Bài tập tích phân (có đáp án)

TÍCH PHÂN LUYÊN THI ĐẠI HỌC
Bài 1: Cho tích phân I ( x ) = ∫ ( e2 t + e − t ) dt . Tính I(x) khi x=ln2. ĐS: I ( x ) =
0
x

Bài 2: Tìm các giá trị của a thuộc đoạn [2;3] sao cho
Bài 3: Giải phương trình

∫

a

0

e3ln 2 + eln 2 − 2
.
2eln 2

cos ( x+a2 ) dx = sin a . ĐS: a = 2π ∨ a =

ln x + 4
dx = 0 . ĐS: t=e, t=e-9
e
x

∫

1 + 8π − 1
.
2

t

 1
 f '  2 ÷ = −4
a b
 
Bài 4: Tìm các giá trị a, b sao cho hàm số f ( x ) = 2 + + 2 thỏa điều kiện:  1
ĐS:
x
x
 1 f ( x ) dx = 2 − 3ln 2
 ∫2

∫ ( 3x
a

Bài 5: Tìm a để

2

1

a = 1
.

 b = −3

+ 4 x − 2 ) dx ≥ 1 − a . ĐS: −2 ≤ a ≤ −1 ∨ a ≥ 1 .

Bài 6: Tính các tích phân sau.

a

1

1. I= ∫02

a 2 − x2

dx =

π
.
6

2

2. I= ∫0 4 − x 2 dx = π .

3

3. I= ∫ 2 9 − 4x 2 dx .
0

0

Bài 7: Tính các tích phân sau.
2
x2
π
dx = − 1 .

1. I= ∫0
2
4 − x2
Bài 8: Tính các tích phân sau.
a
1
π
dx =
1. I = ∫0 2
.
2
a +x
4a
4
1
3. I = ∫ 3 2
dx .
0 9 x + 16
Bài 9: Tính các tích phân sau.
2
1
1 π 
I
=
1.
∫0 x 2 + 4 2 dx = 32  2 + 1÷ .
(
)
2. I = ∫0
4

3. I = ∫0

1

2

(x

2

+ 2)

2

2 − 3x 2 dx .

1

2. I= ∫0 1 − 1 − x 2 dx = −

(

)

2
5+ 2 .
3

1

π
dx =
.
x +4
24
1
1
dx .
4. I = ∫0 2
2x + 2
2 3

2. I = ∫2

2

dx .

1

( 16 + x )

2
3

4. I=
∫

2 3

dx =

2
32 .

Bài 5: Tính các tích phân sau.
2
1
π
dx = . Đặt x+1=3tant.
1. I = ∫−1 2
x + 2 x + 10
12
1
1
π 3
2. I = ∫
. Đặt 2x+1= 3 tant.
dx =
2
0 4x + 4x + 4
36
1


1
1
π 3
3
.

Đặt
x+
=
tant.
dx
=
0 x2 + x + 1
2 2
9
Bài 6: Tính các tích phân sau.
3. I = ∫
2

1. I = ∫1

2ln x + 3

( 2 x + 1)

2

dx .

2. I = ∫

2 3
5

e

1 5
= ln .
x x2 + 4 4 3



2
 x÷dx
2
 x x −1 

3. I= ∫ ln ( 1+tanx ) dx, x=

4. I= ∫

1

1
2
0

9. I= ∫

1
5

dx

1 − x 2 − x 2 1 − x dx
ln 2 x

dx
x ln x + 1

e3

π
m
− t , ln = ln m − ln n
4
n

5. I= ∫

2

1

x ( x-1)
7. I= ∫ 2
dx
0 x −4
Bài 3: Tính các tích phân sau.

( 2 x + t anx ) cosxdx

π
 2x

− cosx ÷cosxdx
4. I = ∫04 

3
 cos x

Bài 4: Tính các tích phân sau.

x x-1
dx
x-10

−2
35
π
4
0

1

(

2 2

ln

)

(

1

0

0

2013

1

0

π

1. I = ∫

x +1

0

=

π

6. I= ∫ 2 xsin 3 x cos 2 x ( 4sin x.cos 2 x − 3sin 2 x ) dx =

π
3
0

− 1) dx

7. I= ∫ 3 ( x 3 - tan 3 x ) dx

2. I= ∫

ln 3 x
dx
x ( ln 2 x + 1)

e

2

4

0

1
1
dx = 2 − 2 + ln
2
π
4 sinx.cos x
3 tan
8
π 3sinx+cosx+3
8. I= ∫
dx = π − ln 5
0 sinx+2cosx+3
Bài 7: Tính các tích phân sau.

π

4
0

3.

(x

1

π

2

I =∫

2

1
dx .
x − 4x + 5
2

5. I= ∫ x 2 ( 1 − x )

6. I= ∫π3

2
3

4. I = ∫2

dx

1
dx
x.lnx.ln ( lnx )

e3

4. I= ∫ 2

1. I= ∫

3

1

8. I= ∫

xsinx
dx
cos3 x
2

 x −1 
dx
2. I = ∫ x sin x.cos xdx
3. I = ∫ 
−1 x + 2 ÷



π
 2x
 2
5. I = ∫π2  4 − cosx ÷sin xdx

4  sin x
π
2
0

2

4

)

1. I = ∫−1 x e 2 x + 3 x + 1 dx
ln 2

2. I = ∫0

π
4
0

3. I = ∫
5. I = ∫

1

0

e x + e − x − 2dx , chú ý: a m > a n khi m>n.
1

sin 4 x
dx
6
sin x + cos 6 x

4. I = ∫0

x3 + 2 x 2 + 10 x + 1
dx
x2 + 2x + 9

6. I = ∫0

1

(x

x 3dx
8

− 4)

2

1

( x + 3) ( x + 1)
2

2

dx

2


π
2
π
6
π
4
0

1 + sin 2 x + cos2x
dx = 1
sinx+cosx

7. I = ∫

8. I = ∫

cosx
dx

sinx+cosx
Bài 5: Tính các tích phân sau.
1
1− x
dx
1. I = ∫0
5
(1+ x)
3

1

1
dx
e + ex
x3

x + x2 + 1

dx

1

2. I = ∫0

1

4. I = ∫0

2x

1

5. I = ∫0

6.

dx

1

I = ∫2

( x + 1) ( x + 8)
1
2+ x
ln
dx
2
4− x
2− x

( 3e

4x

+ e2 x )

1 + e2 x

0

∫ f ( x ) dx = 4 .
∫ f ( x ) dx = 3 .
0

2π

8. Tìm A, B sao cho f(x)= Asin2x+B thỏa f ' ( 0 ) = 4,
3

f ( t ) = ∫  4sin 4 x − ÷dx .
0
2

t

dx

2

thỏa f ' ( 1) = 2,

7. Tìm A, B sao cho f(x)= sin πx + B

9. Cho

sin 2 x
dx
cos 6 x

10. I = ∫0 x.t an 2 xdx

9. I = ∫

3. I = ∫0

π
3
π
6

0

Giải phương trình f(t)=0. ĐS:

k

π
, k ∈¢
2

.

BÀI TẬP TÍCH PHÂN
1/

I =∫

x

1

3

0

I=

(

2
15

)

2 + 1 HD:
x + x2 + 1
2
dx
1
I =∫
DS: I= 3 3 − 1 − 2 2
1
3
x +1 + x −1
dx

. ĐS:

(

π
3
π
6

cos3 xdx
sin 4 x
dx

2/

I =∫

3/

I =∫

4/

I = ∫1 2

4

3

2

I =∫

2

6/

I =∫

1

7/

I = ∫2

5/

8/
9/

(

x 1+ x

1

1

0

1

0

DS: I=

x 1+ x

3

dx
3 + ex

( 3e

4x

).

DS: I=-ln 2 3 − 3
1
DS: I=- ln2+2ln
3
DS: I=

+ e2 x )

1 + e2 x

(

2 5 3 +9

(

dx
x 1 − x2
dx

)

27
4
DS: I=2ln
3 HD:

)

3 (
ln

3

Làm cho mất mẫu số.

(

Đổi biến thành đổi biến.

) HD: Đổi biến thành đổi biến.
)

2 − 1  HD:


3+ e − 3

(

e 2− 3

dx DS: I= 1+e ( e − 1)

)

)

2

2

HD: Đổi biến thành biến đổi.

HD: Đổi biến.

1
1
I = ∫ 2 44 x. 3 42 x + 4dx DS: I= ln 5 + 2
2 −1
0
2
1 dx

ln3
I =∫
DS: I=2. Có ba cách giải.
x
0 1+ 2
ln2

(

Đổi biến thành đổi biến.

)(

).

HD: Đổi biến.

3


π

10/

I = ∫ 2 esin x s inx.cos 3 xdx DS: I=

11/

I = ∫3

2

0

π

0

12/ Cho

e-2
.
2

2 x sin x
2π
dx DS: I=
− ln 7 − 4 3 . Từng phần.
2
cos x
3
t
3
f ( t ) = ∫  4sin 4 x − ÷dx . Giải phương trình f(t)=0.
0
2


(

)

f ' ( 1) = 2,

13/ Tìm A, B sao cho f(x)= sin πx + B thỏa
ĐS:

π
A = − , B=2.
2

14/ Tìm A, B sao cho f(x)= Asin2x+B thỏa
ĐS:

A = 2, B=

16/

2

18/

I =∫

2

1

1

dx
x ( 1 + x3 )
dx
x + x2

k

π
, k ∈¢
2

.

2

∫ f ( x ) dx = 4 .
0

2π

∫ f ( x ) dx = 3 .
0

3
.
2π

15/ Tìm các giá trị của hằng số a biết:
I =∫

f ' ( 0 ) = 4,

ĐS:

17/

I =∫

2

19/

I =∫

2

1

1

∫

2

1

 a 2 + ( 4 − 4a ) x + 4 x 3  dx

ĐS: a=3.

dx
x ( x 5 + 1)
dx
x + 2x
6

4


1. I= ∫

(

xln x+ 1+x 2
1

0

1+x 2

⇒ I =  1 + x 2 .ln

1 x 
1
2. I= ∫ x  1 + x
0 e
 e

(

(

) dx

BÀI TẬP TÍCH PHÂN

)

 u=ln x+ 1+x 2
1

du
=
dx


2
1
+
x
⇒


x
dx
dv =

2
v = 1 + x
1 + x2



)

1

(

)

1
x + 1 + x 2  − ∫ dx = 2 ln 1 + 2 − ln 2 − 1
 0 0
1  1
1
1 

−x
−2x
÷dx = ∫0 x  x + 2x ÷dx = ∫0 x ( e + e ) dx
e 

e

du = dx

 u=x

⇒


1 −2x
−x
−2x
−x
dv = ( e + e ) dx v = −e − e


2
1

1

1
 
1
1
1
1
5 2
3




⇒ I = x  −e − x − e −2x ÷ − ∫  −e− x − e−2x ÷dx = −e −1 − e−2 +  −e − x − e−2x ÷ = − − 2
2
2
2
4
 0 0 



 0 4 e 4e
 

 u=x
du = dx
⇒

x
−x
x
−x
dv = ( e + e ) dx v = e − e

1
1
1
3. I= ∫  e x + x ÷xdx = ∫ x ( e x + e − x ) dx
0
0
e 

1

1

⇒ I =  x ( e x − e − x )  − ∫ ( e x − e− x ) dx =  x ( e x − e − x )  − e x + e − x  = .....
0
0

0
0
du = dx
1 x
1
 u=x

2x −1
4. I= ∫ 1−2x dx = ∫ x.e dx 
⇒
1 2x −1
2x
−
1
0 e
0
dv = e dx v = e

2
1

1

1

1

1
11
 1


1

⇒ I =  x. e2x −1  − ∫ e2x −1dx =  x ( e x − e − x )  −  e 2x −1  = .....
0
0
2
 2
0
4
0
1 x
1
1
e2x
1 1
4. I= ∫ 1−2x dx = ∫ x.e2x −1dx = ∫ x.
dx = ∫ x.e 2xdx
0 e
0
0
e
e 0
2x
1 x
1 x
1 x.e
1 1
4. I= ∫ 1−2x dx = ∫
dx = ∫

dx = ∫ x.e 2xdx
0 e
0 e
0
e
e 0
2x
e
1
1 
dt
 2
5. I= ∫ x3  e x + x2 ÷dx
t=x 2 ⇒ dt = 2xdx ⇒ xdx = , x=0 ⇒ t=0 x=1 ⇒ t=1
0
2
e 

1
1
 2
⇒ I = ∫ x 2  e x + x2
0
e

2

2

1 

1  dt 1 1 t

t
xdx
=
t
e
+
= ∫ t ( e + e − t ) dt

÷
÷
t
∫
0
e 2 2 0



 u=t

t
−t
dv= ( e + e ) dt

2

6. I= ∫ e x+lnx dx = ∫ e x .e ln xdx = ∫ x.e x dx 
→ e ln x = e loge x = x
1

2

1

1

2

2

2

7. I= ∫ e x+2lnx dx = ∫ e x .e2 ln x dx = ∫ e x .e ln x dx = ∫ x 2 .e x dx
1

1

1

2

1

5


2
1
1

1
1
x3
x 
x
1 1 d ( x + 1)
8. I= ∫ 2
dx = ∫  x − 2
dx = ∫ xdx − ∫
÷dx = ∫0 xdx − ∫0 2
0 x +1
0
0
x +1
x +1
2 0 x2 + 1

1

Cách 2: Đổi biến đặt t=x2+1
1

1

9. I= ∫ e x+e dx = ∫ e x .ee dx t=e x ⇒ dt = e x dx x=0 ⇒ t=1 x=1 ⇒ t=e
x

0

0

 u=t
du = dt
⇒
...

t
t
dv=e
dt
v
=
e



e

⇒ I= ∫ te t dt
1

10. I= ∫

xdx

1

x +1 − x
2

0

1

x

)

(

=∫

1

0

x

(

2

(

)

x 2 + 1 + x dx

x +1 − x

)(

2

x +1 + x

1

1

0

0

)

=∫

1

0

x

(

)

x 2 + 1 + x dx
2

x +1− x

2

1

=∫ x
0

(

)

x 2 + 1 + x dx

= ∫ x x 2 + 1 + x 2 dx = ∫ x x 2 + 1dx + ∫ x 2dx
0

11.

12.
13.

t=
14.

 t=1 + cos2 x ⇒ dt = −2cosx.sinxdx

sinx.cos x

s inx.cosx.cos x
2
I= ∫
dx
=
dx
t=cos x ⇒ dt = −2s inx.cosxdx
2
2
∫
1 + cos x
1 + cos x
 t=cosx ⇒ dt=-sinxdx

0
x
1
1
2
I= ∫ 4
dx
t=x
⇒
dt
=
2xdx
I=
dt
-1 x − 3x 2 + 2
2 ∫ t 2 − 3t + 2

3 ln 2
3 ln 2
e2x dx
e x .ex dx
I= ∫
=∫
0
1 + 3ex + 1 0 1 + 3e x + 1
t2 − 1
t2 − 1
3e x + 1 ⇒ t 2 = 3e x + 1 ⇒ 2tdt = 3e xdx
ex =
⇒ I = ∫ 3 2tdt
3
1+ t
4
dx
I= ∫
t= x ⇒ t 2 = x ⇒ 2tdt = dx , x=1 ⇒ t=1 x=4 ⇒ t=2
1
x 1+ x
π
2
0

3

(

π

2
0

2

)

2
21
2tdt
dt
1 
= 2∫
= 2∫  −
÷dt
1 t 1+ t
1 t t +1
1
( )
( )
 t t +1
1
1
1
1
x
15. I= ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx = t an + C

x
x
1+cosx
2
2
1 + cos2.
2cos2
2
2





÷

cosx
1 
1
1 ÷
1
x

15. I= ∫
dx = ∫  1 −
dx = ∫  1 −
dx = x − t an + C
÷
÷
÷dx = ∫ 1 −

x
x
1+cosx
2
2
 1+cosx 
 1 + cos2. ÷
 2cos2 ÷
2
2


lnx
1
1 dt 1
16. I= ∫
dx t=ln 2 x + 1 ⇒ dt = 2 ln x. dx ⇒ I = ∫ = ln t + C
2
x
2 t 2
x ( ln x + 1)

⇒ I= ∫

2

2

6

BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC
Bài 1: Tính tích phân:
2
 1
2
1. I = ∫1 x ln  1 + ÷dx
 x
π
 3 π
ln ( sinx )
dx
=
3
ln
3. I = ∫π3
 3 ÷−
cos 2 x
6
 4 6
Bài 2: Tính tích phân:
π
x sin x
2π 1
3−2
dx =
+ ln
1. I = ∫03
2
cos x

3 2
2+2
1

3. I = ∫0 x 3e x dx =
2

π2

π
4
0

2. I = ∫

π
.
3

π
2 π2
x tan xdx = + ln
−
4
2 32
2

e−2
2

4. I = ∫ 2 esin x sinx.cos 3 xdx =
2

0

1
π
dx =
9−2 3 .
2
x + 4x + 3
72
3
1 x
π
dx =
4. I = ∫ 8
0 x +1
16
1

2. I = ∫0

x sin xdx = 2π2 − 8

0

π

4. I = ∫0 x sin x.cos 2 xdx =

π

1
2

Bài 3: Tính tích phân:
1. I = ∫

1
3
π 3
2. I = ∫ x ln ( x 2 + x + 1) dx = ln 3 −
0
4
12

4

(

)

1
2
dx = − 4ln 2 + 2ln 3
x + 3x + 2
3
Bài 4: Tính các tích phân sau:
1

2
5 x − 13
2x + 3
π 3
dx = − ln18 .
1. I = ∫ 2
2. I = ∫0 2
dx=ln3+
0 x + 2x + 4
x − 5x + 6
18
Bài 5: Tính tích phân sau:
1 3dx
π
= ln 2 +
1. I = ∫0 3
. Áp dụng hằng đẳng thức chia làm 2 tích phân.
x +1
3
Cần nhớ:
1
A
B
C
Dx + E
=
+
+
+
, ∆ =n 2 -4mp<0

2
2
2
2
( x − a ) ( x − b ) ( mx + nx + p ) x − a ( x − b ) x − b mx + nx + p
1

3. I = ∫0

π
6
0

2. I = ∫
3.

I =∫

4

1

4. I = ∫1

2

cosx
4
dx = ln
2

7-5sinx-cos x
3
1
dx = 4 3 − 2
x 1+ x

(

3

)

1

(

dx = 2 −

)

2
1
. Đặt x2 ra khỏi căn, đặt t = .
3
x

x2 1 + x2
Bài 6: Tính các tích phân.
2
1 x − x +1

π
I
=
1.
∫0 x 2 + x + 1 dx = 1 − ln 3 + 3 3 .
3. I = ∫

1

0

x5
1
dx = ( 2ln 2 − 1)
2
x +1
4

x3
3
dx = 9ln − 2
2. I = ∫ 2
1 x + 2x +1
2
2
1
π
dx =
4. I = ∫ 2
2

12
3 x x −1
2

7


Bài 7: Tính các tích phân.
4
1
1 7
dx = ln .
1. I = ∫ 7
2
6 4
x x +9
− 2
x2 + 1
I
=
3.
∫−2 x x 2 + 1 dx
Bài 8: Tính các tích phân.
3
x−3
dx = 6ln 3 − 8 .
1. I = ∫−1
3 x +1 + x + 3
1
1

π
2
dx =
3. I = ∫− 1
12
4 x 2 + 12 x + 5
2 ( 2 x + 3)
Bài 9: Tính các tích phân.
ln 2
π
1. I = ∫0 e x − 1dx = 2 − .
2
2

3. I = ∫0 x

2

2
2 +1
dx = ln
3
2
x x3 + 1
5
3
3 x + 2x
26
I
=

dx
=
4.
∫0 x 2 + 1
5

1+ x + 1+ x

ln 5

4. I = ∫ln 2
1

2. I = ∫0
4. I = ∫

4 − x dx = π

1

1

2. I = ∫−1

π
2
0

2

1

2

2. I = ∫1

e2 x
ex −1

(1− x )

2

dx =

2 3

dx =

dx = 1
20
3
3π
16

cosx
π
dx =
7+cos2x
6 2

Bài 10: Tính các tích phân.
π

π

2. I = 2 cos2x ( sin 4 x + cos 4 x ) dx = 0
∫

1. I = 2 cos 2 x.cos4xdx=0 .
∫
0

π
4
0

3. I = ∫

cos2x

( sinx+cosx+2 )

dx =
3

0

2 1+ 2
−

9 6+4 2

Bài 11: Tính các tích phân.
π
sin 4 x
3

dx = 2 1 − 3ln ÷.
1. I = ∫04
2
1 + cos x
4

π

3. I = ∫02

π
4
0

4. I = ∫

2. I = ∫

x
π 1
dx = − ln 2
1+cos2x
8 4

sin 3 x
π
dx = − 1
2
1 + cos x
2

3sin x + 4cos x
π
dx =
+ ln 3
2
2
3sin x + 4cos x
2 3
1
1
2− 2
dx =
ln
2
sin x + 2sin x cos x − cos x
2 2 2+ 2
2

π

sin 3 x
dx = −2 + 3ln 2
0 cosx+1

Bài 12: Tính các tích phân.

π

6. I = ∫ 2
0

(

5 2− 2
4sin 3 x
1. I =
dx
=
−
2
ln
∫ 1 + cos4 x
2+ 2
π
1
1
4
dx =
3. I = ∫0
2
6
( sinx+2cosx )
π
4

0

5. I = ∫

0

π
2
0

5. I = ∫ 2

π
2
π
3

π

4. I = ∫ 4

cosx

( 1-cosx )

dx =
2

9−5 3
27

)

sinx
π 3
dx =
2
cos x + 3
8

π
2
0

sinx.cos3 x
1 1
dx = − ln 2
2
1 + cos x
2 2

π
2
0

cosx
π
dx = −1 +
1+cosx
2

2. I = ∫
4. I = ∫

2

6. I = ∫0

1

(4+ x )

2 2

dx =

1 π 
 + 1÷
32  2 
8


Bài 13: Tính các tích phân.
π

1
3
I = ∫π3
dx = 4 1 −
÷

1.
x
x
3 
4 sin 2

.cos 2
2
2

π
6
0

2. I = ∫

π

π

4. I = I = ∫ 4 tan 4 xdx =

3. I = 4 tan 3 xdx
∫

0

0

π

1
1
5. I = ∫ 4 tan 5 xdx = ln 2 −
0
2
4
Bài 14: Tính các tích phân.
π
2
0

1. I = ∫

1
 3x
1
x
9
I
=
5
+
+
2.

2
∫0 
5
4 x − 1 sin ( 2 x + 1)


e3 ln ( ln x )
I
=
4.
=∫2
dx
e
x

( cos x + 1) sin 2 xdx
3

5. I = ∫

x + sinx
dx
cos 2 x
2
1 x ln ( x + 3 )

2

3. I= ∫1

π
2
0

9. I= ∫

cos x
π 1
dx = − ln 2
sin x + cos x + 1
4 2
4

11. I = ∫1

13.

(

1

x 1+ x

)

dx = 2ln

4
3

dx
ln3
I =∫
=20 1 + 2x
ln2

15. I =

1

π
6
0

∫

tan 3 x
1 1 2
dx = − − ln
cos 2 x
6 2 3

x−3
4
dx = 5ln − 2
2
3
( x + 1) ( x + 3x + 2 )
2x

π
3
0

sin 3 x
1 3 5

dx = + ln
2
sin x + 3
2 4 9

π
2
0

3sinx
π 3
dx =
2
cos x + 3
6
−1
1

6. I= ∫

)

2sin 3 x
2
dx =
ln 3 − 2 2 − 1
1 + cos2x
4

8. I= ∫

10. I= ∫

−3

1
2
0

12. I = ∫

( 3e

4x

+ e2 x )

1 + e2 x

14. I = ∫0
1

( x + 4)

x+4+

1

16. I =


÷
÷dx


1
dx
e +3

1

4. I= ∫0

(

sin 2 x
π
dx = − 1
4
1 + cos x
4

1

2 4
dx = 2ln +
2
5. I= ∫−1 2
3 3
( x − 4 x + 3)

7. I = ∫

π
2
0

2. I = ∫0

4x + 4

π
2
0

1
dx = ln ( e + 1)
1 − e− x

2. I = ∫

1
2 4
dx
=
ln
3 3
x ( x 3 + 1)

0

2

6. I = ∫1

dx

x2 + 3
Bài 15: Tính các tích phân.
π
sin 2 x
π
1. I = ∫ 2
dx =
4
0 1 + sin x
4
Bài 16: Tính các tích phân.
2
2 2x + 5
17
I
=
dx
=
− 2ln 2
1.
3
∫0 ( x − 4 )
32
0

π 2
−
4 3

1
dx = ln ( e + 1)
1 − e− x

2

6. I = ∫1

π
3
0

3. I = ∫

2

x
x
π
3

+1
 cos + sin ÷ dx = −
2
2

6 2


x2 + 1
4− x

2

∫ ( x + 1) ( x + 2 )
0

2

π
6

dx 1+e ( e − 1)

dx =

2x + 3

3

dx =

π
3
−
2 2

dx =

1
3
+ ln
2
4
9


1

∫ 1+ x +

17. I =

1

dx

∫

18. ( x sin x +

1 + x2

−1

21.

e

π
3

π
4

cotx
dx
π

π
s inx.sin  x + ÷
6
4


21. I = ∫

tan x .ln(cos x )
dx
cos x

∫
0

e

22. I = ∫

1

log 32 x

∫

24. I =
4

01+

27. I= ∫ e

1

dx
2x + 1

25. I = ∫

2x + 1

3 x +1

π

24. I= ∫ 4 ( x + sin 2 2 x) cos 2 xdx
0

1

6

dx
4x + 1
2 2x + 1 +

π

x ( e + ln x )
x

1

4

3

31. I= ∫
1

π
4

dx

0

e2

1
x( x + 1)
4

`

dx

∫ (x

2

2

+ x ) 4 − x dx

−2

37. I=

π
3

∫

0

8

34. I=

sin x
cos x 3 + sin 2 x

x2 + 1

2
1

+ sin x ) .sin 2 xdx

x −1

∫

3

36. I= ∫

cos x

dx
x ln x.ln ex

32. I= ∫
e

−x

5

2

∫ (e

30. I =

x

33. I= e  2 x + e
∫0  1 + tan 2 x ÷ dx

2



28. I = ∫

dx

xe x + 1

29. I= ∫

 1− x

− 2 x ln ( 1 + x ) ÷
26. I = ∫ 
÷dx
x


0  1+

dx

0

e

4 − x2
dx
x2

23. I = ∫

dx

(3 e x + 2) 2

0

1

2

x 1 + 3ln 2 x

3 ln 2

35. I=

x
)dx
1+ x

 ln x

20. I = ∫ 
+ 3 x 2 ln x ÷dx

1  x 1 + ln x

ln x 2 + ln x
dx
x
1

19. I = ∫

3

0

2

3

e

2

dx

x2
2

x − 7 x + 12

dx

1

1+ x
dx
x

∫1+
0

dx

10


TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ - VÀ HÀM LƯỢNG GIÁC

k
∫α ax 2 + bx + c dx
TH 1: Tam thức ax 2 + bx + c có nghiệm kép.
Dạng 1: I =

β

VD: Tính tích phân:
1. I =

1
∫0 x 2 + 2 x + 1 dx
ln 3
ex
1

3. I = ∫ln 2

(e )

x 2

− 2e + 1
x

2. I =

dx

4. I =

1
∫0 4 x 2 + 4 x + 1 dx
1

π
2
0

cosx
dx
sin 2 x − 6sinx + 9

∫

VD: Tính các tích phân sau:

1
dx
1. I = ∫ 2
3 x − 3x + 2
1
2x
dx
3. I = ∫ 4
0 x − 5x2 + 6
TH3: Tam thức ax 2 + bx + c vô nghiệm.
4

ex
2. I = ∫
dx
0
e 2 x + 3e x + 2

π
cosx
4. I = 2
∫0 sin 2 x − 5sinx + 6 dx
ln 2

VD: Tính các tích phân sau: Chú ý: u là một hàm số bậc nhất theo biến x, còn m là một số thực.

1
π
dx =
x +3
12 3
2
1
π
dx =
3. I = ∫ 2
−1 x + 2 x + 10
12
β
a'x+b'
dx
Dạng 2: I = ∫
α ax 2 + bx + c
1. I = ∫1

1
π
dx

=
∫2 x 2 − 6 x + 10 2
1
1
π 3
4. I =
∫0 4 x 2 + 4 x + 4dx = 36

3

4

2. I =

2

Cần nhớ: x0 là nghiệm kép, có thể mở mũ 3 hoặc 4…
VD: Tính tích phân sau:
1. I =

∫

1

0

3x + 1
dx
2
x + 2x +1

2. I =

∫

1

0

3x3
dx
x2 + 2 x + 1

0

3. I = ∫−1

3x + 1

( x + 1)

3

dx

o Cần nhớ: m và n là hai nghiệm đơn, và có thể mở rộng ra 3 hoặc 4 nghiệm đơn……
VD: Tính tích phân sau:

x +1
dx

1. I = ∫ 2
−1 x − 3 x + 2
0

2. I =

∫

4

0

5x + 3
dx
2
x − 4x − 5

3. I =

∫

2

1

x2
dx
x 2 − 7 x + 12
11

 Chú ý: Các bài sau ví dụ cho trường hợp mẫu số toàn là nghiệm đơn (3 nghiệm đơn).

3x 2 + 1
3. I = ∫ 3
dx
−1 x − 2 x 2 − 5 x + 6
0

x2 + 2x + 6
4. I = ∫ 3
dx
−1 x − 7 x 2 + 14 x − 8
0

 Chú ý: Các bài sau ví dụ cho trường hợp mẫu số có nghiệm đơn và có nghiệm kép.
3

5. I =

∫

7. I =

1

2

1
dx

3
x + x2
x2 + 1

∫ ( x + 1) ( x + 2 ) dx
2

0

x +1
dx
2 x − x2
1
x2 + 1
3

6. I =

∫

8. I =

∫ ( x − 2 ) ( x − 3) dx

3

3

0

VD: Tính các tích phân sau:

2x − 3
π 3
dx
=
ln
3
+
∫0 x2 + 2 x + 4
18
2
1 x − x +1
π
dx = 1 − ln 3 +
3. I = ∫ 2
0 x + x +1
3 3
1. I =

2

3x + 1
3
π
dx = ln 2 −
−1 x + 2 x + 5
2
4
1

2x − 2
dx
4. I = ∫ 2
0 x + 2 x + 10
2. I =

∫

1

2

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: I =
Dạng 2: I =

∫

b

∫

b

a

a

sin m x.cos n xdx .
sin m x

dx .
cos n x

Phương pháp:
• Trường hợp 1: m là số lẻ, n chẵn.
o Ta phân tích sin m x = sin m−1 x.sinx .
o Ví dụ: sin 3

x = sin 2 x.sinx= ( 1-cos 2 x ) sinx; sin 5 x = sin 4 x.s inx= ( 1-cos 2 x ) .sinx .
2

o Ta đặt t=cosx.
• Trường hợp 2: n là số lẻ, m số chẵn.
o Ta phân tích cos n x = cos n−1 x.cosx .
o Ví dụ:

cos3 x = cos 2 x.cosx= ( 1-sin 2 x ) .cosx; cos 5 x = cos 4 x.cosx= ( 1-sin 2 x ) .cosx .
2

o Ta đặt t=sinx.
• Trường hợp 3: m và n cùng lẻ.
o Ta phân tích sinx hoặc cosx.
o Ta đặt t=cosx hoặc t=sinx.
• Trường hợp 4: m và n đều chẵn.
o Ta dùng công thức hạ bậc.
o Đưa về hàm theo tanx hoặc cotx. Đổi biến với t=tanx hoặc t=cotx.
• Các công thức lượng giác thường áp dụng:
Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :

Công thức nhân đôi :

12


•
•
•
•
•
•

•

sin 2 x = 2sin x cos x
1
sin x cos x = sin 2 x
2
2
cos 2 x = cos x − sin 2 x
cos 2 x = ( cos x − sin x ) ( sin x + cos x )

•
•

cos 2 x = 2cos 2 x − 1
cos 2 x = 1 − 2sin 2 x

•

sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α

π
tan α =
( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z )
cos α
2
cos α
cot α =
( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z )
sin α
1
π
tan 2 α + 1 =
∀
α
≠
+ kπ ,k ∈ Z )
(
với
cos 2 α
2
1
cot 2 α + 1 =
( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z )
sin 2 α
kπ
tan α cot α = 1 ( với ∀α ≠
,k ∈ Z )
2

•

•

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1. I =
3. I =

π
2
π
6
π
2
0

π
2
0

8
.
sin x.cos xdx =
315

2. I =

∫

cos3 x
1

dx =
2
sin x
2

π
2
0

cos 2 x.cos4xdx = 0

4. I =

∫

sin 2 x.cos 4 xdx =

∫
∫

5

4

π
32

Bài 2: Tính các tích phân sau:
1. I =

π
4
0

sin 4 x
dx = ln 2
sin 4 x + cos 4 x

∫

ADCT: sin x + cos x = 1,
2

2

2. I =

π
2
0

∫

cos2x. ( sin 4 x + cos 4 x ) dx = 0

1
sinx.cosx= sin 2 x
2
π
cos 2 x

3
dx
4. I = ∫π
8
sin
x
4

a 2 + b 2 = ( a + b ) − 2ab,

π
3
π
4

2

sin 2 x
42 3 − 8
dx
=
3. I = ∫
cos 6 x
15
1
1
= 1 + tan 2 x,
= 1 + cot 2 x
ADCT:
2

2
cos x
sin x
Bài 3: Tính các tích phân sau:
π
3
π
4
π
3
π
6
π
4
π
6

1. I =

∫

3. I =

∫

5. I =

∫

1 

 1
+
dx .
 4
6 ÷
 sin x cos x 
1
dx
sin 4 x.cosx
1
dx
cos 4 x.sin 2 x

π
3
π
6
π
3
π
6
π
4
π
6

2. I =

∫

4. I =

∫

1 
 1
+

÷dx
 sinx cosx 
1
dx
cosx.sin 3 x

∫

1
dx
cos 2 x.sin 4 x

6. I =

13


BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính các tích phân sau.
2
1 x ln ( x + 3 )
1. I= ∫

dx = 4ln 2 − 3 ln 3 + 2
0
x2 + 3
5
9
15
3. I= ∫0 x ln x + 4dx = ln 3 + 8ln 2 +
2
8
Bài 2: Tính các tích phân sau.
π
x.cosx
π
3 1
1. I= ∫ 3
dx
=
−
+
0 sin 3 x
36 6 2
π
2
e
3. I= ∫ 2 cos3 x.esin x .sinxdx = − 1
0
2
e ln ( x + 1)
4e
dx = ln

5. I= ∫1
2
x
( e + 1) e + 1

1 3
1+ x 
7. I= ∫ x ln 
÷dx = − ln 3
2 8
1− x 
4
4
dx = 3 − 2
∫
9. I= 1
x 1+ x
1
2
0

(

11..

)

(

3−2

ln ( ln x )
27
dx = ln .
e
x
4e
2
x ln x
13ln 2 ln 5
dx =
−
2
4. I= ∫1 2
40
4
( x + 1)

)

e3

2. I= ∫ 2

π

x + sinx
π 3
dx
=

− ln 2 + 1 .
0
cos 2 x
3
5
3
3 x + 2x
26
dx =
4. I= ∫0
5
x2 + 1
2. I= ∫ 3

2
10
1
 1
2
6. I= ∫1 x ln 1 + ÷dx = 3ln 3 − ln 2 +
3
6
 x
x
1 1 + x.e
dx
8. I= ∫0
2
( x + 2)

10.

12.

14