
 x = −2

3
x = 1; x = −2
Vậy phương trình có nghiệm

4) Tìm m để hệ phương trình

5 ( x + y ) − 4 xy = 4


 x + y − xy = 1 − m

có nghiệm

Hướng dẫn
S = x + y; P = xy

Đặt

, hệ trở thành:

5 ( P + 1 − m ) − 4 P = 4
5S − 4 P = 4
⇔
⇔

S − P = 1 − m
 S = P + 1 − m

 P = 5m − 1

 S = 5m − 1 + 1 − m = 4m

20

. Chứng minh


( x; y )

Để hệ có nghiệm

thì

1

m≤

S ≥ 4 P ⇔ ( 5m − 1) ≥ 4.4m ⇔ 25m − 10m + 1 ≥ 16m ⇔
25

m
≥
1

2

2

2

Câu 12.

(1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
a
b2
c2
a+b+c
+
+

≥
b+c c +a a +b
2
2

Hướng dẫn
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương, ta có :
 a2
b+c
+
≥a

b
+
c
4

 b2
c+a
+
≥b

4
c + a
 c2
c+a
+
≥c

4

a + a
Cộng theo vế, ta được:
a2
b2
c2
a+b+c
a2
b2
c2
a +b+c
+
+
+
≥ a+b+c ⇔
+
+
≥
b+c c+a a+b
2
b+c c+a a+b
2
Câu 13.

(1,0 điểm) Giải phương trình

2 x + 1 + 6 9 − x2 + 6

( x + 1) ( 9 − x 2 )

− x 3 − 2 x 2 + 10 x + 38 = 0

Hướng dẫn

21


Câu 14.

(1,0 điểm) Giải bất phương trình

Hướng dẫn

22

x 2 − 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 ≥ 2 x 2 − 5 x + 4


Câu 15.

(1,0 điểm) Giải hệ phương trình


12 x + 3 y − 4 xy = 16


 4x + 5 + y + 5 = 6

Hướng dẫn

A ( 1;1) , B ( 2;3)

Câu 16.

(1,0 điểm) Cho điểm

. Viết phương trình đường thẳng d biết d

cách A một khoảng bằng 2 và cách B một khoảng bằng 4.
Hướng dẫn

23


∆ : ax + by + c = 0, a 2 + b 2 = 0
Gọi đường thằng
a+b+c
a2 + b2

Từ đề bài, ta có

Chia theo vế, ta được

c=b

a = b, b = c

Nếu

, chọn
a 4
=

b 3

c=−
Với

(

( 2)

=4

.

c = b
 2a + 2b + 2c = 2a + 3b + c
a+b+c
1
= ⇔
⇔
 c = − 4a + 5b
2a + 3b + c 2
 2a + 2b + 2c = −2a − 3b − c
3


a = 0
= 2 ⇔ a + 4ab + 4b = 4a + 4b ⇔ 3a = 4ab ⇔  a 4
2
2
 =

a +b
b 3

,

Nếu

a2 + b2

và

a + 2b

( 1) ⇔
Với

2a + 3b + c

= 2 ( 1)

2

b = c =1

2

2

2

y +1 = 0
ta được đường thẳng

a = 4; b = 3 ⇒ c = 3

, chọn

4a + 5b
3

2

4x + 3y + 3 = 0

, ta được đường thẳng

( 1) ⇔

a+b−

,

)

(

4a + 5b
3

a 2 + b2

=2⇔

a + 2b
= 2 a 2 + b2
3

)

⇔ a 2 + 4ab + 4b2 = 36 a 2 + b 2 ⇔ 35a 2 − 4ab + 32b 2 = 0 ( VN )

y + 1 = 0;3 x + 3 y + 3 = 0
Vậy ta có 2 đường thỏa mãn là

24


A ( 2; 2 ) , B ( 5;1)
Câu 17.

(1,0 điểm) Cho hai điểm

. Tìm điểm C trên đường thẳng

∆ : x − 2y +8 = 0

sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17.
Hướng dẫn
AB : x + 3 y − 8 = 0

Lập được

và tính

S ABC

2c − 8 + 3c − 8

CH = d( C , AB ) =

C ( 2c − 8; c )
Gọi

AB = 10

10

=

5c − 16
10

thì đường cao
c = 10 ⇒ C ( 12;10 )
5c − 16
1
1

= AB.CH = . 10.
= 17 ⇔ 5c − 16 = 34 ⇔ 

18
 76 18 
2
2
c = − ⇒ C − ;− ÷
10

5
5
 5

d1 : 2 x − y − 2 = 0; d 2 : 2 x + 4 y − 7 = 0
Câu 18.
(1,0 điểm) Cho hai đường thẳng
3) Viết phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng trên

.

Hướng dẫn
Phương trình phân giác:
2x − y − 2
5

=±

2 ( 2 x − y − 2 ) = 2 x + 4 y − 7
⇔
⇔
 2 ( 2 x − y − 2 ) = −2 x − 4 y + 7

2x + 4 y − 7
2 5

P ( 3;1)
4) Viết phương trình đường thẳng đi qua

2 x − 6 y + 3 = 0
6 x + 2 y − 11 = 0


d1 ; d 2
và tạo với

một tam giác cân tại

d1 ; d 2
giao điểm của

.

Hướng dẫn
d1 , d 2
Gọi giao của

là A và hai đỉnh còn lại của tam giác là B, C.

Tam giác ABC cân tại A nên đường thẳng cần lập (cạnh BC) vuông góc với phân giác góc A
đã lập ở câu a.
TH 1:

∆

P ( 3;1)
đi qua

2x − 6 y + 3 = 0

và vuông góc phân giác

∆ : 3 ( x − 3 ) + 1( y − 1) ⇔ 3 x + y − 10 = 0

25

, thì