Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 có đáp án chi tiết

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá

Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI CP TRNG

Nm hc: 2015-2016
Mụn thi: Toán - LP : 12
Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao )
Bi 1(4 im) Cho hm s y = x4 2mx2 + 1
a)Kho sỏt v v th hm s khi m = 1
b) Tỡm m hm s cú ba im cc tr ng thi 3 im cc tr ca th hm s
to thnh mt tam giỏc cú din tớch bng 4 2 .
Bi 2: (4 im) Gii cỏc phng trỡnh sau

cos 2x 2 sin(x + ) + 2
a)
4
=1
1 sin x
b) cos6x(1+2sinx) + 2cos2x = 1 + 2cos5x.sin2x
Bi 4: (2im) Gii h phng trỡnh
2y(1 + 13y 2 ) x(1 + x 2 ) = 3xy(x + y)
2 2
x (x 2) = 2(1 + 4y)
Bi 5(2 im) T cỏc ch s 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 vit ngu nhiờn mt s t nhiờn gm
6 ch s khỏc nhau .Tớnh xỏc sut cỏc ch s 0,1,2 cú mt trong s vit c .
Bi 6:(2 im) Khai trin v rỳt gn biu thc
p(x) = 1 x + 2(1 x) 2 + ... + n(1 x) n , n N* thu c a thc p(x) = ao + a1x+ +an xn
1

7

1

Tớnh h s a8 bit n tha món C2 + C3 = n
n
n
Bi 7(2 im) Trong mt phng ta Oxy cho tam giỏc ABC cõn A cú H(2;1) l
trung im ca BC, AB =

5
BC v ng thng AC cú phng trỡnh 2x y +2 = 0.
2

Tỡm ta im A.
Bi 8:(4 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú SC (ABCD) , SC =
ã
hỡnh thoi cú cnh bng a 3 v ABC
= 120o .
a)Tớnh theo a th tớch ca khi chúp S.ABCD
b)Tớnh gúc gia hai mt phng (SAB) v (ABCD)
c)Tớnh khong cỏch gia hai ng thng SA,BD.

3a
, ỏy ABCD l
2

..Hết.

Sở Giáo dục và đào tạo thanh hoá
Trờng thpt lê văn linh

HNG DN CHM THI HSG CP TRNG

Nm hc: 2015-2016


Môn thi: To¸n – LỚP : 12
BÀI
1a

THANG
ĐIỂM

ĐÁP ÁN
y = x4 – 2mx2 + 1
a)Với m = 1 : y = x4- 2x2 + 1©
+) Tập xác định : D = R
+) Sự Biến thiên:

0.25
0.25

x=0

limy = +∞ ;y’ = 4x3 – 4x ; y’ = 0 ⇔  x = ±1


x →±∞

Bảng biến thiên
−∞

x
y’
+∞
y

-1
0

0
0
1

0

+∞

1
0

+∞

0

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( -1;0) và ( 1; +∞ ) , nghịch biến
trên ( −∞ ;-1) và (0; 1)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 , yCĐ = 1
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ±1 , yCT = 0
+) Đồ thị : ( C) cắt Oy tại (0;1) ( C) cắt Ox tại (-1;0) và (1;0)
Hàm số là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng

1b

0.5

0.5

0.5

y = x4 – 2mx2 + 1
x = 0

0.5

Ta có: y’ = 4x3 – 4mx; y’ = 0 ⇔ 

2
 x = m (*)

Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi pt y’ = 0 có ba nghiệm phân 0.5
biệt, hay (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m> 0
0.25
2
Với m >0 đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A(0;1), B(- m ; 1-m )
C( m ; 1-m2)
0.25
Phương trình đường thẳng BC là y + m2 – 1 = 0
1
0.5
Theo bài ra SABC= 4 2 ⇔ BC.d(A, BC) = 4 2
2

⇔ m.m = 4 2 ⇔ m = 32 ⇔ m = 2 .Vậy m = 2thỏa mãn bài toán
2

2a

5

π

π
cos 2x − 2 sin(x + ) + 2
Điều kiện: x ≠ + k2π (k ∈ Z) Khi đó
4
=1
2

1 − sin x

⇔ 2 cos x − 1 − (sin x + cos x) + 2 = 1 − sin x
2

0.5
0.5


π

x = + nπ
cos x = 0


2
⇔ 2 cos 2 x − cos x = 0 ⇔ 
⇔
(n ∈ Z)
cos x = 1
x = ± π + n2π
2


3


0.75
0.25

§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ
π
2

x = − + n2π,
2b

x= ±

π
+n2π
3

(n ∈ Z)

cos6x(1+2sinx) + 2cos2x = 1 + 2cos5x.sin2x
⇔ cos 6x + 2 cos 6x.sin x + 2 cos 2 x − 1 = 2 cos 5x.sin 2x
⇔ cos 6x + sin 7x − sin 5x + cos 2x = sin 7x − sin 3x
⇔ cos 6x + cos 2x − (sin 5x − sin 3x) = 0

4

cos 4x = 0
⇔ 2 cos 4x(cos 2x − sin x) = 0 ⇔ 
cos 2x = sin x = cos( π − x)
2

π kπ

x = 8 + 4

π k2π
⇔ x = +
(k ∈ Z)

6
3

 x = − π + k2π
2


 2y(1 + 13y 2 ) − x(1 + x 2 ) = 3xy(x + y) (1)
 2 2
(2)

 x (x − 2) = 2(1 + 4y)
Ta có : (1) ⇔ (x + y)3 + (x + y) = 27y3 + 3y (*)
Xét hàm số f(t) = t3 +t ( t ∈ R) có f’(t) = 3t2+ 1 > 0 với mọi t
⇒ f(t) là hàm số đồng biến trên R mà (*) có dạng f(x+y) = f(3y) nên
x + y = 3y ⇔ x= 2y . thay vào (2) ta được
 x 2 = 2x + 2
2 ± 2+4 2
⇔
⇔x=
4
2
2
2
x = 2x +4x + 2 = 2(x+1)
2
 x = − 2x − 2

5

Từ đó kết luận nghiệm của hệ pt
Gọi số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau là abcdef
5
+)Có 9cách chọn a,có A 9 cách chọn bộ bcdef
⇒ n(Ω) = 9

A

0.5
1.0

0.5

0.5
0.5
0.5
0.25
0.25

0.75

5

= 136080
0.75
Gọi A là biến cố : “số được viết có mặt các chữ số 0,1,2”
+) Có 5 vị trí để xếp chữ số 0 ,có 5 vị trí xếp chữ số 1,có 4 vị trí xếp
0.5
3
3
chữ số 2 , có A 7 cách chọn 3 chữ số còn lại ⇒ n(A) = 5.5.4.A 7 = 21000 .
9

25
162
n ≥ 3
1
7 1
+ 3 = ⇔  2
⇔n =9
2

C n Cn n
n
−
5n
−
36
=
0


Vậy P(A) =
6

Suy ra a8 là hệ số của x8trong biểu thức 8(1-x)8 + 9(1-x)8 .
8
8
Do đó a8 =8. C8 + 9C 9 = 89

1.0
0.5
0.5


7

Gọi E là hình chiếu của H trên AC .Ta có :
HE = d(H,AC) = 5
AC = AB =

5

BC =
2

0.5

5 HC

0.5

AH = AC2 − HC2 = 2HC
1
1
1
5
+
=
⇒ HC = ⇒ AH = 5
Trong tam giác AHC :
2
2
2
AH
HC
HE
2

Gọi A(x;y) , tọa độ điểm A thỏa mãn

0.5
0.5

2x − y + 2 = 0
 A ∈ AC
 x = 2; y = 6
⇔
⇔


2
2
 AH= 5
 x = −2; y = −2
(2 − x) + (1 − y) 25

8a

Vậy A(2;6) , hoặc A(-2;-2)
Ta có : SABCD = 2 SABC = AB .AC sin120o=

3 3a 2
2

1
3 3a 3
VS.ABCD = SC.SABCD =
(đvtt)
3
4

8b

Gọi H là hình chiếu của C trên AB ,ta có
 AB ⊥ CH
⇒ AB ⊥ (SCH) ⇒ AB ⊥ SH

 AB ⊥ SC(do SC ⊥ (ABCD))
·
Do đó ((SAB), (ABCD)) = (CH,SH) = SHC
3a
·
Trong tam giác BCH : CH = BC.sin CBH
= BC sin60o=
2
Tam giác SCH có SC = CH , SC ⊥ CH(do SC ⊥ (ABCD)) ⇒ ∆ SCH
·
= 45o . Vậy ((SAB), (ABCD)) = 45o
vuông cân tại C ⇒ SHC

8c

0.5
0.5

0.5

0.5
0.5

Kẻ OI ⊥ SA . Ta có
 BD⊥ AC

⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ OI ⇒ d(SA, BD) = OI

BD
⊥
SC(do
SC
⊥
(ABCD))

3 5a
Theo định lí côsin trong tam giác ABC ⇒ AC= 3a ⇒ SA = SC2 + AC2 =
2
OI OA
3 5a
∆SCA đồng dạng với ∆OIA ⇒
=
⇒ OI =
SC SA
10

0.5
0.5
0.5