42 bài tập tích phân có đáp án LTĐH 2015
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (196.63 KB, 20 trang )
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN - LTĐH 2015
1) I =
4
2
4
1
1 2cos
dx
x
π
π
−
+
∫
2) I =
2
2
0
sin
1 sin2x
x x
dx
π
+
+
∫
3) I =
2
3
1
sin . 1 cos
dx
x x
π
π
+
∫
4) I =
3
2 2
4
1
sin 2 .cos
dx
x x
π
π
∫
5) I =
( )
2
4
sin cos
3
0
2 cos 2 .sin 4
x x
x xdx
π
+
−
∫
6) I =
2
4
2
3
sin . 1 cos
cos
x x
dx
x
π
π
−
−
∫
7) I =
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
e dx
x
π
+
+
∫
8) I =
( )
( )
2
3
2
3
sin sin
1 sin sin
x x x x
dx
x x
π
π
+ +
+
∫
9) I =
2
2
6
1
sin . sin
2
x x dx
π
π
+
∫
10) I =
6
0
1
cos .cos
4
dx
x x
π
π
+
÷
∫
11) I =
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x
dx
x x
π
+
+
∫
12) I =
( )
2
3
4
7sin 5cos
sin cos
x x
dx
x x
π
π
−
+
∫
13) I =
6
0
tan
4
cos2
x
dx
x
π
π
−
÷
∫
14) I =
2
0
1
cos
2 3sin 1
x x dx
x
π
+
÷
+ +
∫
15) I =
( )
2
3
0
sin
sin 3cos
x
dx
x x
π
+
∫
16) I =
2
6
1
sin cos
6
dx
x x
π
π
π
+
÷
∫
17) I =
(
)
3
2 2
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
x x x
+ + −
∫
18) I =
( )
( )
2
2
0
2
1 2 4
x
dx
x x x
+
+ + +
∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( )
1
2
0
(x 5 6)
19) I=
2 2013.
x
x
x e
dx
x e
−
+ +
+ +
∫
20) I =
3
1
4
2
0
1
x
x
x e dx
x
+
÷
+
∫
21) I =
3
2
sin
0
sinx-sin
.sìn2x+
cos2 7
x
x
e dx
x
π
÷
−
∫
22) I =
( )
4
2
0
tan tan
x
x x e dx
π
+
∫
23) I =
( )
1
1
2 ln 1
ln
e
x
x
dx
x x
+ +
+
∫
24) I =
8
3
ln
1
x
dx
x +
∫
25) I =
( )
1
2
1
0
2
2 9 . 3 2
x
x x
dx
−
− −
∫
26) I =
1
2
0
1 6 3x x dx+ −
∫
27) I =
1
2
1
1
1 1
dx
x x
−
+ + +
∫
28) I =
( )
1
3 2
2 2
0
10 3 1 10
1 1
x x x
dx
x x
+ + +
+ +
∫
29) I =
( )
2
2
1
2
cot
sin
3
4
cos 2cot 3cot 1
.
sin
x
x
x x x
e dx
x
π
π
+
+ +
∫
30) I =
4
2
0
tanx xdx
π
∫
31) I =
1
2 2
3
4
2tan
cos
x
e x
x x dx
x x
π
π
+ +
÷
∫
32) I =
2
0
2 cos4
x
xdx
π
∫
33)
( )
3
2
2
1
ln
1
x x
I dx
x
=
+
∫
34) I =
2
3
1
ln 1 ln
e
x
dx
x
+
∫
35) I =
( )
1
2
2
0
1
.
1
x
x
e dx
x
+
+
∫
36)
( )
4
2
2
0
.log 9I x x dx= +
∫
37) I =
1
3
3
4
1
3
2014x x x
dx
x
− +
∫
38) I =
1
1
1
2
1
1
x
x
x e dx
x
+
+ −
÷
∫
39) I =
ln6
0
3 3 2 7
x
x x
e
dx
e e+ + +
∫
40) I =
( )
1
4 2
1
3
ln 3 2lnx x x dx
+ −
∫
41) I =
( )
1
2
2
0
.
2
x
x e
dx
x
−
−
∫
42)
( )
( )
2 2
2
2
1
2 1 2ln ln
ln
e
x x x x
dx
x x x
+ + +
+
∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
H D GIẢI:
1) I =
4
2
4
1
1 2cos
dx
x
π
π
−
+
∫
=
4 4
2 2 2
2
4 4
1 1 1 1
. .
1
cos tan 3 cos
2
cos
dx dx
x x x
x
π π
π π
− −
=
+
+
∫ ∫
Đặt t = tanx => dt =
2
1
cos
dx
x
. Đổi cận => I =
1
2
1
1
1
dt
t
−
+
∫
. Đặt t =
3
tanu
=> dt =
3
(1+tan
2
u)du. Đổi cận => I =
3
9
π
2) I =
2
2
0
sin
1 sin2x
x x
dx
π
+
+
∫
=
( )
2
2 2
1 2
0 0
2 2 2
1
2
2
0 0 0
2
1
2
0
sin
1 sìn2x 1 sìn2x
1
1 sìn2x 2
sin cos
sin
4
cos
1 1
1
4
cot
cot
2 4 2
sin
sin
4
4
x x
dx dx I I
x x x
I dx dx dx
x x
x
u x
du dx
x
I x x
dv dx
v x
x
x
π π
π π π
π
π
π
π
π
π
+ = +
+ +
= = =
+
+
+
÷
=
=
+
÷
⇒ ⇒ = − + +
=
÷
= − +
÷
+
+
÷
∫ ∫
∫ ∫ ∫
4
0
4
4
dx
π
π
π
= =
÷
∫
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
0 0 0 0
2
2
2
0
0
0
sin 1 1 cos2 1 1 1 cos sin
1 sìnx 2 4 2
sin cos sin cos
sin
4
sin cos
1 1 1 1 1
cot ln sin cos
4 4 2 sin cos 2 2 2
x x x x
I dx dx dx dx
x x x x
x
d x x
x dx x x
x x
π π π π
π
π
π
π
π
− −
= = = −
+
+ +
+
÷
+
= − + − = − + =
÷
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Vậy I =
1 2
2
4
I I
π
+
+ =
3) I =
2
3
1
sin . 1 cos
dx
x x
π
π
+
∫
. Đặt t =
1 cos x+
=> 2tdt = - sinxdx. Đổi cận
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
1
1
3
3
2
2
2
2 2
2
2 . 2 2
1 2 1 6 1
ln 1 ln 2 3
3
2 2 2 2
t t
tdt dt dt dt
I dt
t t
t t t t t t t
t
t
t
− −
−
= = = = −
−
− − −
−
= + = = − − −
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
4) I =
3
2 2
4
1
sin 2 .cos
dx
x x
π
π
∫
( )
( )
2 2
3 3 3
2 4 2 2 2
4 4 4
3
3
3
2
3
4
4
4
sin cos 1 1
.
4sin .cos 4 cos cos sin 2
1 1 1 tan 3 2 3 1
1 tan tan cot 2 tan
4 2 4 3 6 3
x x dx dx
dx
x x x x x
x
x d x x x
π π π
π π π
π
π
π
π
π
π
+
= = +
−
= + − = + + =
÷
∫ ∫ ∫
∫
5) I =
( )
2
4
sin cos
3
0
2 cos 2 .sin 4
x x
x xdx
π
+
−
∫
=
4 4
1 sin2x 4
1 2
0 0
2 .2sìn2xcos2xdx 2sìn2xcos 2xdx I I
π π
+
− = +
∫ ∫
Tính: I
1
=
4
1 sin2x
0
2 .2sìn2xcos2xdx
π
+
∫
. Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx . Đổi cận
( )
2 2 2
1
1 1 1
2 1 .2 2
t t t
I t dt t dt dt= − = −
∫ ∫ ∫
. Đặt:
2
2
ln 2
t
t
du dt
u t
dv dt
v
=
=
⇒
=
=
2 2 2
2
1
1
1 1 1
2
2
1
1 6 1
.2 2 2 1 2
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
6 1 1 4 2
1 . .2
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
t t t t
t
t
I dt dt dt
= − − = − +
÷
= − + = −
÷
∫ ∫ ∫
hoctoancapba.com
Tính:
4
4
2
0
2sìn2x.cos 2I xdx
π
=
∫
( )
4
4 5
4
0
0
1 1
cos 2 cos2 cos 2
5 5
xd x x
π
π
= − = − =
∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
Vậy
1 2
2 1 1
2
ln 2 ln 2 5
I I I
= − = − −
÷
6) I =
2
4
2
3
sin . 1 cos
cos
x x
dx
x
π
π
−
−
∫
=
0
2 2
4 4
2 2 2
0
3 3
sin sin
sin sin
cos cos cos
x x
x x
dx dx dx
x x x
π π
π π
− −
= − +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
0
4
0
4
2 2
0
3
0
3
1 1
1 1 tan tan
cos cos 1
7
3 1
12
dx dx x x x x
x
π
π
π
π
π
−
−
= − + − = − + −
÷ ÷
−
= − +
∫ ∫
7) I =
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
e dx
x
π
+
+
∫
=
2 2 2 2
2
0 0 0 0
sin . 1 sin
1 cos 1 cos 2 1 cos
cos
2
x x x
x
e dx x e dx e x
I dx e dx
x
x x x
π π π π
= + = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
2 2
0 0
2sin .cos
1
2 2
2
cos 2cos
2 2
x
x
x x
e
I dx e dx
x x
π π
= +
∫ ∫
=
2 2
1 2
2
0 0
1
tan
2 2
cos
2
x
x
e x
I dx e dx I I
x
π π
= + = +
∫ ∫
Tính: I
1
=
2
2
0
1
2
cos
2
x
e dx
x
π
∫
Đặt
2
1
2tan
cos
2
2
x
x
u e
du e dx
x
dv dx
v
x
=
=
⇒
=
=
2
2
1 2 2
0
1
2. tan 2
2 2
x
x
I e I e I
π
π
⇒ = − = −
2
1 2
I I I e
π
⇒ = + =
8) I =
( )
( )
2
3
2
3
sin sin
1 sin sin
x x x x
dx
x x
π
π
+ +
+
∫
=
2 2
3 3
2
3 3
sin 1 sin
x dx
dx
x x
π π
π π
+
+
∫ ∫
= I
1
+I
2
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
Tính: I
1
=
2
3
2
3
sin
x
dx
x
π
π
∫
Đặt
2
cot
sin
u x
du dx
dx
v x
dv
x
=
=
⇒
= −
=
hoctoancapba.com
I
1
= - xcot
2
3
3
x
π
π
+
2
2
3
3
3
3
cot ln sin
3 3
xdx x
π
π
π
π
π π
= + =
∫
Tính: I
2
=
2
3
3
1 sin
dx
x
π
π
+
∫
=
2
3
2
3
sin cos
2 2
dx
x x
π
π
+
÷
∫
2
2
3
3
2
3
3
1
cot
2 2 4
sin
2 4
dx x
x
π
π
π
π
π
π
= = − +
÷
+
÷
∫
7 5 5
cot cot 2cot 4 2 3
12 12 12
π π π
= − + = = −
Vậy I =
4 2 3
3
π
+ −
9) I =
2
2
6
1
sin . sin
2
x x dx
π
π
+
∫
=
2
2
6
3
sin . cos
2
x xdx
π
π
−
∫
. Đặt t = cosx => dt = - sinxdx
Đổi cận => I = -
3
0
2
2 2
0
3
2
3 3
2 2
t dt t dt− = −
∫ ∫
Đặt t =
3 3
sin cos
2 2
u dt udu⇒ =
I =
3
2
( ) ( )
4 4
4
2
0 0
0
3 3 1 3
cos 1 cos2 sìn2u 2
4 4 2 16
udu u du u
π π
π
π
= + = + = +
÷
∫ ∫
10) I =
6
0
1
cos .cos
4
dx
x x
π
π
+
÷
∫
Ta có: cosx. cos (x +
4
π
) = cosx (
1
2
cosx -
1
2
sinx) =
1
2
cos
2
x (1- tanx)
=> I =
( )
6
2
0
2
cos 1 tan
dx
x x
π
−
∫
( )
6
6
0
0
tan
2 2 ln tan 1
tan 1
d x
x
x
π
π
= − = − −
−
∫
3 3
2 ln
3
−
= −
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
11) I =
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x
dx
x x
π
+
+
∫
=
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
0 0
sin cos
3 4
3 1 cos 4cos 3 4 1 sin
x x
dx dx
x x s in x x
π π
+
− + + −
∫ ∫
=
2 2
2 2
0 0
sin cos
3 4
3 cos 4 sin
x x
dx dx
x x
π π
+
+ −
∫ ∫
= I
1
+I
2
Tính: I
1
=
2
2
0
sin
3
3 cos
x
dx
x
π
+
∫
Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận
I
1
= 3
1
2
0
3
dt
t +
∫
Đặt t =
3
tanu => I
1
= =
3
6
π
Tính: I
2
=
2
2
0
cos
4
4 sin
x
dx
x
π
−
∫
= - 4
( )
( ) ( )
2
2
0
0
sin
sin 2
ln
sin 2 sin 2 sin 2
d x
x
x x x
π
π
−
= −
+ − +
∫
= ln3
Vậy I =
3
6
π
+ ln3
12) I =
( )
2
3
4
7sin 5cos
sin cos
x x
dx
x x
π
π
−
+
∫
=
2
3
4
1 7sin 5cos
2 2
sin
4
x x
dx
x
π
π
π
−
−
+
÷
∫
Đặt t = x +
4
π
=> dt = dx
Đổi cận => I =
3
4
3
2
2 2 2 2
7 sin . .cos 5 cos . sin .
2 2 2 2
1
sin
2 2
t t t t
dt
t
π
π
− − +
÷ ÷
∫
=
( )
3 3
3
4 4
4
3 3
2
2 2
sin
1 2 sin 6 2 cos 1
cot 3
sin 2 sin
2 2
d t
t t
dt t
t t
π π
π
π
π π
−
= − −
∫ ∫
3
4
2
2
1 3
2
2 2sin t
π
π
= + =
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
13) I =
6
0
tan
4
cos2
x
dx
x
π
π
−
÷
∫
Ta có:
2
2
2
tan 1 sin
tan ;cos 2 cos . 1
4 1 tan cos
x x
x x x
x x
π
−
− = = −
÷
÷
+
( )
2
2
1
. 1 tan
1 tan
x
x
= −
+
=> I = -
( )
2
6
2
0
tan 1
tan 1
x
dx
x
π
+
+
∫
Đặt t = tanx => dt = ( tan
2
x + 1) dt, đổi cận
I = -
( )
1
1
3
3
2
0
0
1 1 1 3
1 2
3 1
1
dt
t
t
−
= = − =
+
+
+
∫
14) I =
2
0
1
cos
2 3sin 1
x x dx
x
π
+
÷
+ +
∫
2 2
1 2
0 0
cos
.cos
2 3sin 1
x
I dx x xdx I I
x
π π
= + = +
+ +
∫ ∫
* Tính I
1
=
2
1
0
cos
2 3sin 1
x
I dx
x
π
=
+ +
∫
; Đặt
3sin 1t x= +
=> t
2
= 3sinx + 1
=> 2tdt = 3cosx dx
( )
( )
2
2 2
2
1
1 1
1
2 2 2 2 2
1 2ln 2 2 2ln 2 1 2ln3
3 2 3 2 3 3
t
I dt dt t t
t t
⇒ = = − = − + = − − +
+ +
∫ ∫
1
2 4 3
ln
3 3 4
I⇒ = +
* Tính
2
2
0
.cosI x xdx
π
=
∫
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
= =
⇒
= =
2
2 2
2
0 0
0
.sin sin cos 1
2 2
I x x xdx x
π
π π
π π
⇒ = − = + = −
∫
2
2 2
2
0 0
0
.sin sin cos 1
2 2
I x x xdx x
π
π π
π π
⇒ = − = + = −
∫
Vậy:
1 2
4 3 1
ln
3 4 2 3
I I I
π
= + = + −
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
15) I =
( )
2
3
0
sin
sin 3cos
x
dx
x x
π
+
∫
:sin 3cos 2sin( )
3
Do x x x
π
+ = +
nên I =
2
3
0
1 sin
8
sin
3
x
dx
x
π
π
+
÷
∫
Đặt t = x +
3
π
dt =dx, sinx = sin ( t -
3
π
) =
1 3
sin cos
2 2
t t−
. Đổi cận
I =
5
6
3
3
1 3
sin cos
1
2 2
8 sin
t t
dt
t
π
π
−
∫
=
( ) ( )
5
5
6
6
3
3
1 3
cot cot cot
16 16
t td t
π
π
π
π
− +
∫
=
5
2
6
3
1 3 1 3 3
cot
32 12 6
4 3 4 3
t
π
π
+ = + =
16) I =
2
6
1
sin cos
6
dx
x x
π
π
π
+
÷
∫
=
2
6
cos
6 6
2
3
sin .cos
6
x
dx
x x
π
π
π π
π
+ −
÷
+
÷
∫
2
6
cos cos sin sin
2
6 6
3
sin .cos
6
x x x x
dx
x x
π
π
π π
π
+ + +
÷ ÷
=
+
÷
∫
=
2
6
sin
2 cos
6
sin
3
cos
6
x
x
dx
x
x
π
π
π
π
+
÷
+
+
÷
∫
=
2
6
2 2
ln sin ln cos .ln 2
6
3 3
x x
π
π
π
− + =
÷
÷
=
ln 4
3
* Cách khác: Do sinx.cos (x +
3 1
) sin cos sin
6 2 2
x x x
π
= −
÷
( )
2
1
sin 3 cot 1
2
x x= −
Nên I =
( )
( )
2 2
2
6 6
3 cot 1
1 1 2
2 .
sin
3 cot 1 3
3 cot 1
d x
dx
x
x
x
π π
π π
−
= −
−
−
∫ ∫
2
6
2
ln 3 cot 1
3
x
π
π
= − −
2 ln 4
.ln 2
3 3
= =
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
17) I =
(
)
3
2 2
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
x x x
+ + −
∫
Đặt t = lnx =>dt =
1
dx
x
, đổi cận
I =
(
)
1 1
3
2 2
2 2
0 0
1
4 4
2
4 4
t
dt t t t dt
t t
= + − −
+ + −
∫ ∫
hoctoancap ba.com
=
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1
2 2 2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
4 4 4 4 4 4
2 2 4 4
t t dt t t dt t d t t d t+ − − = + + + − −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
( )
1 1
3 3
2 2
2 2
0 0
1 1 1
4 4 5 5 3 3 16
6 6 6
t t= + + − = + −
*Cách khác:
Đặt t =
2 2
4 ln 4 lnx x+ + −
2 2 4
8 2 16 8 2 16 lnt x t x⇒ = + − ⇒ − = −
( )
4 2 4 4 2 4
64 16 4 16 ln 4ln 16t t x x t t⇒ + − = − ⇒ = −
3 3
ln
2
4
x t
dx t dt
x
⇒ = −
÷
,đổi
cận => I =
( )
5 3
5 3
3
2
4
4
1 1
2 2 5 5 3 3 16
4 12 6
t
t dt t
+
+
− = − = + −
÷
÷
∫
18) I =
( )
( )
2
2
0
2
1 2 4
x
dx
x x x
+
+ + +
∫
=
( ) ( )
2
2
0
1 1
1 1 3
x
dx
x x
+ +
+ + +
∫
( )
( ) ( )
2 2
1 2
2
2 2
0 0
1
1 3
1 . 1 3
dx x
dx I I
x
x x
+
= + = +
+ +
+ + +
∫ ∫
Tính I
1
=
( )
2
2
0
1 3
dx
x + +
∫
Đặt x+1 =
3
tant => dx =
3
(1+ tan
2
t)dt, đổi cận
( )
( )
2
3
1
2
6
3 1 tan
3
18
3 1 tan
t
I dt
t
π
π
π
+
= = =
+
∫
Tính: I
2
=
( ) ( )
( )
2
2 2
0
1
1 1 3
x
dx
x x
+
+ + +
∫
Đặt u = (x+1)
2
+ 3 =>du = 2(x +1)dx, đổi cận
( )
12
12 12
2
4 4
4
1 1 1 1 1 3 ln3
ln .
2 3 6 3 6 6
du u
I du
u u u u u
−
= = − = =
÷
− −
∫ ∫
Vậy I =
3 3ln3
18
π
+
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( )
1
2
0
(x 5 6)
19) I=
2 2013.
x
x
x e
dx
x e
−
+ +
+ +
∫
=
( )
( )
1
0
(x+2) . 3
2 2013
x x
x
e x e
dx
x e
+
+ +
∫
. Đặt t = (x+2)e
x
+2013
=> (x+2)e
x
= t – 2013, dt = [e
x
+(x + 2)e
x
]dx = [(x + 3)e
x
]dx, đổi cận
I =
3 2013
3 2013
3 2013
2015
2015
2015
2013
2013ln
e
e
e
t
dt t t
t
+
+
+
−
= −
∫
3 2013
3 2 2013ln
2015
e
e
+
= − −
20) I =
3
1
4
2
0
1
x
x
x e dx
x
+
÷
+
∫
=
3
1 1
4
2
1 2
0 0
.
1
x
x
x e dx dx I I
x
+ = +
+
∫ ∫
Tính I
1
=
3
1
2
0
.
x
x e dx
∫
Đặt t = x
3
=> dt = 3x
2
dx => I
1
=
1
0
1 1
3 3
t
e
e dt
−
=
∫
Tinh I
2
=
1
4
0
1
x
dx
x+
∫
Đặt t =
4 3
4
4x t x dx t dt⇒ = ⇒ =
1
1 1 1
3
3 2
2
2 2 2
0 0 0
0
1
4 . 4 1 4 4
1 1 3 1
t t dt
I t dt t dt t
t t t
⇒ = = + − = − +
÷
÷
+ + +
∫ ∫ ∫
8
4
3
J= − +
Với
1
2
0
1
dt
J
t
=
+
∫
Đặt t = tanu => dt = (1 + tan
2
u)du =>
2
4
4
2
0
0
1 tan
1 tan 4
u
J du u
u
π
π
π
+
= = =
+
∫
2
8
3
I
π
⇒ = − −
Vậy I =
9 3
3
e
π
− +
21) I =
3
2
sin
0
sinx-sin
.sìn2x+
cos2 7
x
x
e dx
x
π
÷
−
∫
I =
2
2 2
sin
1 2
2
0 0
sin .cos
.sìn2x
2cos 8
x
x x
e dx dx I I
x
π π
+ = +
−
∫ ∫
Tính: I
1
=
2
sin
0
.sìn2x
x
e dx
π
∫
=
( )
2
sin
0
2 sin . sin
x
x e d x
π
∫
Đặt
( )
sin
sin
sin
cos
sin
x
x
u x
du dx
dv e d x
v e
=
=
⇒
=
=
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( )
2 2
sin sin sin
2
1
0
0 0
2sin . 2 .cos 2 2 . sin
x x x
I x e e xdx e e d x
π π
π
= − = − =
∫ ∫
sin
2
0
2 2 2
x
e e
π
− =
Tính: I
2
=
2
2
2
0
sin .cos
2cos 8
x x
dx
x
π
−
∫
Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận
I
2
=
1
1 1
2
2 2
0 0
0
1 1 4 1 1 2 1 ln3
1 ln
2 4 2 4 2 2 2 2 2
t t
dt dt
t t t
−
= + = + = −
÷
− − +
∫ ∫
Vậy I =
5 ln3
2
−
22) I =
( )
4
2
0
tan tan
x
x x e dx
π
+
∫
=
4 4 4
1 2 3
2
0 0 0
1
. tan .
cos
x x x
e dx e dx x e dx I I I
x
π π π
− + = − +
∫ ∫ ∫
Tính: I
1
=
4
2
0
1
.
cos
x
e dx
x
π
∫
Đặt
2
1
tan
cos
x
x
u e
du e dx
v x
dv dx
x
=
=
⇒
=
=
I
1
=
4
4 4
4
3 1 3
0
0
tan . tan .
x x
x e x e dx e I I I e
π
π π
π
− = − ⇒ + =
∫
Tính: I
2
=
4
4
4
0
0
1
x x
e dx e e
π
π
π
= = −
∫
Vậy I = 1
23) I =
( )
1
1
2 ln 1
ln
e
x
x
dx
x x
+ +
+
∫
=
( )
1
2 ln 1
ln
e
x x
dx
x x x
+ +
+
∫
Đặt t = lnx => x = e
t
, dt =
1
dx
x
,đổi
cận => I
1 1 1
0 0 0
2 1 1 1
1 1 1
1
t t t
t t t
e t e e
dt dt dt J
e e t e t
+ + + +
= + = + = +
÷
+ + +
∫ ∫ ∫
Tính: J =
1
0
1
t
t
e
dt
e t
+
+
∫
Đặt u =
( )
1
t t
e t du e dt+ ⇒ = +
, đổi cận
( )
1
1
ln 1
e
du
J e
u
+
= = = +
∫
Vậy I = 1 + ln(e + 1)
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
24) I =
8
3
ln
1
x
dx
x +
∫
Đặt
ln
2 1
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v x
x
=
=
⇒
=
= +
+
( )
8
8
3
3
1
2 1.ln 2 6ln8 4ln3 2
x
I x x dx J
x
+
= + − = − −
∫
Tính: J =
8
3
1x
dx
x
+
∫
Đặt t =
2
1 1x t x+ ⇒ = +
,
2tdt dx=
, x = t
2
– 1, đổi cận
3
2
2
.2
1
t
J tdt
t
=
−
∫
3
3
2
2
1 1 1
2 2 ln
1 1 1
t
dt t
t t t
−
= + − = +
÷
÷
− + +
∫
2 ln3 ln 2= + −
Vậy I = 20ln2 - 6ln3 – 4
25) I =
( )
1
2
1
0
2
2 9 . 3 2
x
x x
dx
−
− −
∫
( )
( )
1 1
2 2 2
0 0
2 2 .2
2
2 9 3.2 2
2 9 3
2
x x x
x x
x
x
I dx dx⇒ = =
− −
− −
∫ ∫
( )
1
0
2
2 9 3.2 2
x
x x
dx=
− −
∫
Đặt
2
2
25 2
3.2 2 3.2 2 2 9 2
3 3ln 2
x x x x
t t
t t dx dt
−
= − ⇒ = − ⇒ − = ⇒ =
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2
1 1
1
5 5 5
2 2 1 1
. . . ln
ln 2 ln 2 0 5 . 5 5ln 2 5
25
t t t
t
I dt dt
t t t
t t
+ − − −
= = =
+ − +
−
∫ ∫
1 3 2 1 9
ln ln .ln
5ln 2 7 3 5ln 2 14
= − =
÷
26) I =
1
2
0
1 6 3x x dx+ −
∫
ho ctoancapba.com
( )
1
2
2
0
2 3 1I x
= − −
∫
dx Đặt
( )
3 1 2sin 3 2cosx t dx tdt− = ⇒ =
• Khi x = 0
3
sin
2 3
t t
π
− −
⇒ = ⇒ =
• Khi x = 1 => sin t = 0 => t = 0
( )
0 0 0
2
3 3 3
2 4 1
4 4sin 2 cos . cos . 1 cos2
2
3 3
I t t t dt t dt
π π π
− − −
⇒ = − = = +
∫ ∫ ∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
0
3
2 1 2 1 3
sin 2
2 3 2 2
3 3
t t
π
π
−
− −
= + = −
÷
÷
Vậy
2 1
2
3 3
I
π
= +
27) I =
1
2
1
1
1 1
dx
x x
−
+ + +
∫
=
1
2
1
1 1
2
x x
dx
x
−
+ − +
∫
1 1
2
1 1
1 1
2 2
x x
dx dx
x x
− −
+ +
= −
∫ ∫
1 2
I I= −
Tính:
( )
1
1
1
1
1
1 1 1
1 ln 1
2 2
I dx x x
x
−
−
= + = + =
÷
∫
1
2
2
2 2
1
1
; 1 2 2 ; 1 2 0
2
x
I dx t x tdt xdx x t I
x
−
+
= = + ⇒ = = ± ⇒ = ⇒ =
∫
Vậy I = 1
28) I =
( )
1
3 2
2 2
0
10 3 1 10
1 1
x x x
dx
x x
+ + +
+ +
∫
1 1
1 2
2
2
0 0
1
10 3 10 3
1
1
x
dx dx I I
x
x
= + = +
+
+
∫ ∫
1
2
1 1
2
0
; 1 2 1
1
x
I dx t x I
x
= = + ⇒ = −
+
∫
1
2 2
2
0
1
; tan
1 4
I dx x t I
x
π
= = ⇒ =
+
∫
Vậy
( )
3
10 2 1
4
I
π
= − +
29) I =
( )
2
2
1
2
cot
sin
3
4
cos 2cot 3cot 1
.
sin
x
x
x x x
e dx
x
π
π
+
+ +
∫
( )
2
2
2
cot cot 1
2
4
cot 2cot 3cot 1
.
sin
x x
x x x
e dx
x
π
π
+ +
+ +
=
∫
2
1
cot
sin
u x du dx
x
= ⇒ = −
( )
2
1
2 1 2
0
2 3 1 ; 1
u u
I u u u e du t u u
+ +
⇒ = + + = + +
∫
( ) ( )
3
1
2 1 1
t
dt u du I t e dt= + ⇒ = −
∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( )
( )
3
3
2
1
1
1
1 1
t t
t t
u t du dt
dv e dt v e
I e t e dt e e
= − =
⇒
= =
= − − = = +
∫
30) I =
4
2
0
tanx xdx
π
∫
=
2
4 4 4
2 2
0 0 0
1 1
1 .
cos cos 32
x dx x dx xdx J
x x
π π π
π
− = − = −
÷
∫ ∫ ∫
4
2
0
2
1
. ;
1
tan
cos
cos
u x
du dx
J x dx
v x
x
dv dx
x
π
=
=
= ⇒
=
=
∫
( )
4 4
4
4
0
0
0 0
cos
1
tan tan ln cos ln 2
4 cos 4 4 2
d x
J x x xdx x
x
π π
π
π
π π π
= − = + = + = −
∫ ∫
Vậy I =
2
1
ln 2
4 2 32
π π
− −
31) I =
1
2 2
3
4
2tan
cos
x
e x
x x dx
x x
π
π
+ +
÷
∫
1
2
2 2
3 3 3
4 4 4
2 tan
cos
x
e x
I dx dx x xdx J M N
x x
π π π
π π π
= + + = + +
∫ ∫ ∫
4
1
4 1
3
3
2 2
3 1
4
1 1
;
x
t
e
J dx t dt J e dt e e
x x x dx
π
π
π π
π
π
= = ⇒ = − ⇒ = = −
∫ ∫
2
2
2
3
2
4
3 3
2
4 4
2
; tan 2 tan
1
tan
cos
cos
u x
du xdx
x
M dx M x x x xdx
v x
x
dv dx
x
π π
π
π
π π
=
=
= ⇒ ⇒ = −
=
=
∫ ∫
2 2
9 9
16 16
M N M N
π π
= − ⇒ + =
Vậy I =
4 1
2
3
9
16
e e
π π
π
− +
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
32) I =
2
0
2 cos4
x
xdx
π
∫
Đặt
2 .ln 2.
2
1
cos4
sin 4
4
x
x
du dx
u
dv xdx
v x
=
=
⇒
=
=
2 2
2
0
0 0
1 1 ln 2
.2 .sin 4 .ln 2 2 sin 4 . 2 sin 4
4 4 4
x x x
I x xdx xdx
π π
π
= − = −
∫ ∫
Đặt
2 , 2 ln 2
sin 4
1
cos4
4
x x
u du dx
dv xdx
v x
= =
=
−
=
2
2
0
0
ln 2 1 ln 2 1
.2 .cos4 . .ln 2. 2 .cos 4
4 4 4 4
x x
I x xdx
π
π
−
÷
= − −
÷
÷
÷
∫
2
2 2
2
2 1 .ln 2
ln 2 ln 2 ln 2
2 1 . 1
16 16 16 16
I I I
π
π
−
÷
= − − ⇒ + =
÷
2
2
2 1 .ln 2
16 ln 2
I
π
−
÷
=
+
33)
( )
3
2
2
1
ln
1
x x
I dx
x
=
+
∫
( )
( )
2
2
2
1
ln
1
1
2 1
u x
du dx
x
x
dv dx
v
x
x
=
=
⇒
=
−
=
+
+
( ) ( )
( )
( )
2 2
3 3
3
1
2 2 2
1 1
1
1 1 ln3 1
.ln
2 20 2
2 1 1 1
x x
dx
I x dx
x x x x x
+ −
= − + = − +
+ + +
∫ ∫
3
3
2
1
1
ln3 1 1
ln
20 2 2 1
x
x dx
x
= − + −
+
∫
( )
( )
2
3
3
2
2
1
1
1
ln3 ln3 1 9ln3 1
ln 1
20 2 4 1 20 4
d x
x
x
+
= − + − = − +
+
∫
9ln3 ln5 9ln3 5ln5
20 4 20
−
= − =
34) I =
2
3
1
ln 1 ln
e
x
dx
x
+
∫
Đặt t = lnx => dt =
1
dx
x
, đổi cận
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
( )
1
2
0
1
ln 1
3
I t dt= +
∫
( )
2
2
2
ln 1
1
t
u t
du dt
t
dv dt
v t
= +
=
¬ ⇒
+
=
=
( )
1
2
1
2
2
0
0
1 2 1 2
.ln 1 ln 2
3 3 1 3 3
t
I t t dt J
t
= + − = −
+
∫
Tính J =
1 1
2
2 2
0 0
1 1
1
1 1
t dt
dt
t t
+ −
= −
+ +
∫ ∫
Đặt t = tanu => dt = ( 1 + tan
2
u)du, đổi cận
2
4
2
0
tan 1
1 1
tan 1 4
u
J du
u
π
π
+
= − = −
+
∫
Vậy
( )
2 ln 2 2
6
I
π
− +
=
35) I =
( )
1
2
2
0
1
.
1
x
x
e dx
x
+
+
∫
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2
2 2 2 2
0 0 0
1 2 2 . .
: 1 2
1 1 1 1
x x
x x
x x x e x e
Do I e dx e dx dx
x x x x
+
= − ⇒ = − = −
÷
÷
+ + + +
∫ ∫ ∫
1 2e J= − −
Tính
( )
1
2
0
.
1
x
x e
J dx
x
=
+
∫
( )
( )
( )
2
.
1
1
1
1
x
x
u x e
du e x dx
dx
dv
v
x
x
=
= +
⇒
=
= −
+
+
1
1
0
0
.
1
1 2
x
x
x e e
J e dx e
x
= − + = − + −
+
∫
Vậy I = 1
36)
( )
4
2
2
0
.log 9I x x dx= +
∫
( )
( )
( )
2
2
2
2 2
4
4
2
2
2
0
0
2
9 ln 2
log 9
9 9
2 2 2
9 1 25ln5 9ln3 8
.log 9
2 ln2 ln 2
x
du dx
x
u x
dv xdx
x x
v
x
I x xdx
=
+
= +
⇒
=
+
= + =
+ − −
= + − = =
∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
* Cách khác: t = x
2
+ 9
=> I =
25 25
25
9
9 9
1 25ln5 9ln3 8
ln .ln
2ln 2 2ln 2 2ln 2 ln 2
t t
tdt t dt
− −
= − =
∫ ∫
37) I =
1
3
3
4
1
3
2014x x x
dx
x
− +
∫
=
1 1
3
3
1 2
4 3
1 1
3 3
2014
x x dx
dx I I
x x
−
+ = +
∫ ∫
3
1 1
3
3
2
1
4 3
1 1
3 3
1
1
x x
x
I dx dx
x x
−
−
= =
∫ ∫
Đặt
3 2
3
2 2 3
1 1 3
1 1
2
dx
t t t dt
x x x
= − ⇒ = − ⇒ = −
,đổi
cận =>
1
6I =
1
1
2
3 2
1
1
3
3
1
2014 2014. 8056
2
dx
I
x x
= = − =
÷
∫
hoctoan capba.com
Vậy I =
6 8056 8062I = + =
38) I =
1
1
1
2
1
1
x
x
x e dx
x
+
+ −
÷
∫
=
1 1
1 1
1 1
2 2
1
x x
x x
e dx x e dx J K
x
+ +
+ − = +
÷
∫ ∫
1
1
1
2
x
x
J e dx
+
=
∫
1
1
2
1
1
x
x
x
x
du e dx
u e
x
dv dx
v x
+
+
= −
÷
=
⇒
=
=
1
5
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
.
2
x
x
x
x
e
J x e x e dx e K
x
+
+
= − − = − −
÷
∫
Vậy
( )
5
2
2
2
2
2 2
e e
e
I J K e
−
= + = − =
39) I =
ln6
0
3 3 2 7
x
x x
e
dx
e e+ + +
∫
Đặt t =
2
3 3
x x
e t e+ ⇒ = +
,
2
x
tdt e dx=
,đổi cận
( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
2
2
2 2 2
2 1 1
2
2 2
2 3 1 2 1 . 1
3 2 3 7
t t
t t
I dt dt dt
t t t t
t t
+ − +
= = =
+ + + +
+ − +
∫ ∫ ∫
3 3
2 2
80
2ln 1 ln 2 1 ln
63
t t= + − + = =
40) I =
( )
1
4 2
1
3
ln 3 2lnx x x dx
+ −
∫
Do: ln( x
4
+ x
2
) -2lnx = ln [ x
2
.( 3x
2
+1 )] – lnx
2
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
= ln( 3x
2
+ 1 ), nên I =
( )
1
2
1
3
ln 3 1x dx= +
∫
Đặt:
( )
2
2
6
ln 3 1
3 1
xdx
u x
du
x
dv dx
v x
= +
=
⇒
+
=
=
( )
1
2
1
2
1
2
1
3
3
6 4ln 2 ln3
.ln 3 1
3 1 3
x
I x x dx J
x
+
= + − = −
+
∫
( )
1 1 1
2
1
1
2
2 2
3
1 1 1
3 3 3
6 2 1 4
2 2 2 2
3 1 3 1 3
3 1
x
J dx dx x dx K
x x
x
= = − = − = −
÷
+ +
+
∫ ∫ ∫
Với K =
( )
1
2
1
3
1
3 1
dx
x +
∫
Đặt
( )
2
3 tan 3 1 tanx t dx t dt= ⇒ = +
2
3
2
6
1 1 tan 4
1 tan 3
3 6 3 3 3
t
K dt J
t
π
π
π π
+
⇒ = = ⇒ = −
+
∫
Vậy
12ln 2 3ln3 12 3
9
I
π
+ − +
=
41) I =
( )
1
2
2
0
.
2
x
x e
dx
x
−
−
∫
Đặt
( )
( )
2
2
. 2
.
1
2
2
x
x
x x
u x e
du dx
e
dx
dv
v
x
x
−
−
=
=
⇒
=
=
−
−
1
1
2
0
0
. 1
.
2
x
x
x e
I x e dx J
x e
−
−
= − = −
−
∫
Với
1
0
.
x
J x e dx
−
=
∫
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
− −
= =
⇒
= = −
1
1 1
0 0
0
1 2
. 1
x x x
J x e e dx e
e e
− − −
= − + = − − = − +
∫
Vậy I =
3 e
e
−
42)
( )
( )
2 2
2
2
1
2 1 2ln ln
ln
e
x x x x
dx
x x x
+ + +
+
∫
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2
2 2
1 1 1
(ln 2 ln ) 1
ln ln
e e e
x x x x x x x x
dx dx dx A B
x
x x x x x x
+ + + + +
= = + = +
+ +
∫ ∫ ∫
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
2
1
1
1 1 1
e
e
e
A dx
x x e
−
= = − =
∫
( )
( )
( )
2 2
1 1
1
1
1
ln 1
1
ln 1
ln ln 1
e
e e
d x
e
x
B dx
x x e
x x x
+
+
= = = − =
+ +
+ +
∫ ∫
Vậy I =
( )
2
2 1
1
e
I
e e
−
=
+
